山东省青岛市李沧区、西海岸新区、胶州市、城阳区2023-—2024学年下学期八年级期末数学试卷　

2023-2024学年山东省青岛市李沧区、西海岸新区、胶州市、城阳区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）已知x＜y，则下列不等式一定成立的是（　　） A．x﹣1＞y﹣1 B．3x＞3y C． D．﹣2x＜﹣2y 2．（3分）下面四个图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）下列因式分解正确的是（　　） A．﹣a2b+ab2＝﹣ab（a﹣b） B．x2﹣6x+9＝（x+3）2 C．﹣x2﹣y2＝﹣（x+y）（x﹣y） D．a2（a﹣b）2﹣b2（b﹣a）2＝（a﹣b）2（a2+b2） 4．（3分）一次函数y＝kx+3的图象如图所示，则下列结论中错误的是（　　） A．当x≥2时，kx+3≤0 B．当x＜2时，kx+3＞0 C．当x＜0时，kx+3＜3 D．当x≥0时，kx+3≤3 5．（3分）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（　　） x的取值 ﹣4 4 a 16 分式的值 无意义 0 0.1 b A．m＝﹣8 B．n＝﹣4 C．a＝6 D．b＝0.2 6．（3分）C919是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机．2024年3月，C919开始执行第三条定期商业航线——“上海虹桥一西安咸阳”．已知两地的航线距离约为1350km，C919的平均速度与普通客机的平均速度相比提高了约300km/h，航行时间节约了约．设C919客机的平均速度为x km/h，则根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 7．（3分）如图，将含有60°锐角的三角板△ABC绕60°的锐角顶点C逆时针旋转一个角度到△ECD，若AB、CE相交于点F，AE＝AF，则旋转角是（　　） A．45° B．40° C．35° D．30° 8．（3分）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了“赵爽弦图”，流传至今，如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，设每个直角三角形的两条直角边分别为a，b（a＞b），斜边为c，则下列结论：①a+b＞c；②a2+b2＞2ab；③（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；④，其中正确的是（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）分解因式：2x3﹣8x＝　 　． 10．（3分）一个多边形的内角和等于它的外角和的4倍，则这个多边形的边数是 　 　． 11．（3分）不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是　 　． 12．（3分）如图，两个正方形的边长分别为m，n，若m+n＝11，m﹣n＝1，则图中阴影部分的面积为 　 　． 13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，E为AB上一点，连接DE．若∠DEB＝30°，CD＝5，则DE的长为 　 　． 14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝16，AD是BC边上的高，点F在边AB上，E为CF的中点，连接DE．若DE＝6，则AF的长为 　 　． 15．（3分）图①所示的彭罗斯地砖，是由获得诺贝尔奖的英国数学家罗杰•彭罗斯提出的一种铺满平面的方案．这种地砖蕴含着准晶体原子排列的秘密，打破了人们对品体认知的局限．它是由图②和图③所示的两种不同平行四边形镶嵌而成，则图③中∠EFG的度数是 　 　°． 16．（3分）如图，将边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形，…，按此方式依次操作，则第2024个等边三角形的边长为 　 　． 三、作图题（本题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 17．（4分）已知：∠O及其一边上的两点A，B． 求作：Rt△ABC，使∠B＝90°，点C在∠O内部且到角两边的距离相等． 四、解答题（本大题共9小题，共68分） 18．（8分）（1）解不等式组：； （2）分解因式：9a（x﹣y）+4b（y﹣x）． 19．（6分）化简式子÷（x﹣），从0、1、2中取一个合适的数作为x的值代入求值． 20．（6分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（4，3），B（3，1），C（1，2），M（m，n）为△ABC内任意一点． （1）将△ABC平移得到△A1B1C1，点C的对应点是C1（2，﹣2），请在图中画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标（ 　 　，　 　）； （2）若△PQR是△ABC经过旋转得到的图形，点A，B，C的对应点分别是P，Q，R，观察变换前后各对应点之间的关系，则点M的对应点N的坐标为（ 　 　，　 　）（用含m，n的式子表示）． 21．（6分）围棋与象棋作为两种深受人们喜爱的古老棋艺，它们不仅体现了中华民族智慧的精髓，同时也反映了中国文化的深厚底蕴．国家“双减”政策实施后，某校积极开设棋类社团，并计划为参加棋类社团的同学购买30副围棋和m（m≥20）副象棋，已知每副围棋的价格是60元，每副象棋的价格是25元．在购买时，恰逢商场推出了优惠活动，活动的方案如下： 方案一：购买围棋超过10副时，每超过1副则赠送象棋1副； 方案二：按购买总金额的八折付款． 该学校选择哪一种方案支付的总费用较少？ 22．（6分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点F，AE＝AB． （1）若∠C＝40°，求∠BAE的度数； （2）若CD＝5，CF＝4，求△ABC的周长． 23．（8分）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点．某数学兴趣小组要在AC上找两个点E，F，使四边形BEDF为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 在AO，CO上分别取点E，F，使得AE＝CF 作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F 请回答下列问题： （1）选择其中一种方案，并证明四边形BEDF为平行四边形； （2）在（1）的基础上，若EF＝3AE，S△AED＝5，则▱ABCD的面积为 　 　． 24．（8分）类比推理是一种特殊的归纳推理，人们在探讨一些尚未观察到的事物性质时，以某些事物、道理之间存在相似性质为依据，推断出该事物可能与其他事物有着相似的性质，它是人类试图理解世界和做出决策的最常用方法之一．在日常数学学习中，我们常常借助类比推理研究新的知识，如：分式的基本性质与运算法则都是通过与分数类比得到的． 小明同学类比除法240÷16＝15的竖式计算，想到对二次三项式x2+3x+2进行因式分解的方法： 即（x2+3x+2）+（x+1）＝x+2，所以x2+3x+2＝（x+1）（x+2）． 【初步探究】 小明看到这样一道被墨水污染了无法辨认的因式分解题：x2+□x﹣3＝（x﹣3）（x+☆），（其中□、☆分别代表被污染的系数和常数），他列出了下列竖式： 通过计算，求得：□所代表的系数是 　 　，☆所代表的常数是 　 　； 【深入探究】 小明用上述方法对多项式x3﹣x2+2x+4进行因式分解，得到：x3﹣x2+2x+4＝（x+1）（※）（※代表一个多项式），则※所代表的多项式为 　 　； 【拓展应用】 我们知道，若a•b＝0则a＝0或b＝0，例如：（x﹣1）（x﹣2）＝0，则x﹣1＝0或x﹣2＝0，由此我们可以求出关于x的方程（x﹣1）（x﹣2）＝0的一个解为x＝1，另一个解为x＝2．结合上述信息解答下列问题： （1）若关于x的方程x2+x﹣6＝0的一个解为x＝2，则另一个解为 　 　； （2）若关于x的方程2x3+5x2﹣x﹣6＝0有两个解为x＝1，x＝﹣2，则第三个解为 　 　． 25．（10分）某商场准备购进甲、乙两种空调，已知甲种空调的每台进价比乙种贵300元，用36000元购进甲种空调的数量与用30000元购进乙种空调的数量相同，请解答下列问题： （1）甲、乙两种空调每台的进价分别是多少元； （2）若甲种空调每台售价2400元，乙种空调每台售价2000元，商场欲同时购进两种空调20台，且全部售出，请写出所获利润y（元）与甲种空调的数量m（台）之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，若商场计划用不超过34500元购进两种空调，则甲、乙两种空调各购进多少台时，该商场获得的利润最大？