4.2.3三角函数的叠加及其应用课件-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

4.2.3三角函数的叠加及其应用 温故知新： (1)正余弦和差角公式 sin(a+β)=sin acosβ+cosasinβ sin(a-β)=sin acos β-cos asin β cos(α+β)=cosacosβ-sin asin β cos(a-β)=cosacos β+sin asin β tan a+tan β 1-tan a tan β tan a—tan β 1+tan a tan β tan(a+β)= tan(a-β)= (2)正切的和差角公式 化简： (1)sin72cos42°-os72°sin42°;(2)¹cosx+sinx. 解(1)由公式Sa-β,得 sin72°cos42°—os72°sin42°=sin(72°-42)= 化简： (1)sin72°cos42°—os72°sin42°; (2)可以将,分别看成sin营和 由公式Sa+p得cosx+sinx=sincosx+ ■ ● sin(a+β)=sinacosβ+sin βcos a sin(α-β)=sinacosβ-sinβ cos a 计 算 ： 温故而知新 探求新知 以下式子能否化成一个角的三角函数形式吗? (4)√3 sin x-cosx=? 探求新知 思考： 一般地， asinx+bcosx是 否能化成一个 三角函数形式? X → 一 提 =√a²+b²(cospsinx+sinφcosx) 一 二写 =√a²+b²sin(x+φ) (其中， 三配 在平面直角坐标系中，以a 为横坐标，b为纵坐标描一 点P(a,b) 如图所示，则总有一个角 ,安的终边经 过 点P, 设 OP= √a²+ 由三角函数的定义知 追根溯源 (此部分学生小组讨论，教师总结归纳) 的终边 P(a,b) 所以 y =√a²+b²(sinxcosφ+cos xsinφ) 化 asin x +bcos x为 一个角的三角函数形式 辅助角公式 asinx+bcosx=√a²+b²sin(x+φ) 其 中c ,sinφ= b² (其中tan φ=b 说明： 利用辅助角公式可以将形如 y=asina+bcosa 的 函数，转化为一个角的一种三角函数形式。便于后面 求三角函数的最小正周期、最大(小)值、单调区间 等。 例1 求f(x)=sinx+√3 cosx的最大值和周期. 解f(x)=sinx+√3 cos x 故当 )时，也即是 时， 取最大值1, 函数f(x)max=2.周期 【变式练习】 把下列各式化为一个角的三角函数形式 (2)sina+COsa 解 ： 例2 已知三个电流瞬时值的函数解析式分别是 I₁=√2sinwt,I₂=2sin(wt- 匹 ) ,I₃= 4 ,w 为 常 数 ，t为线圈旋转的时 间.求它们合成后的电流瞬时值的函数解析 式，并求出这个函数的振幅. =√34(sin otcos θ+cos otsin 0)=√34 sin(ot+0), 其中 .所以I=√34 sin(wt+θ),且它的振幅是 √34. 解将三个电流瞬时值的函数解析式化成f(x)=Asin(wx+φ) 的形式. 由两角和与差的正弦公式有 由此可知，几个操幅和初相不同但频率相同 的正弦波之和，总是等于另一个具有相同频 率的正弦波，同时可求得这个正弦波的振幅 和初相。 课堂练习 1:将以下格式化成Asin(wx+φ),(w>0) 答案： (1) —sinx—cosx (2)√6 sinx+√2 cos x (3) 求m的取值范围. m≤1- √2 or m≥1+√2 2、 ∵0<A<π, 2 ∴ ,即 ● 3:已知A 、B 、C是△ABC三内角，向量 ①求角A;② 若 cos²s-nsin²B=-3,求tanC. 解：(1)∵m·n=1, ∴ (-1,√3)·(cos 即 √3 sin A-cos m=(-1,√3),n=(cosA,sinA),m·n=1. A,sinA)=1, A=1, 2 ② 由 得 , 即 2 ∵cos B≠0, 2 ∴tan B=2, ∴tanC=tan[π 一(A+B)]=—tan(A+B) [借题发挥]在三角函数式的化简求值问题中要注意角的变化 函数名的变化，合理选择公式进行变形，同时注意三角变换 技巧的运用.(给角求值，给值求值，给值求角) 一次数学的探究之旅 三角函数应用 推导出 辅助角公式 小结提升 声波的合成 数学化 三角函数的叠加 形 特殊 信息技术 数学思考 数 一般 $$