精品解析：2024年江苏省南京市雨花台区中考数学第一次模拟试题

2024年江苏省南京市雨花台区中考数学第一次模拟试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 与（n为实数）的值相等的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查绝对值、乘方运算，根据化简绝对值即可． 【详解】解：， 故选B． 2. 已知a，b都是实数，若，则的值是（　　） A. B. 0 C. 1 D. 2024 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值与偶次方非负性的应用，利用非负性求出a、b的值是解题的关键． 根据绝对值和偶次方的非负性可求解a，b的值，然后再代入计算可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 所以． 故选：B． 3. 如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由尺规作图可知AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，由此逐一分析即可求解． 【详解】解：由尺规作图可知，AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC， 在△AED和△ABD中： ∵，∴△AED≌△ABD(AAS)， ∴DB=DE，AB=AE，选项A、B都正确， 又在Rt△EDC中，∠EDC=90°-∠C， 在Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠C， ∴∠EDC=∠BAC，选项C正确， 选项D，题目中缺少条件证明，故选项D错误． 故选：D. 【点睛】本题考查了尺规作图角平分线的作法，熟练掌握常见图形的尺规作图是解决这类题的关键． 4. 如图，矩形纸片，，先沿对角线将矩形纸片剪开，再将三角形纸片沿着对角线向下适当平移，得到三角形纸片，然后剪出如图所示的最大圆形纸片，则此时圆形纸片的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设最大圆圆心为O，与AD切点为M，与CD切点N，连接OM、ON，可得正方形OMDN，再利用OM∥CD得到线段比计算即可． 【详解】设最大圆半径为r，圆心为O，与AD切点为M，与CD切点N，连接OM、ON，如图： ∴OM=ON，且OM⊥AD，ON⊥CD ∵∠D=90° ∴四边形OMDN是正方形， ∴ ∵矩形纸片， ∴ ∴ ∵OM∥CD ∴ ∴ 解得 故选：A． 【点睛】本题考查切线的性质、相似三角形的性质与判定，解题的关键是确定最大圆与两个直角三角形的四条直角边都相切． 5. 如图，将绕点A逆时针旋转到，旋转角为，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再利用旋转的性质求出，，然后利用等边对等角求出，最后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：如图， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴， ∴， 即旋转角的度数是． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，掌握等边对等角是解题的关键． 6. 设O为坐标原点，点A、B为抛物线上的两个动点，且．连接点A、B，过O作于点C，则点C到y轴距离的最大值（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】设A(a，a²)，B(b，b²)，求出AB的解析式为，进而得到OD=1，由∠OCB=90°可知，C点在以OD的中点E为圆心，以为半径的圆上运动，当CH为圆E半径时最大，由此即可求解． 【详解】解：如下图所示：过C点作y轴垂线，垂足为H，AB与x轴的交点为D， 设A(a，a²)，B(b，b²)，其中a≠0，b≠0， ∵OA⊥OB， ∴， ∴， 即， ， 设AB的解析式为：，代入A(a，a²)， 解得：， ∴， ∵，即 ， ∴C点在以OD的中点E为圆心，以为半径的圆上运动， 当CH为圆E的半径时，此时CH的长度最大， 故CH的最大值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，圆的相关知识等，本题的关键是求出AB与y轴交点的纵坐标始终为1，结合，由此确定点E的轨迹为圆进而求解． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写答题卡相应位置上） 7. 化简的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的加减法，去括号注意变号，属于基础题． 去括号化简即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 8. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD＝2∠BAD，则∠DAE的度数是______． 【答案】30°##30度 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠BAD＝60°，根据圆周角定理得到∠BAE＝90°，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠BCD＋∠BAD＝180°， ∵∠BCD＝2∠BAD， ∴∠BCD＝120°，∠BAD＝60°， ∵BE是⊙O的直径， ∴∠BAE＝90°， ∴∠DAE＝90°−∠BAD＝90°−60°＝30°， 故答案为：30°． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理的应用，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 9. 如图，顶点A，B的坐标分别为，将平移后，点A的对应点D的坐标是，则点B的对应点E的坐标是 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质、图形与坐标等知识点，根据已知平移点确定平移方式成为解题的关键． 根据点A和点D的是平移后的对应点，计算出平移的方向和单位长度，由于图形平移所有点的平移方向和单位长度一致，即可确定点E的坐标． 【详解】解：由题可知平移后得到点； ∴是先向右平移2个单位长度，在向上平移1个单位长度； ∴点先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度； ∴点． 故答案为． 10. 如图，点是正六边形和正五边形的中心，连接，相交于点，则的度数为__________°． 【答案】78 【解析】 【分析】连接AO、FO、、．由正六边形的性质可知，，，，，从而可求出，，，进而可求出．再由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可求出，从而可求出，即得出． 【详解】如图，连接AO、FO、、． 由正六边形的性质可知，，，， ∴为等边三角形，， ∴． 由正五边形的性质可知，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：78． 【点睛】本题考查正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及等腰三角形的性质．正确的作出辅助线是解题关键． 11. 如图，在中，，点P、A分别位于直线异侧，连接，，，当，时，则的长为__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，过点作，交的延长线于点，利用已知条件证明，得到，然后分别在，，中利用勾股定理求出，列方程求出，最后求出，通过作辅助线构造直角三角形，将已知条件集中起来是解题的关键． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，如图， 则， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ，，， ，， ， 在中， 由勾股定理，得，， 设，则， 在中， 由勾股定理，得， 即， 解得， 在中， 由勾股定理，得． 故答案为：． 12. 已知，且，则化简_____． 【答案】 【解析】 【分析】由，即，且可知可看做方程的两不相等的实数根，继而知，且，将其代入到原式可得答案． 【详解】解：，即，且 可看做方程的两不相等的实数根， 则 则原式 【点睛】主要考查方程的解、韦达定理、二次根式的化简求值等知识点，根据满足的等式判断出可看做方程的两不相等的实数根且是解题的关键． 13. 已知内接于⊙O，I是的内心，若，则的度数是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】当是锐角三角形时，得出，得出，求解即可；当是钝角三角形时， ，得出，求解即可；当是直角三角形时，不符合题意． 【详解】解：当是锐角三角形时，如图所示： ∵I是的内心， ∴、平分、， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴； 当是钝角三角形时，如图所示： ∵I是的内心， ∴、平分、， ∴，， ∴ ∵，， ∴， ∴； 当是直角三角形时，不符合题意； 故答案为：或． 【点睛】本题考查三角形的内心，角平分的定义，分情况讨论是解题的关键． 14. 已知m是方程（n为常数）的一个根，代数式的值是 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，根据m是方程（n为常数）的一个根，得，可得，即可得，进行计算即可得，掌握方程的根，能得出是解题的关键． 【详解】解：∵m是方程（n为常数）的一个根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 15. 如图，在中，，于D，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是关键． 根据，得出，再根据，得出，根据，则，即可得出的长． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，∠ABC=∠DAC=90°，，则=___． 【答案】 【解析】 【分析】过B点作BE//AD交AC于点E，证明，得到再证明利用设利用三角形的面积公式可得答案． 【详解】解：过B点作BE//AD交AC于点E， BE⊥AD， ， ∴ ∴ 由， ∴ 设 则 故答案为： 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】81 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算法则，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 先根据有理数乘法、乘方、绝对值化简，然后做加减运算，最后做乘方运算即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先去括号，把除法变为乘法把分式化简，再把数代入求值． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算． 19. 