精品解析：湖南省邵阳市新邵县2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

2024年上期高一期末质量检测 数学试题卷 考生注意： 1.本试卷分试题卷和答题卷两部分，本试卷共19题，满分150分，考试时量120分钟. 2.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 3.选择题的做题：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域无效. 4.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡的非答题区域无效. 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设复数满足（是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】两边同乘以的共轭复数，然后化简运算求得，进而得解. 【详解】,∴，∴， 故选：A 2. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可。 【详解】由，则或， 所以能推出，但推不出， 故“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 3. 甲､乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为0.4，乙译出密码的概率为0.5.则密码被破译的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.8 C. 0.7 D. 0.2 【答案】C 【解析】 【分析】利用相互独立事件概率计算公式、对立事件的概率计算公式直接求解. 【详解】甲､乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为0.4，乙译出密码的概率为0.5. 则密码被破译的概率为: . 故选：C. 4. 若m、n、l表示不同的直线，、表示不同的平面，则下列推理正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】在正方体中取直线和平面可排除ACD，由线面垂直的性质可判断B选项. 【详解】在正方体中，记平面为平面，平面为平面 ，为，为，为， 对于A选项，，，但和相交，所以A错； 对于C选项，，，但和相交，所以C错； 对于D选项，，，但与相交，所以D错； 对于B选项，由线面垂直的性质可知B对； 故选：B 5. 下列命题正确的是（ ） A. 对于任意非零向量、、，若向量、在向量上的投影向量相等，则； B. 若，则一定成立； C. 向量与是共线向量，则、、、四点一定共线； D. 若，且，则与所在直线的夹角是． 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的概念即可判断A错误； 根据向量运算可以判断B错误； 向量与是共线向量，可能，C错误； 根据几何图形可以判断D正确． 【详解】对于A，由投影向量定义知， 则、不一定相等，所以A错误； 对于B，若，则有， 故不一定成立，所以B错误； 对于C，向量与是共线向量， 则，，，四点一定共线，显然不正确， 可能，即C错误； 对于，设，， 以，为邻边作平行四边形， 则， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 在菱形中，对角线平分， ∴与所在直线的夹角为． 所以D正确． 故选：D. 6. 在中，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理结合已知条件，将用表示出来，从而可求出的值 【详解】因为，所以为上靠近点的三等份点， 所以 , 因为， 所以， 所以， 故选：A 7. 在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cos A＝，O是的内心，若＝x＋y，其中x，y∈[0，1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC的面积的2倍. 【详解】在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得a＝7. 设△ABC的内切圆的半径为r，则 bcsin A＝ (a＋b＋c)r，解得r＝， 所以S△BOC＝×a×r＝×7×＝. 故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为＝. 故选：B 【点睛】本题考查了余弦定理、根据内切圆半径求三角形的面积，属于基础题. 8. 球缺指的是一个球被平面截下的一部分，垂直于截面的直径被截后剩下的线段为球缺的高，设球的半径为，球缺的高为，则球缺的体积.圆锥的高为2，底面半径为1，则以圆锥的高为直径的球在圆锥外的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出大球缺的体积和小圆锥的体积后可求圆锥外的体积. 【详解】根据题意，以圆锥的高为直径的球的半径为1，且与圆锥底面相切于底面圆心， 作圆锥的轴截面，轴截面与球内接圆锥底面交于 所求体积即为球缺与内接圆锥的体积之差 轴截面顶角为， 则， 设圆锥底面半径为，则，即 则圆锥的高为，则 球缺的高为，则 . 故选：A 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 已知向量，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A用向量相等判断，B用向量共线的坐标运算来判断，C用向量垂直的坐标运算来判断，D用向量模的运算来判断. 【详解】显然，A对， 得：或，B错， ，，C对， ，，D对． 故选：ACD 10. 有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ） A. 的平均数等于的平均数 B. 的中位数等于的中位数 C. 的标准差不小于的标准差 D. 的极差不大于的极差 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断. 【详解】对于选项A：设的平均数为，的平均数为， 则， 因为没有确定大小关系，所以无法判断的大小， 例如：，可得； 例如，可得； 例如，可得；故A错误； 对于选项B：不妨设， 可知的中位数等于的中位数均为，故B正确； 对于选项C：举反例说明，例如：，则平均数， 标准差， ，则平均数， 标准差，显然，即， 所以的标准差不小于的标准差，这一论断不成立，故C错误； 对于选项D：不妨设， 则，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：BD. 11. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，点P是AD上的动点，将分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点G，则下列结论正确的是（ ） A. BG⊥EF B. G到平面DEF的距离为 C. 若BG∥面EFP，则二面角D−EF−P的余弦值为 D. 四面体G−DEF外接球表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】连，，证得平面，得到，进而证得面，可判定A项正确；根据等体积法，求得G到面的距离，可判定B项错误；令，连，，证得，，得到即为二面角的平面角，利用余弦定理求得二面角的余弦值可判定C项正确；将三棱锥放置于一个长方体中，求得外接球半径，进而判定D项正确. 【详解】A中：连，，可知， 因为，，，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，且平面，所以面， 又因为面，所以，所以A项正确； B中：因为，，所以为直角三角形，所以， 所以故， 又因为， 故G到面的距离（等体积法），所以B项错误； C中：令，连，， 因为面，面，面面，所以，又 ，， 又因为面，所以，， 所以即为二面角的平面角， 因为面，所以， 在中，可得， 又因为，故在中， 由余弦定理的推论：， 故二面角的余弦值为，所以C项正确； D中：由于，，两两互相垂直，不妨将三棱锥放置于一个长宽均为2、高为4的长方体中，其外接球半径， 故其表面积，所以D项正确. 故选：ACD. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. __________.（为虚数单位） 【答案】0 【解析】 【分析】利用的指数幂的周期可计算得出所求代数式的值. 【详解】由题意，的周期为4，则. 故答案为：0. 13. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】先计算圆锥的底面周长，即为侧面展开图的弧长，进而求得侧面展开图的半径，即为圆锥的母线长. 【详解】∵圆锥的底面半径为1，∴侧面展开图的弧长为， 又∵侧面展开图是半圆，∴侧面展开图的半径为2， 即圆锥的母线长为2， 故答案为2. 14. 如图，在平面中，圆是半径为1的圆，，设，为圆上的任意2个点，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】若为中点，令夹角为，由，将其化为关于和的关系式，讨论、结合求目标式的范围. 【详解】若为中点，令夹角为，如下图示， ，又， 由，则， 此时，当时最小值为； 由，则； 此时，当时最大值为； 综上，的取值范围是. 故答案为： 四､解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 某地区突发小型地质灾害，为了了解该地区受灾居民的经济损失，制定合理的帮扶方案，研究人员经过调查后将该地区所有受灾居民的经济损失情况统计如下图所示． （1）求a值； （2）求所有受灾居民的经济损失的平均值； （3）现按照分层抽样的方法从经济损失在[4000,8000)的居民中随机抽取8人，则在[4000,6000)的居民有多少人． 【答案】（1） （2）3360元 （3）6 【解析】 【分析】（1）根据直方图中频率和为1列方程求参数； （2）根据直方图计算平均值； （3）根据分层抽样的等比例性质求在[4000,6000)的居民数量. 【小问1详解】 依题意，，解得． 【小问2详解】 所有受灾居民经济损失的平均值为元． 【小问3详解】 由（1）得经济损失在和在的人数比例为， 由分层抽样知，经济损失在的居民有人. 16. 在中，角，，对边分别为，，，若. （1）求； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及两角差的正弦公式得出结果； （2）由三角形面积公式及余弦定理得出结果； 【小问1详解】 由及正弦定理得： 因为， 所以. 由于，∴ 所以. 又，故，即 【小问2详解】 由题得的面积，故① 由余弦定理得：， 又，故②， 由①②得：， 所以的周长为. 17. 已知向量，的夹角为，且． （1）若，求的坐标； （2）若，，求的最小值． 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）设出的坐标，利用向量模的坐标表示及数量积的定义列式求解作答. （2）利用垂直关系的向量表示求出，再利用数量积的运算律建立函数关系，求出最小值作答. 【小问1详解】 设，由，得，即， 而向量，的夹角为，则，又， 即，解得，于是，即有或， 所以的坐标是或. 【小问2详解】 由，得，即，因此，， 因此 ，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值. 18. 某校举行围棋比赛，甲､乙､丙三人通过初赛，进入决赛.决赛比赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲､乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，直到一人累计获胜三局，则此人获得比赛胜利，比赛结束.假设每局比赛双方获胜的概率均为，且每局比赛相互独立. （1）求丙每局都获胜的概率 （2）求甲获得比赛胜利的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】列举各问中的可能事件，由独立事件的乘法公式计算出概率，再由互斥事件概率的加法公式即可得解. 【小问1详解】 丙每局都获胜有以下两种情况：第一局甲获胜，后三局丙获胜；第一局乙获胜，后三局丙获胜， 第一局甲获胜，后三局丙获胜的概率， 第一局乙获胜，后三局丙获胜的概率， 丙每局都获胜的概率. 【小问2详解】 设甲获胜为事件，乙获胜为事件，丙获胜为事件， 比赛进行三局，甲获胜的概率为， 比赛进行五局，有以下6种情况：AABBA，AABCA，ACBAA，ACCAA，BBAAA，BCAAA， 甲获胜的概率为， 比赛进行七局，有一下8种情况： AABCCBA，ACBBCAA，ACBACBA，ACCABBA，BBACCAA，BCAACBA，BCABCAA，. 甲获胜的概率为， 故甲获得比赛胜利的概率为. 19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，. （1）为上一点，且，当平面时，求实数的值； （2）设平面与平面的交线为，证明面； （3）当平面与平面所成的锐二面角的大小为时，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，利用线面平行的性质可得出，由可得出，再由可求得的值； （2）证明出面，利用线面平行的性质可证得结论成立； （3）取的中点，连接、，过点作，分析可知，为平面与平面所成的锐二面角，即有，证明出平面，则为与平面所成的角，计算出、的长，即可计算出的正切值. 小问1详解】 如图，连接交于点，连接， ∵平面，平面，平面平面，∴， 在梯形中，∵，∴，∴， ∵，∴，∴. 【小问2详解】 ∵，平面，平面，∴面， 又面，面面，∴， 又面，面，∴面. 【小问3详解】 取的中点，连接、， ∵为的中点，且，， ∴且，∴四边形为平行四边形，∴， ∵，∴，∴， 又，∴为等边三角形， 又，∴为等边三角形，∴， ∵，平面，平面，∴平面， ∵平面，∴， 过点作，由，则，∴平面，平面， 即平面平面，∴，， ∴为平面与平面所成的锐二面角，∴. 又由，∴，∴， ∵，， ∵，平面，平面，∴平面， ∴为与平面所成的角， ， ∴， 因此，与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年上期高一期末质量检测 数学试题卷 考生注意： 1.本试卷分试题卷和答题卷两部分，本试卷共19题，满分150分，考试时量120分钟. 2.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 3.选择题的做题：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域无效. 4.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡的非答题区域无效. 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设复数满足（是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 甲､乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为0.4，乙译出密码的概率为0.5.则密码被破译的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.8 C. 0.7 D. 0.2 4. 若m、n、l表示不同的直线，、表示不同的平面，则下列推理正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 下列命题正确的是（ ） A. 对于任意非零向量、、，若向量、在向量上的投影向量相等，则； B 若，则一定成立； C. 向量与是共线向量，则、、、四点一定共线； D. 若，且，则与所在直线的夹角是． 6. 在中，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cos A＝，O是的内心，若＝x＋y，其中x，y∈[0，1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（ ） A. B. C. 4 D. 6 8. 球缺指的是一个球被平面截下的一部分，垂直于截面的直径被截后剩下的线段为球缺的高，设球的半径为，球缺的高为，则球缺的体积.圆锥的高为2，底面半径为1，则以圆锥的高为直径的球在圆锥外的体积为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9 已知向量，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 10. 有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ） A. 的平均数等于的平均数 B. 中位数等于的中位数 C. 的标准差不小于的标准差 D. 的极差不大于的极差 11. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，点P是AD上的动点，将分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点G，则下列结论正确的是（ ） A. BG⊥EF B. G到平面DEF的距离为 C. 若BG∥面EFP，则二面角D−EF−P的余弦值为 D. 四面体G−DEF外接球表面积为 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. __________.（虚数单位） 13. 已知圆锥底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为___________. 14. 如图，在平面中，圆是半径为1的圆，，设，为圆上的任意2个点，则的取值范围是_________. 四､解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 某地区突发小型地质灾害，为了了解该地区受灾居民的经济损失，制定合理的帮扶方案，研究人员经过调查后将该地区所有受灾居民的经济损失情况统计如下图所示． （1）求a的值； （2）求所有受灾居民的经济损失的平均值； （3）现按照分层抽样的方法从经济损失在[4000,8000)的居民中随机抽取8人，则在[4000,6000)的居民有多少人． 16. 在中，角，，的对边分别为，，，若. （1）求； （2）若，的面积为，求的周长. 17. 已知向量，的夹角为，且． （1）若，求的坐标； （2）若，，求的最小值． 18. 某校举行围棋比赛，甲､乙､丙三人通过初赛，进入决赛.决赛比赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲､乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，直到一人累计获胜三局，则此人获得比赛胜利，比赛结束.假设每局比赛双方获胜的概率均为，且每局比赛相互独立. （1）求丙每局都获胜的概率 （2）求甲获得比赛胜利的概率. 19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，. （1）为上一点，且，当平面时，求实数的值； （2）设平面与平面的交线为，证明面； （3）当平面与平面所成的锐二面角的大小为时，求与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $