精品解析：江苏省泰州市泰州医药高新技术产业开发区等2地2023-2024学年八年级下学期6月期末数学试题

2024年春学期期末学业水平测试八年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上） 1. 我国新能源汽车产业飞速发展，自主品牌开启出海大时代．下列是新能源汽车的标志，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. “明天下雨的概率是”，下列说法正确的是（ ） A. 明天一定下雨 B. 明天一定不下雨 C. 明天的地方下雨 D. 明天下雨的可能性比较大 3. 与最接近的整数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 把分式中的a，b，c都扩大为原来的4倍，那么分式的值（ ） A. 变为原来的4倍 B. 变为原来的8倍 C. 变为原来的 D. 不变 5. 某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变，在使杠杆平衡的情况下，小明通过改变动力臂L，测量出相应的动力F数据如表：（动力×动力臂=阻力×阻力臂） 动力臂（/） … … 动力（/） … … 请根据表中数据规律探求，当动力臂L长度为2.0m时，所需动力是（ ） A. 150N B. 90N C. 75N D. 60N 6. 如图，一次函数与反比例函数相交于A，B两点，A，B两点的横坐标分别为1和3，则不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．请把答案直接写在答题卡相应位置上） 7. ______． 8. 用反证法证明“在中，若，则”时，应假设______． 9. 关于的方程的一个根是，则另一个根是______． 10. 当时，分式无意义，则______． 11. 不透明的盒子中装有红、白两色的小球共n（n为正整数）个，这些球除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，不断重复这一过程．如图显示了用计算机模拟实验的结果．若盒子中共装80个小球，可以根据本次实验结果，估算出盒子中有红球的个数是______． 12. 已知点都在反比例函数的图象上，且，则m的取值范围为______． 13. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是______． 14. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点E，连接，若，菱形的面积为18，则______． 15. 已知长方形的长宽之和为，面积为，设宽为，根据图形面积的关系．可构造方程．早在3世纪，我国汉代的赵爽借助下图（由四个这样的长方形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形）将用p，q表示为，从而得到形如的一元二次方程其中一个根的求根公式．结合下图，x的表达式中所表示的几何量是______． 16. 如图，正方形的对角线相交于点O，点E，F分别在线段上，且，若，则______． 三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 18 （1）化简； （2）计算：． 19. 已知关于x一元二次方程． （1）求证：无论k为何实数，方程总有两个实数根； （2）若一元二次方程有两个根和，且，求k的值． 20. 今今年6月是第23个全国“安全生产月”，6月16日为全国“安全宣传咨询日”．今年全国“安全生产月”活动主题为“人人讲安全、个个会应急——畅通生命通道”．某兴趣小组为了解学生的安全意识情况，通过调查，形成如下调查报告（不完整）． 调查目的 1．了解本校初中生的安全意识； 2．给学生提出合理的建议． 调查方式 随机抽样调查 调查对象 部分初中生 调查内容 根据调查结果，把学生的安全意识分成“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次． 调查结果 建议 …… （1）m的值为______．请将条形统计图补充完整． （2）若该校有1200名学生，请估计安全意识为“较强”和“很强”的共有多少名学生？ （3）根据调查结果，请对该校学生的安全意识作出评价，并提出一条合理的建议． 21. 求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（画出图形，写出已知、求证，并证明） 22. 如图，在中，平分线交于点E，． （备用图） （1）求长； （2）仅用无刻度的直尺，在上作点F，使． 23. 某品牌纪念品每套成本为30元，当售价为40元时，平均每天的销售量为500套，经试销统计发现，如果该品牌纪念品售价每上涨1元，那么平均每天的销售量将减少10套，为了维护消费者利益，物价部门规定：该品牌纪念品售价不能超过进价的200%．设这种纪念品每套上涨x元． （1）平均每天的销售量为______套（用含x的代数式表示）： （2）商家想要使这种纪念品的销售利润平均每天达到8000元，求每套纪念品应定价多少元？ 24. 如图，、分别是不等边三角形（即的边、的中点．是平面上的一动点，连接、，、分别是、的中点，顺次连接点、、、． （1）如图，当点在内时，求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形是菱形，点所在位置应满足什么条件？并说明理由． 25. 如图，在矩形纸片中，E为边上的动点，F为边上的动点，连接． （1）若． ①如图①，点E与点D重合，点F与点B重合，将矩形纸片沿折叠，点A落在点G处，设与相交于H，求的长； ②如图②，将矩形纸片沿折叠，使点B与点D重合，求折痕的长； （2）如图③，点E为的中点，点F与点B重合，将矩形纸片沿折叠，点A落在点G处，且点G在矩形内部，延长交于点H，若，求的值． 26. 在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为、，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上． （1）如图1，当D点坐标时． ①求的值； ②求m，n的值； （2）如图2，当m，n满足什么关系时，，并说明理由； （3）如图3，当时，在的延长线上取一点E，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，对于每一个给定的m值，点E的纵坐标总是一个定值，则该定值为______．（用含m的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年春学期期末学业水平测试八年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上） 1. 我国新能源汽车产业飞速发展，自主品牌开启出海大时代．下列是新能源汽车的标志，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、原图是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意； B、原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、原图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. “明天下雨的概率是”，下列说法正确的是（ ） A. 明天一定下雨 B. 明天一定不下雨 C. 明天的地方下雨 D. 明天下雨的可能性比较大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了概率的意义，解决本题的关键是理解概率表示随机事件发生的可能性大小； 根据概率的意义找到正确选项即可． 【详解】解：明天下雨的概率是，说明明天下雨的可能性比较大．所以只有D合题意． 故选：D． 3. 与最接近的整数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，按要求找到2到2.5之间的无理数，须使被开方数大于4小于6.25即可求解． 【详解】∵ ∴ ∴最接近的整数是2 故选：B． 4. 把分式中的a，b，c都扩大为原来的4倍，那么分式的值（ ） A. 变为原来的4倍 B. 变为原来的8倍 C. 变为原来的 D. 不变 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是分式的基本性质，熟悉分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数或整式，分式的值不变是解题的关键．根据分式的基本性质计算，得到答案． 【详解】 ∴分式的值不变 故选：D． 5. 某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变，在使杠杆平衡的情况下，小明通过改变动力臂L，测量出相应的动力F数据如表：（动力×动力臂=阻力×阻力臂） 动力臂（/） … … 动力（/） … … 请根据表中数据规律探求，当动力臂L长度为2.0m时，所需动力是（ ） A. 150N B. 90N C. 75N D. 60N 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用．依据题意，根据表中信息可知动力臂与动力成反比关系，选择利用反比例函数来解答即可得解． 【详解】解：由表可知动力臂与动力成反比的关系， 设方程为：， 从表中取一个有序数对， 可取代入， ． ． 把代入上式， ． 故选：C． 6. 如图，一次函数与反比例函数相交于A，B两点，A，B两点的横坐标分别为1和3，则不等式的解集为（ ） A B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键， 先将所求的不等式变形为，再利用函数图象法找到对应的自变量的取值范围，据此作答即可． 【详解】解：， ， ∵一次函数与反比例函数的两个交点的横坐标分别为1和3， 由图象知，当或时，一次函数在反比例函数的图象上方， ∴的解集为：或， 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．请把答案直接写在答题卡相应位置上） 7. ______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式．利用平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 故答案为：3． 8. 用反证法证明“在中，若，则”时，应假设______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】解：用反证法证明“在中，若，则”时，应假设， 故答案为：． 9. 关于的方程的一个根是，则另一个根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．先把代入原方程即可解出的值，再解方程求解即可． 【详解】解：∵关于的方程的一个根是， ∴把代入原方程，得， ∴， ∴原方程为， ， ∴或， 解得或， 故答案为：． 10. 当时，分式无意义，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式无意义，分母等于0列式计算即可得解；本题考查了分式无意义的条件． 【详解】当时，分式无意义， ∴ 解得： 故答案为：． 11. 不透明的盒子中装有红、白两色的小球共n（n为正整数）个，这些球除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，不断重复这一过程．如图显示了用计算机模拟实验的结果．若盒子中共装80个小球，可以根据本次实验结果，估算出盒子中有红球的个数是______． 【答案】28 【解析】 【分析】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率；根据概率公式和给出的摸到红球的频率示意图，即可得出答案． 【详解】随着实验次数的增加，“摸到红球"”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球"的概率是0.35 ∴ 故选：28． 12. 已知点都在反比例函数的图象上，且，则m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．根据反比例函数图象上得到坐标特征解答即可． 【详解】解：，， 反比例函数在各个象限内，随的增大而增大， 点、在同在第四象限，，即． 故答案为：． 13. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和化简．观察数轴可知：，，，然后根据绝对值的性质和二次根式的性质进行计算化简即可． 【详解】解：观察数轴可知：，，， ， ， 故答案为：． 14. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点E，连接，若，菱形的面积为18，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质和面积计算，直角三角形的性质，先根据菱形的面积求出，再根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】由题意得：，解得： ∵ ∴ 故答案为：2． 15. 已知长方形的长宽之和为，面积为，设宽为，根据图形面积的关系．可构造方程．早在3世纪，我国汉代的赵爽借助下图（由四个这样的长方形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形）将用p，q表示为，从而得到形如的一元二次方程其中一个根的求根公式．结合下图，x的表达式中所表示的几何量是______． 【答案】小正方形的边长 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的运算，涉及一元二次方程的相关概念，结合图形可知小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个长方形的面积，问题随之得解． 【详解】结合图形可知大正方形的面积为， ∵长方形的面积为， ∴四个长方形的面积总和为， 结合图形可知：小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个长方形的面积， ∴小正方形的面积为：， ∴小正方形的边长为：， 故答案为：小正方形的边长． 16. 如图，正方形对角线相交于点O，点E，F分别在线段上，且，若，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等．作交于点，连接，首先证明，推出，，再证明，得，利用勾股定理列等式求得，据此计算可得结论． 【详解】解：作交于点，连接， 四边形是正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：3． 三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）无解． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程因式分解法及解分式方程，熟知解一元二次方程及解分式方程的步骤是解题的关键． （1）根据解一元二次方程的步骤对所给方程进行求解即可; （2）根据解分式方程的步骤对所给方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 则或， 所以，； 【小问2详解】 解：， 去分母得， 去括号得， 整理得， ． 当时，， 所以是原方程的增根，原方程无解． 18. （1）化简； （2）计算：． 【答案】（1）；（2）7 【解析】 【分析】本题考查了分式混合运算和二次根式混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质和二次根式相关运算法则， （1）先通分括号内的，然后把除法化成乘法，再约分即可； （2）先利用完全平方公式展开、再计算二次根式乘法，最后计算加减即可． 【详解】（1）解： （2） ． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k为何实数，方程总有两个实数根； （2）若一元二次方程有两个根和，且，求k的值． 【答案】（1）见解析 （2）k的值为0或． 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式及根与系数的关系，熟知一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． （1）利用根的判别式即可解决问题； （2）利用一元二次方程根与系数的关系得出两根之和，再结合，求出两根即可解决问题． 【小问1详解】 证明：△， 无论为何实数，方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：由根与系数的关系知， ， 又， 则联立方程组， 解得． 将代入原方程得， ， 解得或， 的值为0或． 20. 今今年6月是第23个全国“安全生产月”，6月16日为全国“安全宣传咨询日”．今年全国“安全生产月”活动主题为“人人讲安全、个个会应急——畅通生命通道”．某兴趣小组为了解学生的安全意识情况，通过调查，形成如下调查报告（不完整）． 调查目的 1．了解本校初中生的安全意识； 2．给学生提出合理的建议． 调查方式 随机抽样调查 调查对象 部分初中生 调查内容 根据调查结果，把学生的安全意识分成“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次． 调查结果 建议 …… （1）m的值为______．请将条形统计图补充完整． （2）若该校有1200名学生，请估计安全意识为“较强”和“很强”的共有多少名学生？ （3）根据调查结果，请对该校学生的安全意识作出评价，并提出一条合理的建议． 【答案】（1）36；图见解析 （2）估计安全意识为“较强”和“很强”的共有528名学生； （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图的综合应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题． （1）由淡薄等级人数及其所占百分比可得总人数，用一般等级人数除以总人数可得的值，再由四个等级人数和等于总人数求出很强等级人数，从而补全图形； （2）用总人数乘以样本中安全意识为“较强”和“很强”的人数所占比例即可； （3）答案不唯一，合理均可． 【小问1详解】 解：被调查的总人数为（人， 则一般等级人数所占百分比为，即， 很强等级人数为（人， 补全图形如下： 故答案为：36； 【小问2详解】 解：（人， 答：估计安全意识为“较强”和“很强”的共有528名学生； 【小问3详解】 解：该校学生的安全意识淡薄和一般的人数占总人数，占比超过一半， 所以该校学生的安全意识未引起足够重视，应开展形式多样的安全教育，提高学生安全意识（答案不唯一）． 21. 求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（画出图形，写出已知、求证，并证明） 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】作出图形，然后写出已知，求证，延长CD到E，使DE=CD，连接AE、BE，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形AEBC是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形AEBC是矩形，然后根据矩形的对角线互相平分且相等可得CD=AB． 【详解】已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线， 求证：CD=AB； 证明：如图，延长CD到E，使DE=CD，连接AE、BE， ∵CD是斜边AB上的中线， ∴AD=BD， ∴四边形AEBC是平行四边形， ∵∠ACB=90°， ∴四边形AEBC是矩形， ∴AD=BD=CD=DE， ∴CD=AB． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质证明，作辅助线，构造出矩形是解题的关键． 22. 如图，在中，的平分线交于点E，． （备用图） （1）求的长； （2）仅用无刻度的直尺，在上作点F，使． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图一复杂作图、平行四边形的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的性质、角平分线的定义是解答本题的关键． （1）根据平行四边形的性质以及角平分线的定义可得，，即可求解； （2）结合平行四边形的性质，连接，相交于点O，连接并延长，交于点F，则点F即为所求． 【小问1详解】 ∵ ∴ ∴ ∵为的平分线 ∴ ∴ ∴ ∴ 【小问2详解】 如图，连接，相交于点O，连接并延长，交于点F，则点F即为所求 23. 某品牌纪念品每套成本为30元，当售价为40元时，平均每天的销售量为500套，经试销统计发现，如果该品牌纪念品售价每上涨1元，那么平均每天的销售量将减少10套，为了维护消费者利益，物价部门规定：该品牌纪念品售价不能超过进价的200%．设这种纪念品每套上涨x元． （1）平均每天的销售量为______套（用含x的代数式表示）： （2）商家想要使这种纪念品的销售利润平均每天达到8000元，求每套纪念品应定价多少元？ 【答案】（1） （2）每套纪念品应定价50元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由题意即可得出结论； （2）设这种纪念品每套上涨元，则每套纪念品应定价为元，平均每天的销售量为套，根据这种纪念品的销售利润平均每天达到8000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，平均每天的销售量为套， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设这种纪念品每套上涨元，则每套纪念品应定价为元，平均每天的销售量为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 答：每套纪念品应定价50元． 24. 如图，、分别是不等边三角形（即的边、的中点．是平面上的一动点，连接、，、分别是、的中点，顺次连接点、、、． （1）如图，当点在内时，求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形是菱形，点所在位置应满足什么条件？并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）点的位置满足两个要求：，且点不在射线、射线上．理由见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了中点四边形的判定以及三角形的中位线的性质和平行四边形以及菱形的判定等知识，熟练掌握相关的定理是解题关键． （1）首先利用三角形中位线的性质得出，，同理，，，即可得出，即可得出四边形是平行四边形； （2）利用（1）中所求，只要邻边再相等即可得出答案． 【小问1详解】 证明：、分别是边、的中点． ∴，． 同理，，． ∴，． 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：点的位置满足两个要求：，且点不在射线、射线上． 理由：由（1）得出四边形是平行四边形， 点位置满足两个要求：，且点不在射线、射线上时， 可得，， ， 平行四边形是菱形． 25. 如图，在矩形纸片中，E为边上的动点，F为边上的动点，连接． （1）若． ①如图①，点E与点D重合，点F与点B重合，将矩形纸片沿折叠，点A落在点G处，设与相交于H，求的长； ②如图②，将矩形纸片沿折叠，使点B与点D重合，求折痕的长； （2）如图③，点E为的中点，点F与点B重合，将矩形纸片沿折叠，点A落在点G处，且点G在矩形内部，延长交于点H，若，求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）①由折叠性质和矩形的性质可得，设，根据即可求解； ②连接，过点E作，由折叠性质和矩形的性质可得，，设，根据勾股定理即可求解； （2）连接，设，，则，，由折叠性质和勾股定理可得，即可求解． 【小问1详解】 解①：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴； 设， ∵， ∴， ∵， 即， 解得：， ∴； ②如图，连接，过点E作， 由折叠可得：，， ∵， ∴， ∴， 由折叠可得：， ∴， 由①同理可求：， 设，则， ∵，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 连接 ∵，点E为的中点， 设，，则，， ∴； 由折叠性质可得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是矩形折叠问题，考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作辅助线是关键． 26. 在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为、，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上． （1）如图1，当D点坐标为时． ①求的值； ②求m，n的值； （2）如图2，当m，n满足什么关系时，，并说明理由； （3）如图3，当时，在的延长线上取一点E，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，对于每一个给定的m值，点E的纵坐标总是一个定值，则该定值为______．（用含m的代数式表示） 【答案】（1）①的值为4；②m，的值为1，3； （2）当时，； （3） 【解析】 【分析】（1）①将点的坐标代入反比例函数解析式即可得出结论； ②过点作轴，可得，可用，表达点的坐标，建立关于，的二元一次方程组即可得出结论； （2）过点作轴于点，可得，可用，表达点的坐标，由此建立关于，的不等式，解之即可； （3）过点作轴于点，设，由等腰三角形的性质可表达点和点的坐标，由此建立关于的方程，解之即可． 【小问1详解】 解：①将点代入反比例函数解析式， ； 即的值为4； ②如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，解得． ，的值为1，3； 【小问2详解】 解：当时，，理由如下： 如图，过点作轴于点， 同理（1）可得，， ，， ， ， ， 若，则， ，， ， 即当时，； 【小问3详解】 解：由（2）得，，又， ∴， ，， ，即， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 如图，过点作轴于点， 是等腰直角三角形， ， 设，， ，， 点是的中点， ； ， ， 点在上， ，整理得， （舍）或； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质等相关知识，用，表达出点，的坐标是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$