随着社会的发展，通过微信朋友圈发布自己每天行走的步数已经成为一种时尚．“健身达人”小陈为了了解他的好友的运动情况．随机抽取了部分好友进行调查，把他们6月1日那天行走的情况分为四个类别：A（步）（说明：“”表示大于等于0，小于等于5000，下同），，B（步），C（步），D（15000步以上），统计结果如图所示： 请依据统计结果回答下列问题： （1）本次调查中，一共调查了 ___________位好友． （2）已知A类好友人数是D类好友人数的5倍． ①请补全条形图； ②依据数据，谈谈你的结论； ③若小陈微信朋友圈共有好友150人，请根据调查数据估计大约有多少位好友6月1日这天行走的步数超过10000步？ 【答案】（1）30 （2） ①补全图形如下： ②C类人数最多，D类人数最少， ③70人 【解析】 【分析】此题主要考查了条形统计图、扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． （1）由B类别人数及其所占百分比可得总人数； （2）①设D类人数为a，则A类人数为5a，根据总人数列方程求得a的值，从而补全图形； ②由图可知得到结论即可； ③总人数乘以样本中C、D类别人数和所占比例． 【小问1详解】 本次调查的好友人数为（人）， 故答案为：30； 【小问2详解】 ①设D类人数为a，则A类人数为， 根据题意，得：， 解得：， 即A类人数为10、D类人数为2； ②略 ③（人）， 答：估计大约6月1日这天行走的步数超过10000步的好友人数为70人． 20. 某小学学生较多，为了便于学生尽快就餐，师生约定：早餐一人一份，一份两样，一样一个，食堂师傅在窗口随机发放（发放的食品价格一样），食堂在某天早餐提供了猪肉包、面包、鸡蛋、油饼四样食品． （1）按约定，“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是 事件；（可能，必然，不可能） （2）请用列表或树状图的方法，求出小张同学该天早餐刚好得到猪肉包和油饼的概率． 【答案】（1）不可能事件；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据随机事件的概念即可得“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是不可能事件； （2）根据题意画出树状图，再由概率公式求解即可． 【详解】解：（1）“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是不可能事件； （2）树状图法 即小张同学得到猪肉包和油饼的概率为． 【点睛】本题考查了可能和不可能事件的概念，列表法与树状图法求概率，解决此题的关键是正确的理解题意． 21. 如图，中，点E是的中点，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：； （2）点G是线段上一点，满足，交于点H，若，求的长． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 是的中点， ， ， ， ∴， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，证明，推出，即可解答； （2）通过平行四边形的性质证明，再通过（1）中的结论得到，最后证明，利用对应线段比相等，列方程即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 设,则， 可得方程， 解得， 即的长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用上述性质证明三角形相似是解题的关键． 22. 已知．试说明：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、二次根式的性质等知识点，灵活运用完全平方公式成为解题的关键． 由可得，然后运用完全平方公式即可解答． 【详解】略 23. 如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂，，测量得，．求摄像头到桌面的距离的长（结果精确到）．（参考数据：，） 【答案】cm 【解析】 【分析】过点 作 , 垂足为 , 过点 作 的垂线，垂足为、，在中，求得，在 Rt 中，即可求得 ，然后即可求得． 【详解】如图，过点 作 , 垂足为 , 过点 作 的垂线，垂足为、, Rt 中, 且 又 在 Rt 中, 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 24. 一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量（件与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求每天的销售利润W（元与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2），，144元 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解可得关于的函数解析式； （2）根据“总利润每件的利润销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得． 【详解】（1）设与的函数解析式为， 将、代入，得：， 解得：， 所以与的函数解析式为； （2）根据题意知， ， ， 当时，随的增大而增大， ， 当时，取得最大值，最大值为144， 答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质． 25. 