精品解析：河南省洛阳市老城区三校联考质量测评2023-2024学年八年级下学期7月期末数学试题

2024年洛阳市老城区三校联考质量测评八年级下册数学期末 一、单选题（共30分） 1. 代数式中，分式的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知关于x的方程无解，则m的值为（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3. 某种原子的直径为，把这个数化成小数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一只蚂蚁沿着半圆形凹槽匀速爬行，则其顺着运动的过程中，运动的时间与蚂蚁离圆心的距离之间的函数图象可大致表示为（ ） A. B. C. D. 5. 在①y＝﹣8x：②y＝﹣：③y＝+1；④y＝﹣5x2+1：⑤y＝0.5x﹣3中，一次函数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图， 的一边 在轴上，长为5，且 ，反比例函数和分别经过点 ， ，则的周长为 A. 12 B. 14 C. D. 7. 下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. 对角线相互垂直 B. 对角线互相平分 C. 一组对角相等 D. 一组对边相等 8. 如图1，将正方形 置于平面直角坐标系中，其中 边在轴上，其余各边均与坐标轴平行，平行于 的直线l沿轴的负方向以每秒1个单位的速度平移，平移过程中，直线l被正方形 的边所截得的线段长为 ，平移时间为t（秒）， 与 的函数图象如图2，依据条件信息，求出图2中的值为（ ） A. B. C. 6 D. 9. 白老师在黑板上计算一组数据时，列式如下：，由公式提供的信息，下列关于这组数据的说法错误的是（　　） A. 中位数是4 B. 众数是4 C. 平均数是4 D. 方差是 10. 如图，“笔尖”图案五边形由正方形 和等边组成，连接， ，则 的度数为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共15分） 11. 当 ___时，分式的值为零． 12. 已知点、均在双曲线第一象限的分支上，且，则与的大小关系是______． 13. 在平面直角坐标系中，已知，，点C在x轴上，且在点B的左侧，若 是等腰三角形，则点C的坐标是______． 14. 如图所示，四边形 是平行四边形，按下列条件得到的四边形 是平行四边形的有_________个． ①图甲，；　　　 ②图乙， 平分 ， 平分； ③图丙， 是 的中点， 是的中点； ④图丁， 是 上一点， ． 15. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在 中，分别取 、 的中点D、E，连结 ，过点A作于点F，将 分割后拼接成矩形．若 ， ，则矩形的面积为______． 三、解答题（共75分） 16. 解方程：． 17. 如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于点A和点． （1） ， ； （2）C是线段 延长线上一点，轴，垂足为E，交反比例函数的图象于点D，若的面积为18，求点C的坐标． 18. 在 中， 是 的中线，E为 的中点，过点A作 与的延长线相交于点F，连接 ． （1）如图，求证：四边形 是平行四边形； （2）如图，若 ，请写出图中四个等腰三角形． 19. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点． （1）用直尺和圆规完成下面的作图，过点C作AC的垂线，与OE的延长线交于点F，连接FD：（只保留作图痕迹） （2）求证：四边形OCFD是矩形． 证明：∵四边形ABCD是菱形． ∴ ， ∴， 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴___________①___________， ∵E是CD中点， ∴___________②___________， 在△ODE和△FCE中， ∴， ∴___________③___________， ∵ ∴四边形OCFD是平行四边形， 又∵___________④___________， ∴四边形OCFD是矩形． 20. 如图，矩形 中，点E在 上，且平分，若， （1）求证： （2）求的面积． 21. 如图，点在双曲线上，点C在双曲线上，点A在x轴的正半轴上，且 是以 为斜边的等腰直角三角形． （1）填空：______； （2）求点A的坐标； （3）若点D是x轴上一点，且以点D、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点D的坐标． 22. 第六届数字中国建设成果展览会于月日在福州海峡国际会展中心盛大开展，本届成果展览会全方位融入数字孪生、虚拟交互等多种技术，让观众现场触摸数字、感知数字，在趣味互动中尽享数字成果，体验数字生活的精彩．某学校在全校范围内开展了数字中国建设相关知识的竞赛，从中随机抽取男生、女生各名同学的竞赛成绩（满分50分）进行整理： ①男生竞赛成绩用表示．共分成四组，制成如下的扇形统计图： ： ；： ； ： ； ： ； ②男生在 组的数据个数为个； ③名女生的竞赛成绩为： ④男生、女生各名同学的竞赛成绩分析如下表： 性别 平均数 中位数 众数 满分率 男生 女生 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ______， ______， ______； （2）根据以上数据，你认为该校女生与男生的竞赛成绩谁更好？请说明理由； （3）若该校有名男生和 名女生，估计该校竞赛成绩为满分的人数． 23. 如图①，正方形 的边长为4，连接 ．动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段 向终点B运动，过点P作交 于点E．