精品解析：山东省青岛第一中学2023-2024学年高二下学期第二次模块考试数学试题

青岛一中2023 2024学年度第二学期第二次模块考试高二数学 一、单选题 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知点是的重心，点是线段的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在三棱柱中，为的中点，平面将三棱柱分成体积为，两部分，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知且，若函数，的最大值不超过1，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，动点满足，则取得最小值时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数对任意自然数、均满足：，且，则（　　） A. 1004 B. 1005 C. 2009 D. 2010 二、多选题 9. 某学院派出甲、乙、丙、丁四名老师带队去A，B，C，D四个地区参加社会实践活动，每名老师只能去一个地区，则下列说法正确的是（ ） A. 若四个区都有人去，则共有24种不同的安排方法 B. 若恰有一个区无人去，则共有36种不同的安排方法 C. 若甲不去A区，且每个区均有人去，则共有18种不同的安排方法 D. 若A区只能是甲去或乙去，且每个区均有人去，则共有16种不同的安排方法 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 若为单调递减函数，则 B. 当或时，有且仅有一个极值点 C. 当时，的图象与x轴相切 D. 若有且仅有一个零点，则 11. 费马原理是几何光学中的一条重要原理，可以推导出双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知、分别是以为渐近线且过点的双曲线C的左、右焦点，在双曲线C右支上一点处的切线l交x轴于点Q，则（ ） A. 双曲线C的离心率为 B. 双曲线C的方程为 C. 过点作，垂足为K，则 D. 点Q的坐标为 三、填空题 12. 已知的展开式中含项的系数为160，则实数a的值为__________. 13. 某电视台鉴宝栏目迎来一件清代老银方斗型挂件（图1），古代常用来作为女方陪嫁．该挂件佩戴起来非常漂亮，寓意“斗出斗入，日进万金”之意．其结构由长方体与正四棱台组合而成．图2是与该挂件结构相同的几何体，且，，，K为BC上一点，且，Z为PQ上一点．若，则的值为___；几何体外接球的表面积为___． 14. 已知数列满足，函数在处取得最大值，若，则_____________ 四、解答题 15. 某商场零食区改造，如图，原零食区是区域，改造时可利用部分为扇形区域，已知，米，米，区域为三角形，区域是以为半径的扇形，且． （1）若需在区域外轮廓地面贴广告带，求广告带的总长度； （2）在区域中，设置矩形区域作为促销展示区，求促销展示区的面积的最大值． 16. 2023年10月1日，在杭州电竞中心进行的杭州亚运会和平精英亚运版本决赛中，中国队以总用时44分36秒943的成绩夺冠，创造了电竞项目的第一个亚洲纪录，也掀起了新一波电子竞技在中国的热潮.为了调查我市25岁以下的年轻人的性别与对电子竞技的爱好程度是否具有相关性，研究人员随机抽取了500人作出调查，所得数据统计如下表所示： 热爱电子竞技 对电子竞技无感 总计 男性 200 50 女性 100 总计 500 （1）把列联表的数据填写完整，并依据小概率值的独立性检验，分析我市25岁以下的年轻人的性别与对电子竞技的爱好程度是否有关？ （2）若按照性别进行分层抽样的方法，从被调查的热爱电子竞技的年轻人中随机抽取15人，再从这15人中任取3人，记抽到的男性人数为，求的分布列以及数学期望. 附：，其中. 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 17. 如图，在四棱锥中，平面为等边三角形，，点为棱上的动点． （1）证明：平面； （2）当二面角的大小为时，求线段的长度． 18. 已知，，是自然对数的底数. （1）当时，求函数的极值； （2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围； （3）当时，若满足，求证：. 19. 给出如下的定义和定理：定义：若直线l与抛物线有且仅有一个公共点P，且l与的对称轴不平行，则称直线l与抛物线相切，公共点P称为切点.定理：过抛物线上一点处的切线方程为.完成下述问题：如图所示，设E，F是抛物线上两点.过点E，F分别作抛物线的两条切线，，直线，交于点C，点A，B分别在线段，的延长线上，且满足，其中. （1）若点E，F的纵坐标分别为，，用，和p表示点C的坐标. （2）证明：直线与抛物线相切； （3）设直线与抛物线相切于点G，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛一中2023 2024学年度第二学期第二次模块考试高二数学 一、单选题 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得集合，可求得. 【详解】依题得，则． 故选：C. 2. 