第一章 一元二次方程（单元综合检测卷）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

第一章 一元二次方程章末综合检测卷 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2024·四川凉山·模拟预测）下列方程中，关于x的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·新疆·中考真题）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（2023·天津·中考真题）若是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·四川自贡·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 6．（2024·四川广安·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 7．（2023·浙江衢州·中考真题）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（    ） A． B． C． D． 8．（2024·四川南充·中考真题）当时，一次函数有最大值6，则实数m的值为（    ） A．或0 B．0或1 C．或 D．或1 2、 填空题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 9．（2020·江苏扬州·中考真题）方程的根是 ． 10．（2024·山东·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 11．（2024·河北石家庄·一模）若是一元二次方程的根，则 ． 12．（2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为 ． 13．（2024·重庆·中考真题）重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为，根据题意，可列方程为 ． 14．（2023·江苏盐城·模拟预测）一条长的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形，若两个正方形的面积和等于，其中较小正方形的边长为 ． 15．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为 ． 16．（2024·四川成都·中考真题）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 17．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍． 18．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在矩形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当的面积等于时，运动时间为_______s． 三、解答题：本大题共10小题，共96分． 19．（8分）（2023·广东广州·中考真题）解方程：． 20．（8分）（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程： 21．（8分）（2022·湖北随州·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 22．（8分）（2022·江苏常州·中考真题）第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME-14的举办年份． (1)八进制数3746换算成十进制数是_______； (2)小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值． 23．（10分）（2023·浙江杭州·中考真题）设一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中一组的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程． ①；②；③；④． 注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分． 24．（10分）（2024·黑龙江大庆·模拟预测）某网店销售台灯，成本为每盏元．销售大数据分析表明：当每盏台灯售价为元时，平均每月售出盏，若售价每降价元，其月销售量就增加盏．为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为盏台灯的情况下，若预计月获利恰好为元，求每盏台灯的售价． 25．（10分）（2023·山东东营·中考真题）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．    (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 26．（10分）（2024九年级下·浙江·专题练习）某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：    某单位组织员工参加该旅行社旅游，共支付该旅行社旅游费用元，请问： (1)该单位这次去旅游，员工有没有超过人？ (2)该单位这次共有多少员工去旅游？ 27．（12分）（23-24九年级上·河南郑州·期中）测完教学楼的高度，小明和小刚围着校园里的矩形花坛做起了游戏，并探究其中的数学问题．如图，矩形，小明（用点表示）以的速度从顶点出发沿折线向点运动，同时小刚（用点表示）以的速度从顶点出发向点运动，当其中一个同学到达末端停止运动时，另一同学也停止运动． (1)问小明和小刚走动几秒，使四边形的面积是矩形面积的； (2)问小明和小刚经过多长时间使得两人之间的距离为？若存在，求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由． 28．（12分）（2022·湖北黄石·中考真题）阅读材料，解答问题： 材料1 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2 已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 方程的解为_______________________； (2)间接应用： 已知实数a，b满足：，且，求的值； (3)拓展应用： 已知实数x，y满足：，且，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 一元二次方程章末综合检测卷 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2024·四川凉山·模拟预测）下列方程中，关于x的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A、由可得即，不是一元二次方程，选项错误； B、形式是一元二次方程，但二次项系数没有标注不等于0，选项错误； C、符合一元二次方程定义．正确． D、含有分式，属于分式方程，选项错误． 故选：C． 2．（2023·新疆·中考真题）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵， ∴， ∴， ∴， 故选D． 3．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】解∶ ， ∴， ∴或， ∴，， 故选∶B． 4．（2023·天津·中考真题）若是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：方程中的， 是方程的两个根， ，， 故选：A． 5．（2024·四川自贡·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【解析】解：△， 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 6．（2024·四川广安·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ， ， 的取值范围是：且． 故选：A． 7．（2023·浙江衢州·中考真题）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得：， 故选：C． 8．（2024·四川南充·中考真题）当时，一次函数有最大值6，则实数m的值为（    ） A．或0 B．0或1 C．或 D．或1 【答案】A 【解析】解：当即时，一次函数y随x的增大而增大， ∴当时，， 即， 整理得： 解得：或（舍去） 当即时，一次函数y随x的增大而减小， ∴当时，， 即， 整理得： 解得：或（舍去） 综上，或， 故选：A 2、 填空题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 9．（2020·江苏扬州·中考真题）方程的根是 ． 【解析】解：由原方程，得． 解得． 故答案为：． 10．（2024·山东·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【解析】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 11．（2024·河北石家庄·一模）若是一元二次方程的根，则 ． 【解析】解：∵是一元二次方程方程的根， ∴，，， ∴， 故答案为：0． 12．（2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为 ． 【解析】解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根，代入， 可得，解之得； 由得； 故答案为：2 13．（2024·重庆·中考真题）重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为，根据题意，可列方程为 ． 【解析】解：设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为， 由题意得，， 故答案为：． 14．（2023·江苏盐城·模拟预测）一条长的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形，若两个正方形的面积和等于，其中较小正方形的边长为 ． 【解析】解：设一个正方形的边长为， 正方形的四边相等， 此正方形的周长是，另一个正方形的边长是， 根据题意得， 解得，． 当时，； 当时，， 所以另一个正方形的边长为和． 较小正方形的边长为． 故答案为：4． 15．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为 ． 【解析】解：∵， 而， ∴①当时，则有， 解得，； ②当时，， 解得， 综上所述，x的值是或， 故答案为：或． 16．（2024·四川成都·中考真题）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【解析】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， 则 ∴ 故答案为：7 17．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍． 【解析】解：由所给图形可知， 第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； …， 所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 由题知，解得， 又n为正整数，则，即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍． 故答案为：12． 18．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在矩形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当的面积等于时，运动时间为_______s． 【解析】解：设运动时间为，则，依题意，得： ， 整理，得：， 解得：（不合题意，舍去）． 即当的面积等于时，运动时间为． 故答案为：． 三、解答题：本大题共10小题，共96分． 19．（8分）（2023·广东广州·中考真题）解方程：． 【解析】解：， ， 或， ，． 20．（8分）（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程： 【解析】解：∵ ∴或 解得，． 21．（8分）（2022·湖北随州·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 【解析】（1）解：关于的一元二次方程有两个不等实数根， 此方程根的判别式， 解得． （2）解：由题意得：， 解得或， 由（1）已得：， 则的值为2． 22．（8分）（2022·江苏常州·中考真题）第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME-14的举办年份． (1)八进制数3746换算成十进制数是_______； (2)小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值． 【解析】（1）， 故答案为：2022； （2）根据题意有：， 整理得：， 解得n=9，（负值舍去）， 故n的值为9． 23．（10分）（2023·浙江杭州·中考真题）设一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中一组的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程． ①；②；③；④． 注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分． 【解析】解：中， ①时，，方程有两个相等的实数根； ②时，，方程有两个不相等的实数根； ③时，，方程有两个不相等的实数根； ④时，，方程没有实数根； 因此可选择②或③． 选择②时， ， ， ， ，； 选择③时， ， ， ， ，． 24．（10分）（2024·黑龙江大庆·模拟预测）某网店销售台灯，成本为每盏元．销售大数据分析表明：当每盏台灯售价为元时，平均每月售出盏，若售价每降价元，其月销售量就增加盏．为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为盏台灯的情况下，若预计月获利恰好为元，求每盏台灯的售价． 【解析】解：设每盏台灯的售价为元， 根据题意得，， 解得，， 当时，，不合，舍去； 当时，； ∴， 答：每个台灯的售价为元． 25．（10分）（2023·山东东营·中考真题）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．    (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【解析】（1）解：设矩形的边，则边 ． 根据题意，得． 化简，得． 解得，． 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为 的羊圈． （2）解：不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到 ． 26．（10分）（2024九年级下·浙江·专题练习）某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：    某单位组织员工参加该旅行社旅游，共支付该旅行社旅游费用元，请问： (1)该单位这次去旅游，员工有没有超过人？ (2)该单位这次共有多少员工去旅游？ 【解析】（1）解：∵人数不超过人，人均费用为元， ∴， ∴员工人数一定超过人， ∴该单位这次去旅游，员工超过了20人； （2）解：设该单位这次共有名员工去旅游，根据题意列方程得： ， 整理得， 即， 解得，， 当时，，故舍去； 当时，，符合题意． 答：该单位这次共有35名员工去旅游． 27．（12分）（23-24九年级上·河南郑州·期中）测完教学楼的高度，小明和小刚围着校园里的矩形花坛做起了游戏，并探究其中的数学问题．如图，矩形，小明（用点表示）以的速度从顶点出发沿折线向点运动，同时小刚（用点表示）以的速度从顶点出发向点运动，当其中一个同学到达末端停止运动时，另一同学也停止运动． (1)问小明和小刚走动几秒，使四边形的面积是矩形面积的； (2)问小明和小刚经过多长时间使得两人之间的距离为？若存在，求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）解：设两动点运动秒，使四边形的面积是矩形面积的， 根据题意得，， 由题中矩形的面积是12，则，解得； （2）解：设两动点经过秒使得点与点之间的距离为， 当时，如图所示： ，即，解得或； ②当时，如图所示： ，即， 由，此方程无解； 综上所述，当或时，点与点之间的距离为． 28．（12分）（2022·湖北黄石·中考真题）阅读材料，解答问题： 材料1 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2 已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 方程的解为_______________________； (2)间接应用： 已知实数a，b满足：，且，求的值； (3)拓展应用： 已知实数x，y满足：，且，求的值． 【解析】（1）解：令y=，则有-5y+6=0， ∴（y-2）（y-3）=0， ∴=2，=3， ∴=2或3， ∴，，，， 故答案为：，，，； （2）解：∵， ∴或 ①当时，令，， ∴则，， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴， 此时； ②当时，， 此时； 综上：或 （3）解：令，，则，， ∵， ∴即， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴， 故． 学科网（北京）股份有限公司 $$