以为一边向右作正方形．设点P的运动时间为t秒．正方形与 重叠部分图形的面积为S． （1）当点F落在 上时，________秒； （2）如图②，当 时，重叠部分图形的面积________； （3）在点P运动的过程中，求出S与t之间的关系式；（用含t的式子表示S） （4）连接，当是等腰三角形时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年洛阳市老城区三校联考质量测评八年级下册数学期末 一、单选题（共30分） 1. 代数式中，分式的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的定义“形如（ 、都是整式，并且中含有字母）的式子叫分式”逐项判断即可求解． 【详解】解：是单项式，是整式；是分式；是多项式，是整式；是分式；是单项式，是整式． 故选：B 【点睛】本题考查了分式的定义，熟知分式的定义是解题关键． 2. 已知关于x的方程无解，则m的值为（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】分式方程去掉分母化为整式方程，整式方程的解就是方程的增根，即x=3，据此即可求解． 【详解】解：去分母得：x-1=m， 解得：x=m+1， 根据题意得：m+1=3， 解得：m=2， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容． 3. 某种原子的直径为，把这个数化成小数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查写出用科学记数法表示的原数．利用科学记数法表示比较小的数将用科学记数法表示的数还原即可，将科学记数法表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把 的小数点向左移动 位所得到的数． 【详解】解：． 故选：D． 4. 如图，一只蚂蚁沿着半圆形凹槽匀速爬行，则其顺着运动的过程中，运动的时间与蚂蚁离圆心的距离 之间的函数图象可大致表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据蚂蚁爬向A时距离O的距离越来越远，在弧 上运动时，随着时间的变化，距离不发生变化，得出图象是与x轴平行的线段，从C爬向O时距离O的距离越来越小即可得出结论． 【详解】一只蚂蚁从O点出发，沿着半圆形凹槽匀速爬行，在开始时经过半径这一段，蚂蚁到O点的距离y随运动时间的增大而增大；到弧 这一段，蚂蚁到O点的距离y不变，图象是与x轴平行的线段；走另一条半径时，蚂蚁离圆心的距离y随x的增大而减小； 故选：C． 【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象；根据随着时间的变化，到弧 这一段，蚂蚁到O点的距离y不变，得到图象的特点是解决本题的关键． 5. 在①y＝﹣8x：②y＝﹣：③y＝+1；④y＝﹣5x2+1：⑤y＝0.5x﹣3中，一次函数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的定义，正比例函数属于一次函数；一次函数是形如 的形式，结合题中所给表达式，比照定义形式即可解答． 【详解】解：①y＝﹣8x是正比例函数，属于一次函数，符合题意； ②不是一次函数，不符合题意； ③不是一次函数，不符合题意； ④中未知数次数是二次，不是一次函数，不符合题意； ⑤y＝0.5x﹣3是一次函数，符合题意； 一次函数有①y＝﹣8x和⑤y＝0.5x﹣3， 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数的定义：一般地，形如 （k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 6. 如图， 的一边 在轴上，长为5，且 ，反比例函数和分别经过点 ， ，则的周长为 A. 12 B. 14 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设点，则点，，然后根据的长列出方程，求得的值，得到 的坐标，解直角三角形求得 ，就可以求得的周长． 【详解】解：设点，则点，， ， 四边形 是平行四边形， ， ，解得， ， 作于 ，则， ， ， 的周长， 故选． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，用点 ， 的横坐标之差表示出的长度是解题的关键． 7. 下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. 对角线相互垂直 B. 对角线互相平分 C. 一组对角相等 D. 一组对边相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法逐项判断即可，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】 、对角线互相平分的四边形才是平行四边形，而对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，故本选项错误； 、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确； 、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故本选项错误； 、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项错误； 故选： ． 8. 如图1，将正方形 置于平面直角坐标系中，其中 边在轴上，其余各边均与坐标轴平行，平行于 的直线l沿轴的负方向以每秒1个单位的速度平移，平移过程中，直线l被正方形 的边所截得的线段长为，平移时间为t（秒），与 的函数图象如图2，依据条件信息，求出图2中 的值为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，一次函数图象与几何变换，正方形性质，勾股定理等知识，由直线l与直线 平行，即直线l沿x轴的负方向平移时，同时经过B，D两点，再根据 的长即可得到a的值． 