专题05活用“三线合一”巧解题六种题型-2024-2025学年八年级数学上学期考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版）

专题05活用“三线合一”巧解题六种题型 题型01利用“三线合一”求角 【典例分析】 【例1-1】（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在中，，D为中点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（23-24八年级上·内蒙古赤峰·期中）在三角形中，，点D是中点，E是边上的一点，且若，求的度数．    【例1-3】（23-24八年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，在中，为边上的中线，E为上一点，且，试求的度数．    【变式演练】 【变式1-1】（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，，分别是的中线和角平分线．若，，则的度数是(   )    A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，是中线，是角平分线，．求和的度数． 【变式1-3】（22-23八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型02利用“三线合一”求线段 【典例分析】 【例2-1】（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在中，，是中线，是上一点，若，则（    ）    A．7 B．6 C．5 D．4 【例2-2】（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，在△和△中，，平分，交于点，，． (1)求的长； (2)求△的面积． 【例2-3】（23-24八年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图，在中，，，，于点，点在上，且． (1)若的周长是，求线段的长； (2)求的度数． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24八年级上·河南商丘·期末）如图，在中，，平分，若，那么的长度为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2-2】（22-23八年级上·湖南常德·期中）如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且． (1)若，求的度数； (2)若周长，，求的长． 【变式2-3】（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，连接． (1)尺规作图：作的平分线交于点E（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的基础上，若，，．求的长度． 题型03利用“三线合一”证线段（角）相等 【典例分析】 【例3-1】（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）中，，为中点，为直线上的任一点，那么与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【例3-2】（21-22八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，点是的中点，点在上．求证：．    【例3-3】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，中，，，点D在斜边上，且，过点B作交直线于点E，过点A作于点F．    (1)求的度数； (2)求证：． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，中，，为边上的高，下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，如图，在中，是边上的中线，于点G，． (1)求证：． (2)若，求的面积． 【变式3-3】（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，中，，点D为中点，，绕点D旋转，使与边交于E（不与A，B重合），与边交于点F．    (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 题型04利用“三线合一”证垂直 【典例分析】 【例4-1】（23-24八年级上·山东滨州·期中）如图所示，是直线上任意两点，，则下列结论错误的是（    ） A． B．平分但不垂直 C．垂直平分 D． 【例4-2】（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，点P为射线上一点，连接，． (1)求证：； (2)求证：． 【例4-3】（23-24八年级上·上海宝山·期中）如图，四边形中，，，且点、分别是线段、的中点．求证：．    【变式演练】 【变式4-1】（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，是的平分线，，垂足分别是E，F，则下列四个结论：①上任意一点到点C、点B的距离相等；②上任意一点到的距离相等；③；④．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-2】（23-24八年级上·上海黄浦·期末）如图，已知在中，，是的中点． 求证：．    【变式4-3】（23-24八年级上·云南红河·阶段练习）如图，在中，，是边上的中线，于点． (1)求证：； (2)求证：． 题型05利用“三线合一”证线段的倍数 【典例分析】 【例5-1】（23-24八年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，是的角平分线，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分，，给出下列四个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论共有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【例5-2】（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，点在的外部，．求证． 【例5-3】（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在中，平分，是上一点，，且．    (1)如果，则的度数为 (2)求证：． 【变式演练】 【变式5-1】（22-23七年级下·山东东营·期末）如图，是的角平分线，，垂足为，交的延长线于点，若恰好平分，．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论共有（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式5-2】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，于点E，于点D，与交于点F，连接．若，求证：．    【变式5-3】（22-23八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在中，， (1)尺规作图：过点B作线段的垂线分别交线段和线段于F、E（要求尺规作图，保留作图痕迹）．    (2)在（1）的条件下，若，则成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 题型06利用“三线合一”证线段的和差关系 【典例分析】 【例6-1】（23-24八年级上·江西南昌·阶段练习）如图，在中，垂直于为上的任意一点，过点分别作，垂足分别为． (1)若为边中点，则三条线段有何数量关系（写出推理过程）？ (2)若为线段上任意一点，则（1）中关系还成立吗？ 【例6-2】（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，直线交于点，点是平分线的一点，点分别是射线上的点，且．    (1)求证：； (2)点在线段上，点在线段延长线上，连接，若，依题意补全图形，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【例6-3】（23-24八年级上·北京西城·期中）如图：在中，已知，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N，与相交于点E．    (1)求证：； (2)若点E是的中点，试探究线段之间的数量关系，直接写出结论：____________． 【变式演练】 【变式6-1】（22-23八年级上·北京东城·期末）如图，在中，，平分，于点，且，与相交于点，请探索线段的关系，并证明你的结论． 【变式6-2】（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在中，，D为边上一点，E为边上一点，连接与交于点F，G为外一点，满足，，连接．    (1)求证：； (2)若平分，求证：． 【变式6-3】（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）已知，中，，过A任作一直线l，作于D，于E，观察三条线段，，之间的数量关系．    (1)如图1，当l经过中点时，此时_____； (2)如图2，当l不与线段相交时，，，三者的数量关系为________，并证结论． (3)如图3，当l与线段相交，交点靠近B点时，，，三者的数量关系为_________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05活用“三线合一”巧解题六种题型 题型01利用“三线合一”求角 【典例分析】 【例1-1】（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在中，，D为中点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，掌握三线合一是解题的关键． 【详解】解：∵，D为中点， ∴， 故选：D 【例1-2】（23-24八年级上·内蒙古赤峰·期中）在三角形中，，点D是中点，E是边上的一点，且若，求的度数．    【答案】的度数为 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，本题先证明，再求解，再结合等边对等角可得答案. 【详解】解：，是中点， ， ∵， ， ， ， 的度数为. 【例1-3】（23-24八年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，在中，为边上的中线，E为上一点，且，试求的度数．    【答案】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．由可得，由可得，从而得出，最后根据等腰三角形三线合一的性质得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为边上的中线， ∴ 【变式演练】 【变式1-1】（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，，分别是的中线和角平分线．若，，则的度数是(   )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义； 先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，．再利用角平分线定义即可得出． 【详解】是的中线，，， ，． 是的角平分线， ． 故选B 【变式1-2】（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，是中线，是角平分线，．求和的度数． 【答案】， 【分析】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的三线合一解答．根据等腰三角形的性质求出，进而解答即可． 【详解】，， ， ，是中线， ，即． ． ，是的平分线， ． 是的外角， ． 【变式1-3】（22-23八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质和三角形内角和定理： （1）连接，根据线段垂直平分线的性质得到，证明，根据等腰三角形的三线合一性质即可证得结论； （2）由可得，由外角的性质可得，由可得，进而求出，由三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵D为线段的中点， ∴AD⊥BC； （2）解：∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 题型02利用“三线合一”求线段 【典例分析】 【例2-1】（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在中，，是中线，是上一点，若，则（    ）    A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的“三线合一”与线段垂直平分线的性质，能够具体运用这些定理和性质是解题的关键． 根据“三线合一”与线段垂直平分线性质进行求解即可． 【详解】∵，是中线， ∴（等腰三角形三线合一）． ∴是的垂直平分线． ∵E在上， ∴（线段垂直平分线的任意一点到线段两端点的距离相等）． 故选：C 【例2-2】（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，在△和△中，，平分，交于点，，． (1)求的长； (2)求△的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练运用相关知识点是解题的关键． （1）由等腰三角形的“三线合一”即可得出答案； （2）作出底边上的高，由条件可得出三角形全等，进而可求出高，由三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，平分 ∴ （2）过点作，交的延长线于点 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴． 【例2-3】（23-24八年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图，在中，，，，于点，点在上，且． (1)若的周长是，求线段的长； (2)求的度数． 【答案】(1)5厘米 (2) 【分析】（1）本题考查等腰三角形的性质，根据等腰三角形底边上的三线合一结合周长即可得到答案； （2）本题考查等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，根据等腰三角形两底角相等及三线合乙得到，，结合即可得到答案； 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， ∴线段的长为； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24八年级上·河南商丘·期末）如图，在中，，平分，若，那么的长度为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．根据题意得到是的中线即可得到答案． 【详解】解：，平分， ， 故选：B． 【变式2-2】（22-23八年级上·湖南常德·期中）如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且． (1)若，求的度数； (2)若周长，，求的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用垂直平分线的性质及外角相关的知识点解题即可． （2）利用等腰三角形与垂直平分线的性质解题即可． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵周长，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，能够熟练利用垂直平分线的性质是解题关键． 【变式2-3】（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，连接． (1)尺规作图：作的平分线交于点E（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的基础上，若，，．求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）利用基本作图的平分线即可； （2）由等腰三角形的性质可得，，进而可得，再利用证明，由全等三角形的性质可得． 【详解】（1）解：以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点之间距离的一半为半径画弧，交于一点，在连接点与该点所在直线，交于点， 如图，射线即为所求； （2）∵，平分，， ∴，， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查尺规作图——作角平分线，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，掌握基本作图的步骤作出的平分线，利用等腰三角形的性质得，是解决问题的关键． 题型03利用“三线合一”证线段（角）相等 【典例分析】 【例3-1】（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）中，，为中点，为直线上的任一点，那么与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，得出直线是线段的垂直平分线是解题的关键．先根据等腰三角形三线合一的性质得出，那么直线是线段的垂直平分线，再利用线段垂直平分线的性质即可得出． 【详解】解：如图．    ，为中点， ， 直线是线段的垂直平分线， 为直线上的任一点， ． 故选：C 【例3-2】（21-22八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，点是的中点，点在上．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一、等边对等角的性质和线段垂直平分线的性质，先得出是的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质得出，最后根据 等边对等角证明即可；熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】∵，点是的中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． 【例3-3】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，中，，，点D在斜边上，且，过点B作交直线于点E，过点A作于点F．    (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理： （1）先由等腰直角三角形的性质得到，进而根据等边对等角和三角形内角和定理求出，则； （2）先由三线合一定理得到，再证明，得到，即可证明． 【详解】（1）解：∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，中，，为边上的高，下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．由中，，为边上的高，根据等角对等边与三线合一的性质，即可求得答案． 【详解】解：∵，为边上的高， ∴，，． 无法确定． 故A、C、D正确，B错误． 故选：B． 【变式3-2】（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，如图，在中，是边上的中线，于点G，． (1)求证：． (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析(2)4 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质： （1）根据线段垂直平分线的性质，证明即可； （2）根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形面积公式计算． 【详解】（1）证明：∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴的面积． 【变式3-3】（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，中，，点D为中点，，绕点D旋转，使与边交于E（不与A，B重合），与边交于点F．    (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键. （1）由“”可证，可得； （2）由全等三角形的性质可得可得，由三角形的面积公式可求解. 【详解】（1）证明: 中，，点为中点， ∴,， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）∵， ∴ , ∵, ∴, ∴四边形的面积． 题型04利用“三线合一”证垂直 【典例分析】 【例4-1】（23-24八年级上·山东滨州·期中）如图所示，是直线上任意两点，，则下列结论错误的是（    ） A． B．平分但不垂直 C．垂直平分 D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”，证是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴ ∴，， 故A、D正确； ∴ 即： ∵， ∴垂直平分 故B错误，C正确； 故选：B 【例4-2】（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，点P为射线上一点，连接，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的判定和性质． （1）根据等腰三角形三线合一的性质即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即； （2）证明：由（1）知，又∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴． 【例4-3】（23-24八年级上·上海宝山·期中）如图，四边形中，，，且点、分别是线段、的中点．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，证明得出，根据等腰三角形的性质，即可得证． 【详解】证明：∵点是的中点， ∴ 在中， ， ∴， ∴， ∵点是的中点． ∴， ∴． 【变式演练】 【变式4-1】（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，是的平分线，，垂足分别是E，F，则下列四个结论：①上任意一点到点C、点B的距离相等；②上任意一点到的距离相等；③；④．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得上的点到两边的距离相等，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，然后对各小题分析判断解答即可． 【详解】解：∵，是的角平分线， ∴垂直平分， ∴上任意一点到点C和点B的距离相等，故①正确； ∵是的角平分线， ∴上任意一点到的距离相等，故②正确； ∵，是的角平分线， ∴，故③正确； 又∵， ∴，故④正确； 综上所述，结论正确的是①②③④共4个． 故选：D． 【变式4-2】（23-24八年级上·上海黄浦·期末）如图，已知在中，，是的中点． 求证：．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．证明，推出，再利用“三线合一”的性质即可求解． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴． 【变式4-3】（23-24八年级上·云南红河·阶段练习）如图，在中，，是边上的中线，于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形三线合一性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形三线合一的性质证明即可； （2）根据等腰三角形三线合一的性质得到，然后用三角形内角和定理得到，等量代换即可得到． 【详解】（1）∵，是边上的中线， ∴是边上的高线， ∴； （2）如图所示，设与交于点F， ∵，是边上的中线， ∴是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ 题型05利用“三线合一”证线段的倍数 【典例分析】 【例5-1】（23-24八年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，是的角平分线，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分，，给出下列四个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论共有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的性质三线合一是解题的关键． 由角平分线的性质和平行线的性质可证，可得，由等腰三角形的性质可得，，由“”可证，可得，，即可求解． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， 是的角平分线， ，，故②③正确； 在与中， ， ， ，，故①正确； ， ，故④正确； ， ， ， ，故⑤不正确， 综上所述，正确的有：①②③④，共4个， 故选：B． 【例5-2】（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，点在的外部，．求证． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，先证明，，，再证明，即可得到结论，熟记等腰三角形的性质是解本题的关键． 【详解】解：如图，过作于，而， ∴，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ 【例5-3】（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在中，平分，是上一点，，且．    (1)如果，则的度数为 (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形外角的性质计算，得到答案； （2）作于，根据等腰三角形的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论． 【详解】（1）解：，平分， ， ， ， 是的一个外角， ； 故答案为： （2）证明：过点作于点，    平分，， ， 在和中， ， （全等三角形的对应边相等）， ，， ， ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键 【变式演练】 【变式5-1】（22-23七年级下·山东东营·期末）如图，是的角平分线，，垂足为，交的延长线于点，若恰好平分，．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论共有（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】首先证明，根据等腰三角形的性质即可判断②③正确，由，推出，，故①正确；由，推出，故④错误． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， 是的角平分线， ，，故②③正确， 在与中， ， ， ，，故①正确； ， ，故④错误； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是正确使用等腰三角形的性质三线合一，属于中考常考题型 【变式5-2】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，于点E，于点D，与交于点F，连接．若，求证：．    【答案】见解析 【分析】根据同角的余角相等得出，再利用证明，然后利用全等三角形的性质及等腰三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵，， ∴，， ∴． 在和中， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键 【变式5-3】（22-23八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在中，， (1)尺规作图：过点B作线段的垂线分别交线段和线段于F、E（要求尺规作图，保留作图痕迹）．    (2)在（1）的条件下，若，则成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)成立，详见解析 【分析】（1）作的即可； （2）证明，可得，再根据等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：如图，垂线即为所求；    理由：根据作法得：平分， ∵， ∴； （2）解：成立，理由： 因为， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以． 【点睛】本题主要考查了尺规作图，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作图的作法，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键 题型06利用“三线合一”证线段的和差关系 【典例分析】 【例6-1】（23-24八年级上·江西南昌·阶段练习）如图，在中，垂直于为上的任意一点，过点分别作，垂足分别为． (1)若为边中点，则三条线段有何数量关系（写出推理过程）？ (2)若为线段上任意一点，则（1）中关系还成立吗？ 【答案】(1)，理由见解答 (2)（1）中关系还成立，理由见解答 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，在解决一题多变的时候，基本思路是相同的，注意通过不同的方法计算同一个图形的面积，来进行证明结论的方法，是非常独特的，也是一种很好的方法，注意掌握应用． （1）如图，连接，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； （2）连接，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解， 理由：如图1，连接， ∵于于于， ∵， 又∵ ∴， ∵ ∴； （2）（1）中关系还成立， 理由：连接， ， 又， 【例6-2】（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，直线交于点，点是平分线的一点，点分别是射线上的点，且．    (1)求证：； (2)点在线段上，点在线段延长线上，连接，若，依题意补全图形，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）作于点，于点，证明，得到，设交于点，则，即可得证； （2）在上取一点，使，证明，推出，得到，则，从而即可得证． 【详解】（1）证明：作于点，于点， 则，    平分， ， 在和中， ， ， ， 设交于点，则， ； （2）解：，补全图形如图所示，    证明：在上取一点，使， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 【例6-3】（23-24八年级上·北京西城·期中）如图：在中，已知，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N，与相交于点E．    (1)求证：； (2)若点E是的中点，试探究线段之间的数量关系，直接写出结论：____________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据同角的余角相等求出,然后利用”角边角”证明和全等, （2）根据全等三角形的性质,对应边相等可得：,从而得到是等腰直角三角形,过点作于F，利用”角角边”证明和全等,根据全等三角形对应边相等可得,然后根据等腰直角三角形的性质并结合图形整理即可得证． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）， 证明:∵， ∴， 作于点F,    又∵， ∴，， ∵E是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． 【变式演练】 【变式6-1】（22-23八年级上·北京东城·期末）如图，在中，，平分，于点，且，与相交于点，请探索线段的关系，并证明你的结论． 【答案】，证明见解析 【分析】先由等腰三角形的性质得，则，再由直角三角形的性质可得，然后证明，得，进而得出结论． 【详解】解：， 理由如下： ，平分， ， ， ， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及直角三角形的性质等知识，熟练掌握以上知识点是解此题的关键 【变式6-2】（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在中，，D为边上一点，E为边上一点，连接与交于点F，G为外一点，满足，，连接．    (1)求证：； (2)若平分，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由可得出，从而可证； （2）由（1）的结论可得，，再由及平分易得，从而可得≌，则易得结论． 【详解】（1）如图，    ∵， ∴， 即． 在和中， ∵， ∴≌（）； （2）∵≌， ∴，． ∵，平分， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∵， ∴≌（）． ∴． ∴．    【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是本题的关键． 【变式6-3】（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）已知，中，，过A任作一直线l，作于D，于E，观察三条线段，，之间的数量关系．    (1)如图1，当l经过中点时，此时_____； (2)如图2，当l不与线段相交时，，，三者的数量关系为________，并证结论． (3)如图3，当l与线段相交，交点靠近B点时，，，三者的数量关系为_________． 【答案】(1)= (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可知点D，点E与的中点重合，则； （2）求出，根据证明，得到，然后等量代换可得结论； （3）求出，根据证明，得到，然后等量代换可得结论． 【详解】（1）解：∵，，经过中点， ∴， ∴点D，点E与的中点重合， ∴， 故答案为：=； （2）， 证明：如图2，∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图3，∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$