如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P． （1）求证：； （2）已知，的值为 ； （3）延长交的延长线于M，连接．当时，随着点C的变化，的长度如何变化？请描述变化过程，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2） （3）随着点C的变化，先减小再增大，理由： 如图，过O作， ∵与圆交于点F， ∴， ∵平分， ∴， ∴点C只能在上运动，且不能与B重合， ①当C在圆上从G到B的过程中，此时的长度逐渐减小， ∵F和C越来越靠近B点， ∴和交点P越来越靠近点B，且G也离B点越来越近， ∴逐渐减小； ②当C在圆上从B到H的过程中，此时的长度逐渐增大． ∵F和C离B点，越来越远， ∴和交点P同样离B点越来越远，且M也是离B的距离逐渐增大 ∴逐渐增大； 综上，随着点C的变化，先减小再增大． 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理可得，再结合角平分线的定义可得，然后证明，最后根据相似三角形的性质即可证明结论； （2）如图：作于E，先证明可得，然后再证明，最后根据相似三角形的性质即可解答； （3）如图，过O作，先说明点C只能在上运动，且不能与B重合，然后分点C在圆上从M到B和从 B到N两个过程解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图：作于E， 由（1）可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握圆周角定理和切线的判定、证明三角形相似是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线(k为常数）． （1）若抛物线经过点(1,k2)，求k的值； （2）若抛物线经过点(2k,y1)和点(2,y2)，且y1>y2，求k的取值范围； （3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值，求k的值． 【答案】(1);(2)k>1；（3）1或3. 【解析】 【分析】（1）把（1，k2）代入抛物线解析式中并求解即可； （2）将点分别代入抛物线解析式中，由y1＞y2列出关于k的不等式，求解即可； （3）先求出新抛物线的解析式，然后分1≤k≤2，k＞2以及k＜1三种情况讨论，根据二次函数的顶点及增减性，分别确定三种情况下各自对应的最小值，然后列出方程并求出满足题意的k值即可． 【详解】解：（1）把点代入抛物线，得 解得 （2）把点代入抛物线，得 把点代入抛物线，得 解得 （3）抛物线解析式配方得 将抛物线向右平移1个单位长度得到新解析式为 当时，对应的抛物线部分位于对称轴右侧，随的增大而增大， 时，， ，解得， 都不合题意，舍去； 当时，， 解得； 当时，对应的抛物线部分位于对称轴左侧，随的增大而减小， 时，， 解得，（舍去） 综上，或3． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的代入点求值、二次函数的最值、二次函数与一元二次不等式、方程的关系以及函数平移的问题，解题关键是熟练掌握二次函数的相关知识． 27. 综合与实践 问题情境 数学活动课上，老师发给每名同学一个等腰三角形纸片，，，要求同学们将纸片沿一条直线折叠，探究图形中的结论． 问题发现 奋进小组在边上取一点D，连接，将这个纸片沿翻折，点A的对应点为E，如图1所示． 如图2，小明发现，当点E落在边上时，． 如图3，小红发现，当点D是的中点时，连接，若已知和的长，则可求的长． …… 问题提出与解决 奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1，请你解答． 问题1：在中，，，点D是边上一点，将沿翻折得到． （1）如图2，当点E在边上时，求证：． （2）如图3，当点D是的中点时，连接，若，，求的长． 拓展延伸 小刚受到探究过程的启发，将等腰三角形的顶角改为锐角，尝试画图，并提出问题2，请你解答． 问题2：如图4，点D是外一点，，，，求的长． 【答案】 问题1：（1）证明：∵将沿翻折得到， ， ， ， ， ， ， ； （2）； 问题2： 【解析】 【分析】问题1： （1）由，得出结论； （2）作于G，作于F，根据等腰三角形的性质得出，进而得出的值，可证得，从而，，进而在中利用勾股定理求得，进一步得出结果； 问题2： 连接，作于E，作，交的延长线于F，可证四边形是矩形，从而，，在中利用勾股定理求得，进而求得，从而求得，最后在中利用勾股定理求得结果． 【详解】问题1， （1）略 （2）解：如图1， 作于G，作于F， ， 由折叠得，，， ∵点D是AC的中点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， 在中，由勾股定理得， ， ； 问题2， 解：如图2， 连接，作于E，作，交的延长线于F， ， ，， ， ， ， ， ， ∴四边形是矩形， ，， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， 在中，，， ． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，矩形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年江苏省南京市雨花台区中考数学第一次模拟试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 与（n为实数）的值相等的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知a，b都是实数，若，则的值是（　　） A. B. 0 C. 1 D. 2024 3. 