精品解析：安徽省马鞍山中加双语学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

马鞍山中加双语学校2023-2024学年高一下学期期中考试 数学试题 总分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的班级、姓名、考号等信息 2．请将答案填写在答题卡上，写在试卷和草稿纸上无效 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的概念判断即可. 【详解】由复数的概念可知，复数的虚部为． 故选：C． 2. 下列结论正确的是：（ ） A. 若与都是单位向量，则． B. 若与是平行向量，则． C. 若用有向线段表示的向量与相等，则点M，N重合 D. 直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由平面向量的相关定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A、B，只有当与的方向相同且模长相等时才有，故A、B均错误； 对于C，若向量，又因为A是公共点，所以M与N重合，故正确； 对于D，因为轴与轴只有方向没有大小，所以都不是向量，故D错误； 故选：C. 3. 下列各组向量，可作为一组基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基底的定义逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为为零向量，所以这一组向量不能作为基底，所以A错误； 对于B，假设共线，则， 所以，所以，方程组无解， 所以不共线，所以可作为一组基底，所以B正确， 对于C，因为，所以，所以共线， 所以不能作为一组基底，所以C错误， 对于D，因为，所以，所以共线， 所以不能作为一组基底，所以D错误. 故选：B 4. 已知：，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则及共轭复数的定义即可得解 【详解】因为，所以， 所以， 故选：D. 5. 若非零向量与满足，且，则为（ ） A. 三边均不等的三角形 B. 直角三角形 C. 底边和腰不相等的等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得的角平分线与BC垂直，可分析出是等腰三角形，根据数量积公式可求角A，即可判断. 【详解】解：， 的角平分线与BC垂直， ， ， 则是顶角为的等腰三角形， 故选：C. 6. 已知一个圆台的上、下底面半径分别为2，4，它的侧面展开图扇环的圆心角为90°，则圆台的侧面积为（ ） A. 44π B. 48π C. 52π D. 56π 【答案】B 【解析】 【分析】画出侧面展开图，根据弧长得到，，从而求出两个扇形面积，相减后得到答案. 【详解】侧面展开图扇环如下： 则，， 则，，解得，， 故扇形的面积为，扇形的面积为， 故圆台的侧面积为. 故选：B 7. 已知点P为三棱柱侧棱上靠近点A的三等分点，若四棱锥的体积为V，则三棱柱的体积为（ ） A. B. C. D. 2V 【答案】C 【解析】 【分析】设三棱柱的高为，由题意得，而，代入化简可求得结果. 【详解】设三棱柱的高为， 因为点P为三棱柱侧棱上靠近点A的三等分点， 所以点到平面的距离为，到平面的距离为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 得. 故选：C 8. 中，，点O为的外心，若，则实数的值为（ ） A. 2：3 B. 3：2 C. 4：3 D. 3：4 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理得到，得到，两边分别乘以，结合投影向量求出，从而得到方程组，求出，得到答案. 【详解】中，， 则， 故， ， ， 又， 同理可得：，代入上式， ，解得，故. 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列命题错误的是（ ） A. 一条直线和一个点确定一个平面 B. 梯形可确定一个平面 C. 如果两条平行直线中的一条和一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 D. 若直线l与平面α平行，则l与平面α内任意一条直线都平行 【答案】ACD 【解析】 【分析】ACD选项，可举出反例；B选项，根据梯形是平面图形，得到B正确. 【详解】A选项，当点在该直线上时，一条直线和一个点无法确定一个平面，A错误； B选项，梯形是平面图形，故可确定一个平面，B正确； C选项，如果两条平行直线中的一条和一个平面平行，那么另一条可能与这个平面平行，也可能在此平面内，C错误； D选项，如图，直线l与平面α平行，但l与平面α内直线不平行，D错误. 故选：ACD 10. 在△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，能确定∠C为锐角的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，利用余弦定理分析判断，对于B，利用向量的数量积公式分析判断，对于C，举例判断，对于D，利用正弦定理分析判断. 【详解】对于A，因为，所以， 所以由余弦定理得， 因为，所以∠C为锐角，所以A正确， 对于B，因为，所以， 所以，所以， 因为，所以∠C为钝角，所以B错误， 对于C，若，则，所以为钝角，所以C错误， 对于D，因为，所以由正弦定理得， 所以，所以，所以∠C为锐角，所以D正确. 故选：AD 11. 如图是一个装有水的全封闭直三棱柱容器，，，若水的体积恰好是该容器体积的一半，容器厚度忽略不计，则（ ） A. 当底面水平放置后，将容器绕着转动（转动过程中始终保持水平），有水的部分是棱柱 B. 转动容器，当平面水平放置时，容器内水面形成的截面为DEFG，则D，E，F，G都是所在棱的中点 C. 容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比至多为 D. 在翻滚转动容器的过程中，有水的部分不可能是三棱锥 【答案】AD 【解析】 【分析】根据面面平行判断A选项，应用柱体体积判断B选项，结合重要不等式及外接球体积判断C选项，结合体积的最值判断D选项. 【详解】 A：当平面水平放置时（始终保持水平），则平面平面，所以有水的部分是棱柱，故A正确； B：当平面水平放置时，假设D，E，F，G都为所在棱的中点， 设水面到底面的距离为h，， 所以水的体积为， 又转动前水的体积为， 所以D，E，F，G不为所在棱的中点，故B错误； C：取AC，的中点D，，连接，取的中点O，连接OA， 则D为Rt△ABC的外接圆圆心，O为三棱柱外接球的球心， 所以OA为外接球的半径，且， 所以直三棱柱外接球体积． 由选项B可知，容器中水的体积为， 又，所以， 当且仅当时等号成立，所以， 则水的体积与直三棱柱外接球体积之比为， 即容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比至多为，故C错误． D：在翻滚、转动容器的过程中， 当平面水平放置时，三棱锥的体积取到最大值，如图， 此时， 而水的体积为，所以有水的部分不可能是三棱锥，故D正确； 故选：AD. 三．填空题（每题5分，共15分） 12. 已知，且，则与夹角的余弦值为：______． 【答案】## 【解析】 【分析】先对化简求出，再利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】由，得， 则， 因为，所以，解得， 所以， 即与夹角的余弦值为. 故答案为： 13. 面数最少的多面体是______，当其每条棱长均为2时，其体积为______． 【答案】 ①. 三棱锥（或四面体） ②. ## 【解析】 【分析】由多面体的概念即得结果；求出正四面体的高，再利用锥体体积公式计算即可. 【详解】面数最少的多面体是三棱锥或四面体； 每条棱长均为2的四面体为正四面体，如图， 点是正四面体底面正的中心，则平面， 由，得，则， 所以该四面体体积. 故答案为：三棱锥（或四面体）； 14. 在△ABC中，O是BC边上靠近点B的五等分点，过点O的直线与射线AB，AC分别交于不同两点M，N，设，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据向量的加减运算表示出，利用三点共线可得即可求得答案. 【详解】由题意知， 由于M、O、N三点共线，可知， 所以， 故答案为：5. 四．解答题（共5题，77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. ，复数 （1）若z为纯虚数，求 （2）复平面内表示复数z的点在第四象限，求m的取值范围 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据复数类型为纯虚数得到方程和不等式，求出m，再结合复数的模长公式可得答案； （2）根据复数z对应的点在第四象限得到不等式组，则可直接求出实数m的取值范围. 【小问1详解】 因为z为纯虚数，， ， ； 【小问2详解】 因为复数z对应的点在第四象限， 则， 解得. 16. 如图，四边形ABCD为筝形（有一条对角线所在直线为对称轴的四边形），满足，AD的中点为E，． （1）若三角形ABD为等边三角形，求四边形ABCD的面积 （2）求筝形ABCD的面积的最大值 【答案】（1）； （2）8. 【解析】 【分析】（1）直接利用三角形的面积公式即可求得答案； （2）建立坐标系，利用向量法结合基本不等式即可得出筝形ABCD的面积最大值. 【小问1详解】 △ABD为正三角形，且中线，则， 又，， . 【小问2详解】 以点O为坐标原点，建立如右图所示的直角坐标系． 设， 则． 因为，所以， 即，当且仅当时，取等号． 筝形ABCD的面积为 即当时，筝形ABCD的面积最大为8. 17. 用平方米的材料制成一个有盖的圆锥形容器，如果在制作过程中材料无损耗，且材料的厚度忽略不计，底面半径长为，圆锥母线的长为． （1）建立与的函数关系式，并写出的取值范围； （2）圆锥的轴截面为正三角形，求所制作的圆锥形容器容积多少立方米 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意可知，制作该容器需要的铁皮面积，即圆锥的表面积，得到方程，分离出即可，利用求出定义域； （2）利用母线与底面所成的角大小为，结合（1）所得，求出底面半径和圆锥的高，利用圆锥的体积公式求出所制作的圆锥形容器容积即可． 【小问1详解】 根据题意，因为圆锥的表面积，， ， ，解得， 即，. 【小问2详解】 圆锥的轴截面为正三角形，设圆锥高为h， 则，， ， 由（1）知，即， 解得， ． 18. 我们把由平面内夹角成60°的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“@未来坐标系”．如左图所示，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量．若向量，则把实数对（x，y）叫做向量的“@未来坐标”，记．已知分别为向量的@未来坐标． （1）证明：； （2）若向量的“@未来坐标”分别为{1，2}，{2，1}，求向量的夹角的余弦值． （3）以0为原点，建立如右图平面直角坐标系，若在平面直角坐标系中的坐标为，求向量的@未来坐标 【答案】（1） 因为，， 所以 （2）； （3）（1，4）. 【解析】 【分析】（1）因为，则计算即可证明； （2）由题意可得，根据向量夹角公式即可求解. （3）设，通过构建方程组即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， ， ， ， 所以． 【小问3详解】 平面直角坐标系中， 设 的@未来坐标为（1,4） 19. 如图．在平面凸四边形ABCD中（凸四边形指没有角度数大于180°的四边形），． （1）若，求AD； （2）已知，记四边形ABCD的面积为S，求S的最大值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接AC，使用余弦定理求AC，再使用余弦定理即可求解； （2）使用两次余弦定理分别求AC，然后得到，再用两个三角形面积和求四边形面积，等价变形得到，从而可以求得面积的最值. 【小问1详解】 连接AC，在△ABC中，， 所以由余弦定理得： ， 在△ACD中，， 所以由余弦定理得， 即，解得 【小问2详解】 在△ABC中，由余弦定理得， 在△ACD中，由余弦定理得， 所以，即， 所以， 所以 ①、②式各自平方得：， 即 即， 所以当时，即时， 四边形ABCD面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 马鞍山中加双语学校2023-2024学年高一下学期期中考试 数学试题 总分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的班级、姓名、考号等信息 2．请将答案填写在答题卡上，写在试卷和草稿纸上无效 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2 2. 下列结论正确的是：（ ） A. 若与都是单位向量，则． B. 若与是平行向量，则． C. 若用有向线段表示的向量与相等，则点M，N重合 D. 直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量 3. 下列各组向量，可作为一组基底的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知：，则（ ） A. B. C. D. 5. 若非零向量与满足，且，则为（ ） A. 三边均不等的三角形 B. 直角三角形 C. 底边和腰不相等的等腰三角形 D. 等边三角形 6. 已知一个圆台的上、下底面半径分别为2，4，它的侧面展开图扇环的圆心角为90°，则圆台的侧面积为（ ） A. 44π B. 48π C. 52π D. 56π 7. 已知点P为三棱柱侧棱上靠近点A的三等分点，若四棱锥的体积为V，则三棱柱的体积为（ ） A. B. C. D. 2V 8. 中，，点O为的外心，若，则实数的值为（ ） A. 2：3 B. 3：2 C. 4：3 D. 3：4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列命题错误的是（ ） A. 一条直线和一个点确定一个平面 B. 梯形可确定一个平面 C. 如果两条平行直线中的一条和一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 D. 若直线l与平面α平行，则l与平面α内任意一条直线都平行 10. 在△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，能确定∠C为锐角的有（ ） A. B. C. D. 11. 如图是一个装有水的全封闭直三棱柱容器，，，若水的体积恰好是该容器体积的一半，容器厚度忽略不计，则（ ） A. 当底面水平放置后，将容器绕着转动（转动过程中始终保持水平），有水的部分是棱柱 B. 转动容器，当平面水平放置时，容器内水面形成的截面为DEFG，则D，E，F，G都是所在棱的中点 C. 容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比至多为 D. 在翻滚转动容器的过程中，有水的部分不可能是三棱锥 三．填空题（每题5分，共15分） 12. 已知，且，则与夹角的余弦值为：______． 13. 面数最少的多面体是______，当其每条棱长均为2时，其体积为______． 14. 在△ABC中，O是BC边上靠近点B的五等分点，过点O的直线与射线AB，AC分别交于不同两点M，N，设，则______． 四．解答题（共5题，77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. ，复数 （1）若z为纯虚数，求 （2）复平面内表示复数z的点在第四象限，求m的取值范围 16. 如图，四边形ABCD为筝形（有一条对角线所在直线为对称轴的四边形），满足，AD的中点为E，． （1）若三角形ABD为等边三角形，求四边形ABCD的面积 （2）求筝形ABCD的面积的最大值 17. 用平方米的材料制成一个有盖的圆锥形容器，如果在制作过程中材料无损耗，且材料的厚度忽略不计，底面半径长为，圆锥母线的长为． （1）建立与的函数关系式，并写出的取值范围； （2）圆锥的轴截面为正三角形，求所制作的圆锥形容器容积多少立方米 18. 我们把由平面内夹角成60°的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“@未来坐标系”．如左图所示，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量．若向量，则把实数对（x，y）叫做向量的“@未来坐标”，记．已知分别为向量的@未来坐标． （1）证明：； （2）若向量的“@未来坐标”分别为{1，2}，{2，1}，求向量的夹角的余弦值． （3）以0为原点，建立如右图平面直角坐标系，若在平面直角坐标系中的坐标为，求向量的@未来坐标 19. 如图．在平面凸四边形ABCD中（凸四边形指没有角度数大于180°的四边形），． （1）若，求AD； （2）已知，记四边形ABCD的面积为S，求S的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $