专题04 一元二次不等式恒成立问题专项训练（40道）-2024-2025学年高一年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教A版2019必修第一册）

专题04 一元二次函数、方程和不等式恒成立问题专项训练（40道） 【经典例题 一元二次函数、方程和不等式】 一、单选题 1．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·广东河源·阶段练习）若，，且，则下列不等式不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（2022高三·全国·专题练习）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·福建宁德·阶段练习）若关于的不等式在R上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·广西南宁·开学考试）若，，且，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 7．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知，，且．若恒成立，则实数的最大值是（ ） A．4 B．8 C．3 D．6 8．（2024高二下·湖南·学业考试）已知，，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 9．（22-23高一下·江苏·开学考试）已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（2024·浙江·二模）已知正实数，且为自然数，则满足恒成立的可以是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二下·浙江·期中）设，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）若，且，则下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二上·云南大理·期末）已知且，若恒成立，则实数可取（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 三、填空题 16．（23-24高二下·北京朝阳·期中）已知不等式对任意正实数x恒成立，写出一个a的可能值为 . 17．（24-25高一上·上海·课后作业）已知在上恒成立，则实数的取值范围是 ． 18．（23-24高一上·福建宁德·期末），恒成立，则实数的取值范围是 . 19．（22-23高一上·贵州六盘水·期末）当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是 . 20．（23-24高一上·广东江门·期中）关于的不等式对于任意恒成立，则的取值范围是 . 21．（23-24高一上·江西抚州·期中）已知，，且，不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ． 22．（23-24高一上·浙江·期中）已知正实数a，b满足，若恒成立，则实数m的取值范围是 . 23．（23-24高一上·天津河东·阶段练习）已知命题：“，恒成立”是真命题，则实数的取值范围是 ． 24．（23-24高一上·甘肃武威·期中）若关于x的不等式在R上恒成立，则实数a的取值范围为 ． 25．（23-24高一上·湖北·阶段练习）关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 ． 26．（23-24高一上·天津红桥·期中）已知，若不等式 恒成立，则实数m的最小值为 . 27．（22-23高一上·福建泉州·阶段练习）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为 ． 28．（2025高三·全国·专题练习）已知对任意恒成立，则 ． 29．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）若，关于的不等式恒成立，则实数a的取值范围是 . 30．（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）已知且恒成立，实数的最大值是 ． 四、解答题 31．（23-24高二下·湖北武汉·期末）已知命题，不等式恒成立；命题，使成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题中恰有一个为真命题，求实数的取值范围. 32．（23-24高二下·陕西渭南·阶段练习）已知. (1)当时，求满足的值的集合； (2)求满足的值的集合； (3)当时，恒成立，求满足条件的的取值范围. 33．（24-25高一上·上海·随堂练习）关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围． 34．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知 (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集 35．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知函数，． (1)若，恒成立，求a的值； (2)求关于x的不等式的解集． 36．（23-24高一上·北京·期中）设函数. (1)若对于一切实数恒成立，求的取值范围； (2)解不等式. 37．（2013高一·全国·竞赛）已知函数满足：①；②． (1)求的解析式； (2)若对任意的实数恒成立，求实数的取值范围． 38．（2024·全国·模拟预测）已知函数，且的解集为． (1)求和的值； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围． 39．（2022高三上·河南·专题练习）已知，，且的最大值为m． (1)求实数m的值； (2)若，关于x的不等式恒成立，求实数t的取值范围． 40．（23-24高一上·陕西汉中·期末）已知函数 (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一元二次函数、方程和不等式恒成立问题专项训练（40道） 【经典例题 一元二次函数、方程和不等式】 一、单选题 1．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】参变分离可得对任意的恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为对任意的，恒成立， 所以对任意的，恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，解得，即的取值范围为. 故选：D 2．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式求解最值即可求解. 【详解】当时，，故，当且仅当，即时等号成立， 所以不等式恒成立，故，故， 故选：D 3．（23-24高一上·广东河源·阶段练习）若，，且，则下列不等式不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用，可得判断A；根据，利用基本不等式求得的最小值判断B；利用，可得可判断C；根据，利用基本不等式可求的最小值判断D. 【详解】对于A，由，可得， 又，所以，即， 当且仅当时等号成立，故A正确； 对于B，由，可得，即，所以， 当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，由，可得， 所以可得，即， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，易知， 即，当且仅当时等号成立，故D错误． 故选：D． 4．（2022高三·全国·专题练习）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先验证当成立，再当时，利用判别式和开口列不等式求解. 【详解】不等式，即恒成立， 当时，不等式为恒成立， 当时，有，解得， 综合得实数的取值范围为. 故选：A. 5．（23-24高一上·福建宁德·阶段练习）若关于的不等式在R上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化为，求出函数的最值即可. 【详解】把化为， 设， 故， 故选： 6．（23-24高二上·广西南宁·开学考试）若，，且，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】由已知可得，化简后利用基本不等式可求得其最小值为8，从而可将问题转化为，进而可求出实数的取值范围 【详解】因为，，， 所以. 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为8， 由题可知，，即，解得， 故选：A. 7．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知，，且．若恒成立，则实数的最大值是（ ） A．4 B．8 C．3 D．6 【答案】A 【分析】借助基本不等式中“1”的妙用计算即可得. 【详解】由，则 ， 当且仅当，即，时，等号成立. 故选：A. 8．（2024高二下·湖南·学业考试）已知，，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据“1”的变形技巧，利用均值不等式求最值即可得解. 【详解】因为，， 所以，即， 所以 ，当且仅当，即时等号成立， 故. 故选：C 9．（22-23高一下·江苏·开学考试）已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】注意到原题条件等价于当时，恒成立，当时，恒成立，故当时，，从而得，由此结合基本不等式即可求解. 【详解】设，， 因为，所以当时，； 当时，； 时，； 由不等式恒成立，得或， 即当时，恒成立， 当时，恒成立， 所以当时，， 则，即， 则当时，，当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为． 故选：C． 10．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解得即可. 【详解】因为正实数、满足， 即，所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 因为正实数、满足，且恒成立， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：B． 二、多选题 11．（2024·浙江·二模）已知正实数，且为自然数，则满足恒成立的可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】将恒成立，转化为恒成立，再利用基本不等式得到，转化为恒成立，逐项判断. 【详解】解：因为正实数，且为自然数， 所以， 则恒成立，即恒成立， 两边同乘，则， 而， ， 当且仅当，即时，等号成立， 若恒成立，则恒成立， A.当时，，不成立； B.当时，，成立； C.当时，，成立； D.当时，，不成立， 故选：BC 12．（23-24高二下·浙江·期中）设，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式结合合理变形计算A，举反例判断B，利用基本不等式判断C，利用‘1’的代换判断D即可. 【详解】对于A，由基本不等式得，当且仅当时取等， 而，故A正确， 对于B，当时，，故B错误， 对于C，由基本不等式得， 当且仅当时取等，故C正确， 对于D，易知，故， 而由基本不等式得，当且仅当时取等， 而，解得，，与不符，故等号无法取得， 则应为，而， 故，可得，故D正确. 故选：ACD 13．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据基本不等式及其变形式逐项分析判断即可. 【详解】对于A：因为，， 所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B：因为，当且仅当时取等号，故B错误； 对于C：因为，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D：因为， 所以，当且仅当，即时取等号，故D正确； 故选：ACD. 14．（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）若，且，则下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据基本不等式的性质判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，故A选项错误； 对于B，因为，所以， 所以， 当且仅当时等号成立，故B选项正确； 对于C，因为，所以，解得， 当且仅当时，等号成立，故C选项正确； 对于D，因为，所以，所以，故D选项错误. 故选：BC. 15．（23-24高二上·云南大理·期末）已知且，若恒成立，则实数可取（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】AB 【分析】利用基本不等式单位“1”的应用，求出的最小值，从而可求解. 【详解】由题意知，， 所以， 当且仅当时取等号，所以，解得，所以A、B正确. 故选：AB. 三、填空题 16．（23-24高二下·北京朝阳·期中）已知不等式对任意正实数x恒成立，写出一个a的可能值为 . 【答案】4（答案不唯一） 【分析】将问题转化为对任意正实数x恒成立，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】不等式对任意正实数x恒成立， 即对任意正实数x恒成立， 当时，不等式，即，不符合对任意正实数x恒成立， 当时，令， 若对任意正实数x恒成立， 则，无解，或，解得. 所以的一个值可以是. 故答案为： 17．（24-25高一上·上海·课后作业）已知在上恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】用求二次函数的性质列不等式来解题. 【详解】解析：设．其图象是开口向下的抛物线， 根据题意得解得． 故答案为：. 18．（23-24高一上·福建宁德·期末），恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用基本不等式求出，从而得到，求出答案. 【详解】，， 当且仅当，即时，等号成立， 故，解得， 故实数的取值范围是. 故答案为： 19．（22-23高一上·贵州六盘水·期末）当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】由基本不等式求出，从而得到，求出答案. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故只需，解得. 故答案为： 20．（23-24高一上·广东江门·期中）关于的不等式对于任意恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分类讨论结合判别式计算即可. 【详解】显然当时不等式恒成立； 当时，要满足题意则需； 综上 故答案为： 21．（23-24高一上·江西抚州·期中）已知，，且，不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】设，，则，且， 因此， 当时能取得等号，因此． 故答案为： 22．（23-24高一上·浙江·期中）已知正实数a，b满足，若恒成立，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因为正实数a，b满足， 所以， 当且仅当时取等号， 故的最大值为， 所以. 故答案为： 23．（23-24高一上·天津河东·阶段练习）已知命题：“，恒成立”是真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用一元二次型不等式恒成立，分类求解即得. 【详解】因为，恒成立，则当时，恒成立，即有， 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 24．（23-24高一上·甘肃武威·期中）若关于x的不等式在R上恒成立，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据给定的不等式，按与分类，并结合一元二次不等式恒成立列式求解即得. 【详解】当时，显然，此不等式在R上恒成立，则； 当时，原不等式化为，则，解得， 所以实数a的取值范围为． 故答案为： 25．（23-24高一上·湖北·阶段练习）关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据基本不等式即可求解，进而根据绝对值的性质求解，即可根据最值求解. 【详解】即恒成立， 由于，所以，当且仅当时等号成立， 而，当且仅当时等号成立， 故当时，取最小值10，所以， 故答案为： 26．（23-24高一上·天津红桥·期中）已知，若不等式 恒成立，则实数m的最小值为 . 【答案】 【分析】利用配凑法与基本不等式求得的最大值，从而得解； 【详解】因为，所以，则， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 因为不等式 恒成立，所以，则， 所以实数m的最小值为. 故答案为：. 27．（22-23高一上·福建泉州·阶段练习）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，转化为，再结合基本不等式，即可得到结果. 【详解】，，，恒成立， （当且仅当，即时取等号）， ，解得：，则的最大值为. 故答案为：. 28．（2025高三·全国·专题练习）已知对任意恒成立，则 ． 【答案】/ 【详解】由，可得，从而，再由，，对任意恒成立，利用判别式法求解，得解. 令，解得，故，即， 则，所以对任意恒成立， 所以即解得， 同理对任意恒成立可得， 综上得， 则 故答案为： 29．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）若，关于的不等式恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】合理构造目标式，利用基本不等式求出最值，得到，再求解参数范围即可. 【详解】若关于的不等式恒成立，则， 因为，故， 当且仅当时取等，故得，解得. 故答案为： 30．（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）已知且恒成立，实数的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】将不等式转化，应用基本不等式求出最大值，即可得到答案. 【详解】由题意，， 所以转化为， 可得，即， 因为，当且仅当时等号成立， 所以实数的最大值是. 故答案为： 四、解答题 31．（23-24高二下·湖北武汉·期末）已知命题，不等式恒成立；命题，使成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题中恰有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由得到关于的不等式，解得即可； （2）首先求出命题为真时参数的取值范围，再分真假、假真两种情况讨论. 【详解】（1）命题，不等式恒成立，为真命题， 则，解得，即实数的取值范围为. （2）命题，使成立， 当为真命题时， 即，解得或， . 当命题中恰有一个为真命题时， ①为真命题，为假命题，即，所以； ②为假命题，为真命题，即，所以； 综上可得：. 32．（23-24高二下·陕西渭南·阶段练习）已知. (1)当时，求满足的值的集合； (2)求满足的值的集合； (3)当时，恒成立，求满足条件的的取值范围. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3) 【分析】（1）直接利用一元二次不等式的解法计算即可； （2）带着参数分类讨论解不等式即可； （3）变换主元，利用一次函数的单调性计算不等式即可. 【详解】（1）当时，， 则； （2）易知， 若，则， 若，则或， 若，则，此时， 若，此时， 若，则，此时， 综上所述：时，解集为， 时解集为， 时解集为， 时解集为，时解集为； （3）由题意可知对任意恒成立， 所以，解之得. 33．（24-25高一上·上海·随堂练习）关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】将问题转化为，时的最大值小于或等于． 【详解】设，，则的最大值小于等于0． 而，∴对称轴， 而当时，；当时，， ∴的最大值为，即，故实数的取值范围是． 34．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知 (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集 【答案】(1) (2)当时，不等式的解为， 当时，不等式的解为， 当时，不等式的解为 【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立，即可由判别式求解， （2）分解因式，结合分类讨论，即可由一元二次不等式解的特征求解. 【详解】（1）恒成立，则对恒成立，故，化简得， 解得， 故实数的取值范围 （2），即， 当时，不等式的解为， 当时，不等式的解为， 当时，不等式的解为 35．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知函数，． (1)若，恒成立，求a的值； (2)求关于x的不等式的解集． 【答案】(1)； (2)时解集为，时解集为，时，解集为． 【分析】（1）由判别式求解； （2）求出的解（用因式分解思想），然后根据解的大小分类讨论可得． 【详解】（1）由题意，∴； （2）不等式化为， 所以，时解集为，时解集为，时，解集为． 36．（23-24高一上·北京·期中）设函数. (1)若对于一切实数恒成立，求的取值范围； (2)解不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析. 【分析】（1）分成二次项系数为0和不为0两种情况，当二次项系数不为0时满足开口向下且； （2）因式分解后对参数分类讨论即可. 【详解】（1）①若，此时恒成立； ②若，要使得恒成立，则，解得， 所以； （2），即， 即， 若，则解集为； 若，此时不等式无解； 若，则解集为 37．（2013高一·全国·竞赛）已知函数满足：①；②． (1)求的解析式； (2)若对任意的实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由代入函数解析式再作差得到的取范围，结合求出的值，从而求出，即可得解； （2）依题意可得在上恒成立，令，则，解得即可. 【详解】（1）依题意可得， ②①得，则， 又，所以， 代入①得， 所以． （2）因为在上恒成立， 整理得在上恒成立， 记，则，解得． 38．（2024·全国·模拟预测）已知函数，且的解集为． (1)求和的值； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据绝对值不等式的性质即可求解， （2）将问题转化为在上恒成立，即可利用二次函数零点分布求解. 【详解】（1）由得， 易知，则，解得， 由于的解集为，则，解得． （2）由（1）知，由得， 得在上恒成立， ，故． 令，若在上恒成立， 则，即，解得或， 故实数的取值范围为． 39．（2022高三上·河南·专题练习）已知，，且的最大值为m． (1)求实数m的值； (2)若，关于x的不等式恒成立，求实数t的取值范围． 【答案】(1)18 (2)（，7） 【分析】（1）利用基本不等式求解即可； （2）由题意可得，进而可得出答案. 【详解】（1）∵，， ∴， 当且仅当，即时取等号， 故的最大值； （2）因为，关于x的不等式恒成立， 所以，即，解得， 即实数t的取值范围为． 40．（23-24高一上·陕西汉中·期末）已知函数 (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解、根与系数关系求得. （2）利用分离常数法，结合基本不等式求得的取值范围. 【详解】（1）原不等式可化为，因为该不等式的解集为， 可知的两根为和， 则，即，解得； 所以. （2）若对任意的恒成立， 则对任意的，恒成立， 即对任意的，恒成立，所以， 又因为，， 当且仅当，即时取等号，所以， 所以实数的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$