精品解析：湖北省武汉市洪山区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

洪山区2023—2024学年度第二学期期末质量检测 七年级数学试卷 亲爱的同学：在你答题前，请认真阅读下面的注意事项． 1．本卷共6页，24题，满分120分．考试用时120分钟． 2．答题前，请将你的学校、班级、姓名、考号填在试卷和答题卡相应的位置，并核对条码上的信息． 3．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案．答在“试卷”上无效． 4．认真阅读答题卡上的注意事项． 预祝你取得优异成绩！ 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 16的算术平方根是（　　） A. 4 B. C. D. 2. 下列调查中，最适合采用抽样调查的是（ ） A. 全国人口普查 B. 高铁站对上车旅客进行安检 C. 企业招聘，对应聘人员进行面试 D. 了解湖北省居民的日平均用电量 3. 如图，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法不正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 在平面直角坐标系中，若点位于第三象限，则m、n的取值范围分别是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，若点B位于第二象限，且直线轴，则（ ） A. B. C. 4 D. 5 7. 关于x的不等式组的解集为，则a、b的值是（ ） A. B. C. D. 8. 中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目，其大意是：用一千八百文钱共买了三百个陶罐和铁罐，其中十六文钱可以买陶罐三个，二十五文钱可以买铁罐四个，问：陶、铁罐各有几个？设陶罐有x个，铁罐有y个，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示三元一次方程组，若为定值，则t与m关系（ ） A. B. C. D. 10. 小明同学在一次数学探究活动中，将小正方形放置在如图所示平面直角坐标系中，使得小正方形的中心（即正方形对角线的交点）位于原点，各顶点在坐标轴上，若各顶点到原点的距离为1．接下来，按如图方式作新正方形，即从第二个正方形开始，以前一个正方形的一条对角线为边作正方形，则第十个正方形中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）将答案直接写在答题卡指定的位置上． 11. 使代数式有意义x的取值范围是_______． 12. 在不久前结束的体育中考中，某校902班体育委员统计了本班52名同学一分钟跳绳的次数，最多197次，最少63次，若取组距为20，则可以分为____________组． 13. 如图，直线，直线l与直线a相交于点P，直线l与直线b相交于点Q，且垂直于l，若，则____________ 14. 如图，在矩形中，放入六个形状大小相同的长方形，若，则图中空白部分的总面积是____________． 15. 如图，的角平分线交的角平分线的反向延长线于点P，直线交于点N，若，则____________° 16. 下列说法：①如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；②若，且，则；③若关于x的不等式组无解，则；④若关于x的不等式组有解且每个解都不在的范围内，．其中正确说法是____________．（填正确结论的序号） 三、解答题（共8小题，共72分）在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程． 17. （1）计算： （2）解方程组： 18. 解不等式组请按下列步骤完成解答： （1）解不等式①，得____________； （2）解不等式②，得____________； （3）将不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组的解集为____________． 19. 武汉是一座英雄城市，亦是一座文明之城．为迎接2024年全国文明城市评选活动，武汉市政府召开专题会议，动员部署全国文明城市创建工作．洪山区某中学积极响应政府的号召，组织全校学生进行了“文明校园专项知识”竞赛活动，满分100分，每名学生的成绩记作x分，教务处从中抽取了m名学生的答题成绩，分成A，B，C，D四组（；；；），得到如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题： （1）m的值为____________，C组的学生占被抽取学生总数的____________%； （2）请补全频数分布直方图并计算扇形统计图中“D”组扇形圆心角度数为____________°； （3）本次竞赛成绩90分以上（包含90分）的学生被评为校园“文明之星”，请你估计全校2400名学生中被评为“文明之星”的学生有多少？ 20. 如图，，． （1）试判断与之间的数量关系，并说明理由； （2）若比的一半大，求的度数． 21. 已知． （1）平移线段，使A的对应点刚好落在y轴上，B的对应点刚好落在x轴上，在图上画出四边形，并写出以下两点坐标________________________； （2）在（1）的条件下，求出线段扫过的面积____________； （3）P点为直线上一动点，写出的最小值____________． 22. 四季莫负春光日，人生不负少年时！为了体验成长，收获快乐，学校计划组织8名老师和392名学生开展以“欢乐嘉年华，挑战致青春”为主题的研学活动．租车公司有A、B两种型号的客车可以租用，已知1辆A型车可以载乘客55人，1辆B型车可以载乘客40人．