精品解析：辽宁省朝阳市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2024年市直初中八年级学生学业质量监测 数学试卷 （本试卷共23小题 试卷满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 剪纸是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．下列剪纸作品中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 不等式x＞2的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C D. 3. 如图，为测量位于一水塘旁的两点间的距离，在地面上确定点，分别取，的中点，量得，则之间的距离是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是等边三角形的边的中点，是边延长线上一点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 直角三角形的两个锐角互余 C. 等腰三角形的两个底角相等 D. 对顶角相等 6. 如图，在中，，且为垂足．如果，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的分式方程有增根，则的值是（ ） A B. 0 C. 1 D. 2 8. 如果是一个完全平方式，那么的值是（ ） A. 4 B. C. D. 9. 如图，，，将绕点顺时针旋转，得到，若点在上，则旋转角的大小可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知（如图1），按图2图3所示的尺规作图痕迹，（不需借助三角形全等）就能推出四边形是平行四边形的依据是（ ） A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B. 一组对边平行且相等四边形是平行四边形 C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：____________． 12. 当______时，分式的值为零． 13. 如图，以点为圆心，任意长为半径作弧分别交于两点，分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，以为端点作射线，在射线上截取线段，则点到的距离为______． 14. 一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是 _______． 15. 如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点，点为直线上一动点，当的面积为四边形面积的时，点的坐标为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）解不等式组：； （2）解分式方程：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）把向左平移4个单位后得到对应的，请画出平移后的，并写出点的坐标； （2）把绕原点顺时针旋转后得到对应的，请画出旋转后的，并写出点的坐标． 19. 暑热已至，烈日炎炎，中小学生野浴行为增多，溺水事故进入高发期．据统计我国每年约有5.9万人死于溺水，其中未成年人占以上．为了让孩子们安全健康的快乐成长，某校要制作一批防溺水安全工作的宣传材料发放给学生和家长．现有甲乙两家印刷厂可供选择，甲印刷厂提出：每份材料收费1.5元；另收300元的版面设计费；乙印刷厂提出：每份材料收费2元，不收版面设计费．请你帮助该学校选择制作方案，使得支付的印刷费用较少． 20. 已知，如图，四边形中，，过点作于点，． （1）求证：； （2）若点恰好在线段的垂直平分线上，，，求线段的长． 21. 【阅读材料】数学教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变．这是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等． 例1：分解因式：． 解：． 例2：求代数式的最小值： 解：．可知当时，有最小值，最小值是． 请根据阅读材料中的方法解决下列问题： （1）将多项式因式分解； （2）求多项式最小值． 22. 某商场用1200元购进一批新型乳制品，面市后深受消费者喜欢，很快销售完，又用4800元购进第二批这种乳制品，所购数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元． （1）第一批乳制品的进货单价为多少元？ （2）若两次购进乳制品按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，则销售单价至少为多少元？ 23. 【问题背景】 某数学兴趣小组在学习了平行四边形后，对其进行了轴对称变换的操作，进一步研究平行四边形的性质．在中，，，，点是边上任意一点，连接，将四边形沿翻折得到四边形，射线与相交于点． 【操作发现】 （1）如图1，无论点在什么位置，图中都会有一条线段与相等，请猜想与相等的线段，并说明理由． 【问题延伸】 （2）当点的位置发生变化时，线段存在最小值，请求出线段的最小值． 【问题拓展】 （3）如图2，连接，当是以为一条直角边的直角三角形时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年市直初中八年级学生学业质量监测 数学试卷 （本试卷共23小题 试卷满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 剪纸是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．下列剪纸作品中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B选项不符合题意； C．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项符合题意； D．该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D选项不符合题意． 故选：C． 2. 不等式x＞2的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用在数轴上表示时点是否为空心或实心，方向是向左或向右进行判断即可． 【详解】解：x>2在数轴上表示时，其点应是空心，方向为向右， 因此，综合各选项，只有C选项符合； 故选：C． 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，解题时，首先要能正确画出数轴，其次是能正确确定点的实心或空心，以及方向的左右等． 3. 如图，为测量位于一水塘旁的两点间的距离，在地面上确定点，分别取，的中点，量得，则之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形中位线的知识，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键，根据题意知是的中位线，利用中位线的定理可知，即可解答． 【详解】解：∵C，D是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：B． 4. 如图，是等边三角形的边的中点，是边延长线上一点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，“三线合一”以及三角形外角的定义和性质等知识，掌握“三线合一”是解答本题的关键．根据“三线合一”可得平分，可得，根据即可作答． 【详解】∵是等边三角形的边的中点， ∴平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 直角三角形的两个锐角互余 C. 等腰三角形的两个底角相等 D. 对顶角相等 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了真假命题和逆命题，写出各选项的逆命题，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．两直线平行，内错角相等，逆命题是内错角相等，两直线平行，故选项的逆命题是真命题，不符合题意； B．直角三角形的两个锐角互余的逆命题是有两个内角互余的三角形是直角三角形，故选项的逆命题是真命题，不符合题意； C．等腰三角形的两个底角相等的逆命题是有两个角相等的三角形是等腰三角形，故选项的逆命题是真命题，不符合题意； D．对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，故选项的逆命题是假命题，符合题意． 故选：D． 6. 如图，在中，，且为垂足．如果，那么的度数是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质等知识，根据平行四边形的性质得到，进一步由直角三角形两锐角互余求出的度数． 【详解】在中，， ∴， ∵，且为垂足． ∴ ∴， 故选：C． 7. 若关于的分式方程有增根，则的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的主要是分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．根据增根的定义可得出，然后去分母得出：，把代入得，即可得出m的值． 【详解】解：∵分式方程有增根， ∴， 原方程去分母可得：， 把代入可得：， 解得：． 故选：A． 8. 如果是一个完全平方式，那么的值是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方式的特点是解题的关键．完全平方式：两数的平方和，加上或减去这两个数的积的2倍，根据完全平方式的特点即可完成． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴． 故选：D． 9. 如图，，，将绕点顺时针旋转，得到，若点在上，则旋转角的大小可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质、三角形内角和定理、等边对等角等知识，先求出，再根据旋转的性质和等边对等角求出，由三角形内角和定理即可求出答案. 【详解】解：∵，， ∴， 根据旋转的性质得到， ∴， ∴， 即则旋转角的大小可以是， 故选：C 10. 已知（如图1），按图2图3所示的尺规作图痕迹，（不需借助三角形全等）就能推出四边形是平行四边形的依据是（ ） A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定和作图依据进行判断即可． 【详解】解：由图可知先作AC的垂直平分线，则点O为AC的中点，由作图可知BO=OD， 可得：AO=OC，BO=OD， 进而得出四边形ABCD是平行四边形， 故选：C． 【点睛】本题考查了复杂的尺规作图，解题的关键是根据平行四边形的判定解答． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：____________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式m，再利用平方差公式即可分解因式． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用提公因式法和公式法因式分解，解题的关键是找出公因式，熟悉平方差公式． 12. 当______时，分式的值为零． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式的值为0的条件，由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件．根据分式的解为0的条件，即可得到答案. 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：. 13. 如图，以点为圆心，任意长为半径作弧分别交于两点，分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，以为端点作射线，在射线上截取线段，则点到的距离为______． 【答案】4 【解析】 【分析】此题主要考查了基本作图以及含30度角的直角三角形，正确得出是的角平分线是解题关键．过点M作于点E，直接利用角平分线的作法得出是的角平分线，再利用直角三角形的性质得出答案． 【详解】过点M作于点E， 由题意可得：是的角平分线， 则， ∴． 则点到的距离为4， 故答案为：4 14. 一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是 _______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和定理及多边形的外角和定理，熟练掌握多边形内角和定理是解答本题的关键．n边形的内角和为：，n边形的外角和为：；然后根据等量关系列出方程求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，依题意，得： ， 解得，． 故答案为：6． 15. 如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点，点为直线上一动点，当的面积为四边形面积的时，点的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】由得，解得，可得，，可得四边形得面积为7；分两种情况：P在上方时，过点P作交x轴于点M，连接，可得，即，可得，直线为：，解得，当P在下方时，过点作交x轴于点，同理可得． 【详解】解：在中，令，则， ， 在中，令，则，当，则， ， ∴， 解，得， ， ，， ； P在上方时，过点P作交x轴于点M，连接，如图： ， ， 的面积是四边形的面积的， ， ，即， ， ， ， 设直线为：， 将代入得：， ， 直线：， 解，得， ， 当P在下方时，过点作交x轴于点，如图： ， ， 的面积是四边形的面积的， ， ，即， ， ， ， 设直线：， 将代入得：， ， 直线为：， 解，得， ， 综上所述，P得坐标为或． 故答案为：或 【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及四边形、三角形面积，函数图象上点坐标的特征等知识，解题的关键是通过作平行，转化三角形的面积． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16 （1）解不等式组：； （2）解分式方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查了求不等式组的解集和解分式方程，熟练掌握解题步骤是解题的关键． （1）求出每个不等式的解集取公共部分即可； （2）去分母化为整式方程并解方程，代入最简公分母检验即可． 【详解】（1） 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集是 （2） 两边同乘以得，， 解方程得，， 当时，， ∴是分式方程的解 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，先利用分式的减法和除法化简分式，再求出a的值代入化简结果计算即可． 【详解】 当时， 原式 18. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）把向左平移4个单位后得到对应的，请画出平移后的，并写出点的坐标； （2）把绕原点顺时针旋转后得到对应的，请画出旋转后的，并写出点的坐标． 【答案】（1）图见解析，； （2）图见解析，． 【解析】 【分析】此题考查了平移和旋转的作图、点的坐标，正确作图是解题的关键． （1）作出点A、B、C向左平移4个单位后得到的对应点，顺次连接即可得到，再写出点的坐标； （2）作出点A、B、C绕原点顺时针旋转后的对应点，顺次连接即可得到，再写出点的坐标即可． 【小问1详解】 如图所示，即为所求，点的坐标为； 【小问2详解】 如图所示，即为所求，点的坐标为． 19. 暑热已至，烈日炎炎，中小学生野浴行为增多，溺水事故进入高发期．据统计我国每年约有5.9万人死于溺水，其中未成年人占以上．为了让孩子们安全健康的快乐成长，某校要制作一批防溺水安全工作的宣传材料发放给学生和家长．现有甲乙两家印刷厂可供选择，甲印刷厂提出：每份材料收费1.5元；另收300元的版面设计费；乙印刷厂提出：每份材料收费2元，不收版面设计费．请你帮助该学校选择制作方案，使得支付的印刷费用较少． 【答案】当材料份数大于600时，选甲合适；当材料份数小于600时，选乙合适 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用．设要做的材料为x份．分二种情况讨论：（1）；（2），分别计算分别讨论． 【详解】解：设要做的材料为x份． 第一种情况：当，解得， 所以当材料份数大于600时，选甲合适； 第二种情况：当，解得， 所以当材料份数小于600时，选乙合适． 20. 已知，如图，在四边形中，，过点作于点，． （1）求证：； （2）若点恰好在线段的垂直平分线上，，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识，证明是解题的关键． （1）证明，即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到设，则，根据点恰好在线段的垂直平分线上得到，由勾股定理得到，则，解方程即可求出线段的长． 【小问1详解】 ∵，过点作于点， 又． ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵ ∴ 设，则， ∵点恰好在线段的垂直平分线上， ∴， ∵于点， ∴， ∴， 即， 解得 即线段的长为． 21. 【阅读材料】数学教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变．这是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等． 例1：分解因式：． 解：． 例2：求代数式的最小值： 解：．可知当时，有最小值，最小值是． 请根据阅读材料中的方法解决下列问题： （1）将多项式因式分解； （2）求多项式的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，完全平方公式，掌握完全平方公式的非负性是解题的关键． （）根据题目中的例题分解因式即可求解； （）根据题目中的例题方法化成，再利用完全平方公式的非负性解答即可求解． 【小问1详解】 解： ， ， ； 小问2详解】 解： ， ， ∵， ∴当时，有最小值，最小值是． 22. 某商场用1200元购进一批新型乳制品，面市后深受消费者喜欢，很快销售完，又用4800元购进第二批这种乳制品，所购数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元． （1）第一批乳制品的进货单价为多少元？ （2）若两次购进乳制品按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，则销售单价至少为多少元？ 【答案】（1）第一批乳制品的进货单价为6元； （2）销售单价至少为9元． 【解析】 【分析】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设第一批乳制品的进货单价为x元，则第二批乳制品的进货单价为元，购进第二批这种乳制品，所购数量是第一批的3倍，据此列出分式方程，解方程并检验即可得到答案； （2）设销售单价为m元，获利不少于1200元，据此列出一元一次不等式，解不等式即可得到答案． 【小问1详解】 解：设第一批乳制品的进货单价为x元，则第二批乳制品的进货单价为元，则 解得， 经检验是分式方程的解且符合题意， 答：第一批乳制品的进货单价为6元； 【小问2详解】 解：设销售单价为m元，则 ， 解得 答：销售单价至少为9元． 23. 【问题背景】 某数学兴趣小组在学习了平行四边形后，对其进行了轴对称变换的操作，进一步研究平行四边形的性质．在中，，，，点是边上任意一点，连接，将四边形沿翻折得到四边形，射线与相交于点． 【操作发现】 （1）如图1，无论点在什么位置，图中都会有一条线段与相等，请猜想与相等的线段，并说明理由． 【问题延伸】 （2）当点的位置发生变化时，线段存在最小值，请求出线段的最小值． 【问题拓展】 （3）如图2，连接，当是以为一条直角边的直角三角形时，求线段的长． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）线段的长为或或． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，图形的翻折，勾股定理，等腰三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质，翻折的特征是解题的关键． （1）根据点在边上的不同位置，画出图形，进行分类讨论，情况①，当射线与相交于点，点在线段上，根据平行四边形的性质，翻折的特征，可得，利用等角对等边，即可证明；当点在边上其他位置时，同理可证得； （2）根据，利用垂线段最短，可得当时，最短，故此时取得最小值，利用勾股定理即可求解； （3）根据点在边上的不同位置，当时，，以及当点与点重合时，分情况讨论，利用勾股定理即可求解； 【详解】解：（1），理由如下， 情况①，当射线与相交于点，点在线段上，如图， 四边形是平行四边形， ， ， 将四边形沿翻折得到四边形， 根据翻折特征，得， ， ． 情况② 当射线与相交于点，点在线段延长线上，如图， 同理可得，， ． 情况③ 当点在如图位置，延长线与相交于点， 四边形是平行四边形， ， 将四边形沿翻折得到四边形， 根据翻折特征，得，， ， ， ． 综上，无论点在什么位置，都有． （2），根据垂线段最短， 当时，最短，故此时取得最小值，如图所示， ，，， 根据勾股定理得， ， 线段的最小值为． （3）情况① 当时，，是以为一条直角边的直角三角形，如图所示， 四边形是平行四边形， ，， 将四边形沿翻折得到四边形， 根据翻折特征，得， ， ，即， 是以为一条直角边的直角三角形， 根据第（2）结果，， ． 情况②，，是以为一条直角边的直角三角形，如图所示， 四边形是平行四边形， ，，，， 将四边形沿翻折得到四边形， 根据翻折特征，得，，，，， ，， ， 是等腰直角三角形， 根据勾股定理得，， ， ， 在中，， ． 情况③ 当点与点重合时，即将四边形沿翻折得到四边形， ，根据翻折特征，可得， ， 是以为一条直角边的直角三角形， 此时，． 综上，当是以为一条直角边的直角三角形，线段的长为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$