设，则“”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由复数为纯虚数求得的值，再根据充分必要条件关系判断. 【详解】因为复数为纯虚数，所以，解得， 所以“”是“复数为纯虚数”的充要条件. 故选：A. 3. 已知点是的重心，点是线段的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算化简，求得，进而求得正确答案. 【详解】， 所以. 故选：C 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和的正切公式及二倍角的余弦公式，利用诱导公式及特殊值的三角函数，结合三角函数的性质即可求解. 【详解】， ， ， 又在上单调递增，所以，即， 所以. 故选：A. 5. 在三棱柱中，为的中点，平面将三棱柱分成体积为，两部分，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据割补法及棱台、棱柱的体积公式即可求解. 【详解】由题可知，，，四点共面. 在三棱柱中，∵平面平面，平面平面，平面平面， ∴，∴. ∵为的中点，∴为的中点. 延长至点使，延长至点使，延长至点使，连接，，，得到三棱柱.延长，. 在三棱柱中，∵，分别为，的中点，∴，相交于点，∴多面体为三棱台. 设三棱柱的高为，上下底面面积均为，体积为，则. ∵，分别为，的中点，∴. 根据棱台的体积公式可知，，∴. 故选：D 6. 已知且，若函数，的最大值不超过1，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，，要使函数的最大值不超过1，则，解不等式即可得出答案. 【详解】当时，在上单调递增， 则函数，故， 函数在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以函数的最大值不超过1， 则，又因为，解得：. 故选：C. 7. 已知点，动点满足，则取得最小值时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，由，得点轨迹方程，，故当且仅当三点共线，且点在之间时，取得最小值，点轨迹方程与直线联立方程组，求出点的坐标即可. 【详解】设，由，得，化简得， 由，得，所以， 故当且仅当三点共线，且点在之间时，取得最小值， 此时线段的方程为，由并结合， 解得故此时点的坐标为. 故选：C. 8. 已知函数对任意自然数、均满足：，且，则（　　） A. 1004 B. 1005 C. 2009 D. 2010 【答案】B 【解析】 【分析】利用赋值法依次求得与，再取，得到，从而得到，由此得解. 【详解】令，则，解得， 令，，则，即， 因为，所以， 令，，得， 即，所以， 从而， 故选：B. 二、多选题 9. 某学院派出甲、乙、丙、丁四名老师带队去A，B，C，D四个地区参加社会实践活动，每名老师只能去一个地区，则下列说法正确的是（ ） A. 若四个区都有人去，则共有24种不同的安排方法 B. 若恰有一个区无人去，则共有36种不同的安排方法 C. 若甲不去A区，且每个区均有人去，则共有18种不同的安排方法 D. 若A区只能是甲去或乙去，且每个区均有人去，则共有16种不同的安排方法 【答案】AC 【解析】 【分析】全排列可得A正确；利用先特殊后一般，先组合后排列，得出结果判断其余选项； 【详解】某学院派出甲、乙、丙、丁四名老师带队去A，B，C，D四个地区参加社会实践活动，每名老师只能去一个地区． 对于选项A，若四个区都有人去，则共有种不同的安排方法，即选项A正确； 对于选项B，若恰有一个区无人去，则共有种不同的安排方法；即选项B错误； 对于选项C，若甲不去A区，且每个区均有人去，则共有种不同的安排方法，即选项C正确； 对于选项D，若A区只能是甲去或乙去，且每个区均有人去，则共有种不同的安排方法，即选项D错误． 故选：AC． 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 若为单调递减函数，则 B. 当或时，有且仅有一个极值点 C. 当时，的图象与x轴相切 D. 若有且仅有一个零点，则 【答案】AC 【解析】 【分析】求出函数的导数，由恒成立判断A；举例说明判断B；求出函数的零点，并求出在该点处的切线方程判断C；求出函数只有一个零点的m的取值范围判断D作答． 【详解】对A：函数的定义域为，求导得. 由为单调递减函数，得，，即， 令，，求导得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 则当时，，于是，解得，A正确； 对B：由选项A知，当时，为单调递减函数，无极值点，B错误； 对C：当时，，显然，，且， 因此函数的图象在点处的切线为，则当时，的图象与x轴相切，C正确； 对D：由，得，令，求导得， 当时，，函数在上单调递增，而当时，， 当时，，，因此函数仅有一个零点； 当时，若，则，单调递增， 若，则，单调递减， 则当时，， 函数只有一个零点，当且仅当，解得， 所以当或时，有且仅有一个零点，D错误． 故选：AC. 11. 费马原理是几何光学中的一条重要原理，可以推导出双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知、分别是以为渐近线且过点的双曲线C的左、右焦点，在双曲线C右支上一点处的切线l交x轴于点Q，则（ ） A. 双曲线C的离心率为 B. 双曲线C的方程为 C. 过点作，垂足为K，则 D. 点Q的坐标为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A、B：根据双曲线的渐近线和点的坐标求双曲线的方程，进而可得离心率；对于C：根据题意结合双曲线的定义运算求解；对于D：根据导数的几何意义运算求解. 【详解】因为双曲线的渐近线为，设双曲线方程为， 代入点，可得， 所以双曲线方程为，可得， 所以离心率为，故A错误，B正确； 因为， 设， 因为，且为的角平分线， 所以，且，故C错误； 因为，当时，整理得， 则，可得， 即切点坐标为，切线斜率， 则切线方程为， 令，整理得， 又因为，可得， 所以点Q的坐标为，故D正确； 故选：BD. 三、填空题 12. 已知的展开式中含项的系数为160，则实数a的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】运用二项式展开式的通项公式，就可以出求指定项的系数，从而解得. 【详解】由二项式展开式通项公式得：， 当时，有，由展开式中含项的系数为160， 所以，解得：， 故答案为：2. 13. 某电视台鉴宝栏目迎来一件清代老银方斗型挂件（图1），古代常用来作为女方陪嫁．该挂件佩戴起来非常漂亮，寓意“斗出斗入，日进万金”之意．其结构由长方体与正四棱台组合而成．图2是与该挂件结构相同的几何体，且，，，K为BC上一点，且，Z为PQ上一点．若，则的值为___；几何体外接球的表面积为___． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）利用面面平行的性质作出MZ//AJ.证明出，得到，即可求出； （2）先判断出球心在面NFHQ上，设NQ的中点为O1,FH的中点为O2,则球心在O在O1 O2上. 设外接球的半径为R，.利用半径相等列方程，解出d，即可求出，计算出外接球的表面积. 【详解】由题意可知：面ABCD//面EFGH//面MNPQ. 设面EMZ交平面EFGH于EI,交平面ABCD于AJ. 由面面平行的性质可知，MZ//EI//AJ.设. 由面面平行的性质可知，MZ//AJ. 因为，所以. 因为所以. 而，所以，所以，所以. 因为ABCD为正方形，所以.所以. 几何体为正四棱台，由正四棱台的对称性可知，几何体的外接球的球心必在平面NFHQ上，设NQ的中点为O1,FH的中点为O2,则球心在O在O1 O2上. 由题意可知：,，. 过N作NS垂直FH于S.则. 由勾股定理得：，所以. 设外接球的半径为R，. 由可得：,即，解得：，所以. 几何体外接球的表面积为. 故答案为：，. 【点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果涉及几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心. 14. 已知数列满足，函数在处取得最大值，若，则_____________ 【答案】 【解析】 【分析】先对函数求导，结合导数分析函数的单调性，再由极值存在的条件及零点存在性定理即可求解. 【详解】因为，令， 则在上单减， 且， 由零点存在定理知，存在唯一的，使得， 即①， 且当时，，则； 当时，，则； 所以在上单调递增，上单调递减， 由， 而②， 由①②知，， 所以， 从而. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于先对求导，求出的单调性和最值可得，再结合可求出，所以，即可求出的值. 四、解答题 15. 某商场零食区改造，如图，原零食区是区域，改造时可利用部分为扇形区域，已知，米，米，区域为三角形，区域是以为半径的扇形，且． （1）若需在区域外轮廓地面贴广告带，求广告带的总长度； （2）在区域中，设置矩形区域作为促销展示区，求促销展示区的面积的最大值． 【答案】（1）（米） （2）平方米． 【解析】 【分析】（1）根据弧长公式以及直角三角形的边角关系即可求解， （2）根据锐角三角函数可得，，即可利用面积公式，结合三角恒等变换以及三角函数的性质即可求解最值. 【小问1详解】 因为，，， 所以，， 则，，的长为， 所以广告带的总长度为（米）． 【小问2详解】 如图，连接．设． 因为，所以，， 因为，所以，所以， 所以 ， 因为，当，即时取得最大值． 所以， 所以促销展示区的面积的最大值为平方米． 16. 2023年10月1日，在杭州电竞中心进行的杭州亚运会和平精英亚运版本决赛中，中国队以总用时44分36秒943的成绩夺冠，创造了电竞项目的第一个亚洲纪录，也掀起了新一波电子竞技在中国的热潮.为了调查我市25岁以下的年轻人的性别与对电子竞技的爱好程度是否具有相关性，研究人员随机抽取了500人作出调查，所得数据统计如下表所示： 热爱电子竞技 对电子竞技无感 总计 男性 200 50 女性 100 总计 500 （1）把列联表的数据填写完整，并依据小概率值的独立性检验，分析我市25岁以下的年轻人的性别与对电子竞技的爱好程度是否有关？ （2）若按照性别进行分层抽样的方法，从被调查的热爱电子竞技的年轻人中随机抽取15人，再从这15人中任取3人，记抽到的男性人数为，求的分布列以及数学期望. 附：，其中. 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）表格见解析，推断犯错误的概率不会超过 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到的列联表，利用公式求得，结合附表，即可得到结论； （2）根据题意，得到变量的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【小问1详解】 解：根据题意，可得的列联表，如下表所示： 热爱电子竞技 对电子竞技无感 总计 男性 200 50 250 女性 100 150 250 总计 300 200 500 零假设为岁以下的年轻人的性别与对电子竞技的爱好程度无关， 由列联表数据得， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，可以认为我市25岁以下的年轻人的性别与对电子竞技的爱好程度有关，此推断犯错误的概率不会超过. 【小问2详解】 解：依题意，这15人中男生有10人，女生有5人， 则随机变量的可能取值为 可得， ， 所以变量的分布列为： 0 1 2 3 所以期望为. 17. 如图，在四棱锥中，平面为等边三角形，，点为棱上的动点． （1）证明：平面； （2）当二面角的大小为时，求线段的长度． 【答案】（1）证明：依题意，所以， 所以，所以，则， 由于平面，平面，所以， 由于平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先求得，再根据线面垂直的判定定理证得平面. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法列方程来求得点的坐标，进而求得的长度. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知两两相互垂直，由此以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， ，设， 平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则， 故可设， 依题意，二面角的大小为， 所以， 整理得， 解得或（舍去），所以， 所以. 【点睛】 18. 已知，，是自然对数的底数. （1）当时，求函数的极值； （2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围； （3）当时，若满足，求证：. 【答案】（1）极小值为0，无极大值. （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）把代入函数中，并求出，根据的正负得到的单调性，进而求出的极值. （2）等价于与的图象有两个交点，求导得到函数的单调性和极值，画出的大致图象，数形结合求解即可. （3）求出，并得函数在上单调递减，在上单调递增，可得则，，要证，只需证，只需证，即证，令，对求导证明即可. 【小问1详解】 当时，，定义域为，求导可得， 令，得， 当时，，函数在区间上单调递减， 当时，，函数在区间上单调递增， 所以在处取到极小值为0，无极大值. 【小问2详解】 方程， 当时，显然方程不成立， 所以，则， 方程有两个不等实根，即与的图象有2个交点， ， 当或时，， 在区间和上单调递减， 并且时，，当时，， 当时，，在区间上单调递增， 时，当时，取得最小值，， 作出函数的图象，如图所示： 因此与有2个交点时，， 故的取值范围为. 【小问3详解】 证明：，由，得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 由题意，且，则，. 要证，只需证， 而，且函数在上单调递减， 故只需证， 又，所以只需证， 即证， 令， 即， ， 由均值不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数在上单调递增. 由，可得，即， 所以， 又函数在上单调递减， 所以，即得证. 19. 给出如下的定义和定理：定义：若直线l与抛物线有且仅有一个公共点P，且l与的对称轴不平行，则称直线l与抛物线相切，公共点P称为切点.定理：过抛物线上一点处的切线方程为.完成下述问题：如图所示，设E，F是抛物线上两点.过点E，F分别作抛物线的两条切线，，直线，交于点C，点A，B分别在线段，的延长线上，且满足，其中. （1）若点E，F的纵坐标分别为，，用，和p表示点C的坐标. （2）证明：直线与抛物线相切； （3）设直线与抛物线相切于点G，求. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）分别写出切线和切线的方程，联立方程即可求出点C的坐标. （2）设出切点坐标，根据切点坐标写出切线的方程，从而求出点的坐标，根据点的坐标可求出的值，从而证明直线与抛物线相切. （3）首先根据（2）的结论求出， ；然后求和的值，再根据，，可得到，从而可求出答案. 【小问1详解】 因为点E，F的纵坐标分别为，，所以， 所以在处的切线方程为，即， 同理在处的切线方程为， 两式联立，解得， 所以点C的坐标为. 【小问2详解】 设为抛物线上的一点，则， 抛物线在点处的切线方程为，即， 由，得，由，得， 所以， ，， 所以，， 取，则点为点，为点,此时满足， 所以直线与抛物线相切； 【小问3详解】 因为，所以，所以根据（2）可知，， 所以， 所以， 而， ， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $