精品解析：北京市昌平区2023-2024学年高二下学期期末质量抽测数学试卷

昌平区2023—2024学年第二学期高二年级期末质量抽测 数学试卷 2024.7 本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合B，再利用交集的定义求解即得. 【详解】集合，而， 所以. 故选：B 2. 若，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可求解. 【详解】:，, 故选：A 3. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意利用函数的奇偶性和单调性，得出结论． 【详解】由于的定义域，不关于原点对称，不存在奇偶性，故排除A； 由于y＝sinx是奇函数，在上不具有单调性，故排除B； 由于y＝3是常函数，不具有单调性，排除C； 由于是奇函数，且在区间上单调递增，符合题意． 故选：D． 4. 已知数列的前项和，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据计算可得. 【详解】因为，则，， 所以. 故选：D 5. 函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】由于，所以， 当且仅当，即时等号成立，故最大值为， 故选：B 6. 设，为非零实数，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由可以得到，故充分性成立， 当，时满足，但是推不出，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A 7. 若点关于轴的对称点为，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得，利用和差角公式变形可得，从而求出的取值. 【详解】因为点关于轴的对称点为， 所以，即， 即， 所以，所以，，所以，， 故符合题意的只有C. 故选：C 8. 已知函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可得，即的图象在图象的上方，画出图象，即可得出答案. 【详解】因为的定义域为， 因为，， 由可得，即的图象在图象的上方， 画出的图象，如下图， 由图可知：不等式的解集是. 故选：D. 9. 把液体放在冷空气中冷却，如果液体原来的温度是，空气的温度是，则min后液体的温度可由公式求得．把温度是的液体放在的空气中冷却，液体的温度冷却到和所用时间分别为min，min，则的值约为（ ） （参考数据） A. 2.7 B. 3.7 C. 4.7 D. 5.7 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目给的温度公式，代入计算即可. 【详解】由已知，， 所以，， 所以. 故选：. 10. 已知集合，对于集合中的任意元素和，记.若集合，，均满足，则中元素个数最多为（ ） A. 10 B. 11 C. 1023 D. 1024 【答案】B 【解析】 【分析】分析可得当和同时为时，，当和至少有一个为时，，要使，则的所有元素的位置至多有个，讨论即可得到集合的元素个数的最值． 【详解】依题意，对于中元素和， 当和同时为时，， 当和至少有一个为时，， 要使得的一个子集中任两个不同元素、，均满足， 设集合中的元素记为， 则的所有元素的位置至多有个， 若位置为，其它位置为的元素有个， 若全为的有个， 综上中元素最多有个． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题关键是分析出的所有元素的位置至多有个，从而确定中元素个数的最大值. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 在平面直角坐标系中，角以原点为顶点，以轴正半轴为始边，其终边经过点，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用三角函数的定义计算可得. 【详解】因为角的终边经过点，所以. 故答案为： 12. 已知函数，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据函数解析式直接代入计算可得. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 13. 我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中对于同余问题给出了较完整的解法，即“大衍求一术”，也称“中国剩余定理”．现有问题：将正整数中，被2除余1且被3除余2的数，按由小到大的顺序排成一列，则此列数中第10项为___________. 【答案】59 【解析】 【分析】被2除余1且被3除余2的数构成公差为6的等差数列，由此即可得． 【详解】依题意，设a满足被2除余1且被3除余2， 则a加上2和3的最小公倍数6的整数倍后也能满足被2除余1且被3除余2． 设被2除余1且被3除余2的数由小到大排列而成的数列为， 由于被2除余1且被3除余2的最小正整数为5， 则是首项为5，公差为6的等差数列，所以 故答案：59． 14. 已知函数，若在上是增函数，则的一个取值为____________；若在上不具有单调性，则的取值范围是___________. 【答案】 ①. （满足的任意的值均可） ②. 【解析】 【分析】首先分析各段函数的单调性，要使在上是增函数，则，求出的取值范围，则在上不具有单调性，即为刚刚求出的的范围的补集. 【详解】因为在定义域上单调递增， 在上单调递增，在上单调递减， 又，要使在上是增函数， 则，解得； 若在上不具有单调性，则或，即的取值范围是. 故答案为：（满足的任意的值均可）； 15. 已知等差数列的前项和为，且.数列的前项和为. 给出下列四个结论： ①； ②； ③使成立的的最大值为4048； ④当时，取得最小值. 其中所有正确结论的序号是_____________. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由与的关系即可判断①；由等差数列的性质即可判断②③；由裂项相消法可判断④. 【详解】，， 所以，故①正确； 因为数列为等差数列，所以，公差， 所以， 因为， 所以，由， 所以，即，故②正确； 因为， ， 所以成立的的最大值为，故③不正确； 因为，，所以，公差， 所以， ， 又， 所以当时，取得最小值，故④正确. 故答案为：①②④. 【点睛】方法点睛：解决数列前项和的最值问题的一般方法有以下两类： （1）先求出数列的前项和，再通过的符号研究数列的单调性求最值，或转化为求函数的最值求解； （2）不求数列的前项和，通过对数列通项的符号变化规律找到所有的正负转折项，如：利用条件来找最大时可能的项数，利用条件来找最小时可能的项数，需要注意的是，由于首项的特殊性（无前一项），最值也可能在处就取到. 三、解答题（本大题共6小题，共85分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）若在区间上的最大值为，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）依题意在区间上的最大值为，由的取值范围，求出的范围，结合正弦函数的性质得到，解得即可. 【小问1详解】 因为 ， 所以的最小正周期； 【小问2详解】 由（1）可知，. 因为在区间上的最大值为， 所以在区间上的最大值为. 因为，， 所以. 所以，即. 所以实数的取值范围是. 17. 已知等比数列为递增数列，其前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列是首项为1，公差为3的等差数列，求数列的通项公式及前项和. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）设等比数列首项为，公比为，依题意得到关于、的方程组，解得、，即可求出通项公式； （2）依题意可得，利用分组求和法计算可得. 【小问1详解】 设等比数列的首项为，公比为， 根据题意可得，解得或， 因为等比数列为递增数列，所以， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 因为数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 所以， 所以 . 18. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）的单调递增区间为和，递减区间为； （2） 【解析】 【分析】（1）求导，直接利用导数求单调区间即可； （2）由（1）的结论可得在上的单调性，求出函数在上的最大值，即可求解的取值范围． 【小问1详解】 因为，所以， 令，即，解得或， 且当时，，当时，， 所以的单调递增区间为和，递减区间为； 【小问2详解】 由（1）知的单调递增区间为和，递减区间为； 且，， 所以在上的最大值为， 因为关于x的不等式在区间上恒成立， 即在区间上恒成立，即，所以， 所以的取值范围为． 19. 设函数（，），其最小正周期为． （1）若，求的值； （2）已知在区间上单调递减，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求，的值． 条件①：为函数图象的一个对称中心； 条件②：函数图象的一条对称轴为； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）选条件①：函数不存在；选条件②或③：，． 【解析】 【分析】（1）化简可得，再根据正弦函数的周期性，即可得解； （2）若选条件①：根据正弦函数的单调性、对称性和周期性，推出矛盾结果，可知不存在；若选条件②：由函数的单调性与周期性可求得，再利用，求解即可；若选条件③：由，求得，再结合及正弦函数的单调性与周期性，求出的值即可． 【小问1详解】 解：解： ， 若，则， 解得：． 【小问2详解】 解：由（1）知，函数的最小值为， 若选条件①： 因为在区间上单调递减， 所以，即， 又，且为函数图象的一个对称中心， 所以，即，与相矛盾， 故函数不存在． 若选条件②： 因为在区间上单调递减，，且函数图象的一条对称轴为， 所以，即， 又， 所以， 所以， 由，知，即， 所以，，即，， 又，所以， 综上，，． 若选条件③： 因为，且， 所以，即，或， 又，所以， 所以， 由，知，即， 所以，，即，， 因为在区间上单调递减， 所以，即， 又，所以， 取，则， 综上所述：，． 20. 设函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极小值，求实数的取值范围； （3）若对任意的，恒成立，直接写出实数的范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）对函数求导后，分和讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间，进而可求出函数的极值点； （3）由（2）可知当时，满足题意. 【小问1详解】 若，则， 所以 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 ，. . ①若，， 当时，,单调递减， 当时，,单调递增， 所以在处取得极小值. ②若，令,得或. 若，即. 当变化时，与的变化如下表： 递增 极大值 递减 极小值 递增 所以在，是增函数，在上是减函数. 所以在处取得极小值. 若,即, 当时，， 所以，单调递增． 所以不是的极小值点． 综上所述，实数的取值范围是 【小问3详解】 由（2）可知，当时，在上递减，在上递增， 所以， 所以对任意的，恒成立， 所以满足题意， 当时，在，增函数，在上是减函数， 当时，，所以， 所以对任意的，恒成立，不可能为真， 当时，上递增，则， 综上，， 即实数的范围为 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义，考查利用导数解决函数极值点问题，考查利用导数解决不等式恒成问题，第（2）问解题的关键是分类讨论，考查分类讨论思想和计算能力，属于较难题. 21. 已知无穷数列，给出以下定义：对于任意的，都有，则称数列为“数列”；特别地，对于任意的，都有，则称数列为“严格数列”. （1）已知数列，的前项和分别为，，且，，试判断数列，数列是否为“数列”，并说明理由； （2）证明：数列为“数列”的充要条件是“对于任意的，，，当时，有”； （3）已知数列为“严格数列”，且对任意的，，，.求数列的最小项的最大值. 【答案】（1）是为“数列”， 不是为“数列”； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据等差等比的求和公式可得，，即可利用定义以及作差法求解， （2）利用累加法，结合放缩法可得，，即可求证必要性，取即可求证充分性， （3）根据定义可得为单调递增数列，且，进而得，即可根据单调性得最小值为，结合放缩法和等差求和公式可得，即可求解. 【小问1详解】 由于为等差数列，所以，为等比数列，， 任意的，都有， 故，所以数列是为“数列”， 任意的，都有， 故，所以数列不是为“数列”， 【小问2详解】 先证明必要性： 因为为“数列”，所以对任意的，都有，即， 所以对任意的，，，当时，有 ， 所以， 又， 所以， 又， 故，即，故， 再证明充分性： 对于任意的，，，当时，有， 即， 对于任意的,，则有， 即可，所以为“数列”， 【小问3详解】 数列为“严格数列”，且对任意的，有，即， 设，则为单调递增数列，且， 所以 因，.所以， 所以存在时，， 所以，当数列为单调递减数列， 当 因此存在最小值，且最小值为， 由于，所以，且 所以，即， ，即 所以 ， 当时，， 当时，， 当时， 所以当时，的最大值为， 此时，因为， 所以数列的最小项的最大值为 【点睛】关键点点睛：由得，利用累加法和放缩法得是证明第（2）问的关键. 由，设，则为单调递增数列，且，由，得存在时，， 所以，当数列为单调递减数列，当是第（3）问的求解关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 昌平区2023—2024学年第二学期高二年级期末质量抽测 数学试卷 2024.7 本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，，则为（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 3. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列的前项和，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 5. 函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 6. 设，为非零实数，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 7. 若点关于轴对称点为，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 把液体放在冷空气中冷却，如果液体原来的温度是，空气的温度是，则min后液体的温度可由公式求得．把温度是的液体放在的空气中冷却，液体的温度冷却到和所用时间分别为min，min，则的值约为（ ） （参考数据） A 2.7 B. 3.7 C. 4.7 D. 5.7 10. 已知集合，对于集合中的任意元素和，记.若集合，，均满足，则中元素个数最多为（ ） A. 10 B. 11 C. 1023 D. 1024 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 在平面直角坐标系中，角以原点为顶点，以轴正半轴为始边，其终边经过点，则___________. 12. 已知函数，则__________. 13. 我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中对于同余问题给出了较完整的解法，即“大衍求一术”，也称“中国剩余定理”．现有问题：将正整数中，被2除余1且被3除余2的数，按由小到大的顺序排成一列，则此列数中第10项为___________. 14. 已知函数，若在上是增函数，则的一个取值为____________；若在上不具有单调性，则的取值范围是___________. 15. 已知等差数列的前项和为，且.数列的前项和为. 给出下列四个结论： ①； ②； ③使成立的的最大值为4048； ④当时，取得最小值. 其中所有正确结论的序号是_____________. 三、解答题（本大题共6小题，共85分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知函数. （1）求最小正周期； （2）若在区间上的最大值为，求实数的取值范围. 17. 已知等比数列递增数列，其前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列是首项为1，公差为3的等差数列，求数列的通项公式及前项和. 18. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 19. 设函数（，），其最小正周期为． （1）若，求的值； （2）已知在区间上单调递减，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求，的值． 条件①：为函数图象的一个对称中心； 条件②：函数图象的一条对称轴为； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 20. 设函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极小值，求实数的取值范围； （3）若对任意的，恒成立，直接写出实数的范围. 21. 已知无穷数列，给出以下定义：对于任意的，都有，则称数列为“数列”；特别地，对于任意的，都有，则称数列为“严格数列”. （1）已知数列，的前项和分别为，，且，，试判断数列，数列是否为“数列”，并说明理由； （2）证明：数列为“数列”的充要条件是“对于任意的，，，当时，有”； （3）已知数列为“严格数列”，且对任意的，，，.求数列的最小项的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$