如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，矩形纸片，，先沿对角线将矩形纸片剪开，再将三角形纸片沿着对角线向下适当平移，得到三角形纸片，然后剪出如图所示的最大圆形纸片，则此时圆形纸片的半径为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将绕点A逆时针旋转到，旋转角为，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 设O为坐标原点，点A、B为抛物线上的两个动点，且．连接点A、B，过O作于点C，则点C到y轴距离的最大值（ ） A. B. C. D. 1 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写答题卡相应位置上） 7. 化简的结果是________． 8. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD＝2∠BAD，则∠DAE的度数是______． 9. 如图，顶点A，B的坐标分别为，将平移后，点A的对应点D的坐标是，则点B的对应点E的坐标是 ______． 10. 如图，点是正六边形和正五边形的中心，连接，相交于点，则的度数为__________°． 11. 如图，在中，，点P、A分别位于直线异侧，连接，，，当，时，则的长为__． 12. 已知，且，则化简_____． 13. 已知内接于⊙O，I是的内心，若，则的度数是_____． 14. 已知m是方程（n为常数）的一个根，代数式的值是 ______． 15. 如图，在中，，于D，，，则__________． 16. 如图，已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，∠ABC=∠DAC=90°，，则=___． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 随着社会的发展，通过微信朋友圈发布自己每天行走的步数已经成为一种时尚．“健身达人”小陈为了了解他的好友的运动情况．随机抽取了部分好友进行调查，把他们6月1日那天行走的情况分为四个类别：A（步）（说明：“”表示大于等于0，小于等于5000，下同），，B（步），C（步），D（15000步以上），统计结果如图所示： 请依据统计结果回答下列问题： （1）本次调查中，一共调查了 ___________位好友． （2）已知A类好友人数是D类好友人数的5倍． ①请补全条形图； ②依据数据，谈谈你的结论； ③若小陈微信朋友圈共有好友150人，请根据调查数据估计大约有多少位好友6月1日这天行走的步数超过10000步？ 20. 某小学学生较多，为了便于学生尽快就餐，师生约定：早餐一人一份，一份两样，一样一个，食堂师傅在窗口随机发放（发放的食品价格一样），食堂在某天早餐提供了猪肉包、面包、鸡蛋、油饼四样食品． （1）按约定，“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是 事件；（可能，必然，不可能） （2）请用列表或树状图的方法，求出小张同学该天早餐刚好得到猪肉包和油饼的概率． 21. 如图，中，点E是的中点，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：； （2）点G是线段上一点，满足，交于点H，若，求的长． 22. 已知．试说明：． 23. 如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂，，测量得，．求摄像头到桌面的距离的长（结果精确到）．（参考数据：，） 24. 一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量（件与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求每天的销售利润W（元与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 25. 如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P． （1）求证：； （2）已知，的值为 ； （3）延长交的延长线于M，连接．当时，随着点C的变化，的长度如何变化？请描述变化过程，并说明理由． 26. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线(k为常数）． （1）若抛物线经过点(1,k2)，求k的值； （2）若抛物线经过点(2k,y1)和点(2,y2)，且y1>y2，求k的取值范围； （3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值，求k的值． 27. 综合与实践 问题情境 数学活动课上，老师发给每名同学一个等腰三角形纸片，，，要求同学们将纸片沿一条直线折叠，探究图形中的结论． 问题发现 奋进小组在边上取一点D，连接，将这个纸片沿翻折，点A的对应点为E，如图1所示． 如图2，小明发现，当点E落在边上时，． 如图3，小红发现，当点D是的中点时，连接，若已知和的长，则可求的长． …… 问题提出与解决 奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1，请你解答． 问题1：在中，，，点D是边上一点，将沿翻折得到． （1）如图2，当点E在边上时，求证：． （2）如图3，当点D是的中点时，连接，若，，求的长． 拓展延伸 小刚受到探究过程的启发，将等腰三角形的顶角改为锐角，尝试画图，并提出问题2，请你解答． 问题2：如图4，点D是外一点，，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $