第二章 一元二次函数、方程和不等式 重难点检测卷-2024-2025学年高一年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教A版2019必修第一册）

第二章 一元二次函数、方程和不等式 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（2024高二下·浙江·学业考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要 2．（23-24高一上·上海黄浦·阶段练习）已知且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）某产品的总成本为万元，与产量台的关系是，其中，若每台售价为25万元，那么生产厂家不亏本的最低产量是（　　） A．60台 B．90台 C．120台 D．150台 4．（20-21高一上·上海·课后作业）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·上海·课后作业）当时，函数的最小值是（　　） A． B．4 C．5 D．9 6．（23-24高二下·陕西渭南·期末）命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·湖南·期末）已知函数，若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（23-24高二下·福建福州·期末）已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知关于一元二次不等式的解集为（其中），关于一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D．当时，的最小值为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（24-25高一上·上海·课后作业）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 13．（23-24高二下·江苏徐州·期末）已知函数，若对任意，则实数的取值范围为 . 14．（2024·河南·模拟预测）已知函数在上的最大值为，在上的最大值为，若，则实数的取值范围是 ． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（24-25高一上·上海·单元测试）已知且，比较与的大小． 16．（24-25高一上·上海·单元测试）已知正数、满足． (1)求的最大值； (2)求的最小值． 17．（23-24高二下·江西·期末）某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750的矩形花园.图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示，并写出的取值范围； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 18．（2024高三·全国·专题练习）已知，关于的不等式的解集为或． (1)求的值； (2)解关于的不等式． 19．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知函数，. (1)若关于的方程有两个实数根，，且，求实数的取值范围； (2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 一元二次函数、方程和不等式 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（2024高二下·浙江·学业考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要 【答案】A 【分析】若，则，充分性成立，取特殊值，当“”成立时，“”不一定成立，则可得答案. 【详解】若，则，充分性得证； 若，则，但不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（23-24高一上·上海黄浦·阶段练习）已知且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质判断AD；举例说明即可判断BC. 【详解】A：当时，，故A错误； B：当时，满足，但不成立，故B错误； C：当时，，故C错误； D：由，得，故D正确. 故选：D 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）某产品的总成本为万元，与产量台的关系是，其中，若每台售价为25万元，那么生产厂家不亏本的最低产量是（　　） A．60台 B．90台 C．120台 D．150台 【答案】D 【分析】根据利润=销售额总成本，列出不等式，然后解一元二次不等式即可得解. 【详解】由题意，有，即， 所以，解得或（舍）． 故选：D. 4．（20-21高一上·上海·课后作业）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的解集求得，再解目标分式不等式即可. 【详解】∵关于的不等式的解集是， ∴由得，∴，． ∴，∴，由于， ∴，解得． 故答案为：B． 5．（24-25高一上·上海·课后作业）当时，函数的最小值是（　　） A． B．4 C．5 D．9 【答案】A 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】∵，∴，, ∴， 当且仅当，即时取等号． 故选：A 6．（23-24高二下·陕西渭南·期末）命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为命题“，不等式”为真命题，求出的取值范围，根据必要不充分判定选项即可. 【详解】命题“，不等式”为假命题， 则命题“，不等式”为真命题， 所以，解得， 所以使得命题“，不等式”为假命题，则实数的取值范围为， 则命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是， 故选：A 7．（23-24高一下·湖南·期末）已知函数，若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式和一元二次方程的关系结合韦达定理即可求出，再分类得到不等式组，解出即可. 【详解】不等式的解集为， 的两实数根分别为和， ，解得， ，令，解得或， 则，解得， 由， 可得或，即或， 则所求解集为. 故选：C. 8．（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意首先得，且，进一步通过换元法以及判别式法即可求解，注意验证取等条件. 【详解】因为，所以，所以，等号成立当且仅当， 从而， 令，设，显然， 则， 因为关于的一元二次方程有实数根，所以， 整理得，即， 解得，注意到，从而， 等号成立当且仅当，即， 所以经检验的最大值，即的最大值为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键是得，且，由此即可顺利得解. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（23-24高二下·福建福州·期末）已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用作差法，结合不等式的性质，即可由选项逐一求解. 【详解】对于A，由于，则，所以，故，A正确， 对于B，若时，，故B错误， 对于C，由于，所以，故，C正确， 对于D, 由于，故，D正确， 故选：ACD 10．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式可判断ABC；由的范围可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，所以，故A错误； 对于B，，所以 ， 当且仅当，即等号成立，故B正确； 对于C，，要证即证， 所以，即证，由A可知，故C正确；     对于D，因为，且，所以， 所以，所以，故D正确. 故选：BCD. 11．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知关于一元二次不等式的解集为（其中），关于一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D．当时，的最小值为 【答案】BC 【分析】结合一元二次不等式与二次函数的关系及函数的平移得到，从而得到，即可判断A、B、C，由韦达定理得到，利用基本不等式判断D. 【详解】因为关于一元二次不等式的解集为（其中）， 所以二次函数与轴有两个交点且，交点坐标分别为，， 又关于一元二次不等式的解集为， 即二次函数与轴有两个交点且，交点坐标分别为，，， 又二次函数的图象是由向上平移个单位得到的， 又开口向下，对称轴为， 由于无法确的值，以下只能得到与图象的大致情形如下（这里只列出其中一种）： 所以， 则，所以，，所以，故A错误，B正确； 又，，所以，故C正确； 因为、为关于的方程的两根， 所以，， 又，所以，所以， 所以， 所以，当且仅当，即时取等号， 显然，所以，故D错误. 故选：BC 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（24-25高一上·上海·课后作业）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先把恒成立问题转化为最值问题，再应用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为不等式恒成立，则, 因为,所以，当且仅当取等号， 所以. 故答案为：. 13．（23-24高二下·江苏徐州·期末）已知函数，若对任意，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】对分类讨论，分析结合特值可排除，当时转化为二次函数、二次不等式恒成立问题求解即可. 【详解】因为， 当时，，，所以不恒成立， 故， 当时，，显然不恒成立，（如）， 当时，由可得， 平方可得， 由时，恒成立， 令， 当，即时，，显然不恒成立， 当时，恒成立， 需满足，解得，即， 综上，实数的取值范围为. 14．（2024·河南·模拟预测）已知函数在上的最大值为，在上的最大值为，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出的图象，分和两种情况讨论函数在上的最大值和在上的最大值，列出关系，解不等式即可得到答案. 【详解】由函数，作出的图象如下： 由题得：， 当时，函数在上的最大值为，即， 要使，则，令，解得：，，，， 由图可得，要使函数在上的最大值为，且， 则，或，解得：. 当时， 由图，在上最大值， 在上单调递增，最大值， 不可能成立， 综上，实数的取值范围是， 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（24-25高一上·上海·单元测试）已知且，比较与的大小． 【答案】答案见解析 【分析】利用作差法比较大小，在定号时，需要进行分类讨论. 【详解】∵， ∴当时，，，则，即； 当时，，，则，即． 综上，时，；时，． 16．（24-25高一上·上海·单元测试）已知正数、满足． (1)求的最大值； (2)求的最小值． 【答案】(1)1 (2)． 【分析】（1）根据基本不等式即可求解， （2）利用乘“1”法即可由不等式求解. 【详解】（1）∵，，∴． 又，∴． 当且仅当时等号成立，∴的最大值为1． （2）， 当且仅当，即时，的最小值为． 17．（23-24高二下·江西·期末）某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750的矩形花园.图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示，并写出的取值范围； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 【答案】(1) (2)当时，才能使鲜花种植的总面积最大 【分析】（1）根据题意，设矩形花园的长为，由条件可得，即可得到结果； （2）由（1）中的结论可得鲜花种植的总面积为与矩形花园的一条边长的函数关系式，再由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设矩形花园的长为， 矩形花园的总面积为， ，可得， 又阴影部分是宽度为的小路， 可得，可得， 即关于的关系式为. （2）由（1）知，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 18．（2024高三·全国·专题练习）已知，关于的不等式的解集为或． (1)求的值； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2)分类讨论，答案见解析. 【分析】（1）根据一元二次方程与不等式的关系，利用韦达定理，即可求解； （2）根据（1）的结果，不等式为，分解因式后，讨论的取值，截不等式. 【详解】（1）因为不等式的解集为或， 所以与是方程的两个实数根， 由根与系数的关系，得， 解得：，； （2）由（1）知不等式为， 即， ①当时，易得不等式的解集为， ②当时，不等式可化为，不等式的解集为或． ③当时，不等式可化为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为． 19．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知函数，. (1)若关于的方程有两个实数根，，且，求实数的取值范围； (2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程根的情况，结合判别式与韦达定理列不等式，解不等式即可； （2）方法一：不等式可化为，变化主元，转化为关于的一次函数，结合一次函数值域可得不等式，解不等式；方法二：分情况讨论，分离参数，解决不等式恒成立问题. 【详解】（1）关于的方程有两个实数根，， 则，解得， 又， 则，即， 综上所述，实数的取值范围为； （2）方法一：不等式可化为（*）， 令， 由题知对恒成立 则有， 得， 得或， 综上得的取值范围是； 方法二：不等式可化为（*）. 由题知不等式（*）对恒成立. ①当，即时，得到，使得对恒成立，所以，解得或（舍）； ②当，时，不等式（*）显然不成立，此时不符合题意； ③当，时，得到，使得对恒成立，则，解得或（舍）， 综上得的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$