精品解析：河南省驻马店市泌阳县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度下期期末素质测试题 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 要使分式有意义，则x取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 每年 10 月 16 日为世界粮食日，它告诫人们要珍惜每一粒粮食．已知一粒米的重量是千克， 将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 一组数据中，去掉一个最高分和一个最低分，下列数据一定不发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 4. 下列说法错误的是（ ） A. 平行四边形的对边相等 B. 菱形的每条对角线平分一组对角 C. 正方形既是轴对称图形、又是中心对称图形 D. 矩形的对角线互相垂直平分 5. 如图，在矩形中，为边延长线上一点，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 硫酸钠（）是一种主要的日用化工原料，主要用于制造洗涤剂和牛皮纸制浆工艺．硫酸钠的溶解度y（）与温度t（）之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 当温度为时，硫酸钠的溶解度为 B. 硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C. 当温度为时，硫酸钠的溶解度最大 D. 要使硫酸钠的溶解度大于，温度只能控制在 7. 如图所示，一次函数（k，b是常数，）与正比例函数（m是常数，）图象相交于点，下列判断错误的是（ ） A. 关于x的不等式的解集是 B. 关于x的方程的解是 C. 当时，函数的值比函数的值大 D. 关于x，y的方程组的解是 8. 如图，四边形OABC是菱形，CD⊥x轴，垂足为D，函数的图象经过点C，若CD＝4，则菱形OABC的面积为（ ） A. 15 B. 20 C. 29 D. 24 9. 如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（　　） A. 平行四边形→正方形→平行四边形→矩形 B 平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 C. 平行四边形→正方形→菱形→矩形 D. 平行四边形→菱形→正方形→矩形 10. 如图，在矩形中，，点、分别在边、上，将沿折叠，使点落在边上的点处，将沿折叠，使点落在上的点处．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每题3分，共15分） 11. 已知关于x的分式方程有增根，则a=_______． 12. 某校组织学生进行剪窗花活动，小华同学将剪好兔子放在适当的平面直角坐标系中．若兔子两只耳朵上的点与点恰好关于y轴对称，则的值为_______． 13. 新定义：将数据称为一次函数（，a，b为实数）“互联数”，若“互联数”所对应的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解是______． 14. 如图，平行四边形的顶点B在双曲线上，顶点C在双曲线上，中点P恰好落在y轴上，已知，则______． 15. 将的正方形网格如图所示的放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是 1，正方形的顶点都在格点上，若直线与正方形有两个公共点，则k的取值范围是__________． 三、解答题（每小题8分，共75分） 16. （1）计算： ． （2）解方程：． 17. 先化简：再从 的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值． 18. 如图，矩形 中，的垂直平分线分别交、于点P、Q，连接和，求证：四边形 是菱形． 19. 某商店准备购进A，B两种护眼灯，已知每台护眼灯的进价A种比B种多40元，用2000元购进A种护眼灯和用1600元购进B种护眼灯的数量相同． （1）A，B两种护眼灯每台进价各是多少元？ （2）该商店计划用不超过14550元的资金购进A，B两种护眼灯共80台，A，B两种护眼灯的每台售价分别为300元和200元．若这两种护眼灯全部售出，则该商店应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？ 20. 2023年3月5日，中华人民共和国第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京召开，某校为使学生更好地了解“两会”，争做新时代好少年，开展了“两会”知识竞赛活动，分别从八（1）班和八（2）班各随机抽取10名学生的竞赛成绩（单位：分，满分100分），并对数据进行了如下分析与整理： 收集数据 八（1）班学生知识竞赛成绩：84，75，82，70，91，83，80，74，79，82 八（2）班学生知识竞赛成绩：80，65，75，68，95，82，84，80，92，79 分析数据 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 八（1）班 80 b 82 31.6 八（2）班 a 80 c 78.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ． （2）请你对八（1）班和八（2）班抽取的这10名学生的知识竞赛成绩作出评价． （3）该校除开展两会知识竞赛活动外，还组织了制作关于“两会”手抄报的评比活动，并对手抄报进行评分（单位：分，满分100分）．在八（2）班抽取的这10名学生中，甲同学和乙同学的知识竞赛成绩分别为95分和92分，手抄报成绩分别为70分和80分．现对甲同学和乙同学进行综合评分，若知识竞赛成绩占70%，手抄报成绩占30%，则哪位同学的综合成绩较好？ 21. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在线段BD上，且，连结AE、CE、AF、CF． （1）求证：四边形AECF为平行四边形； （2）若，，，求四边形AECF的周长． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接OB，在x轴上取点C，使，求面积； （3）P是y轴上一点，且是等腰三角形，请直接写出符合条件的所有P点坐标． 23. 综合与实践 问题背景 在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相关问题的研究，下面是创新小组在操作纸片过程中研究的问题，请你解决这些问题． 如图1，，其中，，． 操作与发现 （1）如图2，创新小组将两张三角形纸片按如图所示的方式放置后，经过观察发现四边形是矩形，请你证明这个结论． 操作与探究 （2）创新小组在图2的基础上，将纸片沿方向平移至如图3的位置，其中点与的中点重合，连接，，经过探究后发现四边形是菱形，请你证明这个结论． （3）创新小组在图3的基础上又进行了探究，将纸片绕点逆时针旋转至与平行的位置，如图4所示，连接，．创新小组经过观察与推理后发现四边形是矩形，请你证明这个结论． 提出问题 （4）请你参照以上操作，在图2的基础上，通过平移或旋转构造出新的图形，在图5中画出这个图形，标明字母，说明构图方法，写出你发现的结论，不必证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度下期期末素质测试题 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 要使分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式有意义分母不为零求解即可． 【详解】解：要使分式有意义，则， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义分母不为零是解题的关键． 2. 每年 10 月 16 日为世界粮食日，它告诫人们要珍惜每一粒粮食．已知一粒米的重量是千克， 将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：C． 3. 一组数据中，去掉一个最高分和一个最低分，下列数据一定不发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的定义判断即可． 【详解】解：一组数据中，去掉一个最高分和一个最低分，再进行统计，则上述四个统计量中，一定不会发生变化的是中位数；平均数、众数、方差都会发生改变； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了中位数、众数、算术平均数、方差的含义和判断，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响. 4. 下列说法错误的是（ ） A. 平行四边形的对边相等 B. 菱形每条对角线平分一组对角 C. 正方形既是轴对称图形、又是中心对称图形 D. 矩形的对角线互相垂直平分 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，一一判断即可． 【详解】、平行四边形的对边相等，此选项说法正确，不符合题意； 、菱形的每条对角线平分一组对角，此选项说法正确，不符合题意； 、正方形既是轴对称图形、又是中心对称图形，此选项说法正确，不符合题意； 、矩形的对角线互相平分且相等，此选项说法错误，符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了命题与定理，平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的性质及其应用． 5. 如图，在矩形中，为边延长线上一点，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，交与点，根据已知条件可知，，则是等腰三角形，再根据，可求得的度数． 【详解】解：连接，交与点， 如图所示， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰三角形， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质和判定，解答关键是添加辅助线，利用矩形的对角线相等且互相平分的性质解题． 6. 硫酸钠（）是一种主要的日用化工原料，主要用于制造洗涤剂和牛皮纸制浆工艺．硫酸钠的溶解度y（）与温度t（）之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 当温度为时，硫酸钠的溶解度为 B. 硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C. 当温度为时，硫酸钠的溶解度最大 D. 要使硫酸钠的溶解度大于，温度只能控制在 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象对应的的横坐标和纵坐标以及图象的增减性解答即可． 【详解】解：由图象可知： 当温度为时，碳酸钠的溶解度小于，故选项A说法错误，不符合题意； 至时，碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大，至时，碳酸钠的溶解度随着温度的升高而减小，故选项B说法错误，不符合题意； 当温度为时，碳酸钠的溶解度最大，说法正确，故选项C符合题意； 要使碳酸钠的溶解度大于，温度可控制在接近至，故选项D说法错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了函数的图象，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 7. 如图所示，一次函数（k，b是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点，下列判断错误的是（ ） A. 关于x的不等式的解集是 B. 关于x的方程的解是 C. 当时，函数的值比函数的值大 D. 关于x，y的方程组的解是 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件结合图象对各选项进行判断即可． 【详解】解：一次函数是常数，与正比例函数是常数，的图象相交于点， 关于的不等式的解集是，选项A判断错误，符合题意； 关于的方程的解是，选项B判断正确，不符合题意； 当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意； 关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，知道方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标是解题的关键． 8. 如图，四边形OABC是菱形，CD⊥x轴，垂足为D，函数的图象经过点C，若CD＝4，则菱形OABC的面积为（ ） A. 15 B. 20 C. 29 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得到S△COD＝×12＝6，得到OD＝3，根据勾股定理得到OC＝＝5，根据菱形的性质得到OC＝OA＝5，则可求解菱形OABC的面积． 【详解】解：∵函数的图象经过点C，CD⊥x轴， ∴S△COD＝×12＝6． ∵CD＝4， ∴OD＝3． ∴由勾股定理得OC＝＝5． ∵四边形OABC是菱形， ∴OC＝OA＝5． ∴S菱形OABC＝OA•CD＝5×4＝20． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k几何意义的应用，掌握反比例函数的比例系数的几何意义及菱形的性质是解题的关键． 9. 如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（　　） A. 平行四边形→正方形→平行四边形→矩形 B. 平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 C. 平行四边形→正方形→菱形→矩形 D. 平行四边形→菱形→正方形→矩形 【答案】B 【解析】 【分析】根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况． 【详解】解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形． 故选：B． 【点睛】考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，根据EF与AC的位置关系即可求解． 10. 如图，在矩形中，，点、分别在边、上，将沿折叠，使点落在边上的点处，将沿折叠，使点落在上的点处．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质及折叠的性质，解题的关键是熟练掌握矩形和折叠的性质及其应用． 证明≌，推出，再证明，再通过线段和差即可得结论． 【详解】解：由翻折的性质可知，，， 在和中， ， ≌， ， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， ， 由翻折的性质可知，，，， ， ， ， ， 故选：C． 二、填空题（本大题共5个小题，每题3分，共15分） 11. 已知关于x的分式方程有增根，则a=_______． 【答案】1 【解析】 【分析】方程两边都乘以最简公分母（x＋2），把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的最简公分母等于0求出方程有增根，然后代入求解即可得到a的值． 【详解】方程两边都乘以（x＋2）得，a－1=x＋2． ∵分式方程有增根， ∴x＋2=0，即a－1=0， 解得a=1． 故答案为1 12. 某校组织学生进行剪窗花活动，小华同学将剪好的兔子放在适当的平面直角坐标系中．若兔子两只耳朵上的点与点恰好关于y轴对称，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于y轴的对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标不变，可得出a，b的值，再代入要求的代数式求值即可． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题主要是考查了关于对称轴的对称的点的坐标特征，能够熟记关于y对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标不变是关键． 13. 新定义：将数据称为一次函数（，a，b为实数）“互联数”，若“互联数”所对应的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据“互联数” ，所对应的一次函数是正比例函数，求出的值，代入分式方程求解即可． 【详解】解： “互联数” ，所对应的一次函数是正比例函数， ，， ， 代入方程得， 解得， 检验：当时，， 方程的解为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正比例函数的定义，解分式方程，新定义问题，掌握一般地，形如是常数，的函数叫做正比例函数是解题的关键． 14. 如图，平行四边形的顶点B在双曲线上，顶点C在双曲线上，中点P恰好落在y轴上，已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点和点分别作轴的垂线段和，先证明，则，易知，，由此可得，从而得到，求出的值即可． 【详解】解：连接，过点和点分别作轴的垂线段和，垂足分别为点E、D，如图所示： ， 中点恰好落在轴上， ， ， ， ， 点在双曲线上， ， 点在双曲线上，且从图像得出， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 解得：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何意义、平行四边形的面积，解决这类问题，要熟知反比例函数图象上点到轴的垂线段与此点与原点的连线组成的三角形面积是． 15. 将的正方形网格如图所示的放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是 1，正方形的顶点都在格点上，若直线与正方形有两个公共点，则k的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】分别确定点A和点C的坐标，代入正比例函数的解析式即可求得k的取值范围． 本题考查了正比例函数的性质，解题的关键是求得点A和点C的坐标． 【详解】解：由题意得：点A的坐标为，点C的坐标为， 当正比例函数经过点A时，， 当经过点C时，， 解得， ∵直线与正方形有两个公共点， ∴k的取值范围是， 故答案为：． 三、解答题（每小题8分，共75分） 16. （1）计算： ． （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）原方程无解 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解分式方程，熟练掌握运算规则是解题的关键． （1）根据负指数幂，零指数幂，乘方公式的逆用分别进行计算，然后进行加减法即可； （2）先去分母，化简为整式方程，然后解一元一次方程即可，最后将根代入分母进行检验确定方程的解． 【详解】解：（1）原式 （2）方程两边都乘以，约去分母得： 解得： 检验：把代入分母， 所以是增根，则原方程无解． 17. 先化简：再从 的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，分式的化简求值，先计算括号内分式的加减运算，再计算分式的除法运算，最后结合分式有意义的条件选取再代入计算即可； 【详解】解：原式＝ ＝ ＝， 要使分式有意义，，， ∴，，， ∵且x为整数， ∴， ∴原式＝ 18. 如图，矩形 中，的垂直平分线分别交、于点P、Q，连接和，求证：四边形 是菱形． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】先证明，，．再证明，再进一步可得结论； 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴； 又∵O为的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形 又∵ ∴四边形为菱形； 【点睛】本题考查的全等三角形的判定与性质，矩形的性质，菱形的判定，熟记菱形的判定方法三点解本题的关键. 19. 某商店准备购进A，B两种护眼灯，已知每台护眼灯的进价A种比B种多40元，用2000元购进A种护眼灯和用1600元购进B种护眼灯的数量相同． （1）A，B两种护眼灯每台进价各是多少元？ （2）该商店计划用不超过14550元的资金购进A，B两种护眼灯共80台，A，B两种护眼灯的每台售价分别为300元和200元．若这两种护眼灯全部售出，则该商店应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）200，160 （2）A : 43；B : 37；最大利润为5780元 【解析】 【分析】（1）设每台B种护眼灯进价为x元，则A种护眼灯进价为元，由“用2000元购进A种护眼灯和用1600元购进B种护眼灯的数量相同”列出方程即可求解； （2）设A种护眼灯买m台，B种护眼灯买台，利润为W元，根据题意列不等式求出m的取值范围，并求出W与m的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设B种护眼灯每台进价为x元，则A种护眼灯每台进价为元， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴A种护眼灯每台进价为200元，B种护眼灯每台进价为160元； 【小问2详解】 解：设A种护眼灯买m台，B种护眼灯买台，利润为W元， 则， ∴，且m为整数， ， W为关于m一次函数，， ∴W随m的增大而增大， ∴当时，W有最大值，最大值为5780， ∴A种护眼灯买43台，B种护眼灯买37台时，能获得最大利润为5780元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，分析题意，找到合适的数量关系是解决问题的关键． 20. 2023年3月5日，中华人民共和国第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京召开，某校为使学生更好地了解“两会”，争做新时代好少年，开展了“两会”知识竞赛活动，分别从八（1）班和八（2）班各随机抽取10名学生的竞赛成绩（单位：分，满分100分），并对数据进行了如下分析与整理： 收集数据 八（1）班学生知识竞赛成绩：84，75，82，70，91，83，80，74，79，82 八（2）班学生知识竞赛成绩：80，65，75，68，95，82，84，80，92，79 分析数据 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 八（1）班 80 b 82 31.6 八（2）班 a 80 c 78.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ． （2）请你对八（1）班和八（2）班抽取的这10名学生的知识竞赛成绩作出评价． （3）该校除开展两会知识竞赛活动外，还组织了制作关于“两会”手抄报的评比活动，并对手抄报进行评分（单位：分，满分100分）．在八（2）班抽取的这10名学生中，甲同学和乙同学的知识竞赛成绩分别为95分和92分，手抄报成绩分别为70分和80分．现对甲同学和乙同学进行综合评分，若知识竞赛成绩占70%，手抄报成绩占30%，则哪位同学的综合成绩较好？ 【答案】（1）80，81，80 （2）见解析 （3）乙的综合成绩较好 【解析】 【分析】（1）根据平均数定义可得的值，根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值； （2）根据平均数，众数，中位数及方差的意义解答即可； （3）利用加权平均数计算即可比较． 【小问1详解】 解：八（2）班学生知识竞赛的平均成绩， 八（1）班的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是80，82，则中位数， 八（2）班的成绩中，80出现的次数最多，故众数； 故答案为：80，81，80； 【小问2详解】 两个班平均成绩相同，但八（1）班的中位数及众数均高于八（2）班，并且方差小于八（2）班，所以八（1）班成绩更稳定且优于八（2）班； 【小问3详解】 甲的综合成绩为：分， 乙的综合成绩为：分， 故乙的综合成绩较好． 【点睛】本题考查中位数、众数、平均数以及方差，掌握平均数、中位数、众数的计算方法是正确解答的前提． 21. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在线段BD上，且，连结AE、CE、AF、CF． （1）求证：四边形AECF为平行四边形； （2）若，，，求四边形AECF的周长． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）由题意得四边形为菱形，再由得为等边三角形，则 ，然后设，求出，即可解决问题． 小问1详解】 证明：四边形ABCD为平行四边形， ∴，， ∵，∴， ∴，， ∴四边形AECF为平行四边形； 【小问2详解】 ∵四边形AECF为平行四边形，， ∴四边形AFCE为菱形， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴，即：， ∴，，∴，∴， ∴， ∴四边形AFCE的周长为8． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理以及三角形周长等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）试确定上述反比例函数和一次函数表达式； （2）连接OB，在x轴上取点C，使，求的面积； （3）P是y轴上一点，且是等腰三角形，请直接写出符合条件的所有P点坐标． 【答案】（1）， （2） （3）P点坐标为：或或或． 【解析】 【分析】（1）由点A坐标确定反比例函数解析式，将点B坐标代入反比例函数解析式可得n的值，再根据待定系数法求一次函数解析式； （2）过B作轴于，求出，根据等腰三角形性质求出，根据三角形的面积公式求出即可； （3）分三种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵把代入得， ∴， ∵把代入得， ∴ 把的坐标代入得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：作轴于， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设点，而点B的坐标为， ，，， 当时，， 解得：或0（舍去0）； 当时，同理可得：； 当时，同理可得：； 综上，P点坐标为：或或或． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的图象的性质以及等腰三角形的性质，利用数形结合解决此类问题，是非常有效的方法． 23. 综合与实践 问题背景 在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相关问题的研究，下面是创新小组在操作纸片过程中研究的问题，请你解决这些问题． 如图1，，其中，，． 操作与发现 （1）如图2，创新小组将两张三角形纸片按如图所示的方式放置后，经过观察发现四边形是矩形，请你证明这个结论． 操作与探究 （2）创新小组在图2的基础上，将纸片沿方向平移至如图3的位置，其中点与的中点重合，连接，，经过探究后发现四边形是菱形，请你证明这个结论． （3）创新小组在图3的基础上又进行了探究，将纸片绕点逆时针旋转至与平行的位置，如图4所示，连接，．创新小组经过观察与推理后发现四边形是矩形，请你证明这个结论． 提出问题 （4）请你参照以上操作，在图2的基础上，通过平移或旋转构造出新的图形，在图5中画出这个图形，标明字母，说明构图方法，写出你发现的结论，不必证明． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）见解析； （4）构图方法：将沿方向平移，使与重合．结论：四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）由可得四边形的两组对边分别相等，从而得到四边形是平行四边形，又，得到平行四边形是矩形； （2）由，点是的中点，可得，又，得到是等边三角形，同理可得是等边三角形，从而，因此得证四边形是菱形； （3）根据，可得，从而，又，证得是等边三角形，因此有，，再根据，得到，从而证明四边形是平行四边形，再，进一步得证四边形是矩形． （4）可将将沿方向平移，使与重合．则得到四边形是平行四边形． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形 【小问2详解】 ∵， ∴ ∵点是的中点， ∴ ∴． 又∵， ∴是等边三角形 同理是等边三角形 ∴， ∴四边形是菱形． 【小问3详解】 ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴，， ∴， ∴． ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形． 【小问4详解】 构图方法：将沿方向平移，使与重合． 结论：四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，矩形、菱形的判定，等边三角形的判定与性质，理解题意，抓住图形变化中不变的边或角是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$