精品解析：江苏省南通市如皋市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023～2024学年度第二学期八年级期末学业质量监测数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共8页，满分为150分，考试时间为100分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、智学号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 数学中处处存在着美，下图是赵爽弦图、莱洛三角形、笛卡尔心形线、阿基米德螺旋线，这些图形都具有对称之美． 上述图形中，是中心对称图形的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 2. 在中，已知，，则的周长是（ ） A. 18 B. 16 C. 14 D. 12 3. 不透明布袋中装有形状、大小、质地等完全相同的3个球，从中随机摸出一个球，摸到红球属于必然事件，则布袋中红球的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 4. 若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程 配方后可变形为（　　） A. B. C. D. 6. 某校举行“唱红歌”歌咏比赛，有15位同学参加了选拔赛，他们所得的分数互不相同．学校决定按成绩取前7名进入决赛，若知道某同学分数，要判断他能否进入决赛，只需知道15位同学分数的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 7. 2023年以来，某厂生产电子产品处于高速上升期，该厂生产一件产品起初的成本为225元，经过两次技术改进，现生产一件这种产品的成本比起初下降了元，设每次技术改进产品的成本下降率均为，则下列方程正确的是（ ） A B. C. D. 8. 如图，为了鼓励消费，某商场设置一个可以自由转动的转盘. 规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得相应的奖品. 下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000 落在“饮料”区域次数 32 39 64 155 254 299 则转盘中“饮料”区域的圆心角的度数近似是（ ）. A. B. C. D. 9. 如图，一次函数与的图象交于点，则关于，的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，点为上一点，，为射线上一动点，四边形为平行四边形，连接，则的最小值为（ ） A B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，第11-12题每小题3分，第13-18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 若正比例函数的图象经过第一、三象限，则的取值范围是________． 12. 掷一枚质地均匀正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为偶数的概率是_____． 13. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，点D恰好落在边上．若，则的度数为________． 14. 某校体育成绩考核采取综合评分法，由体育与健康行为、体能、知识与技能三个部分组成，分别按照，，的考核权重进行计算．已知某位同学的体育与健康行为得92分、体能得90分、知识与技能得86分，则这位同学的最终成绩为________分． 15. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后可拼接成矩形．若，则的面积是_____． 16. 若方程的两根为，，则的值为________． 17. 如图，正方形的边长为3，点在上，点在的延长线上，，交于点，则的长为________． 18. 定义：在平面直角坐标系中，对于点，，若，则称点为点的“理想点”．如点为点的“理想点”，而点的“理想点”就是点．已知点为直线上一点，点的“理想点”为点，当时，，则的取值范围是________． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程 （1） （2） 20. 小晗家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯．在正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开．因刚搬进新房不久，不熟悉情况． （1）若小晗任意按下一个开关，正好客厅灯亮的概率是______． （2）若任意按下其中的两个开关，则正好客厅和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明． 21. 如图，，为上一点．小明利用直尺和圆规完成了以下作图：连接，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接并延长交于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，在上取一点，使，连接．若，求的度数． 22. “国旗护卫红色美，实名荣光心所向”．某初中为组成学校国旗护卫队方阵，经过层层筛选、精心考核，先后选出了两批各20名同学，测量并获取了所有同学的身高（单位：），数据整理如下： ．两批同学的身高的频数： 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 第一批 1 0 2 7 3 3 1 2 1 0 第二批 1 3 1 4 3 3 1 2 1 1 ．两批同学身高的平均数、中位数、众数、方差： 平均数 中位数 众数 方差 第一批 176 第二批 175 （1）根据题意，得_______，_______； （2）在这两批同学中，身高整齐度更好的是第_______（填“一”或“二”）批同学； （3）根据方阵队型需要，现决定从这两批同学中各选出18人．若第一批同学中去掉了身高为和的两位同学，剩余同学的平均身高为．为使第二批剩余同学的平均身高也为，且形成的36人方阵身高整齐度更好，请确定第二批中应去掉的两位同学的身高，并说明理由． 23. 在课外活动中，小华根据学习平行四边形、菱形、正方形的经验对其面积进行了研究．他将一根长为的小棒截成两段，并将之放置在互相垂直平分的位置上，将端点用橡皮筋连接，即构造出了菱形． （1）若所构菱形面积为，则应如何截取？ （2）所构菱形面积可以为吗？试说明理由． 24. 甲、乙两个水果店都销售一种芒果．若购买芒果千克，请根据以下信息解决问题． 信息1 在甲店购买付款金额为元，满足，且与的对应关系如下表： 一次购买芒果的数量/千克 1 2 3 甲店付款金额/元 8 16 24 信息2 乙店芒果每千克价格比甲店高2元，但乙店打出促销活动：一次购买千克以上，超过千克部分打折销售．在乙店付款金额为元，与的对应关系如图所示； 信息3 当付款48元时，在甲、乙两店能购买到相同重量的芒果． （1）根据题意，可得_______，_______； （2）求一次购买芒果的重量超过千克时，关于的函数解析式； （3）如何购买更省钱？请结合图象，设计购买方案． 25. 如图，正方形的边长为，为边上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段． （1）如图1，当时，求点到直线的距离； （2）如图2，连接，取的中点，连接．求证：； （3）连接，，当为等腰三角形时，求的长． 26. 已知一次函数的图象经过点，．点的坐标为，点的横坐标为． （1）求的值； （2）若线段的最高点与最低点的纵坐标差为6，求的值； （3）已知点，以坐标原点为中心构造矩形，且轴，若线段与矩形只有一个公共点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023～2024学年度第二学期八年级期末学业质量监测数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共8页，满分为150分，考试时间为100分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、智学号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 数学中处处存在着美，下图是赵爽弦图、莱洛三角形、笛卡尔心形线、阿基米德螺旋线，这些图形都具有对称之美． 上述图形中，是中心对称图形的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查中心对称图形的判断，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，根据这一定义分析即可得出答案，掌握中心对称图形的定义及性质是解题关键． 【详解】解： ①是中心对称图形，符合题意； ②不是中心对称图形，不符合题意； ③不是中心对称图形，不符合题意； ④不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 在中，已知，，则的周长是（ ） A. 18 B. 16 C. 14 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，即对边相等，所以的周长是，代入数值计算即可，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图： ∵四边形是平行四边形，，， ∴的周长是：， 故选：D． 3. 不透明布袋中装有形状、大小、质地等完全相同的3个球，从中随机摸出一个球，摸到红球属于必然事件，则布袋中红球的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，根据事件的分类办法分析即可得解． 【详解】解∶ ∵不透明布袋中装有形状、大小、质地等完全相同的3个球，从中随机摸出一个球，摸到红球属于必然事件， ∴布袋里全是红球， ∴布袋中红球的个数是3， 故选∶A． 4. 若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的增减性是解题的关键．根据题意可得，y随x的增大而增大，由此即可求解． 【详解】解∶∵， ∴y随x的增大而增大， ∵点，，在一次函数（是常数）的图象上，且， ∴， 故选：D． 5. 一元二次方程 配方后可变形为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法，移项、将二次项系数化为1、配方即可求解． 【详解】解：， 移项：， 配方：， 即：， 故选：C． 6. 某校举行“唱红歌”歌咏比赛，有15位同学参加了选拔赛，他们所得的分数互不相同．学校决定按成绩取前7名进入决赛，若知道某同学分数，要判断他能否进入决赛，只需知道15位同学分数的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了统计量的选择，本题需根据中位数、众数、平均数、方差表示的含义进行分析即可求出正确答案，在解题时要能根据中位数、众数、平均数、方差表示的含义求出正确答案是本题的关键． 【详解】解：∵有15位同学参加选拔赛，所得分数互不相同，按成绩取前7名进入决赛，并且知道某同学分数， ∴要判断他能否进入决赛，只需知道这些数据中位数即可， 故选：B． 7. 2023年以来，某厂生产的电子产品处于高速上升期，该厂生产一件产品起初的成本为225元，经过两次技术改进，现生产一件这种产品的成本比起初下降了元，设每次技术改进产品的成本下降率均为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设成本下降率均为，根据题意，得，解答即可．本题考查了平均增长率问题，正确列方程并熟练解答是解题的关键． 【详解】根据题意，得， 故选D． 8. 如图，为了鼓励消费，某商场设置一个可以自由转动的转盘. 规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得相应的奖品. 下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000 落在“饮料”区域次数 32 39 64 155 254 299 则转盘中“饮料”区域的圆心角的度数近似是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由频率估计概率以及求扇形统计图的圆心角，先由表格数据得到，再根据圆周角为，列式计算，即可作答． 详解】解：∵先由表格数据得到， ∴， 故选：B 9. 如图，一次函数与的图象交于点，则关于，的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)， 利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 【详解】解：∵一次函数与的图象交于点， ∴一次函数与的图象交于点， ∴关于，的方程组的解为， 故选：C． 10. 如图，在中，，，，点为上一点，，为射线上一动点，四边形为平行四边形，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长到点G，使作直线，作于点H，由 得则求得则 ，所以再证明四边形是平行四边形，则可证明则而则 所以的最小值为于是得到问题的答案． 此题重点考查直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、平行四边形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长到点G， 使作直线，作于点H，如图： ∵ ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ∴四边形是平行四边形， ∴点F在经过点G且与平行的直线上运动， ， ， ∴的最小值为 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，第11-12题每小题3分，第13-18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 若正比例函数的图象经过第一、三象限，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正比例函数经过一、三象限得出，以此可求出的取值范围． 【详解】∵正比例函数的图象经过第一、三象限 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正比例函数，掌握正比例函数的图象和性质是解题的关键． 12. 掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为偶数的概率是_____． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】先统计出偶数点的个数，再根据概率公式解答． 【详解】正方体骰子共六个面，点数为1，2，3，4，5，6，偶数为2，4，6， 故点数为偶数的概率为， 故答案为． 【点睛】此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 13. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，点D恰好落在边上．若，则度数为________． 【答案】##59度 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，根据旋转的性质可得，，再根据等腰三角形的性质可得，由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可得，，， ∴， 故答案为：． 14. 某校体育成绩考核采取综合评分法，由体育与健康行为、体能、知识与技能三个部分组成，分别按照，，的考核权重进行计算．已知某位同学的体育与健康行为得92分、体能得90分、知识与技能得86分，则这位同学的最终成绩为________分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查加权平均数，根据加权平均数的公式求解即可得到答案，读懂题意，熟记加权平均数求解公式是解决问题的关键． 【详解】解：依题意，这位同学的最终成绩为： （分）， 故答案为：． 15. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后可拼接成矩形．若，则的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，由四边形是矩形，得，，从而可证，，根据面积和差得到，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∴，，， 同理可证：， ∴，， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ∴， 故答案为：． 16. 若方程的两根为，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，，是一元二次方程的两根，，． 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴，， ∴， 故答案为． 17. 如图，正方形的边长为3，点在上，点在的延长线上，，交于点，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，先根据勾股定理的到，然后根据得到，，然后证明，得到，即可解题． 【详解】解：设与交于点F， ∵正方形的边长为3， ∴，， 又∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即 ∴，， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 即 故答案为：． 18. 定义：在平面直角坐标系中，对于点，，若，则称点为点的“理想点”．如点为点的“理想点”，而点的“理想点”就是点．已知点为直线上一点，点的“理想点”为点，当时，，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次不等式，根据题意，当以及当时，理想点Q的坐标不同，应分别进行分析计算，关键在于理解理想点的定义，确定k的取值范围． 【详解】解：根据题意，可设点P坐标为， ①当时，点Q的纵坐标为，则， 解得：，即， ②当时，点Q的纵坐标为，则， 解得： ∴ x的取值范围是：， ∵当时，， ∴k的取值范围是：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据配方法解一元二次方程； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解： ∴ ∴ ∴， 解得：， 【小问2详解】 解： ∴ ∴ ∴或 解得：， 20. 小晗家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯．在正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开．因刚搬进新房不久，不熟悉情况． （1）若小晗任意按下一个开关，正好客厅灯亮的概率是______． （2）若任意按下其中的两个开关，则正好客厅和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明． 【答案】（1）； （2）正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是，树状图见解析． 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，解题的关键是掌握列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式求解，即可求得答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与正好客厅灯和走廊灯同时亮的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：小晗任意按下一个开关，正好客厅灯亮的概率是：； 【小问2详解】 解：画树状图得： 共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况， 正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是： 21. 如图，，为上一点．小明利用直尺和圆规完成了以下作图：连接，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接并延长交于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，在上取一点，使，连接．若，求的度数． 【答案】（1）证明见解析； （2）的度数为． 【解析】 【分析】（1）由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，则可得，证明 可得结合平行四边形的判定可得结论． （2）由题意可得四边形为矩形，则进而可得则 则． 本题考查作图-基本作图、平行四边形的判定、矩形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定、矩形的判定与性质是解答本题的关键． 【小问1详解】 证明：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：∵， ∴平行四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. “国旗护卫红色美，实名荣光心所向”．某初中为组成学校国旗护卫队方阵，经过层层筛选、精心考核，先后选出了两批各20名同学，测量并获取了所有同学的身高（单位：），数据整理如下： ．两批同学的身高的频数： 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 第一批 1 0 2 7 3 3 1 2 1 0 第二批 1 3 1 4 3 3 1 2 1 1 ．两批同学身高的平均数、中位数、众数、方差： 平均数 中位数 众数 方差 第一批 176 第二批 175 （1）根据题意，得_______，_______； （2）在这两批同学中，身高整齐度更好的是第_______（填“一”或“二”）批同学； （3）根据方阵队型需要，现决定从这两批同学中各选出18人．若第一批同学中去掉了身高为和的两位同学，剩余同学的平均身高为．为使第二批剩余同学的平均身高也为，且形成的36人方阵身高整齐度更好，请确定第二批中应去掉的两位同学的身高，并说明理由． 【答案】（1）， （2）一 （3）应去掉的两位同学的身高172厘米和181厘米，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的概念即可解答； （2）根据方差的概念即可解答； （3）根据平均数的概念即可解答． 本题考查了频数、平均数、众数、中位数、方差等相关知识，理解并掌握平均数、众数、中位数、方差等内涵是解题的关键． 【小问1详解】 解：第一批中，身高为175出现的次数最多， ∴， 第二批中，一共有20个数据，第10个数据为176，第11个数据为176， ∴这组数据的中位数为：， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：要求身高整齐度更好，即要求数据的波动更小，方差更小，根据第二个表格可知，第一批的方差更小， ∴身高整齐度更好的是第一批同学， 故答案为：一； 【小问3详解】 解：确定第二批中应去掉的两位同学的身高172厘米和181厘米，理由如下： 当去掉身高为172厘米和181厘米后，第二批同学的平均身高为： （厘米），符合题目要求， ∴应去掉的两位同学的身高172厘米和181厘米． 23. 在课外活动中，小华根据学习平行四边形、菱形、正方形的经验对其面积进行了研究．他将一根长为的小棒截成两段，并将之放置在互相垂直平分的位置上，将端点用橡皮筋连接，即构造出了菱形． （1）若所构菱形面积为，则应如何截取？ （2）所构菱形面积可以为吗？试说明理由． 【答案】（1）截成长度分别为和两段，所构菱形面积为； （2）不能构成面积为的菱形，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，菱形的面积，根据等量关系列出方程是解题的关键． （1）设其中一段的长为，则另一段的长为，依题意列出一元二次方程，求解即可； （2）由（1）可得，，即，因为，方程无解，即可判断． 【小问1详解】 解：将一根长为的小棒截成两段，设其中一段的长为，则另一段的长为，依题意得： ， ∴， 解得：，， 当时，，当时，， ∴将一根长为的小棒截成长度分别为和两段，所构菱形面积为； 【小问2详解】 解：由（1）可得：， ∴， ∵， ∴方程无解， ∴不能构成面积为的菱形． 24. 甲、乙两个水果店都销售一种芒果．若购买芒果千克，请根据以下信息解决问题． 信息1 在甲店购买付款金额为元，满足，且与的对应关系如下表： 一次购买芒果的数量/千克 1 2 3 甲店付款金额/元 8 16 24 信息2 乙店芒果每千克价格比甲店高2元，但乙店打出促销活动：一次购买千克以上，超过千克的部分打折销售．在乙店付款金额为元，与的对应关系如图所示； 信息3 当付款48元时，在甲、乙两店能购买到相同重量的芒果． （1）根据题意，可得_______，_______； （2）求一次购买芒果的重量超过千克时，关于的函数解析式； （3）如何购买更省钱？请结合图象，设计购买方案． 【答案】（1）8， 2 （2） （3）当时， 甲店比较省钱；当时，甲、乙店的费用一样；当时，乙店比较省钱 【解析】 【分析】（1）由待定系数法求出k的值即可； （2）设一次购买芒果的重量超过m千克时，关于x的函数解析式为再由待定系数法求出c、b的值即可； （3）根据函数图象即可判断出哪家店更省钱． 本题主要考查一次函数的实际应用，根据待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵函数过点， 即甲店的苹果价格为每千克8元， ∵乙店芒果每千克价格比甲店高2元， ∴乙店芒果每千克价格为元， 即10元， 由图可知，关于x的函数图象过点， 故答案为：8， 2； 【小问2详解】 解：由（1） 时， ∴ 设一次购买芒果的重量超过m千克时，关于x 的函数解析式为： 由题意得： 解得： ∴一次购买芒果的重量超过2千克时，关于x的函数解析式为：； 【小问3详解】 解：由图象可知，当时， 甲店比较省钱； 当时，甲、乙店的费用一样； 当时，乙店比较省钱． 25. 如图，正方形的边长为，为边上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段． （1）如图1，当时，求点到直线的距离； （2）如图2，连接，取的中点，连接．求证：； （3）连接，，当为等腰三角形时，求的长． 【答案】（1）1 （2）见解析 （3）2或4或 【解析】 【分析】（1）过Q作于H，利用证明；即可求解； （2）过Q作于H，连接，，由（1）知：， 则，进而得出，可求，，然后根据直角三角形斜边中线的性质即可得证； （3）分，，三种情况讨论即可． 【小问1详解】 解∶如图，过Q作于H， ∵线段绕点逆时针旋转，得到线段， ∴，， ∵正方形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴点到直线距离为1； 【小问2详解】 证明：过Q作于H，连接，， ∵正方形， ∴，， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵M是的中点 ∴； 【小问3详解】 解：①当时，过Q作于H，于M， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 由（1）知：， ∴； ②当时，过Q作于H，于M， ∵，， ∴， ∴， 设，则 由①知四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 解得或， 当时，B、P重合，A、Q重合，不符合题意，舍去， 当时，A、P重合，如图， ， 符合题意， ∴； ③当时，过Q作于H，于M， ②由知：， 在中，， ∴， ∴， 又， ∴， 综上，当的值为2或4或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义以及性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形，合理分类讨论是解题的关键． 26. 已知一次函数的图象经过点，．点的坐标为，点的横坐标为． （1）求的值； （2）若线段的最高点与最低点的纵坐标差为6，求的值； （3）已知点，以坐标原点为中心构造矩形，且轴，若线段与矩形只有一个公共点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）的值为或 （3）或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，将代入解一元一次方程即可得到答案； （2）根据题意，分两种情况：线段的最高点是与最低点是；线段的最高点是与最低点是，列方程求解即可得到答案； （3）分图3-1，图3-2，图3-3，图3-4，图3-5五种情况利用数形结合的思想求出对应的临界值即可得到答案． 【小问1详解】 解：一次函数的图象经过点， 将代入一次函数得到， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）知一次函数， 点的横坐标为， ， ，线段的最高点与最低点的纵坐标差为6， 分两种情况：线段的最高点是与最低点是；线段的最高点是与最低点是， 当线段的最高点是与最低点是时，则， 解得； 当线段的最高点是与最低点是时，则， 解得； 综上所述，的值为或； 【小问3详解】 解：由（2）可得 如图3-1所示，当时， ∵， ∴直线一定在线段下方，即此时线段与矩形不可能有交点，不符合题意； 如图3-2所示，时， ∵， ∴直线一定与线段有一个交点，即此时线段与矩形有一个交点，符合题意； 如图3-3所示，当，且点D恰好在直线上时， 由对称性可得， ∴， 解得， ∴此时线段与矩形有一个交点，这个交点为D， 当时，此时矩形不可能与线段有交点，不符合题意； 如图4-4所示，当时， 此时， ∴此时直线一定在线段之间，且直线在点B下方，且点D在直线左上方， ∴此时线段与线段，线段都有一个交点，故此时不符合题意； 如图3-5所示，当时， 此时， ∴此时直线一定在线段上方，且直线在点B下方，且点D在直线左上方， ∴此时线段与线段有一个交点，即此时线段与矩形有一个交点，符合题意； 综上所述，或或． 【点睛】本题考查一次函数与矩形综合，难度较大，涉及待定系数法确定函数解析式、一次函数图象与性质、矩形性质、点对称性求坐标等知识，熟练掌握一次函数图象与性质、矩形性质与点的对称是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$