【详解】解：∵直线l与直线 平行， ∴直线l沿x轴的负方向平移时，同时经过B，D两点， 由图2可得，时，直线l经过点A，时，直线l经过点C， ∴当时，直线l经过B，D两点， ， 为正方形， ∴， ， 故选：A． 9. 白老师在黑板上计算一组数据时，列式如下：，由公式提供的信息，下列关于这组数据的说法错误的是（　　） A. 中位数是4 B. 众数是4 C. 平均数是4 D. 方差是 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查方差、众数、中位数及平均数的定义，解题的关键是掌握方差、众数、中位数及平均数的定义．根据方差公式得出这组数据，中位数是第二位数和第三位数的平均数；众数是出现次数最多的4；四个数相加之和再除以4求其平均数；每个数据与平均数的差的平方之和，再除以4求出方差． 【详解】解：这组数据按照从小到大排列是：3、4、4、5， 中位数是4，众数是4，平均数是， ∴答案A、B、C均正确，， ∴答案D错误， 故选：D． 10. 如图，“笔尖”图案五边形由正方形 和等边组成，连接， ，则 的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质和等边三角形的性质得出，，再由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得，同理可得，最后由进行计算即可得到答案． 【详解】解：四边形 是正方形， ，， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ， ， 同理可得：， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等 ，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 二、填空题（共15分） 11. 当 ___时，分式的值为零． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，完全平方公式．熟练掌握分式的分子为零且分母不为零时，分式的值为零是解题的关键． 由题意知，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，， 解得， ，， ∴ ， 故答案为： ． 12. 已知点、均在双曲线第一象限的分支上，且，则与的大小关系是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象性质求解：图象位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，据此即可求解． 【详解】解：∵； ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质；理解函数图象的性质是解题的关键． 13. 在平面直角坐标系中，已知，，点C在x轴上，且在点B的左侧，若 是等腰三角形，则点C的坐标是______． 【答案】或或． 【解析】 【分析】分类讨论：①当时，②当 时和③当时，画出图形，结合等腰三角形的定义和性质，勾股定理求解即可． 【详解】解：分类讨论：①当时，如图，此时为， ∵， ∴， ∴； ②当 时，如图，此时为， ∵ ， ， ∴， ∴， ∴； ③当时，如图，此时为， 设，则， ∴． 在中，， ∴， 解得：， ∴． 综上可知，点C的坐标是或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查坐标与图形，等腰三角形的定义和性质，勾股定理．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 14. 如图所示，四边形 是平行四边形，按下列条件得到的四边形 是平行四边形的有_________个． ①图甲，；　　　 ②图乙， 平分 ， 平分； ③图丙， 是 的中点， 是的中点； ④图丁， 是 上一点， ． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定及全等三角形的判定与性质，①由可得，利用可得，即可得证；②由四边形 是平行四边形， 平分 ， 平分可证，则可得到，即可得证；③由四边形 是平行四边形， 是 的中点， 是的中点，可得，即可得证；④无法确定，只能证得，故不能证明四边形 是平行四边形，注意掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解此题的关键． 【详解】①∵四边形 是平行四边形， ， ， ，，， ， ∴四边形 是平行四边形； ②∵四边形 是平行四边形， ， ， 平分 ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴四边形 是平行四边形； ③∵四边形 是平行四边形， ， 是 的中点， 是的中点， ， ， ， ∴四边形 是平行四边形； ④∵四边形 是平行四边形， ， 是 上一点， ，无法判断， ∴四边形 不一定是平行四边形； 综上所述，能得到四边形 是平行四边形的个数是3， 答案：3． 15. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在 中，分别取 、 的中点D、E，连结 ，过点A作于点F，将 分割后拼接成矩形．若 ， ，则矩形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】通过证明，求出 以及即可解决问题． 【详解】解：由题意，， 在矩形中， ， ∵， ∴， ∵点D为 的中点， ∴ ， 又∵， ∴ ∴， 同理可得 ， ∴， ∴， ∴矩形的面积为， 故答案为： ． 【点睛】本题考查图形的拼剪，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型，准确识图，掌握矩形的性质和全等三角形的判定和性质是解题关键． 三、解答题（共75分） 16. 解方程：． 【答案】分式方程无解 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，关键是一定要进行检验，判断是否为原方程的增根． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 检验：当时，， 是方程的增根，该分式方程无解． 17. 如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于点A和点． （1） ， ； （2）C是线段 延长线上一点，轴，垂足为E，交反比例函数的图象于点D，若的面积为18，求点C的坐标． 【答案】（1）6， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数，解题的关键是： （1）把分别代入、求解即可； （2）设，可求出D的纵坐标为，D的横坐标为，然后利用面积公式构建m的方程求解即可． 【小问1详解】 解：把分别代入、， 得，， 解得， ， 故答案为：6， ； 【小问2详解】 解：由（1）知：、 设， ∵轴， ∴C、D的纵坐标相同， ∴D的纵坐标为， ∴D的横坐标为， ∵的面积为18， ∴， 解得，（舍去）， ∴． 18. 在 中， 是 的中线，E为 的中点，过点A作 与的延长线相交于点F，连接 ． （1）如图，求证：四边形 是平行四边形； （2）如图，若 ，请写出图中四个等腰三角形． 【答案】（1） 证明：∵E是 的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 和 中， ∵， ∴， ∴ ， ∵ 是 的中线， ∴ ， ∴ ， 又∵ ，即 ， ∴四边形 是平行四边形 （2）， ，， 【解析】 【分析】（1）先证 ，可得 ，结合条件，得 ， ，进而即可得到结论； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得、 、 是等腰三角形，由 ，结合四边形 是平行四边形，可得是等腰三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵ ，E是 的中点， ∴ ， ∴和 是等腰三角形， 由（1）得： ， ∴， ∴ ， ∴ 是等腰三角形， ∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴是等腰三角形， 综上所述：图中所有的等腰三角形为：、 、、 ． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质定理，三角形全等的判定和性质定理，直角三角形的性质定理，等腰三角形的定义，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理，三角形全等的判定和性质定理，直角三角形的性质定理，是解题的关键． 19. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点． （1）用直尺和圆规完成下面的作图，过点C作AC的垂线，与OE的延长线交于点F，连接FD：（只保留作图痕迹） （2）求证：四边形OCFD是矩形． 证明：∵四边形ABCD是菱形． ∴ ， ∴， 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴___________①___________， ∵E是CD中点， ∴___________②___________， 在△ODE和△FCE中， ∴， ∴___________③___________， ∵ ∴四边形OCFD是平行四边形， 又∵___________④___________， ∴四边形OCFD是矩形． 【答案】（1）图见详解 （2），，， 【解析】 【分析】（1）延长 ，以点C为圆心，任意长为半径画与线段 的交点，再以交点为圆心任意长为半径做交点，连接交点和点C，与 的延长线交于点F，连接． （2）根据平行得知，利用全等三角形的判定证明，依据全等的性质得，结合即可证明四边形是平行四边形，CF为垂线则有四边形是矩形． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 证明：∵四边形 是菱形． ∴ ， ∴， 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵E是中点， ∴， 在 和中， ∴， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， 又∵ ， ∴四边形是矩形． 故答案为：，，， 【点睛】本题主要考查作图（过点作垂线），菱形的性质、全等三角形的判定及其性质、平行四边形的判定、矩形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 20. 如图，矩形 中，点E在 上，且平分，若， （1）求证： （2）求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）10 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积， （1）由矩形的性质和角平分线的定义得出，推出 即可； （2）设，由勾股定理得出，解方程求出，由三角形面积公式可得出答案． 【小问1详解】 ∵四边形 是矩形， ∴ ， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ． 【小问2详解】 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积=． 21. 如图，点在双曲线上，点C在双曲线上，点A在x轴的正半轴上，且 是以 为斜边的等腰直角三角形． （1）填空：______； （2）求点A的坐标； （3）若点D是x轴上一点，且以点D、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点D的坐标． 【答案】（1）9 （2）点A的坐标是 （3）D点坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）把B点代入双曲线，可求得k的值； （2）过C作轴，过B作轴，可证明，结合B点坐标则可求得C点坐标，从而可求得的长，可求得A点坐标； （3）设，由C点坐标，则可分别表示出和 ，分、 和三种情况，分别得到关于x的方程，可求得D点坐标． 【小问1详解】 点在双曲线上， ， 故答案为：9； 【小问2详解】 分别过点B、C作轴于N，轴于M，如图， 则， 三角形 是等腰直角三角形， ，， ，， ． ， ， 设，， 在上， ，即． 在 和 中， ， ， ，， ，即， ， ， ， ， 即点A的坐标是； 【小问3详解】 设，则， 由（2）可知， ，， 为等腰三角形， 有、 和三种情况， 当时，则，解得舍去或 ， 此时D点坐标为； 当 时，则，解得或， 此时D点坐标为或； 当时，则，解得 ， 此时D点坐标为； 综上可知D点坐标为或或或． 【点睛】本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意函数图象上点的坐标满足函数解析式，在（2）中构造三角形全等求得C点坐标是解题的关键，在（3）中设出D点坐标，表示出和 的长，得到关于D点坐标的方程是解题的关键，注意分三种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 22. 第六届数字中国建设成果展览会于月日在福州海峡国际会展中心盛大开展，本届成果展览会全方位融入数字孪生、虚拟交互等多种技术，让观众现场触摸数字、感知数字，在趣味互动中尽享数字成果，体验数字生活的精彩．某学校在全校范围内开展了数字中国建设相关知识的竞赛，从中随机抽取男生、女生各名同学的竞赛成绩（满分50分）进行整理： ①男生竞赛成绩用表示．共分成四组，制成如下的扇形统计图： ： ；： ； ： ； ： ； ②男生在 组的数据个数为个； ③名女生的竞赛成绩为： ④男生、女生各名同学的竞赛成绩分析如下表： 性别 平均数 中位数 众数 满分率 男生 女生 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ______， ______， ______； （2）根据以上数据，你认为该校女生与男生的竞赛成绩谁更好？请说明理由； （3）若该校有名男生和 名女生，估计该校竞赛成绩为满分的人数． 【答案】（1） （2）女生的竞赛成绩比男生的竞赛成绩更好； （3）人 【解析】 【分析】（1）根据扇形统计图可知男生占比最多的是 组，进而可得到 的值，男生在 组的数据个数为个得到男生在 组百分数，即可得到的值，最后重新排列女生分数即可得到； （2）对比男女生的平均数，众数，中位数即可解答； （3）根据抽样调查男生的满分率为 ，抽样调查中女生的满分率为即可解答． 【小问1详解】 解：∵根据扇形统计图可知，男生占比最多的是 组，满分率为， ∴男生的众数为 ， ∵男生在 组的数据个数为个， ∴男生在 组百分数为， ∴， ∴， ∵名女生的竞赛成绩按照从小到大的顺序为： ， ∴中位数为， 故答案为 【小问2详解】 解：∵男生的平均数为，中位数为，满分率为 ，女生的平均数，中位数，满分率为， ∴女生的竞赛成绩比男生的竞赛成绩好； 【小问3详解】 解：∵抽样调查男生的满分率为 ，抽样调查中女生的满分率为， ∴该校有名男生人数为（人）， 该校有 名男生人数为（人）； ∴该校竞赛成绩为满分的人数：（人）； 【点睛】本题考查了扇形统计图，众数，平均数，样本估计总体，掌握平均数和众数的计算方法是解题的关键． 23. 如图①，正方形 的边长为4，连接 ．动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段 向终点B运动，过点P作交 于点E．以为一边向右作正方形．设点P的运动时间为t秒．正方形与 重叠部分图形的面积为S． （1）当点F落在 上时，________秒； （2）如图②，当 时，重叠部分图形的面积________； （3）在点P运动的过程中，求出S与t之间的关系式；（用含t的式子表示S） （4）连接，当是等腰三角形时，直接写出t的值． 【答案】（1）2 （2）3 （3） （4）2，， 【解析】 【分析】（1）当点 落在 上时，点恰好与点重合，此时点 在 的中点处，即可求得 的值； （2）当 时，正方形与 重叠部分图形是边长分别为1和3的矩形，即可求出的值； （3）分为当时及两种情况进行讨论求解即可； （4）当是等腰三角形时，进行分类讨论，当时，当时，都是等腰直角三角形，再讨论，画图列式求 的值即可． 【小问1详解】 由题意得，当点 落在 上时，点恰好与点重合，如图： 是等腰直角三角形，四边形是正方形， ． ， ， 故答案为：2； 【小问2详解】 当 时，如图： 由题意得：四边形是矩形，， ， ； 故答案为：3； 【小问3详解】 如图，当时， ， ； 如图，当时， ， ， ； 综上所述，S与t之间的关系式为； 【小问4详解】 ①当时，， ， ， 是等腰直角三角形，即此时点 落在 上， 由（2）得，此时； ②当时， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，， 在中，，即， ， 在 中，， ， 解得； ③当时， ， ，， ， 解得． 综上，当是等腰三角形时，的值为2或或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，求函数关系式，等腰直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是掌握等腰直角三角形的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $