精品解析：辽宁省本溪市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

本溪市2023~2024学年下学期期末考试 八年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的） 1. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 围棋起源于中国，距今已有4000多年的历史，2017年5月，柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行了围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 一个多边形的内角和等于它的外角和的倍，它是（ ） A. 八边形 B. 七边形 C. 六边形 D. 五边形 5. 证明：一个三角形中不能有两个角是直角． 已知：． 求证：，，中不能有两个角是直角． 证明：假设，，中有两个角是直角，不妨设和是直角，即，． 于是． 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“和是直角”的假设不成立． 所以，一个三角形中不能有两个角是直角． 上述证明方法是（ ） A. 归纳法 B. 枚举法 C. 反证法 D. 综合法 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 木工师傅将一个含45度角三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，能解释这一现象的数学知识是（ ） A. 垂线段最短 B. 等腰三角形的“三线合一” C. 角平分线的性质定理 D. 线段垂直平分线的性质定理 8. 下表是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程． 甲、乙两地相距1400km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h，已知高铁列车平均行驶速度是特快列车的2.8倍． 小明： 小红： 下列判断正确是（ ） A. 小明设的未知数是高铁列车的平均速度 B. 小红设的未知数是乘特快列车从甲地到乙地的时间 C. 高铁列车的平均速度是 D. 特快列车从甲地到乙地的时间是 9. 如图，中，的平分线与边的垂直平分线交于点，过作于点，连接，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在平面直角坐标系中，的边在轴上，直线沿轴正方向平移，在平移过程中，该直线在轴上平移的距离为．直线被平行四边形的边所截得的线段长为，且与对应关系图象如图2所示，则的面积为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点成中心对称的点的坐标为______． 12. 要将分式化成最简分式，应将分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式是______． 13. 因式分解：______． 14. 如图，在三角形纸片中，，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的长为______． 15. 如图，在中，为边上的高，点F和点G分别为高和边上的动点，且．若，，，则的最小值为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1）解不等式，并把它的解集表示在数轴上． （2）解方程： 17. 化简求值：，其中 18. 在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： （1）将向下平移得到，若点平移后对应点的坐标为，则点对应点的坐标为______； （2）作出绕原点顺时针旋转的； （3）点在平面直角坐标系中，若以，，四点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点坐标． 19. “水晶市动微风起，满架蔷薇一院香．”伴着明媚的阳光，弥漫的花香，悦耳的蝉鸣，学校迎来了校园读书节，学校计划购进一批图书，已知用420元购买自然科学类图书的数量是用180元购买文学类图书数量的2倍，其中文学类图书单价比自然科学类图书单价少6元 （1）求自然科学类图书和文学类图书的单价分别是多少？ （2）学校准备购进两种图书共800册，总费用不超过30000元，则最多购进自然科学类图书多少册？ 20. 经过三角形一个顶点的线段把这个三角形分成两个小三角形，其中一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，这条线段称为原三角形的“分割线”，例如：如图1，等腰直角三角形斜边上的中线就是一条“分割线”，如图2，中，，，，已知中存在“分割线”，请你用直尺和圆规作出这条“分割线”（保留作图痕迹，不写作法），验证你作的线段是“分割线”并求出它的长度． 21. 如图，四边形中，，点在上，，过点作交边于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，，，求边的长． 22. 综合与实践：生活中“一次模型” 发现问题】 为解决学生课桌乱堆乱放现象，班主任李老师计划从文具店购买两种不同型号的书挂袋给学生使用，每名学生1只（班级共40名学生）．购买书挂袋时，发现购买书挂袋的费用随着购买的数量变化而变化． 【提出问题】 在文具店购买两种书挂袋的总费用元与购买型书挂袋数量（为正整数）只，有怎样的函数关系？ 【分析问题】 李老师对文具店销售两种型号的书挂袋情况进行了调查，得到如下信息： 信息一：购买1只型书挂袋，1只型书挂袋共需要45元：购买3只型书挂袋，2只型书挂袋共需115元； 信息二：型书挂袋每只进价18元，型书挂袋每只进价16元． 经过分析研究，李老师得到购买两种书挂袋的总费用元与购买型书挂袋数量只是一次函数关系． 【解决问题】 （1）设文具店型书挂袋每只售价元，型书挂袋每只售价元，求文具店每只型书挂袋和型书挂袋售价各是多少？ （2）求与函数关系式； （3）李老师到该文具店购买型和型两种书挂袋，文具店正在推广型书挂袋，决定将每只型书挂袋降价元，型书挂袋售价不变，若文具店在这次销售过程中，所获利润始终保持不变，则值为多少？文具店所获利润是多少？ 23. 点为平面直角坐标系中的任意一点，若（x和y分别是点P的横坐标和纵坐标），则m称为点P的特征数． （1）当点P的坐标为时，求点P的特征数m的值； （2）已知点的特征数是，点的特征数是4．求点M的坐标； （3）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，在x轴上，顶点在y轴上，连接． ①点E和点F的特征数都是1，且两点都在平行四边形的边上，连接，判断线段与对角线的关系，说明理由； ②当点在平行四边形的内部（不含边界）时，直接写出点P的特征数m的取值范围． 参考公式：两点，，则它们中点P的坐标为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 本溪市2023~2024学年下学期期末考试 八年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的） 1. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的应用，熟练掌握分式的意义是解题的关键．本题根据分式的意义即可得到结果． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：C． 2. 围棋起源于中国，距今已有4000多年的历史，2017年5月，柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行了围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，理解定义：“将图形绕着某一点旋转与原图形重合的图形叫做中心对称图形．”是解题的关键． 【详解】A.符合中心对称图形的定义，故此项符合题意； B.不符合中心对称图形的定义，故此项不符合题意； C.不符合中心对称图形的定义，故此项不符合题意； D.不符合中心对称图形的定义，故此项不符合题意； 故选：A． 3. 下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，根据因式分解的定义逐项判断即可，即把一个多项式化成几个整式乘积的形式． 【详解】因为A选项没有将多项式化成整式乘积的形式，不正确，不符合题意； 因为B选项属于整式乘法，不正确，不符合题意； 因为C选项等式两边不成立，不正确，不符合题意； 因为D选项符合定义，正确，符合题意． 故选：D． 4. 一个多边形的内角和等于它的外角和的倍，它是（ ） A. 八边形 B. 七边形 C. 六边形 D. 五边形 【答案】A 【解析】 【分析】设多边形的边数为n，根据多边形内角和与外角和关系，旅顺求解即可． 【详解】解：设多边形的边数为n，根据题意，得 解得：， 这个多边形是八边形， 故选：A． 【点睛】本题考查多边形内角和与外角和，熟练掌握多边形的内角公式和与多边形的外角和等于是解题的关键． 5. 证明：一个三角形中不能有两个角是直角． 已知：． 求证：，，中不能有两个角是直角． 证明：假设，，中有两个角是直角，不妨设和是直角，即，． 于是． 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“和是直角”的假设不成立． 所以，一个三角形中不能有两个角是直角． 上述证明方法是（ ） A. 归纳法 B. 枚举法 C. 反证法 D. 综合法 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反证法“假设命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法”，熟记定义是解题关键．根据反证法的定义即可解答． 【详解】解：由证明过程可知，证明方法是反证法， 故选：C． 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，把解集表示在数轴上；分别解两个不等式，将它们的解集表示在同一数轴上即可求解；带等于号的用实心点，不带等于号的用空心点． 【详解】解不等式①得：， 解不等式②得． 因此不等式的解集为， 故选A． 7. 木工师傅将一个含45度角的三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，能解释这一现象的数学知识是（ ） A. 垂线段最短 B. 等腰三角形的“三线合一” C. 角平分线的性质定理 D. 线段垂直平分线的性质定理 【答案】B 【解析】 【分析】利用等腰三角形的性质即可确定答案． 【详解】解：由题意可知，三角尺是等腰的，等腰三角形底边上的高与底边上的中线重合，若重锤的线经过三角尺底边的中点刻度，说明重锤与三角形底边上的高是重合的，而重锤是和水平面互相垂直的，所以说明此时的横梁是水平的，如果重锤的线没有经过三角尺底边的中点刻度，则说明横梁不是水平的， 因此能解释这一现象的数学知识是等腰三角形的三线合一． 故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，理解等腰三角形三线合一（顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合）的性质是解题的关键． 8. 下表是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程． 甲、乙两地相距1400km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍． 小明： 小红： 下列判断正确的是（ ） A. 小明设的未知数是高铁列车的平均速度 B. 小红设的未知数是乘特快列车从甲地到乙地的时间 C. 高铁列车的平均速度是 D. 特快列车从甲地到乙地的时间是 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查分式方程的实际运用，掌握路程、时间、速度三者之间的关系是解决问题的关键． 由路程÷速度=时间，路程÷时间=速度，利用“乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h，已知高铁列车平均行驶速度是特快列车的2.8倍．”得出等量关系：特快列车所需时间－高铁所需时间=9，高铁速度=2.8×特快列车速度，即可建立方程求得答案即可． 【详解】解：设特快列车的平均行驶速度为，由题意得 解得：， 经检验是原分式方程的解， 设高铁列车从甲地到乙地的时间为，由题意得 ， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 则特快列车从甲地到乙地的时间是， 故选项A、B、C错误， 故选：D 9. 如图，中，的平分线与边的垂直平分线交于点，过作于点，连接，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作，连接，如图所示，由中垂线的性质得到，结合等腰三角形的判定与性质得到，再结合角平分线的性质及三角形全等的判定与性质得到． 【详解】解：过点作，连接，如图所示： 点在线段的垂直平分线上， ， ， 点在的角平分线上， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查求角度，涉及中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟记相关几何性质，数形结合表示角度是解决问题的关键． 10. 如图1，在平面直角坐标系中，的边在轴上，直线沿轴正方向平移，在平移过程中，该直线在轴上平移的距离为．直线被平行四边形的边所截得的线段长为，且与对应关系图象如图2所示，则的面积为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图像可知当移动的距离是1时，直线经过点，当移动距离是3时，直线经过点，当移动距离是时经过点，当移动距离是7时，直线经过点，则，当直线经过点，设直线交于，则，作于点，利用勾股定理可求得，即平行四边形的高，然后利用平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】解：根据图像可知当移动的距离是1时，直线经过点，当移动距离是3时，直线经过点，当移动距离是时经过点，当移动距离是7时，直线经过点， ， 如图所示： 当直线经过点，设直线交于，则，作于点， 与轴的夹角是，边在轴上， ， ，则由勾股定理得， 平行四边形的面积是， 故选：B． 【点睛】本题考查了函数的图象的识别，一次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行四边形的性质以及勾股定理，根据图像分析得出的长度，正确求得平行四边形的高是解题的关键． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点成中心对称的点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的对称，熟记关于原点中心对称的点的坐标特征直接求解即可得到答案，熟记关于原点中心对称的两个点坐标互为相反数是解决问题的关键． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点成中心对称的点的坐标为， 故答案为：． 12. 要将分式化成最简分式，应将分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查约分，约掉分式分子分母的公因式就能将分式化为最简分式，熟记分式约分法则，准确找到分式分子分母公因式是解决问题的关键． 【详解】解：要将分式化成最简分式，应将分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式是， 故答案为：． 13. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，涉及提公因式法及平方差公式因式分解，先提公因式，再由平方差公式因式分解即可得到答案，综合应用提公因式法及公式法因式分解是解决问题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 14. 如图，在三角形纸片中，，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，分两种情况，过点作，如图所示，利用对称性得到、均是等腰三角形，结合等腰三角形性质及三角形内角和定理证得是等腰直角三角形，由含的直角三角形性质及勾股定理求出线段长即可得到答案． 【详解】解：根据题意，分两种情况： 过点作，如图所示： ， 由对称性可知，，即、均是等腰三角形， ，， ， ， 在中，，则由三角形内角和定理可得， 再由对称性可知， ，， ，则，即是等腰直角三角形， ， 在中，，，则，由勾股定理可得， ； 过点作，如图所示： 同理可知，，， ； 综上所述，当时，长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查三角形中求线段长，涉及对称性、等腰三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形内角和定理、含的直角三角形性质及勾股定理等知识，熟记对称性质，等腰三角形的判定与性质，结合题意分类讨论是解决问题的关键． 15. 如图，在中，为边上的高，点F和点G分别为高和边上的动点，且．若，，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识；作辅助线构造全等三角形是解题的关键；过点D作，且，分别连接；证明，则有，故，当点G在上时，取得最小值，且最小值为线段的长，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点D作，且，分别连接； 则， ∴； 在中，，， ； ， , ； ， ， ， ， 当点G在上时，取得最小值，且最小值为线段的长； 在中，由勾股定理得：， 即的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1）解不等式，并把它的解集表示在数轴上． （2）解方程： 【答案】（1），图见解析 （2）原方程无解 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式和解分式方程，熟练掌握运算法则是解答本题的关键 （1）不等式去分母，去括号，移项，合并，系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可； （2）分式方程去分母化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解 【小问1详解】 解：， 去分母是， 去括号得，， 移项，合并得， 系数化为1，得： 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示： 【小问2详解】 解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项，得：， 合并是，， 系数化为1，得： 经检验：是增根 所以，原方程无解 17. 化简求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，以及分式的性质， 根据分式的性质以及完全平方公式进行通分化简，再代入求值即可 【详解】解：原式 当时 原式 18. 在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： （1）将向下平移得到，若点平移后对应点的坐标为，则点对应点的坐标为______； （2）作出绕原点顺时针旋转的； （3）点在平面直角坐标系中，若以，，四点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点坐标． 【答案】（1） （2）作图见解析 （3），， 【解析】 【分析】本题考查图形与坐标，涉及平移性质求点的坐标、旋转作图、构造平行四边形求顶点坐标等，熟记平移性质、旋转性质及平行四边形的性质是解决问题的关键． （1）由平面直角坐标系中的得到点、，再由图形平移即可得到点对应点的坐标； （2）由旋转作图，先作出对应点，再连线即可得到答案； （3）由平行四边形的判定与性质，过的顶点作对边的平行线交于，即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，点、， 将向下平移得到，若点平移后对应点的坐标为， ； 【小问2详解】 解：如图所示： 即所求； 【小问3详解】 解：过的顶点作对边的平行线交于，如图所示： ，，，即点坐标，，． 19. “水晶市动微风起，满架蔷薇一院香．”伴着明媚的阳光，弥漫的花香，悦耳的蝉鸣，学校迎来了校园读书节，学校计划购进一批图书，已知用420元购买自然科学类图书的数量是用180元购买文学类图书数量的2倍，其中文学类图书单价比自然科学类图书单价少6元 （1）求自然科学类图书和文学类图书的单价分别是多少？ （2）学校准备购进两种图书共800册，总费用不超过30000元，则最多购进自然科学类图书多少册？ 【答案】（1）文学类图书的单价为36元，自然科学类图书的单价为42元 （2）学校最多购进自然科学类图书200册 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和不等式． （1）设文学类图书的单价为x元，则自然科学类图书的单价为元，根据用420元购买自然科学类图书的数量是用180元购买文学类图书数量的2倍，其中文学类图书单价比自然科学类图书单价少6元得分式方程，即可解得答案； （2）设学校购进自然类科学图书m册，则购进文学类图书册，依题意得列出不等式求解即可 【小问1详解】 解：设文学类图书的单价为x元，则自然科学类图书的单价为元 依题意得： 解得： 经检验：是原方程解 答：文学类图书单价为36元，自然科学类图书的单价为42元 【小问2详解】 解：设学校购进自然类科学图书m册，则购进文学类图书册 依题意得： 解得： 答：学校最多购进自然科学类图书200册． 20. 经过三角形一个顶点的线段把这个三角形分成两个小三角形，其中一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，这条线段称为原三角形的“分割线”，例如：如图1，等腰直角三角形斜边上的中线就是一条“分割线”，如图2，中，，，，已知中存在“分割线”，请你用直尺和圆规作出这条“分割线”（保留作图痕迹，不写作法），验证你作的线段是“分割线”并求出它的长度． 【答案】“分割线”见详解，6 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的作法，直角三角形的特征，等腰三角形的判定及性质；作出的平分线，由等腰三角形的定义得是等腰三角形，求出的各个内角，由“分割线”的定义即可验证，设由直角三角形的特征得，即可求解；理解“分割线”的定义，掌握角平分线的作法及等腰三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：作的平分线交边于点D， 则线段就是的“分割线”， ，， ， 平分， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， 的三个内角与的三个内角度数相等， 线段是的“分割线”， 设 在中，， ， ， ， ． 得：， 即的“分割线”的长为． 21. 如图，四边形中，，点在上，，过点作交边于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，，，求边的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）由平行线的判定与性质，利用平行四边形的判定定理求证即可得到答案； （2）作于点，如图所示，根据角平分线性质及平行四边形性质得到，在中，由勾股定理得到，利用等面积法代值求解即可得到答案． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：作于点，如图所示： 则， 平分， ， 四边形是平行四边形， ，即， 在中，，则由勾股定理可得， ，， ， ， ． 【点睛】本体考查四边形综合，设计平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、角平分线的性质定理、勾股定理及等面积法求线段长等知识，熟记相关几何判定与性质，灵活运用是解决问题的关键． 22. 综合与实践：生活中的“一次模型” 【发现问题】 为解决学生课桌乱堆乱放现象，班主任李老师计划从文具店购买两种不同型号的书挂袋给学生使用，每名学生1只（班级共40名学生）．购买书挂袋时，发现购买书挂袋的费用随着购买的数量变化而变化． 【提出问题】 在文具店购买两种书挂袋的总费用元与购买型书挂袋数量（为正整数）只，有怎样的函数关系？ 【分析问题】 李老师对文具店销售两种型号的书挂袋情况进行了调查，得到如下信息： 信息一：购买1只型书挂袋，1只型书挂袋共需要45元：购买3只型书挂袋，2只型书挂袋共需115元； 信息二：型书挂袋每只进价18元，型书挂袋每只进价16元． 经过分析研究，李老师得到购买两种书挂袋的总费用元与购买型书挂袋数量只是一次函数关系． 【解决问题】 （1）设文具店型书挂袋每只售价元，型书挂袋每只售价元，求文具店每只型书挂袋和型书挂袋售价各是多少？ （2）求与函数关系式； （3）李老师到该文具店购买型和型两种书挂袋，文具店正在推广型书挂袋，决定将每只型书挂袋降价元，型书挂袋售价不变，若文具店在这次销售过程中，所获利润始终保持不变，则值为多少？文具店所获利润是多少？ 【答案】（1）文具店型书挂袋每只售价25元，型书挂袋每只售价20元 （2）与的函数关系式为 （3）为3时，文具店所获利润始终不变，是160元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组、一次函数解实际应用题，读懂题意，准确找到等量关系确定方程组及函数关系是解决问题的关键． （1）设文具店型书挂袋每只售价元，型书挂袋每只售价元，由题中等量关系列方程组求解即可得到答案； （2）根据题意，直接得到，整理即可得到与的函数关系式为； （3）设文具店这次销售过程中所获利润为元，由题意得，再由文具店在这次销售过程中，所获利润始终保持不变，得求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：设文具店型书挂袋每只售价元，型书挂袋每只售价元， 依题意得，解得， 答：文具店型书挂袋每只售价25元，型书挂袋每只售价20元； 【小问2详解】 解：由已知得， 整理得， 与的函数关系式为； 【小问3详解】 解：设文具店这次销售过程中所获利润为元， 依题意得， 整理得， 文具店在这次销售过程中，所获利润始终保持不变， ，解得，此时， 答：为3时，文具店所获利润始终不变，160元． 23. 点为平面直角坐标系中的任意一点，若（x和y分别是点P的横坐标和纵坐标），则m称为点P的特征数． （1）当点P的坐标为时，求点P的特征数m的值； （2）已知点的特征数是，点的特征数是4．求点M的坐标； （3）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，在x轴上，顶点在y轴上，连接． ①点E和点F的特征数都是1，且两点都在平行四边形的边上，连接，判断线段与对角线的关系，说明理由； ②当点在平行四边形的内部（不含边界）时，直接写出点P的特征数m的取值范围． 参考公式：两点，，则它们中点P的坐标为 【答案】（1） （2） （3）①，；② 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，平行四边形的性质，两点距离计算公式等等： （1）根据特征数的定义求解即可； （2）根据特征数的定义可得方程组，解之即可； （3）①根据特征数的定义可推出点E在直线上，同理点F在直线上，求出直线解析式，进而求出点E和点F的坐标，再利用勾股定理求出的长，进一步求出的长以及直线的解析式即可得到答案；②可推出点P在直线上，由平行四边形的性质得到顶点，再求出当直线恰好经过时，；当直线恰好经过时，，据此可得答案． 【小问1详解】 解：由题意得，； 【小问2详解】 解：∵点的特征数是，点的特征数是4， ∴， 解得， ∴点M的坐标为； 【小问3详解】 解：①设， ∵点E的特征数是1， ∴， ∴， ∴点E在直线上， 同理点F在直线上， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得， 在中，当时，， ∴直线与交于，与交于， 不妨设，， ∴， 同理可得直线解析式为，， ∴，； ②由题意得，， ∴， ∴点P在直线上， ∵平行四边形的顶点，，顶点， ∴顶点 当直线恰好经过时，则，解得； 当直线恰好经过时，则，解得； 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$