精品解析：浙江省台州市临海市2023-2024学年八年级下学期6月期末数学试题

临海市2023学年第二学期教学质量监测试题卷 八年级 数学 亲爱的考生： 欢迎参加考试！ 请你认真审题，仔细答题，发挥最佳水平．答题时，请注意以下几点： 1．全卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效． 3．答题前，请认真阅读答题纸上的“注意事项”，按规定答题． 4．本次考试不得使用计算器． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，请选出各题中一个符合题意的正确选项不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 2. 长度（单位：）如下的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ）． A. 1，2，3 B. 4，5，6 C. 6，8，10 D. 7，12，13 3. 在中，若，则∠B度数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式计算正确是（ ） A. B. C. D. 5. 若点，在一次函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 下面4种方法中，能判定一个四边形为菱形的是（ ） A. 测量两组对边是否分别相等 B. 测量两条对角线是否互相垂直平分 C. 测量其中三个内角是否都为直角 D. 测量两条对角线是否相等 7. a国，b国，c国人口的年龄分布直方图分别如下图所示．如果对这三个国家人口的平均年龄，，进行排序，正确的是（ ）． A. B. C. D. 8. 甲、乙两位同学拿着容积相同的两个空水杯（如图所示）同时在饮水机接满水，下列函数图象中，表示接满水过程中水杯内水的高度（单位：）随接水时间（单位：）变化规律的是（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，用四张形状大小相同的六边形纸片拼成如图的图案，每个六边形中有四个角相等．拼成的图案的内轮廓是边长为1的正方形，外轮廓是每个内角都相等的八边形，则这个图案外轮廓的周长和阴影部分的面积为（ ）． A. 周长为8，面积为8 B. 周长为8，面积为6 C. 周长，面积为8 D. 周长为，面积为6 10. 已知直线与直线，（其中，）在同一平面直角坐标系内，有两点，分别在，上．下列结论中正确的有（ ）． ①两条直线的交点在第一象限；②两条直线的交点在直线上；③；④直线，与x轴的交点要么都在正半轴上要么都在负半轴上． A. ①② B. ②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. ______． 12. 命题“平行四边形的两组对边相等”的逆命题是_____． 13. 如图是甲乙两地在某一个月中日平均气温的箱线图，从中可以发现这个月的日平均气温值方差较大的是____________（填“甲地”或“乙地”）． 14. 如图的曲线反映了某一变化过程中变量随变量变化的函数关系，在这一变化过程中，随的增大而减小的的取值范围是______． 15. 如果函数的图象与函数的图象恰好有一个交点，则______． 16. 如图，正方形纸片的边长为6．E，F分别是对边，上的点，．把正方形纸片沿着直线对折，点C，D的对应点分别是点，．若，则交叠而成的五边形的周长是____________． 三、解答题（本题共8小题，第17～18题每小题6分，第19～20题每小题8分，第21～22题每小题10分，第23～24题每小题12分，共72分） 17. 计算：． 18. 已知一次函数（k为常数，）的图象经过点和两点． （1）求这个一次函数的解析式． （2）当时，求自变量x的取值范围． 19. 如图，菱形中，，，，垂足分别为点E，点F． （1）求证：等边三角形． （2）若，求的面积． 20. 某安保巡逻艇在相距的上游码头和下游码头之间沿着笔直的航线来回巡逻，巡逻艇从码头顺流而下到达下游码头需要小时，从码头向码头逆流而上需要小时到达，在顺流巡逻和逆流巡逻两个阶段分别匀速航行． （1）巡逻艇从码头出发到码头，再回到码头，在这样一个往返巡逻过程中，设巡逻艇的巡航时间为小时，它与码头相距千米．求与之间的函数解析式． （2）在（）的巡逻过程中，当为何值时，巡逻艇与码头相距？ 21. 某校八年级有男生人，女生人，为了解八年级男生、女生一分钟跳绳情况，随机抽取了名男生和名女生进行测试，记录一分钟跳绳成绩（满分分）如下： 成绩（分） 女生人数（个） 男生人数（个） 分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 女生 男生 根据以上统计信息，回答下列问题； （1）表中____________，____________； （2）请估计该校八年级学生中，跳绳成绩满分的共有多少人？ （3）请通过数据分析，比较该校八年级男生、女生跳绳成绩整体水平（要求从两个不同的角度说明推断的合理性）． 22. 求证：连接三角形任意两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半． （要求：画出图形，写出已知、求证、证明．） 23. 小张使用手机的时间比较多．他的手机在纯充电时（只充电不使用）电池电量的变化如图所示，手机的剩余电量与连续使用时间的部分数据如下表： 连续使用时间（） 0 30 60 90 120 手机剩余电量（） 100 95 90 85 80 假设手机耗电量一直满足表中规律，手机剩余电量为时必须充电，否则会自动关机． （1）请用适当的函数表达式描述手机剩余电量与连续使用时间之间的关系． （2）小张的手机在早上充满电，连续使用手机，他最迟在什么时间进行充电，才能保证手机不会自动关机？ （3）在一次外出放行过程中，他要乘坐4小时的火车，上火车时手机还有的电量．在乘坐火车过程中，连续使用手机一段时间后进行纯充电，为了使得下火车时手机充满电，问：他上火车后最多可以连续使用手机多长时间（精确到1分钟）？ 24. 问题：如图，分别是矩形的边，，，上的点，依次连接它们得到四边形，探究四边形周长的最小值． 探究： （）如图，分别是边和上点，在边上作一点，使得的值最小，并证明（用没有刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）． （）如图，求证；当四边形的周长最小时，它是平行四边形． （）如图，若矩形中，，，求四边形周长的最小值． 拓展：如图，四边形中，，，，，，，直接写出四边形的内接四边形周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 临海市2023学年第二学期教学质量监测试题卷 八年级 数学 亲爱的考生： 欢迎参加考试！ 请你认真审题，仔细答题，发挥最佳水平．答题时，请注意以下几点： 1．全卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效． 3．答题前，请认真阅读答题纸上的“注意事项”，按规定答题． 4．本次考试不得使用计算器． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，请选出各题中一个符合题意的正确选项不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式．根据最简二次根式的定义：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，同时满足这两个条件的二次根式是最简二次根式，即可判定求解，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：、被开方数是小数，故不是最简二次根式，该选项不合题意； 、，故不是最简二次根式，该选项不合题意； 、是最简二次根式，该选项符合题意； 、，故不是最简二次根式，该选项不合题意； 故选：． 2. 长度（单位：）如下的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ）． A. 1，2，3 B. 4，5，6 C. 6，8，10 D. 7，12，13 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．掌握两小边的平方和等于最长边的平方是解答本题的关键．只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可判断． 【详解】解：A、，故不能构成直角三角形； B、，故不能构成直角三角形； C、，故能构成直角三角形； D、，故不能构成直角三角形； 故选：C． 3. 在中，若，则∠B的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得：，，再由，可得，即可求解． 【详解】解：∵如图，四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B 【点睛】此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加减、除法法则，逐项判定． 【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误，不符合题意； C、，故此选项正确，符合题意； D、，故此选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的加减和除法运算法则． 5. 若点，在一次函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的增减性．对于一次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．熟记相关结论即可． 【详解】解：∵一次函数， ∴随的增大而减小． ∵ ∴ 故选：A 6. 下面4种方法中，能判定一个四边形为菱形的是（ ） A. 测量两组对边是否分别相等 B. 测量两条对角线是否互相垂直平分 C. 测量其中三个内角是否都为直角 D. 测量两条对角线是否相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形，菱形的判定，矩形的判定，主要考查学生的推理能力和辨析能力．根据菱形的判定定理，平行四边形的判定定理及矩形的判定定理分别进行判断，即可得出结论． 【详解】解：A、根据两组对边分别相等，只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误； B、根据对角线互相垂直平分可得出四边形是菱形，故本选项正确； C、根据其中三个内角是否都为直角，可得出此时四边形是矩形，故本选项错误； D、根据对角线相等不能得出四边形是菱形，故本选项错误； 故选：B． 7. a国，b国，c国人口的年龄分布直方图分别如下图所示．如果对这三个国家人口的平均年龄，，进行排序，正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查频数（率）分布直方图，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．根据a国，b国，c国人口的年龄分布直方图即可得出答案． 【详解】解：如图， 由a国，b国，c国人口的年龄分布直方图得， 对这三个国家人口的平均年龄进行排序，， 故选：A． 8. 甲、乙两位同学拿着容积相同的两个空水杯（如图所示）同时在饮水机接满水，下列函数图象中，表示接满水过程中水杯内水的高度（单位：）随接水时间（单位：）变化规律的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的图象，根据甲同学水杯的底面积小，乙同学水杯的底面积大，可知甲同学水杯内水的高度上升的更快，又根据两个水杯的容积相同可知同一时间到达水杯的最大高度，结合图象即可判断求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，甲同学水杯的底面积小，乙同学水杯的底面积大，甲同学水杯的高度大于乙同学水杯的高度， ∴甲同学水杯内水的高度上升的更快， ∵两个水杯的容积相同， ∴甲乙同学水杯同时接满水，即同一时间到达水杯的最大高度， 故选：． 9. 如图，用四张形状大小相同的六边形纸片拼成如图的图案，每个六边形中有四个角相等．拼成的图案的内轮廓是边长为1的正方形，外轮廓是每个内角都相等的八边形，则这个图案外轮廓的周长和阴影部分的面积为（ ）． A. 周长8，面积为8 B. 周长为8，面积为6 C. 周长为，面积为8 D. 周长为，面积为6 【答案】D 【解析】 【分析】由六边形的性质证证明是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质结合勾股定理求出，进而求出周长，再求出一个六边形的面积，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如图， 图案由相同的六边形纸片拼成， ，，，，， ， ， 外轮廓是每个内角都相等的八边形， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 这个图案外轮廓的周长为； 这个图案外轮廓的面积为， 故选：D． 【点睛】本题考查多边形内角和问题，等腰三角形的判定与性质，勾股定理正方形的性质，熟练掌握多边形内角和问题是解题的关键． 10. 已知直线与直线，（其中，）在同一平面直角坐标系内，有两点，分别在，上．下列结论中正确有（ ）． ①两条直线的交点在第一象限；②两条直线的交点在直线上；③；④直线，与x轴的交点要么都在正半轴上要么都在负半轴上． A. ①② B. ②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点以及两直线的交点问题，联立两直线解析式即可判断①②；将点，分别代入对应直线解析式即可判断③；求出直线，与x轴的交点，即可判断④； 【详解】解：∵点，分别在，上 ∴ 消去可得：，即： ∴，故③正确； 由得： ∴两条直线交点为： 点在直线上，故②正确； 当，即时，两条直线的交点在第四象限，故①错误； 令，可得直线，与x轴的交点分别为 ∴直线，与x轴的交点要么都在正半轴上要么都在负半轴上，故④正确； 故选：D 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，根据二次根式的性质（）即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 命题“平行四边形的两组对边相等”的逆命题是_____． 【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【解析】 【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，写出逆命题即可． 【详解】解：命题“平行四边形的两组对边相等”的逆命题是“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”． 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 13. 如图是甲乙两地在某一个月中日平均气温的箱线图，从中可以发现这个月的日平均气温值方差较大的是____________（填“甲地”或“乙地”）． 【答案】甲地 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，方差越小，代表这组数据越稳定，方差越大，代表这组数据越不稳定，据此即可求解. 【详解】解： 根据图形可知甲地的平均气温比波动大，故甲地的日平均气温的方差大. 故答案为：甲地 ． 14. 如图的曲线反映了某一变化过程中变量随变量变化的函数关系，在这一变化过程中，随的增大而减小的的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了函数的性质，根据函数图象即可求解，看懂函数的图象是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可得，当或时，随的增大而减小， 故答案为：或． 15. 如果函数的图象与函数的图象恰好有一个交点，则______． 【答案】##-0.5 【解析】 【分析】本题考查了函数图象的交点问题，画出函数和的图象，由图象可知，当把直线向下平移，使直线经过点时，两函数图象恰好有一个交点，把代入函数解析式即可求解，画出函数图象利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：画函数和图象如下： 由图象可知，当直线经过点时，两函数图象恰好有一个交点， ∴， 解得， 故答案为：． 16. 如图，正方形纸片边长为6．E，F分别是对边，上的点，．把正方形纸片沿着直线对折，点C，D的对应点分别是点，．若，则交叠而成的五边形的周长是____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形与折叠问题，全等三角形的性质与判定；连接交于点，连接并延长交于点，连接，过点作于点，勾股定理求得，根据折叠性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定证明，进而勾股定理求得的长，进而即可求解 【详解】解：如图所示，连接交于点，连接并延长交于点，连接，过点作于点， ∵，则， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴ 在中， ∴ ∴， ∵在正方形中， ∴过的中点O， ∴, 同理可得，则， ∴四边形是平行四边形， ∵折叠， ∴， 则 在中， ∴ ∴ ∴， 在中， ∴ ∴ 同理可得 ∵ 在中， ∴ ∴ ∴ 设，则 在中， ∴ 解得： ∴ 同理可得 ∴五边形的周长为 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，第17～18题每小题6分，第19～20题每小题8分，第21～22题每小题10分，第23～24题每小题12分，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质、二次根式的除法法则分别运算，再合并即可求解，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 18. 已知一次函数（k为常数，）的图象经过点和两点． （1）求这个一次函数的解析式． （2）当时，求自变量x的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可得出答案； （2）求出当时，的值，再结合一次函数的性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵一次函数（为常数，且）的图象经过和两点， ∴， 解得：， ∴该一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：在中， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 对于，随的增大而增大， ∴当时，自变量的取值范围为． 19. 如图，菱形中，，，，垂足分别为点E，点F． （1）求证：是等边三角形． （2）若，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、中位线定理以及含度角的直角三角形的性质，熟记相关几何结论即可． （1）证得，再证即可； （2）作，可推出是的中位线得，求出即可求解； 【小问1详解】 证明：由题意得： ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴是等边三角形 【小问2详解】 解：作，如图所示： 由（1）可得： ∴是的中位线 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 20. 某安保巡逻艇在相距的上游码头和下游码头之间沿着笔直的航线来回巡逻，巡逻艇从码头顺流而下到达下游码头需要小时，从码头向码头逆流而上需要小时到达，在顺流巡逻和逆流巡逻两个阶段分别匀速航行． （1）巡逻艇从码头出发到码头，再回到码头，在这样一个往返的巡逻过程中，设巡逻艇的巡航时间为小时，它与码头相距千米．求与之间的函数解析式． （2）在（）的巡逻过程中，当为何值时，巡逻艇与码头相距？ 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】（）根据题意求出巡逻艇顺流巡逻和逆流巡逻的速度，再分和两种情况解答即可求解； （）把分别代入（）中所得的函数解析式计算即可求解； 本题考查了一次函数的应用，根据题意正确求出函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意可得，巡逻艇顺流巡逻的速度为 逆流巡逻的速度为， ∴当时，， 当时，， 综上，； 【小问2详解】 解：把代入得，， 解得； 把代入得，， 解得； ∴当或时，巡逻艇与码头相距． 21. 某校八年级有男生人，女生人，为了解八年级男生、女生一分钟跳绳情况，随机抽取了名男生和名女生进行测试，记录一分钟跳绳成绩（满分分）如下： 成绩（分） 女生人数（个） 男生人数（个） 分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 女生 男生 根据以上统计信息，回答下列问题； （1）表中____________，____________； （2）请估计该校八年级学生中，跳绳成绩满分的共有多少人？ （3）请通过数据分析，比较该校八年级男生、女生跳绳成绩整体水平（要求从两个不同的角度说明推断的合理性）． 【答案】（1），； （2）人； （3）八年级男生跳绳成绩整体水平比女生好，理由见解析． 【解析】 【分析】（）根据加权平均数和中位数的定义解答即可； （）分别用八年级男女生人数乘以满分的人数占比，相加即可求解； （）根据平均数、中位数、众数、方差的意义比较即可； 本题考查了平均数、中位数、众数、方差，样本估计总体．掌握平均数、中位数、众数和方差的意义是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意可得，（分）， ∵有名男生， ∴数据按照从大到小的顺序排列，中位数为第和第个数的平均数， ∴（分）， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该校八年级学生中，跳绳成绩满分的共有人； 【小问3详解】 解：八年级男生跳绳成绩整体水平比女生好，理由如下：八年级男生跳绳成绩的众数和女生相同，但平均数和中位数都高于女生，方差低于女生，说明八年级男生整体水平更好而且更稳定，所以八年级男生跳绳成绩整体水平比女生好． 22. 求证：连接三角形任意两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半． （要求：画出图形，写出已知、求证、证明．） 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质，延长到，使，连接、，可证四边形是平行四边形，得到，，进而得，，得到四边形是平行四边形，即得，，进而可得且，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】已知：如图，点分别是的边的中点，连接． 求证：且． 证明：如图，延长到，使，连接、， ∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴且． 23. 小张使用手机的时间比较多．他的手机在纯充电时（只充电不使用）电池电量的变化如图所示，手机的剩余电量与连续使用时间的部分数据如下表： 连续使用时间（） 0 30 60 90 120 手机剩余电量（） 100 95 90 85 80 假设手机耗电量一直满足表中规律，手机剩余电量为时必须充电，否则会自动关机． （1）请用适当的函数表达式描述手机剩余电量与连续使用时间之间的关系． （2）小张的手机在早上充满电，连续使用手机，他最迟在什么时间进行充电，才能保证手机不会自动关机？ （3）在一次外出放行过程中，他要乘坐4小时的火车，上火车时手机还有的电量．在乘坐火车过程中，连续使用手机一段时间后进行纯充电，为了使得下火车时手机充满电，问：他上火车后最多可以连续使用手机多长时间（精确到1分钟）？ 【答案】（1） （2）他最迟在进行充电，才能保证手机不会自动关机 （3）他上火车后最多可以连续使用手机 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次方程的应用． （1）根据每连续使用，电量下降，求解即可； （2）利用（1）中关系式，求出电量为时，连续使用的时间即可得出结果； （3）根据函数图像可得，电量从，纯充电到电量满需要，设小张可以连续使用手机，则纯充电到电量为的时间为，根据他要乘坐4小时的火车，下火车时手机充满电，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：每连续使用，电量下降，符合一次函数的性质， 设手机剩余电量与连续使用时间之间的关系为， 将代入， 则，解得：， 手机剩余电量与连续使用时间之间的关系为； 【小问2详解】 解：由（1）知手机剩余电量与连续使用时间之间的关系为； 则当时，则，解得：， ，则， 他最迟在进行充电，才能保证手机不会自动关机； 【小问3详解】 解：根据函数图像可得，电量从，纯充电到电量满需要， 设小张可以连续使用手机，则纯充电到电量为的时间为， 根据题意得：， 解得：， 答：他上火车后最多可以连续使用手机． 24. 问题：如图，分别是矩形的边，，，上的点，依次连接它们得到四边形，探究四边形周长的最小值． 探究： （）如图，分别是边和上点，在边上作一点，使得的值最小，并证明（用没有刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）． （）如图，求证；当四边形的周长最小时，它是平行四边形． （）如图，若矩形中，，，求四边形周长的最小值． 拓展：如图，四边形中，，，，，，，直接写出四边形的内接四边形周长的最小值． 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（2）20，拓展：12 【解析】 【分析】（）作点关于的对称点，连接，与相交于点，则，所以，根据两点之间线段最短，可知此时的值最小，再根据轴对称和对顶角的性质可证得； （）过点H作对称点为，过点作的对称点为点，连接，则，记四边形的周长为C，则，当点共线时，周长最小且为长，由对称得，而，设，则，而，同理可得，故，因此，则，同理可证：，故当四边形的周长最小时，它是平行四边形； （）由对称得：，，由，，得，，故在中，由勾股定理得，即四边形周长最小值为20；拓展：作点G关于的对称点为，作点关于的对称点，连接，由对称得故四边形的周长，当点共线时，四边形周长取得最小值，且为长，连接并延长交直线于点N，四边形周长取得最小值，此时点三点共线，由对称得：，，，，可证明，继而，则，，那么为的中位线，因此得到，故． 【详解】解：（）如图，点即为所求， ∵关于对称， ∴， ∵， ∴； （2）过点H作的对称点为，过点作的对称点为点，连接，如图： 则，记四边形的周长为C， ∴， 当点共线时，周长最小且为长，如图： 由对称得，而， ∴设， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， 同（1）得点共线， 同理可证：， ∴当四边形的周长最小时，它是平行四边形； （3）由（2）得四边形周长最小时即为长， 由对称得：，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∴在中，由勾股定理得， 即四边形周长最小值为20； 拓展：作点G关于的对称点为，作点关于的对称点，连接，如图： 由对称得 ∴四边形的周长， 当点共线时，四边形周长取得最小值，且为长，连接并延长交直线于点N，如图： 同（1）得四边形周长取得最小值，此时点三点共线， 由对称得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，两点之间线段最短求最值，三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的额关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$