精品解析：广东省江门市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度第二学期义务教育质量监测 八年级数学 注意事项： 1．全卷共6页，满分120分，测试用时为120分钟． 2．答卷前，在答题卡上用黑色字迹的签字笔或钢笔填写学校、姓名、准考证号、座位号、考场号． 3．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．务必保持答题卡的整洁．测试结束时，将测试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. 若二次根式有意义，则x的值不可以是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2. 下列几组线段中，能组成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 4，5，6 C. D. 1，，2 3. 如图，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的面积为（ ） A. 5 B. 25 C. 27 D. 4. 在中，如果，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 若将直线向下平移3个单位长度后得到直线 ，则下列关于直线 说法正确的是（ ） A. 经过第一、二、四象限 B. 与轴交于 C. 与轴交于 D. 随的增大而增大 6. 已知一组数据：1，3，5，x，6，这组数据的平均数是4，则众数是 （ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 7. 已知，下列结论正确的是（ ） A. 是负数 B. 与互为倒数 C. 是有理数 D. 是8的立方根 8. 如图，四边形是正方形，延长到点E，使，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与（为常数，）的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 10. 2024年6月2日6时23分，嫦娥六号着陆器和上升器组合体在鹊桥二号中继星的支持下，成功着陆在月球背面南极—艾特肯盆地预选着陆区．组合体元件中有个展板的平面图如图所示，在正方形中，分别是上的点，相交于点是的中点，若，，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案写在答题卡相应的位置上． 11. 计算的结果为_____________． 12. 某气象局统计了A、B两座城市某周的每日最高气温的平均值都是23℃，方差分别为，，则两座城市这周每日最高气温更为稳定的是________城市．（填“A”或“B”） 13. 若一次函数（b为常数）的图象不经过第一象限，则b的值可以是______（写出一个即可）． 14. 小明在解方程时采用了下面的方法： 由，又有，可得，将这两式相加可得，将两边平方可解得，经检验是原方程的解，请你学习小明的方法，解方程，则___________． 15. 如图，四边形是矩形，E是边上一动点，将沿直线折叠，点A落在点处，连接并延长，交边于点F，，的面积是，则的长为________． 三、解答题（一）（本大题共3个小题，每小题8分，共24分） 16. [核心素养]【实践与探究】 （1）计算： ， ， ， ， ； 【归纳与应用】 （2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与有怎样的关系，请用数学式子表示出来； （3）利用你得到的规律，计算： ①若，则 ； ② ． 17. 在解决问题“已知求的值”时，小明是这样分析与解答的： ， ． ． ． ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）化简：； （2）若，求的值． 18. 已知一次函数的图象经过点和． （1）求这个函数的解析式； （2）若在直线上，求的值． 四、解答题（二）（本大题共3个小题，每小题9分，共27分） 19. 期末考试后，某市第一中学为了解本校九年级学生期末考试数学学科成绩的情况，决定对该年级学生数学学科期末考试成绩进行抽样分析．已知九年级共有个班，每班名学生，请按要求回答下列问题． 表 成绩/分 频数 频率 类（） ________ 类（） ________ 类（） ________ 类（） ________ 表 学校 平均分分 极差分 方差 ，类的频率和 第一中学 第二中学 （注：极差是指一组测量值中最大值与最小值之差，即极差最大值最小值） 【收集数据】 （1）若要从全年级学生中抽取一个人的样本，你认为以下抽样方法中比较合理的有________．（填写序号即可） 随机抽取一个班级的名学生；在全年级学生中随机抽取名学生；在全年级个班中分别各抽取名学生；从全年级学生中随机抽取名男生． 【整理数据】 （2）将抽取的名学生的成绩进行分组，绘制成绩分布扇形统计图和频数分布表（如表）（不完整）．请根据图表中的数据，把频数分布表补充完整，并估计全年级，类学生一共有多少名． （3）该校为了解其他学校的教学情况，将同层次的第一中学和第二中学的抽样数据进行对比，如表，你认为哪所学校的教学效果较好？结合数据，请给出一个理由来支持你的观点． 20. 科学家实验发现，声音在空气中的传播速度随温度的变化而变化，且满足某种函数关系．某兴趣小组为探究空气的温度与声音在空气中的传播速度（米秒）之间的关系，在标准实验室里进行了多次实验．下表为实验时记录的一些数据． 温度 … … 声音在空气中的传播速度（米秒） … … （1）如图，在给出的平面直角坐标系中，描出上面数据所对应的点． （2）根据描点发现，这些点大致位于同一个函数的图象上，则这个函数的类型最有可能是________（填“一次函数”或“正比例函数”），并求出该函数的解析式． （3）某地冬季的室外温度是，小明同学看到烟花秒后才听到声响，利用第（）问的函数，求小明与燃放烟花地的距离．（光的传播时间忽略不计） 21. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因为证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． （1）应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点． 如图1，在数轴上分别找出表示数0的点O，表示数3的点A，过点A作直线，在l上取点B，使，以点O为圆心，的长为半径作弧，则弧与数轴的交点C表示的数是______． （2）应用场景2——解决实际问题． 如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉直，求秋千绳索的长． 五．解答题（三）（本大题共2个小题，每小题12分，共24分） 22. 【教材呈现】如图，这是人教版八年级下册第48页的部分内容． 如图，分别是的边与的中点．根据画出的图形，可以猜想：且．对此，我们可以用演绎推理给出证明． （1）【结论应用】 如图1，在四边形中，，P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点．请判断的形状，并说明理由． （2）【应用拓展】 如图2，在四边形中，，M是的中点，N是的中点，连接，延长交于点E．若，求的度数． 23. （1）已知两条对角线，利用尺规作一个菱形．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）如图，在中，为对角线，过点D作的平行线与的延长线交于点E． ①求证：． ②若，求证：四边形是菱形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度第二学期义务教育质量监测 八年级数学 注意事项： 1．全卷共6页，满分120分，测试用时为120分钟． 2．答卷前，在答题卡上用黑色字迹的签字笔或钢笔填写学校、姓名、准考证号、座位号、考场号． 3．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．务必保持答题卡的整洁．测试结束时，将测试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. 若二次根式有意义，则x的值不可以是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据被开方数为非负数，求出的取值范围即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴的值不可以是； 故选D． 2. 下列几组线段中，能组成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 4，5，6 C. D. 1，，2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，不能组成三角形； B、，不能组成直角三角形； C、，不能组成直角三角形； D、，能组成直角三角形； 故选D． 3. 如图，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的面积为（ ） A. 5 B. 25 C. 27 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母A所代表的正方形的面积． 【详解】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方，另一条直角边的平方为，由勾股定理可知：斜边的平方，即A所代表的正方形的面积为． 故选B． 4. 在中，如果，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，掌握“平行四边形对角相等”是解答本题的关键． 【详解】解：∵中， ∴． 故选：C． 5. 若将直线向下平移3个单位长度后得到直线 ，则下列关于直线 说法正确的是（ ） A. 经过第一、二、四象限 B. 与轴交于 C. 与轴交于 D. 随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的平移，一次函数的图象与性质．将直线向下平移3个单位长度后得到直线，对于直线经过一、三、四象限，与轴交于，与轴交于，随的增大而增大，逐项判断即可． 【详解】解：将直线向下平移3个单位长度后得到直线 A.直线经过一、三、四象限，此项不符合题意； B.直线与轴交于，此项不符合题意； C.直线与轴交于，此项不符合题意； D.直线中，故随的增大而增大，此项符合题意． 故选：D． 6. 已知一组数据：1，3，5，x，6，这组数据的平均数是4，则众数是 （ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求众数，先根据平均数求出的值，再根据一组数据中出现次数最多的数据为众数，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：，解得， ∴这组数据为1，3，5，5，6，其中数据5出现次数最多， ∴众数为5； 故选B． 7. 已知，下列结论正确的是（ ） A. 是负数 B. 与互为倒数 C. 是有理数 D. 是8的立方根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了负数、无理数、立方根、倒数的概念，充分理解这些概念是解答本题的基础．通过实数的运算以及负数、立方根、倒数、无理数的定义逐项判断． 【详解】解：A．的平方是5，2的平方是4，4比5小，因此，为正数，A项错误； B．， ， ，故与互为倒数，B项正确； C．将平方得是无理数，C项错误； D．8的立方根是2，题中，不是8的立方根，D项错误； 故选：B． 8. 如图，四边形是正方形，延长到点E，使，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据四边形是正方形，得到，根据得到，选择即可． 本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握正方形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 故选C． 9. 数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与（为常数，）的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】一次函数的交点结合图形得出不等式的解集，即可得解． 【详解】解：一次函数与（为常数，）的图象相交于点， 不等式的解集为， 在数轴上表示为 10. 2024年6月2日6时23分，嫦娥六号着陆器和上升器组合体在鹊桥二号中继星的支持下，成功着陆在月球背面南极—艾特肯盆地预选着陆区．组合体元件中有个展板的平面图如图所示，在正方形中，分别是上的点，相交于点是的中点，若，，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出正方形ABCD的边长，再根据勾股定理求出，然后说明，即可得出，最后根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半得出答案. 【详解】∵，， ∴正方形ABCD的边长为3． 在中，由勾股定理，得． ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵N是DF的中点，即MN为的斜边DF上的中线， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，勾股定理等，勾股定理是求线段长的常用方法，要熟练掌握． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案写在答题卡相应的位置上． 11. 计算的结果为_____________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法公式计算即可． 本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】， 故答案为：10． 12. 某气象局统计了A、B两座城市某周的每日最高气温的平均值都是23℃，方差分别为，，则两座城市这周每日最高气温更为稳定的是________城市．（填“A”或“B”） 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差较小的气温更为稳定求解即可． 【详解】解：∵，即A城市这周每日最高气温的方差小于B城市这周每日最高气温的方差， ∴两座城市这周每日最高气温更为稳定的是A城市． 故答案为：A． 13. 若一次函数（b为常数）的图象不经过第一象限，则b的值可以是______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键． 根据一次函数的图象可知即可． 【详解】解：∵一次函数（b为常数）的图象不经过第一象限， ∴， 可取， 故答案为：（答案不唯一，满足即可）． 14. 小明在解方程时采用了下面的方法： 由，又有，可得，将这两式相加可得，将两边平方可解得，经检验是原方程的解，请你学习小明的方法，解方程，则___________． 【答案】39 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式在解方程中的应用，解答此题的关键是在解决实际问题的过程中能熟练应用有关二次根式的概念、性质和运算的方法．参照题中给出的解题方法，按步骤进行解题即可． 【详解】解：∵ ， 而， ∴， 两式相减得，即， 两边平方得到， ∴，经检验是原方程的解， 故答案为：． 15. 如图，四边形是矩形，E是边上一动点，将沿直线折叠，点A落在点处，连接并延长，交边于点F，，的面积是，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、三角形面积公式，由矩形的性质结合轴对称的性质得出，推出，得到，由轴对称的性质，得，，．设，则，求出，再由三角形面积公式计算即可得出答案，灵活利用矩形的性质、轴对称的性质和直角三角形的性质解决问题是解此题的关键． 【详解】解：如图， ， ∵四边形是矩形， ∴． ∴． 由轴对称的性质，得， ∴． ∴． ∴， 由轴对称的性质，得，，． 设，则． ∵， ∴． 由勾股定理，得． ∵的面积是， ∴，即， 解得负值舍去． ∴． 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3个小题，每小题8分，共24分） 16. [核心素养]【实践与探究】 （1）计算： ， ， ， ， ； 【归纳与应用】 （2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与有怎样的关系，请用数学式子表示出来； （3）利用你得到的规律，计算： ①若，则 ； ② ． 【答案】（1）3，0.5，0，6，；（2）；（3）①；② 【解析】 【分析】本题属于规律探究题，主要考查了算术平方根的定义、绝对值化简等知识，运用发现的规律是解决第（3）小问的关键． （1）根据算术平方根定义进行计算即可； （2）从（1）中可以得到规律：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值； （3）①②利用（2）中总结的规律化简即可． 【详解】解：（1）计算：，，，，． （2）观察（1）中的等式，可以发现，． （3）①． ， ， ． ②． ， ． 17. 在解决问题“已知求的值”时，小明是这样分析与解答的： ， ． ． ． ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）化简：； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分子、分母都乘以，化简得结果； （2）表示数的分子、分母都乘以，化简后代入代数式里，计算得结果． 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 ． ． 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，掌握分母有理化和二次根式的运算法则是解决本题的关键． 18. 已知一次函数的图象经过点和． （1）求这个函数的解析式； （2）若在直线上，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质； （1）利用待定系数法求得即可； （2）将代入（1）中解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：一次函数的图象经过点和 ∴ 解得： ∴ 【小问2详解】 ∵在直线上， ∴ 解得： 四、解答题（二）（本大题共3个小题，每小题9分，共27分） 19. 期末考试后，某市第一中学为了解本校九年级学生期末考试数学学科成绩的情况，决定对该年级学生数学学科期末考试成绩进行抽样分析．已知九年级共有个班，每班名学生，请按要求回答下列问题． 表 成绩/分 频数 频率 类（） ________ 类（） ________ 类（） ________ 类（） ________ 表 学校 平均分分 极差分 方差 ，类的频率和 第一中学 第二中学 （注：极差是指一组测量值中最大值与最小值之差，即极差最大值最小值） 【收集数据】 （1）若要从全年级学生中抽取一个人的样本，你认为以下抽样方法中比较合理的有________．（填写序号即可） 随机抽取一个班级的名学生；在全年级学生中随机抽取名学生；在全年级个班中分别各抽取名学生；从全年级学生中随机抽取名男生． 【整理数据】 （2）将抽取的名学生的成绩进行分组，绘制成绩分布扇形统计图和频数分布表（如表）（不完整）．请根据图表中的数据，把频数分布表补充完整，并估计全年级，类学生一共有多少名． （3）该校为了解其他学校的教学情况，将同层次的第一中学和第二中学的抽样数据进行对比，如表，你认为哪所学校的教学效果较好？结合数据，请给出一个理由来支持你的观点． 【答案】（）； （），，，，； （）可以从如下两个方面说明： 方面一：第一中学成绩较好，其极差、方差均小于第二中学，说明第一中学学生两极分化较小，学生之间的差距较第二中学小； 方面二：第二中学成绩较好，其，类的频率和大于第一中学，说明第二中学学生及格率较第一中学好． 【解析】 【分析】（）根据抽取得学生必须有代表性，能反映全年级学生的情况，可以采取随机抽样或随机分层抽样，据此即可得出正确答案； （）根据频数分布表中类的频率求出频数，类的频数求出频数，利用总人数频率即可求解； （）根据方差，极差，平均分的意义即可作出解释； 本题考查了频率直方图，样本估计总体，扇形统计图，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：（）根据抽取得学生必须有代表性，能反映全年级学生的情况，可以采取随机抽样或随机分层抽样，则比较合理， 故答案为：； （）类的频数为：（人），类的频数为：（人）， 类的频数为：，的频数为：， ∵，类所占的比为， ∴，类所占的人数为； 故答案为：，，，； （）略 20. 科学家实验发现，声音在空气中的传播速度随温度的变化而变化，且满足某种函数关系．某兴趣小组为探究空气的温度与声音在空气中的传播速度（米秒）之间的关系，在标准实验室里进行了多次实验．下表为实验时记录的一些数据． 温度 … … 声音在空气中的传播速度（米秒） … … （1）如图，在给出的平面直角坐标系中，描出上面数据所对应的点． （2）根据描点发现，这些点大致位于同一个函数的图象上，则这个函数的类型最有可能是________（填“一次函数”或“正比例函数”），并求出该函数的解析式． （3）某地冬季的室外温度是，小明同学看到烟花秒后才听到声响，利用第（）问的函数，求小明与燃放烟花地的距离．（光的传播时间忽略不计） 【答案】（1） 描点如图所示， （2）一次函数，； （3）米． 【解析】 【分析】（）根据表格所给数据描点即可得出答案； （）由图象即可得出这个函数的类型最有可能是一次函数，再利用待定系数法求解即可； （）先由当时，求出速度，再由距离速度时间，计算即可得出答案； 本题考查了一次函数的应用，正确理解题意、读懂表格数据，用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据图象得这个函数可能是一次函数， 设这个函数的解析式为， 将点，代入，得， 解得， ∴这个函数的解析式为； 【小问3详解】 在中，当时，， ∵小明同学看到烟花秒后才听到声响， ∴小明与燃放烟花地的距离为（米）． 21. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因为证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． （1）应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点． 如图1，在数轴上分别找出表示数0的点O，表示数3的点A，过点A作直线，在l上取点B，使，以点O为圆心，的长为半径作弧，则弧与数轴的交点C表示的数是______． （2）应用场景2——解决实际问题． 如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉直，求秋千绳索的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． （1）先根据勾股定理计算出的长度，再根据C点在原点的左侧来确定点C表示的数； （2）设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，解方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：在中，，， 又∵O为圆心，点C表示的数大于零， ∴点C表示的数是． 故答案为：； 【小问2详解】 解：设秋千绳索的长度为， 由题意可得， 由题意知，四边形为矩形， ∴ 在中，， 即， 解得， 即的长度为， 答：绳索的长度为 五．解答题（三）（本大题共2个小题，每小题12分，共24分） 22. 【教材呈现】如图，这是人教版八年级下册第48页的部分内容． 如图，分别是的边与的中点．根据画出的图形，可以猜想：且．对此，我们可以用演绎推理给出证明． （1）【结论应用】 如图1，在四边形中，，P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点．请判断的形状，并说明理由． （2）【应用拓展】 如图2，在四边形中，，M是的中点，N是的中点，连接，延长交于点E．若，求的度数． 【答案】（1） 解：是等腰三角形． 理由：∵P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点， ∴，． ∵， ∴， ∴是等腰三角形． （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线定理可得，，结合可得； （2）连接，取的中点P，连接．由三角形中位线定理可得，，，由平行线的性质可得，，再利用三角形内角和定理、四边形内角和定理计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，取的中点P，连接． ∵M是的中点，N是的中点，， ∴，，， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴，． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，四边形和三角形的内角和定理，平行线的性质等，正确作出辅助线，熟练运用三角形中位线定理是解题的关键． 23. （1）已知两条对角线，利用尺规作一个菱形．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）如图，在中，为对角线，过点D作的平行线与的延长线交于点E． ①求证：． ②若，求证：四边形是菱形． 【答案】 解：（1）如图，菱形即为所求． （2）①证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ②证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作菱形，菱形的判定，三角形全等的判定和性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法． （1）先作一条线段，然后作线段的垂直平分线，交于点O，作线段的垂直平分线，在的垂直平分线上截取，连接、、、即可； （2）①根据证明即可； ②先证明为平行四边形，再证明四边形为菱形即可． 【详解】（1）略 （2）①略 ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $