精品解析：福建省福州金山中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

2023-2024学年第二学期期末考试 高二数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 考试时间120分钟，满分150分. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合A={x∈Z|（x+1）（x-3）<0}，B={x|x2>0}，则A∩B=（ ） A. {0，1，2} B. {-1，0，1，2} C. {-1，1，2} D. {1，2} 【答案】D 【解析】 【分析】分别求得再求交集即可 【详解】由题，，，故 故选：D 2. 若复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数模及除法求出复数z即可判断作答. 【详解】依题意，，则，解得， 所以复数z在复平面内对应的点在第一象限. 故选：A 3. 已知等差数列的前项和，若，则（     ） A. 150 B. 160 C. 170 D. 与和公差有关 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列性质可得，代入等差数列的前项和公式计算结果即可. 【详解】解：因为是等差数列，所以， 所以，所以. 故选：B 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合诱导公式，利用二倍角余弦公式计算求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：B 5. 已知抛物线上一点 到其焦点的距离为，则实数的值是（ ） A. -4 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用抛物线的定义，将抛物线上点到焦点的距离转化为到准线的距离解出p，再将点M的坐标代入抛物线方程即可解得. 【详解】抛物线的准线方程为：，因为M到焦点距离为5，所以M到准线的距离，即p=8，则抛物线方程为.将(1,m)代入得：，因为所以. 故选：C. 6. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知求出，进而即可根据投影向量求出答案. 【详解】由已知可得，，， 所以，向量在向量上的投影向量是. 故选：B. 7. 已知a，，则“且”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：由且，根据基本不等式的性质，得， 当，时，满足，不能够推出且， 故“且”是“”的充分不必要条件， 故选：A． 8. 设函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，当，，若，则=（ ） A. - B. - C. - D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的图像变换以及奇偶性，可得函数的所有对称中心和对称轴，进而可得函数的周期，以及所过的点，求得部分解析式，可得答案. 【详解】根据函数的图像变换，由为偶函数，为奇函数， 则直线，分别为函数的对称轴与对称中心， 即函数的对称轴的方程为与对称中心坐标为， 易知，函数的周期， 由，则，即，且， 可得方程：，解得，即当，， . 故选：C. 二、多选题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 设向量，，则 （ ） A. B. C. D. 与的夹角为 【答案】CD 【解析】 【分析】由向量的坐标运算，逐个验证向量平行、垂直、夹角和模的问题. 【详解】由题意，，， 则 ， ，故A错误； 易知，由， 所以与不平行，故B错误； 又 ，即，故C正确； 因为 ， 又 ，所以与的夹角为，故D正确． 故选：CD． 10. 杨明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录了坐公交车用时X（单位：min）和骑自行车用时Y（单位：min），经数据分析得到 ，，则（ ） A. B. C. 若某天只有34min可用，杨明应选择坐公交车 D. 若某天只有38min可用，杨明应选择坐公交车 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定的两个正态分布，利用正态分布曲线的意义及对称性逐项分析判断作答. 【详解】由知，，由知，， 对于A，，A不正确； 对于B，，B正确； 对于C，，则杨明应选择坐公交车，C正确； 对于D，，则杨明应选择骑自行车，D不正确. 故选：BC 11. 已知角A，B，C是的三个内角，下列结论一定成立的有（ ） A. 若，则一定是等腰三角形 B. 若，则 C. 若是锐角三角形，则 D. 若，则一定是锐角三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】求出角的关系判断A；利用正弦定理推理判断B；利用正弦函数的性质判断C；确定角的范围判断D. 【详解】对于A，由，得或，则或， 因此是等腰三角形或者是直角三角形，A错误； 对于B，在中，由正弦定理及，得，B正确； 对于C，由是锐角三角形，得，则， 因此，即，C正确； 对于D，由，得，在中，， 则，即，于是， 即，，因此是钝角，D错误. 故选：BC 【点睛】关键点点睛：三角形中的几何计算，熟悉应用相关公式是解题的关键. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.在答题卡上的相应题目的答题区域内作答. 12. 的展开式中常数项为______.（用数字作答） 【答案】84 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式求解. 【详解】根据通项公式, 令 ,解得,所以, 故答案为:84. 13. 已知焦点在x轴上的椭圆离心率为，则实数m等于 _____． 【答案】8 【解析】 【分析】根据题意，由椭圆的标准方程分析可得＝，解之即可. 【详解】由题意焦点在x轴上的椭圆离心率为， 可得＝，解得m＝8． 故答案为：8． 14. 2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱.某商店有4个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法种数为___________.（用数字作答） 【答案】144 【解析】 【分析】根据间隔排列知两端均为“冰墩墩”,可以先排 【详解】先排“冰墩墩”中间有三个空，再排“雪容融”，则. 故答案为：144. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卡上相应题目的答题区域内作答. 15. 的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，已知． （1）求B； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）； （2）﹒ 【解析】 【分析】(1)已知条件结合正弦定理边化角即可求B； (2)结合正弦定理、余弦定理和三角形面积公式即可求解﹒ 【小问1详解】 由正弦定理，得， 即， ∴， 又∵，∴， ∴， 又∵，∴， ∵B为三角形内角，∴； 【小问2详解】 ∵，∴由正弦定理得， ∴由余弦定理得，即， ∴，， ∴的面积为． 16. 已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，且，，成等差数列，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用，，成等差数列以及求出首项和公比，再利用等比数列的通项公式写出即可； （2）由（1）将数列的通项公式代入中化简，再利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 设数列的公比为， 因为，，成等差数列， 所以， 即， 解得或， 因为各项均为正数， 所以， 所以， 由， 得， 解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 则， 所以， 两式相减可得， 整理可得． 17. 在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，． （1）证明：； （2）点F在线段PD上，试确定点F的位置使BF与平面PAB所成的角的正弦值为． 【答案】（1） ∵PD⊥底面ABCD，BD面ABCD，∴ 取AB中点E，连接DE，∵， ∴，又∵，∴． ∴△ABD为直角三角形，且AB为斜边，∴， 又，PD面PAD， AD面PAD， ∴BD⊥面PAD，又PA面PAD，∴ （2）点F在PD的中点处 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质定理即可证明； （2）由（1）知，PD，AD，BD两两互相垂直，分别以DA，DB，DP为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系，设点F的坐标是，求出直线BF的方向向量和平面的法向量，再由线面角公式代入即可得出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，PD，AD，BD两两互相垂直，分别以DA，DB，DP为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系， 则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,,0)，P(0,0,)， 设平面PAB的一个法向量为， 则，则可取． 设点F的坐标是，则BF的坐标是(0,－,t)， 设BF与平面PAB所成的角为， 则 解得或 点F在线段PD上，则，即点F在PD的中点处满足题意. 18. 现有三台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，每加工一个零件耗时35分钟，第2，3台加工的次品率均为，每加工一个零件分别耗时32分钟和30分钟，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的，，． （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）如果取到的零件是次品，计算加工这个零件耗时（分钟）的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）分布列： 35 32 30 【解析】 【分析】（1）根据条件，结合全概率公式求解即可； （2）求出的取值和相应的概率可得分布列及期望. 【小问1详解】 设“任取一个零件为次品”， “零件为第台车床加工”（）， 则，且两两互斥， ，，， ，，， 由全概率公式得 ； 【小问2详解】 可取， ， ， ， 的分布列为 35 32 30 所以. 19. 已知函数． （1）若，求a的取值范围； （2）证明：若有两个零点，则． 【答案】（1） （2）证明见的解析 【解析】 【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解； （2）利用分析法，转化要证明条件为，再利用导数即可得证. 【小问1详解】 [方法一]：常规求导 的定义域为，则 令,得 当单调递减 当单调递增， 若,则,即 所以的取值范围为 [方法二]：同构处理 由得： 令，则即 令，则 故在区间上是增函数 故，即 所以的取值范围为 【小问2详解】 [方法一]：构造函数 由题知,一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设 要证,即证 因为,即证 又因为,故只需证 即证 即证 下面证明时， 设， 则 设 所以,而 所以,所以 所以在单调递增 即,所以 令 所以在单调递减 即,所以； 综上, ,所以. [方法二]：对数平均不等式 由题意得： 令，则， 所以在上单调递增，故只有1个解 又因为有两个零点，故 两边取对数得：，即 又因为，故，即 下证 因为 不妨设，则只需证 构造，则 故在上单调递减 故，即得证 【点睛】关键点点睛 ：本题是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式 这个函数经常出现，需要掌握 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第二学期期末考试 高二数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 考试时间120分钟，满分150分. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合A={x∈Z|（x+1）（x-3）<0}，B={x|x2>0}，则A∩B=（ ） A. {0，1，2} B. {-1，0，1，2} C. {-1，1，2} D. {1，2} 2. 若复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知等差数列的前项和，若，则（     ） A. 150 B. 160 C. 170 D. 与和公差有关 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线上一点 到其焦点的距离为，则实数的值是（ ） A. -4 B. 2 C. 4 D. 8 6. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 7. 已知a，，则“且”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 8. 设函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，当，，若，则=（ ） A. - B. - C. - D. 二、多选题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 设向量，，则 （ ） A. B. C. D. 与的夹角为 10. 杨明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录了坐公交车用时X（单位：min）和骑自行车用时Y（单位：min），经数据分析得到 ，，则（ ） A. B. C. 若某天只有34min可用，杨明应选择坐公交车 D. 若某天只有38min可用，杨明应选择坐公交车 11. 已知角A，B，C是的三个内角，下列结论一定成立的有（ ） A. 若，则一定是等腰三角形 B. 若，则 C. 若是锐角三角形，则 D. 若，则一定是锐角三角形 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.在答题卡上的相应题目的答题区域内作答. 12. 的展开式中常数项为______.（用数字作答） 13. 已知焦点在x轴上的椭圆离心率为，则实数m等于 _____． 14. 2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱.某商店有4个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法种数为___________.（用数字作答） 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卡上相应题目的答题区域内作答. 15. 的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，已知． （1）求B； （2）若，，求的面积． 16. 已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，且，，成等差数列，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17. 在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，． （1）证明：； （2）点F在线段PD上，试确定点F的位置使BF与平面PAB所成的角的正弦值为． 18. 现有三台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，每加工一个零件耗时35分钟，第2，3台加工的次品率均为，每加工一个零件分别耗时32分钟和30分钟，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的，，． （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）如果取到的零件是次品，计算加工这个零件耗时（分钟）的分布列和数学期望． 19. 已知函数． （1）若，求a的取值范围； （2）证明：若有两个零点，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $