精品解析：内蒙古自治区呼和浩特市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年第二学期呼和浩特市初二年级质量数据监测 数学 注意事项： 1.考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在试卷和答题卡的规定位置． 2.考生要将答案写在答题卡上，在试卷上答题一律无效．考试结束后，本试卷和答题卡一并收回． 3.本试卷满分100分，考试时间90分钟． 一、选择题（共8小题，1—6小题，每小题2分，7－8小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质求出即可． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的性质的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度不大． 2. 的三条边长分别为a，b，c，下列条件能判断是直角三角形的是（ ）． A. B. C. D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形，也考查了三角形内角和定理，熟知以上知识是解答此题的关键．根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A．去括号后是 ，不符合勾股定理逆定理，故本选项不符合题意； B． 设，，， ，解得， ，，， 此三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意； C． ，， 此三角形是直角三角形，故本选项符合题意； D．，不符合勾股定理逆定理，故本选项不符合题意． 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加法和乘法运算、二次根式的性质，根据二次根式的运算性质，以及平方差公式、完全平方公式进行计算即可，掌握运算法则及性质是关键． 【详解】解：A、，计算正确，故选项符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：A． 4. 下列命题正确的是（ ） A. 四个角都相等的四边形是正方形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的平行四边形是正方形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了判断命题真假，正方形的判定定理，菱形的判定定理，矩形的判定定理，熟知正方形，矩形和菱形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、四个角都相等的四边形是矩形，不一定是正方形，原命题不正确，不符合题意； B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原命题不正确，不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，原命题不正确，不符合题意； D、对角线互相垂直的矩形是正方形，原命题正确，符合题意； 故选：D． 5. ，是一次函数图象上的两点，下列判断中，正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，由可得随的增大而减小，据此即可判断求解，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴随的增大而减小， 当时，， ∴判断正确的是选项， 故选：． 6. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为(　　) A. 3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据直角三角形的性质求出DE的长，再由勾股定理得出CD的长，进而可得出BE的长，由三角形中位线定理即可得出结论． 【详解】∵CE=5，△CEF的周长为18， ∴CF+EF=18-5=13． ∵F为DE的中点， ∴DF=EF． ∵∠BCD=90°， ∴CF=DE， ∴EF=CF=DE=6.5， ∴DE=2EF=13， ∴CD=， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=CD=12，O为BD的中点， ∴OF是△BDE的中位线， ∴OF=(BC－CE)=(12－5)=3.5， 故选D． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，涉及到直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识，难度适中．使用勾股定理是解决这个问题的关键． 7. 体育测试前，小明早8点从家匀速骑自行车出发，沿一条直路去公园锻炼，小明出发的同时，他的爸爸锻炼结束从公园沿同一条道路匀速步行回家．小明在公园体育锻炼了一会后沿原路以原速返回，小明比爸爸早3分钟到家．设两人离家的距离与小明离开家的时间之间的函数关系如图所示．下列说法中，正确的是（ ） A. 公园与家的距离为2400米 B. 小明在去公园途中离家820米处与爸爸相遇 C. 小明在返回途中离家240米处与爸爸相遇 D. 小明到家的时间为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查从函数图象获取信息和解一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可得， 公园与家的距离为1200米，故A错误； 爸爸的速度为：，小明的速度为：， 设小明在去公园途中离家米处与爸爸相遇， ， 解得，， 即小明在去公园途中离家处与爸爸相遇，故B错误； 设小明在返回途中离家米处与爸爸相遇， ， 解得，， 即小明在返回途中离家240米处与爸爸相遇，故C正确； ， 小明到家的时间为，故D错误； 故选：C 8. 下列关于两个变量关系的四种表达式中，正确的是（ ） ①正方形边长为3，若边长增加x，则面积增加y，y是x的函数； ②表达式中，y是x的函数； ③下表中，n是m的函数； －3 －2 －1 1 2 3 －2 －3 －6 8 9 2 ④下图中，曲线表示y是x的函数． A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了函数的定义，在一个变化过程中有两个变量x，y，对于x的每一个确定值y都有唯一确定的值与其对应，则y是x的函数，据此判断 【详解】解：①正方形边长为3，若边长增加x，则面积增加y， ∴，得 ∴y是x的函数；故正确； ②表达式中，x每一个确定值y都有唯一确定的值与其对应，y是x的函数，故正确； ③表格中，m的每一个确定值n都有唯一确定的值与其对应，n是m的函数，故正确； ④图中，曲线表示y是x的函数，故正确； 故选：D 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分．本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程） 9. 某一长方形纸片的长为，宽为，则此长方形纸片的周长为_________cm． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算的应用，根据长方形的周长（长+宽），即可得到答案 【详解】解：长方形纸片的周长为 故答案为 10. 已知点P（a，b）在一次函数y=4x+3的图象上，则代数式4a﹣b﹣2的值等于___． 【答案】﹣5 【解析】 【详解】解：∵点P（a，b）在一次函数y=4x+3的图象上， ∴b=4a+3， ∴4a﹣b﹣2=4a﹣（4a+3）﹣2=﹣5， 故答案为：﹣5 11. 若实数满足，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出的取值范围是解题关键．直接利用二次根式的性质得出的取值范围，进而化简得出答案． 【详解】解：， ， 解得：， 故 ． 故答案为： 12. 按照如图所示的运算程序计算函数y的值，若输入x的值是，则输出y的值是3，若输入x的值是3，则输出y的值是__________． 【答案】1 【解析】 【分析】此题主要考查了函数值，正确得出的值是解题关键．直接利用已知代入得出的值，进而求出输入3时，得出的值． 【详解】解：当输入的值是，输出的值是3， ， 解得：， 故输入的值是3时，． 故答案为：1 13. 如图，将一个边长分别为4，8的长方形纸片折叠，使C点与A点重合，则折痕的长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠及勾股定理，添加合适的辅助线是解题的关键． 先过点F作于G．利用勾股定理可求出，再利用翻折变换的知识，可得到，，再利用平行线及等量代换得出，根据等角对等边得出．在和中，两次利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：过点F作于G ∵是直角梯形的折痕 ∴，． 又∵ ∴ ∴ ， 在中， ， 在中，， （负值已舍去） 故答案为：． 14. 一组数据：2，4，4，4，6；若去掉一个数据4，则下列统计量中发生变化的是__________（填“平均数”，“中位数”、“众数”或“方差”） 【答案】方差 【解析】 【分析】本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．根据众数，中位数，平均数，方差的定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解即可． 【详解】解：原数据2，4，4，4，6的平均数为，中位数为4，众数为4， 方差为； 新数据3，4，4，5的平均数为，中位数为4，众数为4， 方差为； 故答案为：方差. 15. 如图，把放在平面直角坐标系内，其中，，点A，B的坐标分别为，，将沿x轴向右平移，当点C落在直线上时，线段平移的距离为______． 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查平移的性质及一次函数的综合应用，解决本题的关键是明确线段平移的距离为点C平移的路程． 由于平移，则即为的平移距离，的纵坐标为4，与直线相交，可得坐标，由此推出距离． 【详解】如图所示： ， ∵点A、B的坐标分别为，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴，解得．即， ∴， ∴线段平移的距离为4． 故答案为：4． 16. 如图，在正方形中，，点，分别是，的中点，，相交于点，为上一动点，为的中点，下列结论：①；②；③线段MN的最大值是；④线段MN的最小值是．其中正确的是______．（只填写序号） 【答案】②③##③② 【解析】 【分析】由矩形的性质推出，，，判定四边形是矩形，推出，，，得到，，而，得到，又，得到，由三角形中位线定理推出，当与重合时，的值最小，当与重合时，的值最大，求出的最小值是4，的最大值是，即可求出的最小值和最大值． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， 点，分别是、的中点， ，， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ，， ， ， ， 故①不符合题意； ， ， 故②符合题意； 连接， 是中点，是中点， 是的中位线， 当与重合时，的值最小，当与重合时最大， 正方形边长是4，是等腰直角三角形， ， 的最小值是4，的最大值是， 的最小值是，的最大值是， 故④不符合题意，③符合题意， 其中正确的是②③． 故答案为：②③． 【点睛】本题考查矩形的判定，三角形中位线定理，正方形的性质，关键是由正方形的性质推出四边形是矩形，由三角形中位线定理推出，明白当与重合时，的值最小，当与重合时最大． 三、解答题（本大题共7小题，共58分．解答题应写出文字说明，计算过程或演算步骤） 17. （1）计算：． （2）计算：． （3）先化简，再求值，其中． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【解析】 【分析】题主要考查二次根式的混合运算和分式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式和分式的混合运算顺序和运算法则． （1）先计算乘法，并化简各二次根式，再计算加减即可； （2）用完全平方公式展开工计算即可； （3）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简，再将的值代入计算即可． 详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 当时， 原式． 18. ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF. （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB. 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，即可证明； （2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，即可证明． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD． ∵BE∥DF，BE=DF， ∴四边形BFDE是平行四边形． ∵DE⊥AB， ∴∠DEB=90°， ∴四边形BFDE是矩形； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， ∴∠DFA=∠FAB． 在Rt△BCF中，由勾股定理，得 BC===5， ∴AD=BC=DF=5， ∴∠DAF=∠DFA， ∴∠DAF=∠FAB， 即AF平分∠DAB． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键． 19. “相约十四冬，魅力内蒙古”2024年2月17日至27日我国第十四届冬季运动会在内蒙古自治区举办，某校做冬运会宣传海报（），悬挂在体育馆的窗户上方（如图所示）．小明搬来一架梯子（米）靠在宣传海报（）的A处，底端落在地板E处，然后移动梯子使顶端落在宣传海报（）的B处，而底端E向外移动了1米到C处（米）．测量得米．求宣传海报（）的高度（结果保留根号）． 【答案】米 【解析】 【分析】先根据勾股定理算出的长度，即可得的长度，再根据勾股定理得出的长度，即可得． 【详解】解：由题意可得：米，米，米 中，（米） 则（米） 在中，（米） 故米． 答：宣传海报（）的高度为米． 20. 阳光中学开展“认领一片菜地活动”，王老师为了考察黄瓜的生长情况，他随机抽查了部分黄瓜藤上的黄瓜根数．用得到的数据绘制了如下不完整的统计图． 根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图．图l中的的值为______； （2）分别求出抽取的黄瓜根数的众数和中位数； （3）求这个品种的黄瓜平均每株结多少根？（结果取整数） 【答案】（1），图形见解析 （2）众数是，中位数是 （3）这个新品种黄瓜平均每株结根黄瓜 【解析】 【分析】（1）根据数据，补全条形图即可；先根据长根黄瓜的株数求出总数，再用长根黄瓜的株数除以总数，求出的值； （2）根据众数和中位数的定义，求解即可； （3）利用加权平均数的计算公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：（株）， ， ， 故答案为：； 长根黄瓜的株数为（株），长根黄瓜的株数为（株）， 条形统计图如下： 【小问2详解】 出现的次数最多， 众数是； 将数据排序后，位于中间的两位数据均为， 中位数是； 【小问3详解】 （根） 这个新品种黄瓜平均每株结根黄瓜． 【点睛】本题主要考查条形统计图与扇形统计图及平均数、众数、中位数，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键．特别注意加权平均数的计算方法． 21. 如图，直线经过点和点，与x轴交于点C． （1）求k，m的值； （2）求的面积； 【答案】（1）， （2）9 【解析】 【分析】本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解决问题的关键是利用分类思想求解． （1）将点，点的坐标代入直线解析式，即可得到，的值； （2）利用割补法进行计算，先求得点的坐标，再根据进行计算即可． 【小问1详解】 将代入，可得， ． 将代入，可得； 【小问2详解】 在中，令，则， ，即， ． 22. 2020年春，新冠肺炎疫情暴发后，全国人民众志成城抗击疫情．某省A，B两市成为疫情重灾区，抗疫物资一度严重紧缺，对口支援的C，D市获知A，B两市分别急需抗疫物资200吨和300吨的消息后，决定调运物资支援灾区．已知C市有救灾物资240吨，D市有救灾物资260吨，现将这些抗疫物资全部调往A，B两市．已知从C市运往A，B两市的费用分别为每吨20元和25元，从D市运往往A，B两市的费用别为每吨15元和30元，设从D市运往B市的救灾物资为x吨，并绘制出表： A（吨） B（吨） 合计（吨） C a b 240 D c x 260 总计（吨） 200 300 500 （1）　　，　　，　　（用含x的代数式表示）； （2）设C，D两市的总运费为w元，求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）由于途经地区的全力支持，D市到B市的运输路线得以改善和优化，缩短了运输时间，运费每吨减少m元，其余路线运费不变，若C，D两市的总运费的最小值不小于10320元，求m的取值范围． 【答案】（1），， （2），自变量x的取值范围为 （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，列代数式，解答本题的关键是明确题意，利用函数和不等式的性质解答． （1）根据题意可以将表格中的空缺数据补充完整； （2）根据题意可以求得w与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）根据题意，利用一次函数的性质结合分类讨论的数学思想可以解答本题． 【小问1详解】 ∵D市运往B市x吨， ∴D市运往A市吨，C市运往B市吨，C市运往A市吨， ∴，，， 故答案为：，，； 【小问2详解】 由题意得： ， ∵，，，， ∴， ∴w与x之间的函数关系式为，自变量x的取值范围为； 【小问3详解】 由题意可得， ， 当时，即， 时，w最小，此时， 解得， 当时，即， 时，w取得最小值，此时， 解得， ∵， ∴不符合题意， ∴m的取值范围是． 23. 综合与实践 【提出问题】 由课本一道复习题，小明进行改编探究：如图，正方形中，点E是边上的一个动点（不与点B，C重合），过点E作交正方形的外角的平分线于点F．求证：． （1）如图1，当点E在边上时，小明的证明思路如下： 在上截取，连接． 则易得在和中 ∴ ∴ 请补全小明的证明思路，横线处应填______． 【深入探究】 （2）如图2，在（1）的基础上，过点F作交直线于点G．以为斜边向右作等腰直角三角形，点H在射线上． ①求证：； ②当，时，请求出线段的长． 【答案】（1）或；（2）①见解析；② 【解析】 【分析】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识点．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）利用全等三角形的判定条件行填补即可； （2）在上截取，连接，证明，即可求解； （3）利用全等三角形的性质结合等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）由题意，横线处应或． 故答案为：或； （2）证明：在上截取，连接， ∵ 则， ∵是等腰直角三角形， ∴，则， ∵， ， ∴， ∴； （3）∵， ∴在中， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年第二学期呼和浩特市初二年级质量数据监测 数学 注意事项： 1.考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在试卷和答题卡的规定位置． 2.考生要将答案写在答题卡上，在试卷上答题一律无效．考试结束后，本试卷和答题卡一并收回． 3.本试卷满分100分，考试时间90分钟． 一、选择题（共8小题，1—6小题，每小题2分，7－8小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 的三条边长分别为a，b，c，下列条件能判断是直角三角形的是（ ）． A. B. C. D. ，， 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题正确的是（ ） A. 四个角都相等四边形是正方形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的平行四边形是正方形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 5. ，是一次函数图象上的两点，下列判断中，正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 当时， 6. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为(　　) A. 3 B. 4 C. D. 7. 体育测试前，小明早8点从家匀速骑自行车出发，沿一条直路去公园锻炼，小明出发的同时，他的爸爸锻炼结束从公园沿同一条道路匀速步行回家．小明在公园体育锻炼了一会后沿原路以原速返回，小明比爸爸早3分钟到家．设两人离家的距离与小明离开家的时间之间的函数关系如图所示．下列说法中，正确的是（ ） A. 公园与家的距离为2400米 B. 小明去公园途中离家820米处与爸爸相遇 C. 小明在返回途中离家240米处与爸爸相遇 D. 小明到家的时间为 8. 下列关于两个变量关系四种表达式中，正确的是（ ） ①正方形边长为3，若边长增加x，则面积增加y，y是x的函数； ②表达式中，y是x的函数； ③下表中，n是m的函数； －3 －2 －1 1 2 3 －2 －3 －6 8 9 2 ④下图中，曲线表示y是x的函数． A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分．本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程） 9. 某一长方形纸片的长为，宽为，则此长方形纸片的周长为_________cm． 10. 已知点P（a，b）在一次函数y=4x+3的图象上，则代数式4a﹣b﹣2的值等于___． 11. 若实数满足，则__________． 12. 按照如图所示的运算程序计算函数y的值，若输入x的值是，则输出y的值是3，若输入x的值是3，则输出y的值是__________． 13. 如图，将一个边长分别为4，8的长方形纸片折叠，使C点与A点重合，则折痕的长是_______． 14. 一组数据：2，4，4，4，6；若去掉一个数据4，则下列统计量中发生变化的是__________（填“平均数”，“中位数”、“众数”或“方差”） 15. 如图，把放在平面直角坐标系内，其中，，点A，B的坐标分别为，，将沿x轴向右平移，当点C落在直线上时，线段平移的距离为______． 16. 如图，在正方形中，，点，分别是，的中点，，相交于点，为上一动点，为的中点，下列结论：①；②；③线段MN的最大值是；④线段MN的最小值是．其中正确的是______．（只填写序号） 三、解答题（本大题共7小题，共58分．解答题应写出文字说明，计算过程或演算步骤） 17. （1）计算：． （2）计算：． （3）先化简，再求值，其中． 18. 在ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF. （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB 19. “相约十四冬，魅力内蒙古”2024年2月17日至27日我国第十四届冬季运动会在内蒙古自治区举办，某校做冬运会宣传海报（），悬挂在体育馆的窗户上方（如图所示）．小明搬来一架梯子（米）靠在宣传海报（）的A处，底端落在地板E处，然后移动梯子使顶端落在宣传海报（）的B处，而底端E向外移动了1米到C处（米）．测量得米．求宣传海报（）的高度（结果保留根号）． 20. 阳光中学开展“认领一片菜地活动”，王老师为了考察黄瓜的生长情况，他随机抽查了部分黄瓜藤上的黄瓜根数．用得到的数据绘制了如下不完整的统计图． 根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图．图l中的的值为______； （2）分别求出抽取的黄瓜根数的众数和中位数； （3）求这个品种的黄瓜平均每株结多少根？（结果取整数） 21. 如图，直线经过点和点，与x轴交于点C． （1）求k，m的值； （2）求的面积； 22. 2020年春，新冠肺炎疫情暴发后，全国人民众志成城抗击疫情．某省A，B两市成为疫情重灾区，抗疫物资一度严重紧缺，对口支援的C，D市获知A，B两市分别急需抗疫物资200吨和300吨的消息后，决定调运物资支援灾区．已知C市有救灾物资240吨，D市有救灾物资260吨，现将这些抗疫物资全部调往A，B两市．已知从C市运往A，B两市的费用分别为每吨20元和25元，从D市运往往A，B两市的费用别为每吨15元和30元，设从D市运往B市的救灾物资为x吨，并绘制出表： A（吨） B（吨） 合计（吨） C a b 240 D c x 260 总计（吨） 200 300 500 （1）　　，　　，　　（用含x的代数式表示）； （2）设C，D两市的总运费为w元，求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）由于途经地区的全力支持，D市到B市的运输路线得以改善和优化，缩短了运输时间，运费每吨减少m元，其余路线运费不变，若C，D两市的总运费的最小值不小于10320元，求m的取值范围． 23. 综合与实践 【提出问题】 由课本一道复习题，小明进行改编探究：如图，正方形中，点E是边上的一个动点（不与点B，C重合），过点E作交正方形的外角的平分线于点F．求证：． （1）如图1，当点E在边上时，小明的证明思路如下： 在上截取，连接． 则易得在和中 ∴ ∴ 请补全小明的证明思路，横线处应填______． 深入探究】 （2）如图2，在（1）的基础上，过点F作交直线于点G．以为斜边向右作等腰直角三角形，点H在射线上． ①求证：； ②当，时，请求出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$