精品解析：湖北省五市州2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题

2024年湖北省五市州高二期末联考 数学试卷 2024.7 本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟． 祝考试顺利 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，当时，该质点的瞬时速度为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导函数，再令计算可得. 【详解】因为，所以，所以， 所以当时，该质点的瞬时速度为. 故选：A 2. 下列等式不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由组合数性质判断A；由阶乘的运算判断B；由排列数以及组合数公式计算CD. 【详解】由组合数性质可得，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确； 故选：B 3. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，正确的结论为（ ）（附：，，） A. 变量与不独立 B. 变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过 C. 变量与独立 D. 变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过 【答案】C 【解析】 【分析】根据独立性检验的基本思想判断即可. 【详解】因为， 所以依据的独立性检验，可以认为变量与独立. 故选：C 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由函数定义域和奇偶性排除AB； 【详解】由题可得函数定义域为，， 所以函数为奇函数，故排除AB； 时，，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 又当时，故排除C. 故选：D 5. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学参加100米比赛，决出第1名到第5名的名次．比赛结束后甲说：“我不是第1名”，乙说：“我不是第5名”．根据以上信息，这5人的名次排列情况种数为（ ） A. 72 B. 78 C. 96 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】讨论甲是否在第5名，根据排列组合公式计算即可. 【详解】当甲是第5名时，共有种； 当甲不是第5名时，共有种； 综上，共有78种. 故选：B 6. 随着我国铁路的发展，列车的正点率有了显著的提高．据统计，途经某车站的只有和谐号和复兴号列车，且和谐号列车的列次为复兴号列车的列次的3倍，和谐号列车的正点率为0.98，复兴号列车的正点率为0.99，则一列车能正点到达该车站的概率为（ ） A. 0.9825 B. 0.9833 C. 0.9867 D. 0.9875 【答案】A 【解析】 【分析】利用全概率公式可得答案. 【详解】依题意，设到达该车站列车为和谐号列车的概率为，为复兴号列车的概率为， 则一列车能正点到达该车站的概率为. 故选：A. 7. 设随机变量，随机变量．则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态曲线的性质一一判断即可. 【详解】因为，则，，，则，， 对于A：，， 所以，故A错误； 对于B：， ， 所以，故B错误； 对于C：，， 所以，故C正确； 对于D：因为，所以随机变量所对应的正态曲线更瘦高，数据更集中， 所以，故D错误. 故选：C 8. 已知定义在上的函数的导函数为，对于任意的实数都有，且时，．若，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，由奇偶性定义判断为偶函数，再由导数结合得出其单调性，最后由单调性以及奇偶性比较大小即可. 【详解】解：令， 对于任意的实数都有，即为偶函数； ； 当时，， 当时，为增函数； 又， ，即. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在成对数据的统计分析中，下列说法正确的是（ ） A. 经验回归直线过点 B. 残差平方和越小，回归模型的拟合效果越好 C. 若样本相关系数越大，则成对样本数据的线性相关程度越强 D. 在回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加2个单位 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据相关系数、残差平方和及经验回归方程的知识逐项判断即可. 【详解】对于A：由经验回归直线过样本点中心，故A正确； 对于B：残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故B正确； 对于C：若样本相关系数的绝对值越接近于1，则样本数据的线性相关程度越强，故C错误； 对于D：在回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加2个单位，故D正确； 故选：ABD 10. 设函数，则（ ） A. 当时，有两个极值点 B. 当时， C. 当时，在上单调递增 D. 当时，恒成立 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数确定函数的单调性、最值及极值点判断ABC；构造函数，利用导数判断D. 【详解】， 当时，时，，递减，时，，递增， 极小值，只有一个极值点，A错误，B正确； 当时，或时，，时，， 在和上递增，在上递减，C正确； 令， 当时，时，，时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 则； 因为，所以，即， 所以当时，恒成立，故D正确； 故选：BCD． 11. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝，最早出现在南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》中．“杨辉三角”中三角形数的排列规律如图所示，它的第行的各项从左往右依次是二项式展开式中各项的二项式系数．下列结论正确的是（ ） A. B. 第2024行中从左往右第1013个数是该行中所有数字中最大的 C. 记第行的第个数为，则 D. 记第2行第3个数字为，第3行第3个数字为，…，第行的第3个数字为，则 【答案】BD 【解析】 【分析】由的性质判断A；根据二项式系数的特点判断B；将求和式化为二项式即可判断C；由结合裂项相消法判断D. 【详解】解：由可得 ，故A错误； 第2024行是偶数，中间一项最大，即，也就是第2024行中第1013个数，故B正确； 第行的第个数为， 所以，故错误； 由题意知 ，故D正确. 故选：BD 【点睛】关键点点睛：本题A选项的解决关键是，利用组合数的性质进行添项减项即可得解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若随机变量，则___________. 【答案】6.4 【解析】 【分析】根据二项分布的方差公式和方差的性质可得结果. 【详解】由，则 所以 故答案为：6.4 13. 已知曲线在点处的切线与二次函数的图象只有一个公共点，则实数的值为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切线方程，再联立切线与二次函数解析式，消元，由计算可得. 【详解】因为，则，则， 所以曲线在点处的切线为，即， 由，则， 则，解得或. 故答案为：或 14. 甲、乙、丙三人玩“剪刀、石头、布”的游戏．游戏规则为：剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀．每一局游戏甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、布”中的一种手势，且相互独立．在一局游戏中某人赢1个人得1分，赢2个人得3分，其他情况得0分．设一局游戏后3人总得分为，则随机变量的数学期望的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用排列组合知识计算为0，2，3时，对应的概率，进而由分布列的胡期望. 【详解】可取0，2，3. 0 2 3 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的展开式中各二项式系数的和为64． （1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中各项系数的和； （3）若把展开式中所有的项重新排成一列，求有理项互不相邻的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意利用二项式系数的性质，求出； （2）用赋值法求出各项系数的和； （3）利用二项式展开式的通项公式确定有理项的项数，根据插空法排列有理项，再根据古典概型的概率公式即可求得答案. 【小问1详解】 二项式系数之和为，解得. ，令解得， 则常数项为. 【小问2详解】 令 则展开式中各项系数的和为. 【小问3详解】 由（1）可知， 令，则即展开式中有理项有4项， 把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻，即把其它的3个无理项先任意排，再把这4个有理项插入其中的4个空中，方法共有种， 设事件“有理项互不相邻”，. 16. 已知函数在处有极小值4． （1）求的解析式； （2）求在上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，解得、的值，再代入检验即可； （2）由（1）可得函数在上的单调性，求出函数极值与区间端点函数值，从而求出函数在闭区间上的值域. 【小问1详解】 函数， 则， 由题意得，解得， 当时，，令，解得. 则当单调递增； 单调递减；，单调递增， 所以是极小值点，符合题意，故. 【小问2详解】 由（1）知， 则当单调递增；当，单调递减； 当单调递增， 当时，函数取得极小值， 当时，函数取得极大值，而，， 故在上的值域为. 17. 某乡村企业希望通过技术革新增加产品收益，根据市场调研，技术革新投入经费（单位：万元）和增加收益（单位：万元）的数据如下表： 4 6 8 10 12 27 42 55 56 60 为了进一步了解技术革新投入经费对增加收益的影响，通过对表中数据进行分析，分别提出了两个回归模型：①，②． （1）根据以上数据，计算模型①中与的相关系数（结果精确到0.01）； （2）若，则选择模型①；否则选择模型②．根据（1）的结果，试建立增加收益关于技术革新投入经费的回归模型，并预测时的值（结果精确到0.01）． 附：i）回归直线的斜率、截距的最小二乘估计以及相关系数分别为：，， ii）参考数据：设，，，，，． 【答案】（1） （2），约为万元 【解析】 【分析】（1）根据所给数据求出，，，，，即可求出相关系数； （2）根据（1）的结论，可判断选择模型②，令，求出关于的线性回归方程，即可求出关于的经验方程，再代入计算可得. 【小问1详解】 因为， ， 所以， ， ， 模型①中，相关系数， 【小问2详解】 因为，所以选择模型②， 令，先建立关于的线性回归方程， 由于， ， 所以关于的线性回归方程为， 即， 当时，（万元）， 所以若投入经费万元，收益约为万元. 18. 在统计学的实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数（即下四分位数）与第75百分位数（即上四分位数）．四分位数常应用于绘制统计学中的箱型图，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数，箱型图中“箱体”的下底边对应的数据为下四分位数，上底边对应的数据为上四分位数，中间的线对应的数据为中位数，如图1所示．已知，两个班级的人数相同，在一次测试中两个班级的成绩箱型图如图2所示． （1）估计 ，两个班级平均分较高的是哪个班级？（直接给出结论即可，不必说明理由） （2）据统计，两个班级中高于140分的共8人，其中班3人，班5人，从中抽取3人作学习经验分享，设这3人中来自班的人数为，求的分布列和数学期望． （3）在两个班级中随机抽取一名学生，若该生的分数大于120分，求该生来自班和班的概率分别是多少？ 【答案】（1）班 （2）分布列见解析， （3）来自班的概率为，来自班的概率为 【解析】 【分析】（1）根据两个班级的成绩箱型图分析可得； （2）依题意的可能取值为，，，，根据超几何分布的概率公式求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望； （3）利用全概率公式及条件概率公式计算可得. 【小问1详解】 由两个班级的成绩箱型图可知， 班的上四分位数与班的中位数一致均为， 且班的下四分位数大于班的下四分位数，班的最小值也大于班的最小值， 所以班的平均分一定大于班的平均分； 【小问2详解】 依题意的可能取值为，，，， 所以，， ，. 所以的分布列如下所示： 0 1 2 3 所以. 【小问3详解】 设事件“该同学来自班”，事件“该同学的分数高于分”， 所以， 所以 ， 所以， ， 所以该同学来自班的概率为，来自班的概率为. 19. 已知，函数，． （1）证明：方程有两个解； （2）设（1）中方程的两个解为，直线与曲线交于点，直线与曲线交于点，证明：存在唯一的实数，使得曲线上的点与A，B两点构成等腰直角三角形． 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）构造函数，利用导数得出其单调性，进而由最值、零点存在性定理证明方程有两个解； （2）由等腰直角三角形的条件得出方程在仅有一解，构造函数，对其二次求导得出其单调性，结合零点存在性定理证明即可. 【小问1详解】 ，设，则 令，得，所以在单调递减，在单调递增， 所以， 又，且，所以存在使得. 又当时，，则，所以， 所以， 所以，且，所以存在使得. 所以有两个零点，故有两个解. 【小问2详解】 设， 若与构成等腰直角三角形，则， 即证明关于的方程在仅有一解. 由得， ， 令， 则在单调递增，. 又，所以在单调递减，在单调递增， 又， 因为，所以由（1）知 而，又， 所以 所以存在，使得， 所以在单调递增，在单调递减，在单调递增， 因为，同理，又， 所以， 所以在仅有一解，原命题得证. 【点睛】关键点点睛：在本题第二问中，关键是通过二次求导得出函数的单调性，进而由零点存在性定理证明仅有一个解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年湖北省五市州高二期末联考 数学试卷 2024.7 本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟． 祝考试顺利 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，当时，该质点的瞬时速度为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2. 下列等式不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，正确的结论为（ ）（附：，，） A. 变量与不独立 B. 变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过 C. 变量与独立 D. 变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学参加100米比赛，决出第1名到第5名的名次．比赛结束后甲说：“我不是第1名”，乙说：“我不是第5名”．根据以上信息，这5人的名次排列情况种数为（ ） A. 72 B. 78 C. 96 D. 120 6. 随着我国铁路的发展，列车的正点率有了显著的提高．据统计，途经某车站的只有和谐号和复兴号列车，且和谐号列车的列次为复兴号列车的列次的3倍，和谐号列车的正点率为0.98，复兴号列车的正点率为0.99，则一列车能正点到达该车站的概率为（ ） A. 0.9825 B. 0.9833 C. 0.9867 D. 0.9875 7. 设随机变量，随机变量．则（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数的导函数为，对于任意的实数都有，且时，．若，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在成对数据的统计分析中，下列说法正确的是（ ） A. 经验回归直线过点 B. 残差平方和越小，回归模型的拟合效果越好 C. 若样本相关系数越大，则成对样本数据的线性相关程度越强 D. 在回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加2个单位 10. 设函数，则（ ） A. 当时，有两个极值点 B. 当时， C. 当时，在上单调递增 D. 当时，恒成立 11. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝，最早出现在南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》中．“杨辉三角”中三角形数的排列规律如图所示，它的第行的各项从左往右依次是二项式展开式中各项的二项式系数．下列结论正确的是（ ） A. B. 第2024行中从左往右第1013个数是该行中所有数字中最大的 C. 记第行的第个数为，则 D. 记第2行第3个数字为，第3行第3个数字为，…，第行的第3个数字为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若随机变量，则___________. 13. 已知曲线在点处的切线与二次函数的图象只有一个公共点，则实数的值为__________． 14. 甲、乙、丙三人玩“剪刀、石头、布”的游戏．游戏规则为：剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀．每一局游戏甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、布”中的一种手势，且相互独立．在一局游戏中某人赢1个人得1分，赢2个人得3分，其他情况得0分．设一局游戏后3人总得分为，则随机变量的数学期望的值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的展开式中各二项式系数的和为64． （1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中各项系数的和； （3）若把展开式中所有的项重新排成一列，求有理项互不相邻的概率． 16. 已知函数在处有极小值4． （1）求的解析式； （2）求在上的值域． 17. 某乡村企业希望通过技术革新增加产品收益，根据市场调研，技术革新投入经费（单位：万元）和增加收益（单位：万元）的数据如下表： 4 6 8 10 12 27 42 55 56 60 为了进一步了解技术革新投入经费对增加收益的影响，通过对表中数据进行分析，分别提出了两个回归模型：①，②． （1）根据以上数据，计算模型①中与的相关系数（结果精确到0.01）； （2）若，则选择模型①；否则选择模型②．根据（1）的结果，试建立增加收益关于技术革新投入经费的回归模型，并预测时的值（结果精确到0.01）． 附：i）回归直线的斜率、截距的最小二乘估计以及相关系数分别为：，， ii）参考数据：设，，，，，． 18. 在统计学的实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数（即下四分位数）与第75百分位数（即上四分位数）．四分位数常应用于绘制统计学中的箱型图，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数，箱型图中“箱体”的下底边对应的数据为下四分位数，上底边对应的数据为上四分位数，中间的线对应的数据为中位数，如图1所示．已知，两个班级的人数相同，在一次测试中两个班级的成绩箱型图如图2所示． （1）估计 ，两个班级平均分较高的是哪个班级？（直接给出结论即可，不必说明理由） （2）据统计，两个班级中高于140分的共8人，其中班3人，班5人，从中抽取3人作学习经验分享，设这3人中来自班的人数为，求的分布列和数学期望． （3）在两个班级中随机抽取一名学生，若该生的分数大于120分，求该生来自班和班的概率分别是多少？ 19. 已知，函数，． （1）证明：方程有两个解； （2）设（1）中方程的两个解为，直线与曲线交于点，直线与曲线交于点，证明：存在唯一的实数，使得曲线上的点与A，B两点构成等腰直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $