精品解析：四川省遵义市2023-2024学年高二下学期期末质量监测数学试题

遵义市2023～2024学年度第二学期期末质量监测 高二数学 （满分：150分 时间：120分钟） 注意事项： 1．考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的学校、姓名、班级、考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码． 2．客观题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其它选项；主观题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题；在规定区域以外的答题不给分；在试卷上作答无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2 2. 已知等差数列公差为1，，则（ ）． A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 3. 下列图中，线性相关性系数最大的是（ ） A. B. C. D. 4. 某一射手射击所得环数的分布列如下： 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.05 0.06 0.08 m m 0.21 则（ ）． A. 0.58 B. 0.5 C. 0.29 D. 0.21 5. 内角A，B，C对应边分别是a，b，c，若，，，则面积为（ ）． A. B. C. D. 6. 已知，，则（ ）． A. B. C. D. t 7. 已知是定义在R上的奇函数，当时，为减函数，且，那么不等式的解集是（ ）． A B. C D. 8. 方程的非负整数解个数为（ ）． A. 220 B. 120 C. 84 D. 24 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ）． A. 某同学上学途中经过5个红绿灯路口，遇到红灯的个数为X，若，则 B. 物理成绩y关于数学成绩x的回归直线方程（x，y单位为分），l的斜率1.1可以解释为：数学成绩每提高1分，物理成绩一定提高1.1分 C. 若随机变量X，Y满足，则 D. 设随机变量，则 10. 已知随机事件A，B满足，，则下列说法正确的是（ ）． A. 若A与B相互独立，则 B. 若A与B互斥，则 C. 若，则 D. 若随机事件C满足，，则 11. 设是定义在上的函数，满足，且对任意，（为常数），点在曲线上，为数列的前项和，则下列说法正确的有（ ）． A. 的解析式可能为 B. 若，则 C. 若在上是增函数，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路，则从甲地去丁地，共有__________种不同的走法． 13. 在二项式的展开式中，常数项为__________． 14. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，过点作垂直于一条渐近线的直线l，分别交两渐近线于A，B两点，且A，B分别在第一、四象限，若，则该双曲线的离心率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，已知四棱锥中，底面是一个边长为的正方形，平面，是棱的中点，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 16. 每年6月26日为国际禁毒日，某校高二年级组织了7个社团小队在校内进行禁毒知识宣讲活动，校团委记录了7个队宣讲活动的参与人数，得到下表： 社团编号（队） 一 二 三 四 五 六 七 参与人数（人） 101 133 213 143 157 169 185 （1）若从这7个队中随机选择1个队，求该队宣讲活动参与人数超过160人的概率； （2）若从这7个队中随机选择4个队，X表示4个队中宣讲活动的参与人数超过160人的队数，求X的分布列和数学期望． 17. 数列的前n项和记为，已知，． （1）求证：是等差数列； （2）若，，成等比数列，求的最大值． 18. 巴黎奥运会将于2024年7月26日开幕，足球是一项大众喜爱的运动．本次奥运会将有16支男足球队和12支女足球队参赛，首场比赛将于7月24日开始．为了解某校学生是否喜爱足球运动与性别有关，利用分层抽样抽取了男生和女生各100名同学进行调查，得到2×2列联表如下： 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计 男生 60 40 100 女生 20 80 100 合计 80 120 200 （1）根据调查数据回答：能否有99.9％的把握认为是否喜爱足球运动与性别有关？ （2）该校足球校队甲、乙、丙三名队员进行点球训练，他们命中点球的概率均为0.5，而且是否命中互不影响．现每人各点球两次，求三名队员命中总次数不少于4次的概率； （3）现从该校学生中任选一人，A表示事件“选到的人喜爱足球运动”，B表示事件“选到的人是男生”，利用该样本调查数据． 证明： 附：． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 19. 如图，已知点列在曲线上，点列在x轴上，，，为等腰直角三角形． （1）求，，；（直接写出结果） （2）求数列的通项公式； （3）设，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义市2023～2024学年度第二学期期末质量监测 高二数学 （满分：150分 时间：120分钟） 注意事项： 1．考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的学校、姓名、班级、考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码． 2．客观题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其它选项；主观题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题；在规定区域以外的答题不给分；在试卷上作答无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的概念和运算求解出结果. 【详解】由，，得． 故选：A． 2. 已知等差数列的公差为1，，则（ ）． A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质可得，可求结论. 【详解】设等差数列的公差为，则， 由等差数列的公差为1，， 所以， 所以. 故选：B. 3. 下列图中，线性相关性系数最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由点的分布特征可直接判断 【详解】观察4幅图可知，A图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，值相比于其他3图更接近1. 故选：A 4. 某一射手射击所得环数的分布列如下： 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.05 0.06 0.08 m m 021 则（ ）． A. 0.58 B. 0.5 C. 0.29 D. 0.21 【答案】B 【解析】 【分析】根据分布列中的概率和为1可得的方程，求得的值，进而结合对立事件概率公式可求得结果. 【详解】由题意可得，解得， . 故选：B. 5. 内角A，B，C对应边分别是a，b，c，若，，，则的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式计算得解. 【详解】在中，由余弦定理， 得，解得， 所以的面积. 故选：D 6. 已知，，则（ ）． A. B. C. D. t 【答案】B 【解析】 【分析】根据切化弦再结合两角和差求值即可. 【详解】∵， ∴，即， ∴， ∴. 故选：B 7. 已知是定义在R上的奇函数，当时，为减函数，且，那么不等式的解集是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定函数在上是减函数，再将不等式等价变形，利用函数的单调性，即可求解不等式. 【详解】因为函数是定义在R上的奇函数，则， 当时，为减函数，所以函数在上是减函数，又因为，所以， 又不等式等价于或， 所以或，即不等式的解集为. 故选：D. 8. 方程的非负整数解个数为（ ）． A. 220 B. 120 C. 84 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为：将排成一列的13个完全相同的小球分成部分，利用隔板法即可得解. 【详解】依题意，可知为非负整数， 因为， 所以， 从而将问题转化为：将排成一列的13个完全相同的小球分成部分，每部分至少一个球， 一共有12个间隔，利用3个隔板插入即可，故共有种. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ）． A. 某同学上学途中经过5个红绿灯路口，遇到红灯的个数为X，若，则 B. 物理成绩y关于数学成绩x的回归直线方程（x，y单位为分），l的斜率1.1可以解释为：数学成绩每提高1分，物理成绩一定提高1.1分 C. 若随机变量X，Y满足，则 D. 设随机变量，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用二项分布的期望公式计算判断A；利用回归直线方程的意义判断B；利用方差的性质判断C；利用正态分布的对称性判断D. 【详解】对于A，，则，A正确； 对于B，数学成绩每提高1分，物理成绩大约提高1.1分，B错误； 对于C，由，得，C正确； 对于D，随机变量，则，D错误. 故选：AC 10. 已知随机事件A，B满足，，则下列说法正确的是（ ）． A. 若A与B相互独立，则 B. 若A与B互斥，则 C. 若，则 D. 若随机事件C满足，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据相互独立事件的乘法公式即可判断A；根据互斥事件的概率公式及概率的性质即可判断B；根据条件概率公式即可判断CD. 【详解】对于A，若A与B相互独立，则，故A正确； 对于B，若A与B互斥，则， 由，故，故B错误； 对于C，若，则，故C正确； 对于D，因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 11. 设是定义在上的函数，满足，且对任意，（为常数），点在曲线上，为数列的前项和，则下列说法正确的有（ ）． A. 的解析式可能为 B. 若，则 C. 若在上是增函数，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，直接说明当时满足条件即可；对于B，先证明，再用等比数列求和公式即可；对于C，给出作为反例即可；对于D，使用裂项求和法验证即可. 【详解】对于A，当时，由于满足条件，故的解析式可能是，故A正确； 下面先对原条件进行探究. 在中，令，得，所以，. 在中，令，得，所以. 在中，分别用替换，得，从而. 由已知有，在中令，，得. 故. 所以是公比为的等比数列，而，故. 对于B，若，则. 所以，故，故B正确； 对于C，由于当时，满足条件，且是增函数，但此时，故C错误； 对于D，若，则， 所以 ，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用裂项相消法求表达式的和. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路，则从甲地去丁地，共有__________种不同的走法． 【答案】14 【解析】 【分析】根据分类加法原理以及分步乘法原理得出结果即可. 【详解】分两类，第一类，从甲到乙再到丁，共有2×3=6种， 第二类，从甲到丙再到丁，共有4×2=8种， 根据分类计数原理可得，共有6+8=14种， 故从甲地到丁地共有14条不同的路线． 故答案为：14 13. 在二项式的展开式中，常数项为__________． 【答案】 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项公式，然后令的指数为0，简单计算可得结果. 【详解】二项式展开式中通项公式为 则 令．解得. 所以当时，二项展开式的常数项为. 故答案为： 14. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，过点作垂直于一条渐近线的直线l，分别交两渐近线于A，B两点，且A，B分别在第一、四象限，若，则该双曲线的离心率为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据点到直线距离公式求得，再由，用表示出，根据双曲线的渐近线方程及正切二倍角公式，即可求得与的等量关系式，进而求得双曲线的离心率. 【详解】由题意知：双曲线的右焦点，渐近线方程为， 即， 由点到直线距离公式可知：， 又， ， ∵，即， 设，则， 而，， 由正切二倍角公式可知：， 即，化简可得：， 即， 由双曲线离心率公式可知. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，已知四棱锥中，底面是一个边长为的正方形，平面，是棱的中点，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接，利用三角形中位线定理知再根据线面平行的判定定理即可得证； （2）以为坐标原点，以、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，得到各点的坐标，求出平面的一个法向量，再利用两向量夹角的计算公式即可求解. 【小问1详解】 如图所示，连接，交于点，连接， 因为是正方形对角线的交点， 所以是的中点， 又因为是棱的中点， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面，得证. 【小问2详解】 如图所示，以为坐标原点，以、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设是平面的一个法向量， 则，即， 令，则是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 16. 每年6月26日为国际禁毒日，某校高二年级组织了7个社团小队在校内进行禁毒知识宣讲活动，校团委记录了7个队宣讲活动的参与人数，得到下表： 社团编号（队） 一 二 三 四 五 六 七 参与人数（人） 101 133 213 143 157 169 185 （1）若从这7个队中随机选择1个队，求该队宣讲活动的参与人数超过160人的概率； （2）若从这7个队中随机选择4个队，X表示4个队中宣讲活动的参与人数超过160人的队数，求X的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）利用古典概型求解即可； （2）先写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，即可得分布列，再根据期望公式求期望即可. 【小问1详解】 这7个队中宣讲活动的参与人数超过160人有个， 所以所求概率； 【小问2详解】 由题意，可取， ， ， 所以的分布列为： 所以. 17. 数列的前n项和记为，已知，． （1）求证：是等差数列； （2）若，，成等比数列，求的最大值． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）用与的关系式即可证明； （2）利用等比中项的性质结合（1）的结论可求得，由等差数列的前项和公式可得，利用二次函数的对称性和最值可得的最大值. 【小问1详解】 ①， 当时， ②， 得：， 即，即，且. 是公差为的等差数列. 【小问2详解】 由（1）知是公差为的等差数列， ， 又，，成等比数列， ， ，即， 故，解得. ， ， 二次函数的对称轴为， ，当或时取到最大值为. 故的最大值为. 18. 巴黎奥运会将于2024年7月26日开幕，足球是一项大众喜爱的运动．本次奥运会将有16支男足球队和12支女足球队参赛，首场比赛将于7月24日开始．为了解某校学生是否喜爱足球运动与性别有关，利用分层抽样抽取了男生和女生各100名同学进行调查，得到2×2列联表如下： 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计 男生 60 40 100 女生 20 80 100 合计 80 120 200 （1）根据调查数据回答：能否有99.9％的把握认为是否喜爱足球运动与性别有关？ （2）该校足球校队甲、乙、丙三名队员进行点球训练，他们命中点球概率均为0.5，而且是否命中互不影响．现每人各点球两次，求三名队员命中总次数不少于4次的概率； （3）现从该校学生中任选一人，A表示事件“选到的人喜爱足球运动”，B表示事件“选到的人是男生”，利用该样本调查数据． 证明： 附：． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6635 10.828 【答案】（1）有 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据公式求出，再对照临界值表即可得出结论； （2）利用相互独立事件的概率公式求解即可； （3）先求出各个事件的概率，再利用条件概率公式计算即可得出结论. 【小问1详解】 ， 所以有99.9％的把握认为喜爱足球运动与性别有关； 【小问2详解】 由题意，所求概率； 【小问3详解】 由题意， ， 所以， ， ， ， 则， 所以. 【点睛】思路点睛：用定义法求条件概率的步骤： （1）分析题意，弄清概率模型； （2）计算、； （3）代入公式求. 19. 如图，已知点列在曲线上，点列在x轴上，，，为等腰直角三角形． （1）求，，；（直接写出结果） （2）求数列的通项公式； （3）设，证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）直线方程为，与抛物线方程联立可得，可求得，，同理可得； （2）由题意可得，进而可得，可求数列的通项公式； （3）由（2）可得，进而可证结论成立. 【小问1详解】 由为等腰直角三角形，所以直线的直线斜率为1， 故直线的方程为，与抛物线方程联立可得，可解得或， 从而可得，可得的横坐标为1，因为，解得， 由，所以，可得， 可得，解得； 【小问2详解】 由题意可得，所以， 所以，所以， 所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以， 【小问3详解】 由（1）可得， 所以， 所以， ， 所以. 【点睛】关键点点睛：解本题的第（3）问的关键在于利用放缩法推导出，再利用数列求和结合不等式进行推导，从而证得结论成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $