第一章 直线和圆（单元综合检测卷）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第一册）

第一章：直线和圆章末综合检测卷 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 2．直线的法向量可以为（    ） A． B． C． D． 3．圆：与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 4．已知直线，直线，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 5．已知点，动点满足，则取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．已知，直线与的交点在圆：上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 7．已知方程在实数范围内有解，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知O是所在平面内一点，且，，，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 2． 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 9．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流m，n，其方程分别为，，将军的出发点是点，军营所在位置为，则下列说法错误的是（    ） A．若将军先去河流m饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为 B．将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是 C．将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营的最短路程是 D．将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是 10．若直线与圆交于两点，则（    ） A．当时，直线的倾斜角为 B．圆的圆心坐标为 C．圆的半径为3 D．的取值范围是 11．已知动点 分别在圆 和 上，动点 在 轴上，则（     ） A．圆的半径为3 B．圆和圆相离 C．的最小值为 D．过点做圆的切线，则切线长最短为 三．填空题 本题共3小题，每小题5分，共15分 12．直线与直线平行，则 ． 13．已知直线与⊙交于两点，设弦的中点为M，则取值范围为 ． 14．在平面直角坐标系中，已知圆：与直线交于，两点，过，分别作圆的切线，.若与交于点，且为线段的中点，则 . 四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 16．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求： (1)的最大值和最小值； (2)y＋x的最大值和最小值； (3)x2＋y2的最大值和最小值． 17．已知的三个顶点的坐标分别是点与，直线. (1)求边AC所在直线的倾斜角和边AC上的高所在直线的方程; (2)记为点到直线的距离，试问:是否存在最大值?若存在，求出的最大值:若不存在，说明理由; 18．平面直角坐标系中，圆M经过点，，. (1)求圆M的标准方程； (2)设，过点D作直线，交圆M于PQ两点，PQ不在y轴上. ①过点D作与直线垂直的直线，交圆M于EF两点，记四边形的面积为S，求S的最大值； ②设直线OP，BQ相交于点N，试证明点N在定直线上，求出该直线方程. 19．规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置．我们说球A是指该球的球心点A．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动．如图：在桌面上建立平面直角坐标系，设母球A的位置为（R），目标球B的位置为，球的位置为，解决下列问题： (1)如图①，若，沿向量的方向击打母球A，能否使目标球B向球的球心方向运动？判断并说明理由； (2)如图②，若，要使目标球B向球的球心方向运动，求母球A的球心运动的直线方程； (3)如图③，若，能否让母球A击打目标球B后，使目标球B向球的球心方向运动？判断并说明理由． 试卷第1页，共3页 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章：直线和圆章末综合检测卷 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据圆的一般式方程的充要条件为，代入运算求解即可. 【详解】由题意可得：，解得或， 所以方程表示圆的充要条件是或. 故选：D. 2．直线的法向量可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线法向量与方向向量的关系，结合直线的点斜率式方程进行求解即可. 【详解】由，可得，所以直线的斜率, 所以直线的方向向量为， 当时，有，所以，不是直线的法向量，故A不正确； 当时，有，所以，不是直线的法向量，故B不正确； 当时，有，所以，不是直线的法向量，故C不正确； 当时，有，所以，是直线的法向量，故D正确. 故选：D. 3．圆：与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 【答案】A 【分析】求出两圆的圆心距，则有，即可判断两圆位置关系. 【详解】圆的圆心为，半径为；， 则圆的圆心为，半径为. 两圆心之间的距离， 且满足，可知两圆相交. 故选：A. 4．已知直线，直线，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合垂直关系可得直线的斜率，进而可得倾斜角. 【详解】因为直线的斜率， 且，可知直线的斜率 所以的倾斜角为． 故选：D． 5．已知点，动点满足，则取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由，得点轨迹方程，，故当且仅当三点共线，且点在之间时，取得最小值，点轨迹方程与直线联立方程组，求出点的坐标即可. 【详解】设，由，得，化简得， 由，得，所以， 故当且仅当三点共线，且点在之间时，取得最小值， 此时线段的方程为，由并结合， 解得故此时点的坐标为. 故选：C. 6．已知，直线与的交点在圆：上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线方程可知两直线分别过定点且垂直，可求得点轨迹方程，再由圆与圆的位置关系找出圆心距与两圆半径之间的关系可得结果. 【详解】易知直线恒过定点， 直线恒过定点， 且，易知直线与互相垂直，即可得， 所以点轨迹是以为直径的圆，圆心为的中点，半径为； 可得点轨迹方程为； 又因为点在圆上，所以可得圆与圆有公共点， 当两圆内切（圆在外）时，取得最大值； 此时满足，解得. 故选：D 7．已知方程在实数范围内有解，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将方程中的看成主元，看成系数可得，表示一条直线，直线上的点为，根据的几何意义确定点到点的距离不小于到直线的距离，结合点到直线的距离公式和二次函数的性质即可求解. 【详解】由题意知，将方程中的看成主元，看成系数， 则变成二元一次方程， 该方程可以表示直角坐标系中的一条直线，直线上的点为， 的几何意义是点与的距离， 所以直线上的点到点的距离不小于到直线的距离， 到直线的距离为 ， 即，所以， 又，是开口向上的抛物线， 当时，，所以， 即的最小值为. 故选：A 8．已知O是所在平面内一点，且，，，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得点轨迹是以为圆心，半径为的圆，再由直线与圆相切可得的最大值为. 【详解】根据，可得， 即可得； 即可知点轨迹是以为圆心，半径为的圆，如下图所示： 由图可知，当与圆相切时，取到最大， 又，可知此时. 故选：B. 2． 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 9．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流m，n，其方程分别为，，将军的出发点是点，军营所在位置为，则下列说法错误的是（    ） A．若将军先去河流m饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为 B．将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是 C．将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营的最短路程是 D．将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是 【答案】ABD 【分析】确定关于直线对称点，确定关于直线对称点，利用两点之间距离最小来判断. 【详解】对于A，如图①所示，设点关于直线的对称点为， 由解得， 所以将军在河边饮马的地点的坐标为，故A错误； 对于B，如图②所示，因为点关于直线的对称点为， 将军先去河流饮马，再返回军营的最短路程是，故B错误； 对于C，如图③所示，因为点关于直线的对称点分别为，； 点关于直线的对称点为， 所以将军先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回军营的最短路程，故C正确； 对于D，如图④所示，设点关于直线的对称点分别为， 由解得；点关于直线的对称点为， 将军先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回军营的最短路程是，故D错误. 故选：ABD.             10．若直线与圆交于两点，则（    ） A．当时，直线的倾斜角为 B．圆的圆心坐标为 C．圆的半径为3 D．的取值范围是 【答案】ACD 【分析】求出直线的斜率，即可得到倾斜角，即可判断A；将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，从而判断B、C；求出圆心到直线的距离，再由勾股定理判断D. 【详解】当时，直线的方程为，则直线的斜率为，所以倾斜角为，故A正确； 圆的方程化为标准方程为，圆心，半径，故B错误，C正确； 圆心到直线的距离，因为，所以， 所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 11．已知动点 分别在圆 和 上，动点 在 轴上，则（     ） A．圆的半径为3 B．圆和圆相离 C．的最小值为 D．过点做圆的切线，则切线长最短为 【答案】BD 【分析】求出两个圆的圆心、半径判断AB；求出圆关于对称的圆方程，利用圆的性质求出最小值判断C；利用切线长定理求出最小值判断D. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 对于A，圆的半径为，A错误； 对于B，，圆和圆相离，B正确； 对于C，圆关于轴对称的圆为，，连接交于点，连接， 由圆的性质得， ，当且仅当点与重合， 且是线段分别与圆和圆的交点时取等号，C错误； 对于D，设点，过点的圆的切线长， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：BD    三．填空题 本题共3小题，每小题5分，共15分 12．直线与直线平行，则 ． 【答案】 【分析】分别讨论两直线斜率是否存在，存在时两斜率相等解方程即可解得. 【详解】当时，即时，不满足题意； 当时，即时，不满足题意； 当且时，两直线斜率均存在，需满足， 解得或. 又当时，与重合，不合题意； 当时，与平行，满足题意； 故答案为： 13．已知直线与⊙交于两点，设弦的中点为M，则取值范围为 ． 【答案】 【分析】易知直线l过定点，且点P在圆C内，结合MP垂直于MC，可得动点M的轨迹方程为，由此容易得出的范围． 【详解】将圆C的方程为化为标准方程为，则圆心为， 直线，易知直线恒过定点 又,所以点在圆内，如下图所示： 由于MP垂直于MC，则点M的轨迹为以CP为直径的圆， 所以动点M的轨迹方程为， 圆的圆心为， 又，， 可得， 即的取值范围为． 故答案为：． 14．在平面直角坐标系中，已知圆：与直线交于，两点，过，分别作圆的切线，.若与交于点，且为线段的中点，则 . 【答案】/ 【分析】设，根据圆的标准方程明确圆心和半径，由（其中为圆心到直线的距离），可求的值，再数形结合进行取舍，可得的值. 【详解】如图： 设，由题意为线段的中点， 所以，半径， 圆心到直线的距离， 因为，所以，解得或. 又为的中点，所以圆心在直线下方，所以，即. 故答案为： 【点睛】方法点睛：本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，考查运算求解能力，是中档题． 四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先确定，然后通过两点的坐标确定方程； （2）先确定直线的斜率，然后通过点的坐标和斜率确定方程. 【详解】（1）由于，，故，而，故的方程是，即. （2）由于直线的斜率是，且不在直线上. 所以经过点且与直线平行的直线方程为，即. 16．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求： (1)的最大值和最小值； (2)y＋x的最大值和最小值； (3)x2＋y2的最大值和最小值． 【答案】(1)最小值为－，最大值为 (2)最大值为2＋，最小值为2－ (3)最大值为7＋4，最小值为7－4 【详解】（1） 如图，令＝t，则x2＋t2x2－4x＋1＝0，即（1＋t2）x2－4x＋1＝0.由Δ≥0得－≤t≤，所以的最小值为－，最大值为. （2）令y＋x＝m，得y＝－x＋m.直线y＝－x＋m与圆x2＋y2－4x＋1＝0有公共点时，其纵截距在两相切位置对应的纵截距之间，而相切时有＝，|m－2|＝，m＝2±.所以y＋x的最大值为2＋，最小值为2－. （3） 如图，x2＋y2是圆上点到原点距离的平方，故连接OC，与圆交于点B，并延长交圆于C′，可知B到原点的距离最近，点C′到原点的距离最大，此时有OB＝＝2－，OC′＝＝2＋，（x2＋y2）max＝OC′2＝7＋4，（x2＋y2）min＝OB2＝7－4. 17．已知的三个顶点的坐标分别是点与，直线. (1)求边AC所在直线的斜率为和边AC上的高所在直线的方程; (2)记为点到直线的距离，试问:是否存在最大值?若存在，求出的最大值:若不存在，说明理由; 【答案】(1)； (2)存在最大值； 【分析】（1）求出直线AC的斜率，根据即可求出倾斜角，由直线点斜式方程即可求出直线的方程； （2）根据直线只含一个参数，可以将其方程以参数进行整理，然后运用恒等式，求出定直线及交点，点到直线的距离为，则，再探究是否存在最大值. 【详解】（1）因为，所以， 所以直线的倾斜角为， 因为，所以， 所以直线的方程为：，化简得：. （2）将直线变形可得：， 对于取任何实数时，此方程恒成立，则 得， 即直线恒过两直线及的交点， 由图象可知，对于任何一条过点的直线，点到它的距离不超过，即．      又因为过点且垂直于的直线方程是， 但无论时，直线表示为， 此时距离最大．所以，存在最大值． 【点睛】本题考查了定点到动直线的距离的最大值问题，求出直线恒过的定点是解决问题的关键，还考查了数形形合思想，还要注意检验取得最值的条件. 18．平面直角坐标系中，圆M经过点，，. (1)求圆M的标准方程； (2)设，过点D作直线，交圆M于PQ两点，PQ不在y轴上. ①过点D作与直线垂直的直线，交圆M于EF两点，记四边形的面积为S，求S的最大值； ②设直线OP，BQ相交于点N，试证明点N在定直线上，求出该直线方程. 【答案】(1) (2)①S的最大值为7；②证明见解析，点N在定直线上. 【分析】（1）设圆M的方程为，利用待定系数法求出，即可得解； （2）①设直线的方程为，分和两种情况讨论，利用圆的弦长公式分别求出，再根据即可得出答案； ②设，联立，利用韦达定理求得，求出直线OP，BQ的方程，联立求出交点坐标即可得出结论. 【详解】（1）解：设圆M的方程为， 则，解得， 所以圆M的标准方程为； （2）设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， ①若，则直线斜率不存在， 则，，则， 若，则直线得方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， 则 ， 当且仅当，即时，取等号， 综上所述，因为，所以S的最大值为7； ②设， 联立，消得， 则， 直线的方程为， 直线的方程为， 联立，解得， 则， 所以， 所以点N在定直线上. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 19．规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置．我们说球A是指该球的球心点A．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动．如图：在桌面上建立平面直角坐标系，设母球A的位置为（R），目标球B的位置为，球的位置为，解决下列问题： (1)如图①，若，沿向量的方向击打母球A，能否使目标球B向球的球心方向运动？判断并说明理由； (2)如图②，若，要使目标球B向球的球心方向运动，求母球A的球心运动的直线方程； (3)如图③，若，能否让母球A击打目标球B后，使目标球B向球的球心方向运动？判断并说明理由． 【答案】(1)能使目标球B向球的球心方向运动，理由见解析 (2) (3)不可能让母球A击打目标球B后，使目标球B向处运动，理由见解析 【分析】 （1）根据点在母球A的球心运动的直线方程上，得到结论； （2）得到A，B两球碰撞时，球A的球心在直线上，且在第一象限，设，得到方程组，求出，求出母球A的球心运动的直线方程； （3）由得到为锐角，从而得到点到线段的距离小于2，故球A的球心未到直线上的点之前就会与球B碰撞． 【详解】（1）若时，沿向量的方向击打母球A，则，而， 所以，即两向量同向共线， 所以沿向量的方向击打母球A，能使目标球B向球的球心方向运动； （2）若，过点与点的直线方程为． 依题意，知A，B两球碰撞时，球A的球心在直线上，且在第一象限， 设A，B两球碰撞时球A的球心坐标为，此， 则有，解得， 即A，B两球碰撞时球A的球心坐标为， ∴母球A的球心运动的直线方程为； （3）若，由（2）知．又， ∴， ∴， 故为锐角． ∴点到线段的距离小于2，故球A的球心未到直线上的点之前就会与球B碰撞． 故不可能让母球A击打目标球B后，使目标球B向处运动． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 试卷第1页，共3页 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$