精品解析：四川省达州市开江县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

开江县2024年春季七年级期末质量检测 数学 本试卷分为I卷、II卷两部分，总分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确． 2．选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后，教师将试题卷、答题卡、草稿纸一并收回． 第I卷（选择题共40分） 一、选择题（共10小题，40分） 1. 已知和互余，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 2. 清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，则数据米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为奇数 B. 车辆随机到达一个路口，遇到绿灯 C. 三角形的三条角平分线交于一点 D. 任意买一张电影票，座位号是偶数 5. 下列乘法公式的运用中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下表反映的是某地区电的使用量x（千瓦时）与应缴电费y（元）之间的关系： 用电量x（千瓦时） 1 2 3 4 5 … 应缴电费y（元） … 以下说法错误的是（ ） A. x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B. 用电量每增加1千瓦时，电费增加元 C. 若所缴电费为元，则用电量为7千瓦时 D. 若用电量为8千瓦时，则应缴电费元 7. 给出下列说法：（1）垂直于同一直线的两条直线互相平行；（2）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；（3）三角形的角平分线是线段；（4）等腰三角形的角平分线、高线、中线三线合一．正确的共有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 8. 如图，在和中，点B，C，E，F在同一条直线上，，，，，，则的度数为（ ） A. 70° B. 85° C. 110° D. 25° 9. 如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可知（　　） A B. C. D. 10. 如图，中，交于D，平分交于E，F为的延长线上一点，交的延长线于G，的延长线交于H，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ） A. ②③④ B. ①②③④ C. ①②③ D. ①④ 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题（共5小题，20分） 11. 已知，，则_______． 12. 从长度分别为的四条线段中随机取出三条，则能够成三角形的概率为_______． 13. 将一张宽度相等的长方形纸条按如图所示的方式折叠一下，如果比大，那么________． 14. 如图，外角和的平分线、相交于点，于且，若的周长为，，则的面积为_________ ． 15. 如图，锐角内有一定点A，连接，点B、C分别为、边上的动点，连接、、，设（），当取得最小值时，则________．（用含的代数式表示） 三、解答题（共10小题，共90分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 先化简，再求值：，其中a，b满足：． 18. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B、C在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线l成轴对称的； （2）的面积为______； （3）以为边作与全等的三角形（顶点在格点上，不包括），可作出______个． 19 如图，，． （1）判断与的数量关系，并说明理由； （2）若平分，于点E，，求的度数． 20. 如图是某住宅的平面结构示意图（单位：米），图中的四边形均是长方形或正方形． （1）用含a，b代数式分别表示客厅和卧室（含卧室A，B）的面积； （2）若，，求卧室（含卧室A，B）比客厅大多少平方米？ 21. 小亮和小明同时从学校出发沿相同路线步行去公园，出发一段时间后，小明因忘带物品需返回学校中，于是跑步原路返回到学校取物品，然后沿小亮步行的路线跑步前行（取东西的时间忽略不计，小亮和小明的步行速度不变，小明跑步速度不变），一段时间后，小明追上小亮，再和小亮步行前往公园．小亮和小明离学校的距离y（米）与出发时间x（分）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）小明跑步的速度为________米/分； （2）求a的值； （3）若小明追上小亮后，仍跑步前行，将早于小亮3分钟到达公园，求小明追上小亮时离公园还有多远． 22. 如图，和都是等边三角形，连接与，延长交于点H． （1）证明：； （2）求的度数． 23. 如图，直线，一副三角尺（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． （1）求的度数； （2）如图②，若将三角形绕点B以每秒5度的速度逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为．在旋转的过程中，若，求t的值． 24. 知识储备：我们知道，把完全平方公式适当变形，可解决很多数学问题．例如：若，，则的值为_________． 获得新知：若，求的值． 解：设，，则，， ∴，即． 解决问题： （1）若满足，求的值； （2）如图，一户人家有一块长方形土地，，，其内部有一条宽度为a的L型种植区域①，其余部分（长方形）为种植区域②，测量区域②的面积为360；阿凡提有两块正方形的土地与跟这户人家的种植区域②相邻，正方形土地的边长分别为与．这户人家对阿凡提的两块地垂涎已久，提出要将自己的土地与阿凡提交换，阿凡提有没有损失呢？请你运用所学的数学知识进行解释． 25. 《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明． 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：． 分析：如图，要证明等于的一半，可以用“中线倍长法”延长到，使得，连接，可证，再证明，最后得到：． 请你按材料中的分析写出完整的证明过程； 【模型应用】如图3，在中，，延长到，使得，是边的中点，连接，求证：； 【模型构造】如图4，在中，，延长到，使得，连接，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 开江县2024年春季七年级期末质量检测 数学 本试卷分为I卷、II卷两部分，总分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确． 2．选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后，教师将试题卷、答题卡、草稿纸一并收回． 第I卷（选择题共40分） 一、选择题（共10小题，40分） 1. 已知和互余，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了余角的性质，解题的关键是熟练掌握余角的性质． 根据余角的性质直接解答． 【详解】解：∵和互余，， ， 故选：C． 2. 清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，则数据米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义(将一个数表示成的形式，其中为整数，这种记数的方法叫做科学记数法是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：， 故选：B． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是同底数幂相乘、积的乘方，完全平方公式以及单项式的除法，掌握以上知识是解题的关键． 根据同底数幂相乘、积的乘方，完全平方公式以及单项式的除法，逐一判断各选项，即可得到答案． 【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意； B．，原计算错误，不符合题意； C．，原计算错误，不符合题意； D．，原计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为奇数 B. 车辆随机到达一个路口，遇到绿灯 C. 三角形的三条角平分线交于一点 D. 任意买一张电影票，座位号是偶数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件的定义，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，据此求解即可． 【详解】解：A、意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不一定为奇数，不是必然事件，不符合题意； B、车辆随机到达一个路口，不一定遇到绿灯，不是必然事件，不符合题意； C、三角形的三条角平分线交于一点，是必然事件，符合题意； D、任意买一张电影票，座位号不一定是偶数，不是必然事件，不符合题意； 故选：C。 5. 下列乘法公式的运用中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的运算，解题的关键是掌握完全平方公式和平方差公式的法则． 根据完全平方公式和平方差公式逐项判断即可． 【详解】解：A．，故A错误，不符合题意； B．，故B错误，不符合题意； C．，故C正确，符合题意； D．，故D错误，不符合题意． 故选：C． 6. 下表反映的是某地区电的使用量x（千瓦时）与应缴电费y（元）之间的关系： 用电量x（千瓦时） 1 2 3 4 5 … 应缴电费y（元） … 以下说法错误的是（ ） A. x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B. 用电量每增加1千瓦时，电费增加元 C. 若所缴电费为元，则用电量为7千瓦时 D. 若用电量为8千瓦时，则应缴电费元 【答案】C 【解析】 【分析】根据图表，先写出函数关系，再根据函数关系进行逐个判断各个选项． 【详解】解：由图表可知：应交电费与用电量间的关系为， 对于这个函数关系，x、y都是变量，x是自变量，y是x的函数．所以选项A正确，不符合题意； 根据图表可知，用电量每增加1千瓦时，电费增加元，选项B正确，不符合题意； 当元时，（千瓦时），故选项C错误，符合题意； 当千瓦时，（元），故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了函数的相关知识．题目难度不大，根据图表列出函数关系是解决本题的关键． 7. 给出下列说法：（1）垂直于同一直线的两条直线互相平行；（2）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；（3）三角形的角平分线是线段；（4）等腰三角形的角平分线、高线、中线三线合一．正确的共有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握以上知识点． 根据平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：（1）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，该说法是错误的； （2）两条直线被第三条直线所截，被截线平行，同旁内角互补；原说法是错误的； （3）三角形的角平分线是线段，该说法是正确的； （4）等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的高线、底边上的中线三线合一；该说法是错误的； 综上所述：正确的结论有（3），共1个， 故选：B． 8. 如图，在和中，点B，C，E，F在同一条直线上，，，，，，则的度数为（ ） A. 70° B. 85° C. 110° D. 25° 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，证明是解题的关键．证明得到，则可由三角形内角和定理求出． 【详解】解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选A． 9. 如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可知（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形外角性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．掌握基本性质是解题的关键． 先用三角形内角和求出，再用角平分线求出，由线段垂直平分线知，然后求出，最后用外角性质求出． 【详解】解： ，， ， 根据尺规作图痕迹知：平分，垂直平分， ，， ， ， ， 故选：C． 10. 如图，中，交于D，平分交于E，F为的延长线上一点，交的延长线于G，的延长线交于H，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ） A. ②③④ B. ①②③④ C. ①②③ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，角的平分线性质及其意义，三角形面积性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键． 如图，①根据三角形的内角和即可得到；②根据角平分线的定义得，由三角形的内角和定理得，变形可得结论；③根据三角形的面积公式即可得到；④根据二角形的内角和和外角的性质即刻得到． 【详解】解：设与的延长线交于点， ， ∴， ∴，故①正确； ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ，故②正确； 平分， ， ，故④正确； 平分， ∴点到的距离相等，都设为， ，故③正确． 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题（共5小题，20分） 11. 已知，，则_______． 【答案】5 【解析】 【分析】该题主要考查了平方差公式，解题的关键是熟悉平方差公式． 根据即可算出． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：5． 12. 从长度分别为的四条线段中随机取出三条，则能够成三角形的概率为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，利用概率公式求概率，根据三角形的三边关系，确定能组成三角形的情况，再除以总的情况，即可得出结果． 【详解】解：从的四条线段中随机取出三条，共有：，，，，共4种等可能的情况，其中能组成三角形的有，，共2种情况， ∴能够成三角形的概率为； 故答案为：． 13. 将一张宽度相等的长方形纸条按如图所示的方式折叠一下，如果比大，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和折叠的性质，在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角． 根据平行线的性质和折叠的性质可得出，然后可得的度数． 【详解】解：根据折叠可得：， 宽度相等的长方形纸条两边是平行的， ， ∵比大， ∴， ∴， ∴， ， 故答案为：． 14. 如图，的外角和的平分线、相交于点，于且，若的周长为，，则的面积为_________ ． 【答案】7.5 【解析】 【分析】本题考查了角平分线性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式． 过点作于，作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据三角形的面积求出，然后求出，再根据计算即可得解． 【详解】解：如图，过点作于，作于，连接， 和的平分线、交于，， ， ， ， 解得， 的周长为， ， ， ． 故答案为：7.5． 15. 如图，锐角内有一定点A，连接，点B、C分别为、边上的动点，连接、、，设（），当取得最小值时，则________．（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】当取得最小值时，即三点共线，作图，把真正的点B、C作图出来即图中的点和的位置，连接，，解答即可． 【详解】解：作A关于和的对称点，分别记作和，连接分别交和于点和，连接，，如图所示： ∵作A关于和的对称点，分别记作和， ∴，， ∵， ∴， ∵作A关于和的对称点，分别记作和， ∴， ∴是等腰三角形， 即， ∵作A关于和的对称点，分别记作和， ∴，， ∵当取得最小值时，即三点共线， 此时， 即当取得最小值时，则， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是线段最短以及垂直平分线的性质内容，正确理解题意并正确作图是解题的关键． 三、解答题（共10小题，共90分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查零指数幂和负整数指数幂，整式的运算： （1）先进行零指数幂和负整数指数幂，乘方和去绝对值运算，再进行加减运算即可； （2）逆用积的乘方运算即可； （3）根据多项式除以单项式的法则，进行计算即可； （4）利用乘法公式进行计算即可． 小问1详解】 解：； 【小问2详解】 原式． 【小问3详解】 ； 【小问4详解】 ． 17. 先化简，再求值：，其中a，b满足：． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，非负数的性质，代数式求值，熟练掌握完全平方公式、平方差公式以及相关法则是解题关键． 先利用完全平方公式和平方差公式计算括号内，再利用整式减法和除法法则计算化简，然后根据绝对值和平方的非负性，求出a，b的值，代入计算即可得到答案． 【详解】解： ． ∵， ∴，， ∴，， 把，代入，原式． 18. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B、C在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线l成轴对称的； （2）的面积为______； （3）以为边作与全等的三角形（顶点在格点上，不包括），可作出______个． 【答案】（1）作图见详解 （2）5 （3）3 【解析】 【分析】（1）分别作出A、B、C三点关于直线l的对称点、、即可； （2）利用分割法求三角形面积即可； （3）用轴对称思想，即可求解， 本题考查了，画轴对称图形，分割法计算三角形面积，够造全等三角形，解题的关键是：熟练掌握轴对称的性质． 【小问1详解】 解：如图即所求， 【小问2详解】 解：， 故答案为：5， 【小问3详解】 解：根据轴对称，确定全等三角形如下： 共有3个， 故答案为：3． 19. 如图，，． （1）判断与的数量关系，并说明理由； （2）若平分，于点E，，求的度数． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握平行线的性质． （1）先由得，再根据推出，可得出，据此可判定与的数量关系； （2）根据平分及得，然后根据平行线的性质得，据此可得的度数. 【小问1详解】 解：，理由为： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵，， ∴， ∴. 20. 如图是某住宅的平面结构示意图（单位：米），图中的四边形均是长方形或正方形． （1）用含a，b的代数式分别表示客厅和卧室（含卧室A，B）的面积； （2）若，，求卧室（含卧室A，B）比客厅大多少平方米？ 【答案】（1）客厅面积为平方米，卧室的面积为平方米 （2）卧室比客厅大49平方米 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式、整式的加减运算、完全平方公式等知识点，灵活运用完全平方公式对代数式进行变形是解答本题的关键． （1）结合图形直接列代数式表示出客厅和卧室面积即可； （2）先根据整式加减运算法则化简，再利用完全平方公式变形，最后将相关数据代入计算即可． 【小问1详解】 解：客厅的长为，宽为，因此面积为平方米， 卧室是长为米，宽为：米的长方形， 因此卧室的面积为：平方米； 答：客厅面积为平方米，卧室的面积为平方米； 【小问2详解】 解：卧室比客厅大的面积为： ， 当，时， 原式（平方米）， 答：卧室比客厅大49平方米． 21. 小亮和小明同时从学校出发沿相同路线步行去公园，出发一段时间后，小明因忘带物品需返回学校中，于是跑步原路返回到学校取物品，然后沿小亮步行的路线跑步前行（取东西的时间忽略不计，小亮和小明的步行速度不变，小明跑步速度不变），一段时间后，小明追上小亮，再和小亮步行前往公园．小亮和小明离学校的距离y（米）与出发时间x（分）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）小明跑步的速度为________米/分； （2）求a的值； （3）若小明追上小亮后，仍跑步前行，将早于小亮3分钟到达公园，求小明追上小亮时离公园还有多远． 【答案】（1）150 （2） （3）小明追上小亮时离公园的距离为300米 【解析】 【分析】本题考查利用图像获取信息解决问题，读懂题意，数形结合，从图中获取相应问题的求解信息列式求解是解决问题的关键． （1）根据题意得由小明跑步原路返回到学校取物品，对应了第二段线段，返回到学校用了4分钟，距离为600米，根据速度=路程÷时间从而得到小明跑步速度； （2）根据题意，由关系图可知小亮的速度为米/分，由小明追上小亮，所行路程相等，列方程求解即可得到答案； （3）设小明追上小亮后还需分钟到达公园，则小亮还需分钟到达公园，列出方程解出，从而得到小明追上小亮时离公园的距离． 【小问1详解】 解：由图可知，小明跑步的速度为（米/分）， 故答案为：150； 【小问2详解】 解：由图可知，小亮的速度为（米/分）， 则， 解得：； 【小问3详解】 解：设小明追上小亮后还需分钟到达公园，则小亮还需分钟到达公园， 则，解得：， （米）， ∴小明追上小亮时离公园的距离为300米． 22. 如图，和都是等边三角形，连接与，延长交于点H． （1）证明：； （2）求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质： （1）证明，即可得出结论； （2）根据，得到，利用三角形的内角和定理进行求解即可． 【小问1详解】 证明：如图， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴． 【小问2详解】 解：如图，由（1）得， ∴， ∵， ∴ ， ∴． 23. 如图，直线，一副三角尺（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． （1）求度数； （2）如图②，若将三角形绕点B以每秒5度的速度逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为．在旋转的过程中，若，求t的值． 【答案】（1） （2）t的值为6s或42s 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算： （1）平角，求出，角平分线求出，平行求出，再利用角的和差关系即可得解； （2）分和两种情况，进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：如图①中， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图②中， I，当时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， Ⅱ，当时，， ∴， ∴ ∴在旋转过程中，若边，t的值为6s或42s． 24. 知识储备：我们知道，把完全平方公式适当变形，可解决很多数学问题．例如：若，，则的值为_________． 获得新知：若，求的值． 解：设，，则，， ∴，即． 解决问题： （1）若满足，求的值； （2）如图，一户人家有一块长方形土地，，，其内部有一条宽度为a的L型种植区域①，其余部分（长方形）为种植区域②，测量区域②的面积为360；阿凡提有两块正方形的土地与跟这户人家的种植区域②相邻，正方形土地的边长分别为与．这户人家对阿凡提的两块地垂涎已久，提出要将自己的土地与阿凡提交换，阿凡提有没有损失呢？请你运用所学的数学知识进行解释． 【答案】知识储备：7；解决问题：（1）；（2）阿凡提有损失 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，看懂和理解题例是求解的关键． 知识储备：根据计算即可； 解决问题：（1）根据完全平方公式的变形，将代入计算即可； （2）由题意得，，分别计算长方形的面积以及正方形、正方形的面积和，进行比较可得阿凡提有没有损失； 【详解】解：知识储备：若，，则， 故答案为：7； 解决问题：（1）解： ， ∴； （2）解：由题意得，，， 则， 长方形的面积， 正方形+正方形的面积 ， ∵， ∴阿凡提有损失． 25. 《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明． 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：． 分析：如图，要证明等于的一半，可以用“中线倍长法”延长到，使得，连接，可证，再证明，最后得到：． 请你按材料中的分析写出完整的证明过程； 【模型应用】如图3，在中，，延长到，使得，是边的中点，连接，求证：； 【模型构造】如图4，在中，，延长到，使得，连接，求的度数． 【答案】【模型证明】证明见解析；【模型应用】见解析；【模型构造】 【解析】 【分析】（1）利用倍长中线，证明，得，进而证明得即可得证； （2）连接，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，再证明与是等腰三角形，可得，利用三角形外角的性质可得结论； （3）作，利用含角的直角三角形的性质可得，证明是等边三角形，求出，进而可得，根据等腰三角形的性质可得的结论． 【详解】解：（1）如图所示： 延长到，使得，连接． 在和中， ， ∴， ，， ∴（内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）． ， ， 在和中， ， ∴， ． ∴， （2）证明：连接． ，且为的中点， ， ， ， ， ， ∴， ； （3）解：如图所示，过作于，连接． ，且， ． ∴． ． ， ， ∴为等边三角形． ，， ． ∴， ∴． ∴． ∴为等腰直角三角形． ， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，倍长中线法，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质与判定． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $