4.2.1两角和与差的余弦公式及其应用课件-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

2.1两角和与差的余弦公式及其应用 —1— 解析 cos(-15°)=cos(30°-45°) =cos 30°·cos 45°+sin 30°·sin 45° 答案B 微 练 习 1 cos(-15°)=( ) 课前篇自主预习 激趣诱思 知识点拨 微练习2 求值：cos 79°cos 19°+sin 79°sin 19°= 课前篇自主预习 激趣诱思 知识点拨 答案 名称 公 式 简记符号 条件 两 角 和 的 余 弦 cos(a+β)=cos acos β-sin asin β Ca+β α,β∈R 两 角 差 的 余 弦 cos(α-β)=cos acos β+sin asin β Ca-β 二、两角和的余弦公式 把公式cos(α-β)=cos acos β+sin asin β中的β用-β代替，得到 cos(a+β)= 名师点析公式中的角α,β是任意的，要注意公式的逆用、变形应用. 两角和的余弦值等于两角的余弦之积减去正弦之积. 课前篇自主预习 激趣诱思 知识点拨 微思考 在cos(a±β) 的公式中，a,β 可以是几个角的组合吗? 提示可以. 课前篇自主预习 激趣诱思 知识点拨 且α是第三象限角，得 于是 微练习 若 课前篇自主预习 激趣诱思 知识点拨 是第三象限角，则 解析由 答案C 口 C. A 利用两角和与差的余弦公式解决给角求值问题 例1求下列各式的值： (1)cos(-375°); (2)cos 75°cos 15°-sin 75°sin 195°; (3)cos(a+45°)cos a+sin(a+45°)sin a; 寸 +sin 15° 探究 一 探究二 探究三 当堂检测 课堂篇探究学习 解(1)cos(-375°)=cos 375°=cos 15° =cos(45°-30°)=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30 (4)zcos 15°+³sin 15°=cos 60°cos 15°+sin 60°sin 15° 探究 一 探究二 探究三 当堂检测 课堂篇探究学习 (3)cos(a+45°)cos a+sin(a+45°)sin a 15°-sin 15°+sin 75°cos 75°cos 75°sin 75°sin (2)cos =cos 195° 15° 反思感悟 利用公式C(a-p求值的方法技巧 在利用两角差的余弦公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问 题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差(或同一个非特殊角与特 殊角的差),利用公式直接化简求值.在转化过程中，要充分利用诱导 公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式或逆 用公式来求值. 探究一 探究二 探究三 当堂检测 课堂篇探究学习 变式训练1求值： (1)sin 46°cos 14°+sin 44°cos 76°; (2)cos(θ+70°)cos(θ+10°)+sin(θ+70°)sin(θ+10°). 解(1)sin 46°cos 14°+sin 44°cos 76° =sin(90°-44°)cos 14°+sin 44°cos(90°-14°) =cos 44°cos 14°+sin 44°sin 14° (2)cos(θ+70°)cos(θ+10°)+sin(θ+70°)sin(θ+10°)=cos 探究一 探究二 探究三 当堂检测 课堂篇探究学习 利用两角和与差的余弦公式解决给值求值问题 例 2已 知 p 值. 解因为 所以cos 2a=cos[(a+β)+(a-β)] =cos(a+β)cos(a-β)-sin(a+β)sin(a-β) 探究一 探究二 探究三 当堂检测 课堂篇探究学习 ,求cos 2α的 反思感悟给值求值的解题策略 (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意 观察已知角与所求表达式中角的关系，适当地拆角与凑角. (2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地 进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有： ①a=(a-β)+β;② α=“+B+“-;③2α=(a+β)+(a-B);④2β=(a+β)-(a-β) 探究一 探究二 探究三 当堂检测 课堂篇探究学习 变式训练2(1)若 (2)若a,β均为锐角，且 于 探究一 探究二 探究三 当堂检测 课堂篇探究学习 则 则 cos β的值等 探究一 探究二 探究三 当堂检测 课堂篇探究学习 ,sin(a+β)=专， (2)因为a,β均为锐角，且 解析(1)因为 (2) 所 以cos 答案(1 于是 所 以 利用两角和与差的余弦公式解决给值求角问题 例3已知α,β均为锐角，且 求α-β的值. 解因为a,β均为锐角，所以 因此cos(a-β)=cos acos β+sin asin β 探究 一 探究二 探究三 当堂检测 课堂篇探究学习 又因为sin a>sin β,所以 因此 故 2 反思感悟解决三角函数给值求角问题的方法步骤 (1)确定角的范围，根据条件确定所求角的范围； (2)求所求角的某种三角函数值，为防止增解最好选取在上述范围内 单调的三角函数； (3)结合三角函数值及角的范围求角. 探究一 探究二 探究三 当堂检测 课堂篇探究学习 延伸探究本例中，若将条件“a,β均为锐角”改 α-β的值. 解因为 所以 COS 又因为sin a>sin β,且 ,所以a<β, 因此 探究一 探究二 探究三 当堂检测 课堂篇探究学习 1.cos 50°=( ) A.cos 70°cos 20°-sin 70°sin 20° B.cos 70°sin 20°-sin 70°cos 20° C.cos 70°cos 20°+sin 70°sin 20° D.cos 70°sin 20°+sin 70°cos 20° 解析cos 50°=cos(70°-20°)=cos 70°cos 20°+sin 70°sin 20° 答案C 探究一 探究二 探究三 当堂检测 课堂篇探究学习 的值是( A.0 B 探究一 探究二 探究三 当堂检测 课堂篇探究学习 ) C 答案C 解析 口 探究一 探究二 探究三 当堂检测 课堂篇探究学习 答案 √3 3.求值： 由 因为 所 以 因为β=α-(α-β), 所以cos β=cos acos(α-β)+sin asin(a-β) 课堂篇探究学习 因 为 所 以 探究一 探究二 2 求β的值. 探究三 当堂检测 4.已 知 解由 得 2 $$