最大利润是多少元？ 26．（10分）如图，在▱ABCD中，CD＝8cm，BC＝16cm，∠A＝60°，BD⊥AB，过点D作DE⊥BC，垂足为E，动点P从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A运动，动点Q同时从点B出发，以4cm/s的速度沿射线BC运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为t s（0＜t＜8）． （1）当PQ∥CD时，求t的值； （2）连接BP，设四边形BPDE的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式； （3）当点P关于直线DQ的对称点恰好在直线CD上时，请直接写出t的值． 2023-2024学年山东省青岛市李沧区、西海岸新区、胶州市、城阳区八年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）已知x＜y，则下列不等式一定成立的是（　　） A．x﹣1＞y﹣1 B．3x＞3y C． D．﹣2x＜﹣2y 【解答】解：A、∵x＜y， ∴x﹣1＜y﹣1， 故A不符合题意； B、∵x＜y， ∴3x＜3y， 故B不符合题意； C、∵x＜y， ∴＜， 故C符合题意； D、∵x＜y， ∴﹣2x＞﹣2y， 故D不符合题意； 故选：C． 2．（3分）下面四个图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符符合题意； C．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 3．（3分）下列因式分解正确的是（　　） A．﹣a2b+ab2＝﹣ab（a﹣b） B．x2﹣6x+9＝（x+3）2 C．﹣x2﹣y2＝﹣（x+y）（x﹣y） D．a2（a﹣b）2﹣b2（b﹣a）2＝（a﹣b）2（a2+b2） 【解答】解：A、原式＝ab（﹣a+b） ＝﹣ab（a﹣b），符合题意； B、原式＝（x﹣3）2，不符合题意； C、原式不能分解，不符合题意； D、原式＝a2（a﹣b）2﹣b2（a﹣b）2 ＝（a﹣b）2（a2﹣b2） ＝（a﹣b）3（a+b），不符合题意． 故选：A． 4．（3分）一次函数y＝kx+3的图象如图所示，则下列结论中错误的是（　　） A．当x≥2时，kx+3≤0 B．当x＜2时，kx+3＞0 C．当x＜0时，kx+3＜3 D．当x≥0时，kx+3≤3 【解答】解：A、观察图象知：当x≥2时，kx+3≤0，故不符合题意； B、观察图象知：当x＜2时，kx+3＞0，故不符合题意； C、观察图象知：当x＜0时，kx+3＞3，故C符合题意； D、观察图象知：当x≥0时，kx+3≤3，不符合题意． 故选：C． 5．（3分）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（　　） x的取值 ﹣4 4 a 16 分式的值 无意义 0 0.1 b A．m＝﹣8 B．n＝﹣4 C．a＝6 D．b＝0.2 【解答】解：由表格可得当x＝﹣4时，分式无意义， 则2×（﹣4）﹣m＝0， 解得：m＝﹣8， 则A不符合题意； 当x＝4时，分式的值为0， 则4+n＝0， 解得：n＝﹣4， 则B不符合题意； 当x＝a时，分式的值为0.1， 则＝0.1， 解得：a＝6， 经检验，a＝6是分式方程的解， 则C不符合题意； 当x＝16时，分式的值为b， 则b＝＝0.5， 则D符合题意； 故选：D． 6．（3分）C919是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机．2024年3月，C919开始执行第三条定期商业航线——“上海虹桥一西安咸阳”．已知两地的航线距离约为1350km，C919的平均速度与普通客机的平均速度相比提高了约300km/h，航行时间节约了约．设C919客机的平均速度为x km/h，则根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，得． 故选：D． 7．（3分）如图，将含有60°锐角的三角板△ABC绕60°的锐角顶点C逆时针旋转一个角度到△ECD，若AB、CE相交于点F，AE＝AF，则旋转角是（　　） A．45° B．40° C．35° D．30° 【解答】解：设旋转角＝α， ∴直角三角板ABC绕直角顶点C逆时针旋转角度α，得到△DCE， ∴∠ACF＝α，CA＝CE， ∴∠CAE＝∠CEA＝（180°﹣α）＝90°﹣α， ∵AE＝AF， ∴∠AEF＝∠AFE， ∵∠AFE＝α+∠CAF＝α+30°， ∴α+30°＝90， ∴α＝40°， 故选：B． 8．（3分）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了“赵爽弦图”，流传至今，如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，设每个直角三角形的两条直角边分别为a，b（a＞b），斜边为c，则下列结论：①a+b＞c；②a2+b2＞2ab；③（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；④，其中正确的是（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【解答】解：①由三角形的两边之和大于第三边可知a+b＞c，故①正确； ②∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＞0，a＞b， 即a2+b2＞2ab，故②正确； ③∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2+4ab＝a2+2ab+b2+4ab＝a2+2ab+b2， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab， ④∵a2+b2＝c2， ∴[（a+b）]2﹣（2c）2 ＝2（a+b）2﹣4（a2+b2） ＝2a2+4ab+2b2﹣4a2﹣4b2 ＝﹣2a2﹣2b2+4ab ＝﹣2（a﹣b）2≤0， 又a＞b，且a、b、c都大于0， ∴（a+b）与2c都大于0， ∴﹣2（a﹣b）2＜0， 即，故④正确； 故选：D． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）分解因式：2x3﹣8x＝　2x（x﹣2）（x+2）　． 【解答】解：2x3﹣8x， ＝2x（x2﹣4）， ＝2x（x+2）（x﹣2）． 10．（3分）一个多边形的内角和等于它的外角和的4倍，则这个多边形的边数是 　10　． 【解答】解：设这个多边形的边数为n， （n﹣2）•180°＝4×360°， 解得n＝10， 故答案为：10． 11．（3分）不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是　m≤1　． 【解答】解：， 由①得：x＞2， 由②得：x＞m+1， ∵不等式组的解集是 x＞2， ∴2≥m+1， ∴m≤1， 故答案为：m≤1． 12．（3分）如图，两个正方形的边长分别为m，n，若m+n＝11，m﹣n＝1，则图中阴影部分的面积为 　5.5　． 【解答】解：∵m+n＝11，m﹣n＝1， ∴ ＝ ＝ ＝5.5， 故答案为：5.5． 13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，E为AB上一点，连接DE．若∠DEB＝30°，CD＝5，则DE的长为 　6　． 【解答】解：∵AD平分∠BAC交BC于点D， ∴， ∵∠ADE＝15°， ∴∠BAD＝∠ADE＝15°， ∴∠DEH＝∠DAE+∠ADE＝30°， 如图：过D作DH⊥AB于H， 即∠DHE＝90°， ∵∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D， ∴DH＝CD＝3， ∴∠DHE＝90°，∠DEH＝30°， ∴DE＝2DH＝6． 故答案为：6． 14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝16，AD是BC边上的高，点F在边AB上，E为CF的中点，连接DE．若DE＝6，则AF的长为 　4　． 【解答】解：∵AB＝AC，AD是BC边上的高， ∴CD＝DB， ∵E为CF的中点， ∴DE是△BCF的中位线， ∴BF＝2DE＝12， ∴AF＝AB﹣BF＝16﹣12＝4， 故答案为：4． 15．（3分）图①所示的彭罗斯地砖，是由获得诺贝尔奖的英国数学家罗杰•彭罗斯提出的一种铺满平面的方案．这种地砖蕴含着准晶体原子排列的秘密，打破了人们对品体认知的局限．它是由图②和图③所示的两种不同平行四边形镶嵌而成，则图③中∠EFG的度数是 　36　°． 【解答】解：由图①可知，图②中的平行四边形ABCD的锐角∠B＝×360°＝72°， ∵CD∥AB， ∴∠C＝180°﹣∠B＝108°， 根据题意得2∠EFG+2∠C+∠B＝360°， ∴∠EFG＝×（360°﹣2×108°﹣72°）＝36°， 故答案为：36． 16．（3分）如图，将边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形，…，按此方式依次操作，则第2024个等边三角形的边长为 　．　． 【解答】解：如图，延长AB与第1个等边三角形的边相交于点D， ∵B为中点，BD∥OP， ∴BD＝＝OP， ∴， 易证△BDG为等边三角形， ∴PD＝DG＝BD＝， ∵四边形BCED为平行四边形， ∴， ∴第2个等边三角形的边长是第1个等边三角形的边长的 ， 易知下一个等边三角形的边长是前一个的等边三角形的边长的 ， ∴第n个等边三角形的边长为， 所以，第2024个等边三角形的边长为：． 故答案为：． 三、作图题（本题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 17．（4分）已知：∠O及其一边上的两点A，B． 求作：Rt△ABC，使∠B＝90°，点C在∠O内部且到角两边的距离相等． 【解答】解：如图，△ABC即为所求． 四、解答题（本大题共9小题，共68分） 18．（8分）（1）解不等式组：； （2）分解因式：9a（x﹣y）+4b（y﹣x）． 【解答】解：（1）解第一个不等式得：x＞3， 解第二个不等式得：x≤， 故原不等式组的解集为3＜x≤； （2）原式＝9a（x﹣y）﹣4b（x﹣y） ＝（x﹣y）（9a﹣4b）． 19．（6分）化简式子÷（x﹣），从0、1、2中取一个合适的数作为x的值代入求值． 【解答】解：原式＝÷ ＝• ＝， ∵x≠0，2， ∴当x＝1时，原式＝﹣1． 20．（6分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（4，3），B（3，1），C（1，2），M（m，n）为△ABC内任意一点． （1）将△ABC平移得到△A1B1C1，点C的对应点是C1（2，﹣2），请在图中画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标（ 　5　，　﹣1　）； （2）若△PQR是△ABC经过旋转得到的图形，点A，B，C的对应点分别是P，Q，R，观察变换前后各对应点之间的关系，则点M的对应点N的坐标为（ 　﹣m　，　﹣n　）（用含m，n的式子表示）． 【解答】解：（1）由题意得，△ABC向右平移1个单位长度，向下平移4个单位长度得到△A1B1C1， 如图，△A1B1C1即为所求． 由图可得，点A1的坐标为（5，﹣1）． 故答案为：5；﹣1． （2）连接AP，BQ，CR，相交于点O， 则△ABC绕点O旋转180°得到△PQR， 点M的对应点N的坐标为（﹣m，﹣n）． 故答案为：﹣m；﹣n． 21．（6分）围棋与象棋作为两种深受人们喜爱的古老棋艺，它们不仅体现了中华民族智慧的精髓，同时也反映了中国文化的深厚底蕴．国家“双减”政策实施后，某校积极开设棋类社团，并计划为参加棋类社团的同学购买30副围棋和m（m≥20）副象棋，已知每副围棋的价格是60元，每副象棋的价格是25元．在购买时，恰逢商场推出了优惠活动，活动的方案如下： 方案一：购买围棋超过10副时，每超过1副则赠送象棋1副； 方案二：按购买总金额的八折付款． 该学校选择哪一种方案支付的总费用较少？ 【解答】解：设方案一、二购买的总费用分别为y1、y2， 由题意得：y1＝60×30+25（m﹣20）＝25m+1300， y2＝0.8×（60×30+25m）＝20m+1440， 分三种情况： ①当y1＜y2时，25m+1300＜20m+1440， 解得：m＜28， ∴当10≤m＜28时，选择方案一支付的总费用较少； ②当y1＝y2时，25m+1300＝20m+1440， 解得：m＝28， ∴当m＝28时，两种方案支付的总费用相同； ③当y1＞y2时，25m+1300＞20m+1440， 解得：m＞28， ∴当m＞28时，选择方案二支付的总费用较少； 综上，当10≤m＜28时，选择方案一支付的总费用较少；当m＝28时，两种方案支付的总费用相同；当m＞28时，选择方案二支付的总费用较少． 22．（6分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点F，AE＝AB． （1）若∠C＝40°，求∠BAE的度数； （2）若CD＝5，CF＝4，求△ABC的周长． 【解答】解：（1）∵EF是AC的垂直平分线， ∴EA＝EC， ∴∠C＝∠CAE＝40°， ∵∠AEB是△ACE的一个外角， ∴∠AEB＝∠C+∠CAE＝80°， ∵AE＝AB， ∴∠AEB＝∠B＝80°， ∴∠BAE＝180°﹣∠AEB﹣∠B＝20°， ∴∠BAE的度数为20°； （2）∵EF是AC的垂直平分线， ∴AC＝2CF＝8， ∵AE＝AB，AD⊥BE， ∴DE＝BD， ∵AE＝CE， ∴CE＝AB， ∵CD＝5， ∴CE+DE＝5， ∴AB+BD＝5， ∴△ABC的周长＝AC+AB+BC ＝8+AB+BD+DE+CE ＝8+5+5 ＝18， 即△ABC的周长为18． 23．（8分）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点．某数学兴趣小组要在AC上找两个点E，F，使四边形BEDF为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 在AO，CO上分别取点E，F，使得AE＝CF 作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F 请回答下列问题： （1）选择其中一种方案，并证明四边形BEDF为平行四边形； （2）在（1）的基础上，若EF＝3AE，S△AED＝5，则▱ABCD的面积为 　50　． 【解答】解：（1）甲方案，证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠BAE＝∠DCF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴BE＝DF，∠AEB＝∠CFD， ∵∠BEF＝180°﹣∠AEB，∠DFE＝180°﹣∠CFD， ∴∠BEF＝∠DFE， ∴BE∥DF， ∴四边形BEDF是平行四边形． 乙方案，证明：∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F， ∴BE∥DF，∠AEB＝∠CFD＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠BAE＝∠DCF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴BE＝DF， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）由（1）得△ABE≌△CDF， ∴AE＝CF， ∵EF＝3AE， ∴AC＝5AE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴S△ABC＝S△ADC＝5S△AED＝5×5＝25， ∴S▱ABCD＝2×25＝50， 故答案为：50． 24．（8分）类比推理是一种特殊的归纳推理，人们在探讨一些尚未观察到的事物性质时，以某些事物、道理之间存在相似性质为依据，推断出该事物可能与其他事物有着相似的性质，它是人类试图理解世界和做出决策的最常用方法之一．在日常数学学习中，我们常常借助类比推理研究新的知识，如：分式的基本性质与运算法则都是通过与分数类比得到的． 小明同学类比除法240÷16＝15的竖式计算，想到对二次三项式x2+3x+2进行因式分解的方法： 即（x2+3x+2）+（x+1）＝x+2，所以x2+3x+2＝（x+1）（x+2）． 【初步探究】 小明看到这样一道被墨水污染了无法辨认的因式分解题：x2+□x﹣3＝（x﹣3）（x+☆），（其中□、☆分别代表被污染的系数和常数），他列出了下列竖式： 通过计算，求得：□所代表的系数是 　﹣2　，☆所代表的常数是 　1　； 【深入探究】 小明用上述方法对多项式x3﹣x2+2x+4进行因式分解，得到：x3﹣x2+2x+4＝（x+1）（※）（※代表一个多项式），则※所代表的多项式为 　x2﹣2x+4　； 【拓展应用】 我们知道，若a•b＝0则a＝0或b＝0，例如：（x﹣1）（x﹣2）＝0，则x﹣1＝0或x﹣2＝0，由此我们可以求出关于x的方程（x﹣1）（x﹣2）＝0的一个解为x＝1，另一个解为x＝2．结合上述信息解答下列问题： （1）若关于x的方程x2+x﹣6＝0的一个解为x＝2，则另一个解为 　x＝﹣3　； （2）若关于x的方程2x3+5x2﹣x﹣6＝0有两个解为x＝1，x＝﹣2，则第三个解为 　x＝﹣　． 【解答】解：根据题意，□+3＝☆，﹣3＝﹣3☆， 解得：□＝﹣2，☆＝1； 根据题意，列出竖式如下： 则※所代表的多项式为：x2﹣2x+4； （1）将方程左边进行因式分解，得x2+x﹣6＝（x﹣2）（x+3），则另一个解为x＝﹣3； （2）将方程左边进行因式分解，得2x3+5x2﹣x﹣6＝（x﹣1）（x+2）（2x+3），则第三个解为x＝﹣． 故答案为：﹣2，1；x2﹣2x+4；x＝﹣3；x＝﹣． 25．（10分）某商场准备购进甲、乙两种空调，已知甲种空调的每台进价比乙种贵300元，用36000元购进甲种空调的数量与用30000元购进乙种空调的数量相同，请解答下列问题： （1）甲、乙两种空调每台的进价分别是多少元； （2）若甲种空调每台售价2400元，乙种空调每台售价2000元，商场欲同时购进两种空调20台，且全部售出，请写出所获利润y（元）与甲种空调的数量m（台）之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，若商场计划用不超过34500元购进两种空调，则甲、乙两种空调各购进多少台时，该商场获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【解答】解：（1）设乙种空调每台的进价是x元，则甲种空调每台的进价是（x+300）元． 根据题意，得＝， 解得x＝1500， 经检验，x＝1500是所列分式方程的解， 1500+300＝1800（元）， ∴甲种空调每台的进价是1800元，乙种空调每台的进价是1500元． （2）由题意可知，购进乙种空调的数量为（20﹣m）台． y＝（2400﹣1800）m+（2000﹣1500）（20﹣m）＝100m+10000， ∴y与m之间的函数关系式为y＝100m+10000． （3）根据题意，得1800m+1500（20﹣m）≤34500， 解得m≤15； ∵y＝100m+10000，100＞0， ∴y随m的增大而增大， ∵m≤15， ∴当m＝15时，y的值最大，y最大＝100×15+10000＝11500，20﹣15＝5（台）， ∴购进甲种空调15台、乙种空调5台时，该商场获得的利润最大，最大利润是11500元． 26．（10分）如图，在▱ABCD中，CD＝8cm，BC＝16cm，∠A＝60°，BD⊥AB，过点D作DE⊥BC，垂足为E，动点P从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A运动，动点Q同时从点B出发，以4cm/s的速度沿射线BC运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为t s（0＜t＜8）． （1）当PQ∥CD时，求t的值； （2）连接BP，设四边形BPDE的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式； （3）当点P关于直线DQ的对称点恰好在直线CD上时，请直接写出t的值． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， 当PQ∥CD时，四边形DPQC是平行四边形， ∴PD＝CQ， ∴2t＝16﹣4t， ∴t＝； （2））∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BCD＝∠A＝60°， ∵DE⊥BC， ∴∠DEC＝90°， ∴∠CDE＝30°， ∴CE＝CD＝×8＝4， ∴DE＝＝4， ∵PD∥BC， ∴S＝•DE•（DP+BE）＝×4×（2t+16﹣4）＝4t+24（0＜t＜8）； （3）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠A+∠ADC＝180°， ∴∠ADC＝120°， 如图2，当点P的对称点在线段CD上时， ∴∠ADQ＝∠QDC＝60°， ∴∠QDC＝∠BCD＝60°， ∴△CDQ是等边三角形， ∴CD＝CQ＝8， ∴8＝16﹣4t， ∴t＝2； 如图3，当点P的对称点在线段CD的延长线上时， ∵∠CDA＝120°， ∴∠PDP'＝60°， ∵点P的对称点在线段CD的延长线上， ∴∠CDQ＝∠PDP'＝30°， ∵∠BCD＝∠CDQ+∠CQD， ∴∠CDQ＝∠CQD＝30°， ∴CD＝CQ＝8， ∴BQ＝16+8＝24， ∴4t＝24， ∴t＝6， 综上，t的值是2或6． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/14 5:56:45；用户：19944531502；邮箱：19944531502；学号：54883509 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$