其中租用3辆A型车和2辆B型车需要1800元，租用4辆A型车和1辆B型车需要1900元，根据相关要求每辆客车上至少需要一名老师． （1）求租用一辆A型车和一辆B型车的费用分别是多少？ （2）在保证将全部师生送达目的地的前提下租车费用不超过3150元，学校可以选择几种租车方案？最少租车费用是多少？ （3）为响应国家重视教育的号召，租车公司决定降价出租，每辆A型车降价元，每辆B型车降价m元，在（2）的租车方案的前提下，若学校的最少租车费用为2650元，直接写出m的值． 23. 已知分别在上． （1）如图（1），求证：； （2）如图（2），若F在之间，平分，若，求与的数量关系； （3）如图（3），射线从开始，绕M点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕N点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于P，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间t秒的值． 24. 在平面直角坐标系中，，若x，y满足， （1）写出点A，B的坐标； （2）过y轴上点作直线l交直线于点P，若，求点P的坐标； （3）过y轴上点作直线，点为直线t上一动点，已知点，若，求出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 洪山区2023—2024学年度第二学期期末质量检测 七年级数学试卷 亲爱的同学：在你答题前，请认真阅读下面的注意事项． 1．本卷共6页，24题，满分120分．考试用时120分钟． 2．答题前，请将你的学校、班级、姓名、考号填在试卷和答题卡相应的位置，并核对条码上的信息． 3．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案．答在“试卷”上无效． 4．认真阅读答题卡上的注意事项． 预祝你取得优异成绩！ 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 16的算术平方根是（　　） A. 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴16的算术平方根为4，即， 故选：A． 【点睛】本题考查算术平方根，解师生关键是掌握一个正数的平方根有两个，其中正的那个平方根叫做算术平方根，特别地，0的算术平方根是0． 2. 下列调查中，最适合采用抽样调查的是（ ） A. 全国人口普查 B. 高铁站对上车旅客进行安检 C. 企业招聘，对应聘人员进行面试 D. 了解湖北省居民的日平均用电量 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、全国人口普查，最适合采用全面调查，故A不符合题意； B、高铁站对上车旅客进行安检，最适合采用全面调查，故B不符合题意； C、企业招聘，对应聘人员进行面试，最适合采用全面调查，故C不符合题意； D、了解湖北省居民的日平均用电量，最适合采用抽样调查，故D符合题意； 故选：D． 3. 如图，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，分别根据“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”判断，进而得出答案． 【详解】解：因为，所以，则A不符合题意； 因为，所以，则B符合题意； 因为，所以，则C不符合题意； 因为，所以，则D不符合题意． 故选：B． 4. 下列说法不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，解题关键是掌握不等式两边同时加（或减）同一个数，不等号的方向不变；不等式两边同乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质据此逐一计算即可． 【详解】解：A、若，则，，原变形错误，符合题意； B、若，则，正确，不符合题意； C、若，则，正确，不符合题意； D、若，则，正确，不符合题意， 故选：A． 5. 在平面直角坐标系中，若点位于第三象限，则m、n的取值范围分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查点的坐标，熟练掌握点的坐标特征是解题的关键．根据点的坐标特征得出，解得即可． 【详解】解：点位于第三象限， ， ． 故选：B 6. 已知，若点B位于第二象限，且直线轴，则（ ） A. B. C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据直线轴，得出、两点的横坐标相等，进而得出的值，再根据点位于第二象限，，得出的值，代入即可得出答案． 【详解】解：直线轴， 、两点的横坐标相等， ， ， 或6， 点位于第二象限， ， ． 故选：C 7. 关于x的不等式组的解集为，则a、b的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和解二元一次方程组，熟练掌握一元一次不等式组和二元一次方程组的解法是解此题的关键． 先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的方法求出不等式组的解集，根据不等式组的解集为得出方程组，再求出方程组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为：， 关于x的不等式组的解集为， ， 解得：， 故选：A 8. 中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目，其大意是：用一千八百文钱共买了三百个陶罐和铁罐，其中十六文钱可以买陶罐三个，二十五文钱可以买铁罐四个，问：陶、铁罐各有几个？设陶罐有x个，铁罐有y个，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，解题的关键是找到等量关系并列出方程组，难度不大．利用“用一千八百文钱共买了三百个陶罐和铁罐，其中十六文钱可以买陶罐三个，二十五文钱可以买铁罐四个”列出方程组即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：C 9. 用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示三元一次方程组，若为定值，则t与m关系（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了新定义，加减消元法等知识，先根据矩阵的定义得出，然后利用加减消元法得出，结合“为定值”即可求解． 【详解】解∶根据题意，得 ，得， ∵为定值， ∴， 故选∶D． 10. 小明同学在一次数学探究活动中，将小正方形放置在如图所示的平面直角坐标系中，使得小正方形的中心（即正方形对角线的交点）位于原点，各顶点在坐标轴上，若各顶点到原点的距离为1．接下来，按如图方式作新正方形，即从第二个正方形开始，以前一个正方形的一条对角线为边作正方形，则第十个正方形中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了点坐标变化规律，能根据所给变换方式发现正方形边长的变化规律及第偶数个正方形中心点的坐标特征是解题的关键． 根据所给图形，求出正方形边长的变化规律，再由第偶数个正方形的左边的边在一条直线上即可解决问题． 【详解】解：由题可知， 第一个正方形的边长为， 第二个正方形的边长为， 第三个正方形的边长为， 第四个正方形边长为， …， 所以第n个正方形的边长为（n为正整数）． 观察所给图形可知， 第偶数个正方形的左边在一条直线上． 当时， ， 即第十个正方形中心的横坐标为15． ， 即第十个正方形中心的纵坐标为46， 所以点的坐标为． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）将答案直接写在答题卡指定的位置上． 11. 使代数式有意义的x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须，从而可得答案． 【详解】解：代数式有意义， 故答案为： 12. 在不久前结束的体育中考中，某校902班体育委员统计了本班52名同学一分钟跳绳的次数，最多197次，最少63次，若取组距为20，则可以分为____________组． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了求频数分布组数，根据极差除以组距，取不小于该值的最小的整数得组数是解题的关键． 根据极差除以组距，取不小于该值的最小的整数即可得出组数． 【详解】解：∵次数最多为197，最少为63．若取组距为20， ， 故可以分成7组． 故答案为：7． 13. 如图，直线，直线l与直线a相交于点P，直线l与直线b相交于点Q，且垂直于l，若，则____________ 【答案】52 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质和角的和差关系，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵垂直于l， ∴， ∴； 故答案为：52． 14. 如图，在矩形中，放入六个形状大小相同的长方形，若，则图中空白部分的总面积是____________． 【答案】32 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设小长方形的长为，小长方形的宽为，观察图形数量关系可得列出二元一次方程组，解之得出x、y的值，再利用，即可得出结论． 【详解】解：设小长方形的长为，小长方形的宽为， 依题意得： 解得：， ， ， 故答案为：32 15. 如图，的角平分线交的角平分线的反向延长线于点P，直线交于点N，若，则____________° 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的外角定理，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质定理， 根据角平分线的性质和可得，再根据三角形的外角定理分别求出，，进而可求解 【详解】解：如图所示：交于点E， 由题意可知： 平分，平分， ， ， ， 即， ， ， 是的一个外角， 是的一个外角， , 故答案为：36 16. 下列说法：①如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；②若，且，则；③若关于x的不等式组无解，则；④若关于x的不等式组有解且每个解都不在的范围内，．其中正确说法是____________．（填正确结论的序号） 【答案】②④##④② 【解析】 【分析】本题考查算术平方根、解一元一次不等式组及平行线的判定与性质，掌握算术平方根的意义、一元一次不等式组的解法和平行线的判定与性质是解题的关键． ①根据“在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”判断即可； ②根据“算术平方根的平方等于被开方数”计算即可； ③当时不等式组无解； ④根据题意，得或，求它们的解集即可． 【详解】解：①在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行， ∴①不正确，不符合题意； ② ∴②正确，符合题意； ③若不等式组无解，则，解得， ∴③不正确，不符合题意； ④不等式组的解集为： ∵原不等式组有解，且每个解都不在的范围内， 或 解得第一个不等式组的解集为，第二个不等式组无解， ∴当时，原不等式组有解且每个解都不在的范围内， ∴④正确，符合题意． 综上，②④正确． 故答案为：②④． 三、解答题（共8小题，共72分）在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程． 17. （1）计算： （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题主要考查了实数的运算，注意运算顺序，以及解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键． （1）首先计算开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式值即可； （2）应用加减消元法，求出方程组的解即可． 【详解】解：（1） ． （2）， ①②，可得， 把代入①，可得：， 解得， 原方程组的解是． 18. 解不等式组请按下列步骤完成解答： （1）解不等式①，得____________； （2）解不等式②，得____________； （3）将不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组的解集为____________． 【答案】（1） （2） （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集： （1）按照移项，合并同类项的步骤解不等式即可； （2）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可； （3）根据（1）（2）所求表示出对应不等式的解集即可； （4）根据（3）求出不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解：， 移项得：， 合并同类项得：； 【小问2详解】 解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； 【小问3详解】 解：数轴表示如下所示： 【小问4详解】 解：由（3）可知不等式组的解集为． 19. 武汉是一座英雄的城市，亦是一座文明之城．为迎接2024年全国文明城市评选活动，武汉市政府召开专题会议，动员部署全国文明城市创建工作．洪山区某中学积极响应政府的号召，组织全校学生进行了“文明校园专项知识”竞赛活动，满分100分，每名学生的成绩记作x分，教务处从中抽取了m名学生的答题成绩，分成A，B，C，D四组（；；；），得到如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题： （1）m的值为____________，C组的学生占被抽取学生总数的____________%； （2）请补全频数分布直方图并计算扇形统计图中“D”组的扇形圆心角度数为____________°； （3）本次竞赛成绩90分以上（包含90分）的学生被评为校园“文明之星”，请你估计全校2400名学生中被评为“文明之星”的学生有多少？ 【答案】（1）60；40 （2）图见解析，72 （3）全校2400名学生中被评为“文明之星”的学生约有480名 【解析】 【分析】本题考查直方图，扇形图，利用样本估计总体，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键． （1）组人数除以所占的比例求出的值，组人数除以抽查的人数，求出百分比即可； （2）求出两组的人数，补全直方图，360度乘以组人数所占的比例，求出圆心角的度数； （3）样本估计总体的思想，进行求解即可． 【小问1详解】 解：，； 故答案为：60，40； 【小问2详解】 组人数为：，组人数为：；补全直方图如图： ； “D”组的扇形圆心角度数为； 【小问3详解】 （名）． 全校2400名学生中被评为“文明之星”的学生约有480名 20. 如图，，． （1）试判断与之间的数量关系，并说明理由； （2）若比的一半大，求的度数． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质： （1）同角的补角相等，得到，得到，进而推出，即可得证； （2）设，则，根据平行线的性质，列出方程进行求解即可． 小问1详解】 解：，理由如下： ，， ， ， ， 又，， 【小问2详解】 ， ， 又， ． 设，则， ， ， 又， ， ． 21. 已知． （1）平移线段，使A的对应点刚好落在y轴上，B的对应点刚好落在x轴上，在图上画出四边形，并写出以下两点坐标________________________； （2）在（1）的条件下，求出线段扫过的面积____________； （3）P点为直线上一动点，写出的最小值____________． 【答案】（1） （2）7 （3） 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，直角坐标系中的平移变换，平移作图，垂线段最短，三角形的面积等知识，根据题意作出图形是解题的关键． （1）根据题意可得需将线段向下平移一个单位，向左平移一个单位，即可求解； （2）线段扫过的面积，再根据矩形面积-四个三角形的面积即可计算． （3）先算出，当时，最小，再根据等面积法即可求解； 【小问1详解】 解：要使A的对应点刚好落在y轴上，B的对应点刚好落在x轴上，则需将线段向下平移一个单位，向左平移一个单位，，． 作图如下： 【小问2详解】 解：线段扫过面积． 【小问3详解】 解：， 如图，当时，最小， 的最小值． 22. 四季莫负春光日，人生不负少年时！为了体验成长，收获快乐，学校计划组织8名老师和392名学生开展以“欢乐嘉年华，挑战致青春”为主题的研学活动．租车公司有A、B两种型号的客车可以租用，已知1辆A型车可以载乘客55人，1辆B型车可以载乘客40人．其中租用3辆A型车和2辆B型车需要1800元，租用4辆A型车和1辆B型车需要1900元，根据相关要求每辆客车上至少需要一名老师． （1）求租用一辆A型车和一辆B型车的费用分别是多少？ （2）在保证将全部师生送达目的地的前提下租车费用不超过3150元，学校可以选择几种租车方案？最少租车费用是多少？ （3）为响应国家重视教育的号召，租车公司决定降价出租，每辆A型车降价元，每辆B型车降价m元，在（2）的租车方案的前提下，若学校的最少租车费用为2650元，直接写出m的值． 【答案】（1）租用一辆A型客车需400元，租用一辆B型客车需300元 （2）学校可以选择2种租车方案．最少租车费用是3000元 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设租用一辆型车的费用是元，一辆型车的费用是元，根据“租用3辆型车和2辆型车需要1800元，租用4辆型车和1辆型车需要1900元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）由师生人数及要求每辆客车上至少需要一名老师，可得出需租用8辆客车，设租用辆型车，则租用辆型车，根据租用的客车的总承载量不少于人且租车费用不超过3150元，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出各租车方案，再求出各租车方案所需租车费用，比较后即可得出结论； （3）分租车方案1的费用最少及租车方案2的费用最少两种情况考虑，当租车方案1的费用最少时，由租车方案1的租车费用为2650元，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，求出此时租车方案2的租车费用，比较后可得出符合题意；当租车方案2的费用最少时，由租车方案2的租车费用为2650元，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，求出此时租车方案1的租车费用，比较后可得出不符合题意． 【小问1详解】 设租用一辆型车的费用是元，一辆型车的费用是元， 根据题意得：， 解得：． 答：租用一辆型车的费用是400元，一辆型车的费用是300元； 【小问2详解】 （辆（人，（辆，共有8名老师，且要求每辆客车上至少需要一名老师， 需租用8辆客车． 设租用辆型车，则租用辆型车， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为6，7， 学校共有2种租车方案， 方案1：租用6辆型车，2辆型车，租车费用为（元； 方案2：租用7辆型车，1辆型车，租车费用为（元． ， 最少租车费用是3000元． 答：学校共有2种租车方案，最少租车费用是3000元； 【小问3详解】 当租车方案1的费用最少时，， 解得：， ， 符合题意； 当租车方案2的费用最少时，， 解得：， ， 不符合题意． 答：的值为25． 23. 已知分别在上． （1）如图（1），求证：； （2）如图（2），若F在之间，平分，若，求与的数量关系； （3）如图（3），射线从开始，绕M点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕N点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于P，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间t秒的值． 【答案】（1）详见解析 （2） （3）或10或14 【解析】 【分析】（1）过E作，由平行线的性质可得出，，可得，即． （2）设，则，设，则，由(1)可知，，可列出，将和，代入化简可得； （3）将直线的点M平移与直线的N点重合，根据运动的角度差为，结合题意将角度转化为角度差，结合题意分别列出对应的角度和差关系求解即可； 【小问1详解】 解：如图，过E作， ∴，① 又， ∴， ∴．② ①②得，， ∴． 【小问2详解】 解：如图， 设，则，设，则， 由(1)可知 同理可得 又， ∴， 则， 由，得， 由，得, 将，代入，得． 【小问3详解】 解：将直线的点M平移与直线的N点重合，如图， 根据题意得，，，则， ∵直线与直线相交所夹的锐角为， ∴， ∴，解得， 根据题意得，， ∵直线与直线相交所夹的锐角为， ∴， ∴，即，解得， 根据题意得，， ∵直线与直线相交所夹的锐角为， ∴， ∴，即，解得， 故满足题意得或10或14． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、角平分的性质、角度和差倍积的关系以及运动的思想，解题的关键是利用已知的结论和使用动态的思想求解． 24. 在平面直角坐标系中，，若x，y满足， （1）写出点A，B的坐标； （2）过y轴上点作直线l交直线于点P，若，求点P的坐标； （3）过y轴上点作直线，点为直线t上一动点，已知点，若，求出m的取值范围． 【答案】（1）A的坐标为，点B的标为 （2）点P坐标为 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的面积问题、平面直角坐标点的坐标特征，熟练掌握以上知识和分类讨论是解题关键． （1）利用二次根式和绝对值的非负性即可求出x、y，进而求得A、B坐标； （2）先求出面积，再得出面积，的底是，高是点P的横坐标的长度，进而利用面积公式求出或1，进而求解 （3）根据t经过的一二三象限分类讨论即可，根据范围列出不等式求解． 【小问1详解】 解： ， 点A的坐标为，点B的标为 【小问2详解】 解：如图，过点P作轴于点E，过点P作轴于点F， 由 ， 则或 ， ． ， 如图，过点P作轴于点轴于点， 同理可得 ， 综上所述，点P得到坐标为． 【小问3详解】 解：或． 如图（2），由直线，且过点C， 可得直线t的方程：， 又在直线t上， ①当在第一象限，，得， ， 又 ， 无解． ②当在第二象限，， 得， ， 又 ， ． ③当在第三象限，得， 同理可得； 又； ． 综上所述：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$