精品解析：四川省成都市2023-2024学年高二毕业班摸底测试数学试题

成都市2022级高中毕业班摸底测试 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5．考试结束后，只将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 的展开式中常数项为（ ） A 10 B. 15 C. 20 D. 30 2. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 记为等差数列的前项和．若，则（ ） A. 140 B. 150 C. 160 D. 180 4. 已知函数的最小值为1，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 同时拋掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，记事件“甲骰子正面向上的点数大于3”，事件“甲、乙骰子正面向上的点数之和为6”，则（ ） A. B. C. D. 6. 在空间直角坐标系中，已知，则四面体的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 将正整数1，2，3，…按从小到大且第组含个数分组：，则2024在第（ ）组． A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 8. 某学校有两家餐厅，张同学连续三天午餐均在学校用餐．如果某天去餐厅，那么第2天还去餐厅的概率为；如果某天去餐厅，那么第2天还去餐厅的概率为．若张同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐，则张同学第3天去餐厅用餐的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆的两个焦点分别为，点在椭圆上，则（ ） A. B. 面积为2 C. 椭圆的离心率为 D. 的内切圆半径为 10. 记为数列前项和．已知，则（ ） A. B. C. 数列为等比数列 D. 11. 已知函数，则（ ） A. 若，则函数有且仅有1个零点 B. 若在处取得极值，则 C 若无极值，则 D. 若的极小值小于0，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的单调递增区间为，则的值为_____________． 13. 用1，2，3，4，5这5个数字可以组成_____________个无重复数字的三位数，这些三位数中能被3整除的共有_____________个（用数字作答）． 14. 已知四个整数满足．若成等差数列，成等比数列，且，则的值为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，正方体中，为的中点． （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值． 16 已知等差数列满足，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 17. “十四五”时期，成都基于历史文化底蕴、独特资源禀赋、生活城市特质和市民美好生活需要，高水平推进“三城三都”（世界文创名城、旅游名城、赛事名城和国际美食之都、音乐之都、会展之都）建设.2023年，成都大运会的成功举办让赛事名城的形象深入人心，让世界看到成都的专业、活力和对体育的热爱；2024年，相约去凤凰山体育场观看成都蓉城队的比赛已经成为成都人最时尚的生活方式之一．已知足球比赛积分规则为：球队胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．成都蓉城队2024年七月还将迎来主场与队和客场与队的两场比赛．根据前期比赛成绩，设成都蓉城队主场与队比赛：胜的概率为，平的概率为，负的概率为；客场与B队比赛：胜的概率为，平的概率为，负的概率为，且两场比赛结果相互独立． （1）求成都蓉城队七月主场与队比赛获得积分超过客场与B队比赛获得积分的概率； （2）用表示成都蓉城队七月与队和B队比赛获得积分之和，求的分布列与期望． 18. 已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线相交于两点． （1）当直线的倾斜角为时，直线被圆所截得的弦长为，求的值； （2）若点在轴上，且是以为直角顶点的等腰直角三角形，求直线的斜率． 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）若数列满足，记为数列的前项和．证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 成都市2022级高中毕业班摸底测试 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5．考试结束后，只将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 的展开式中常数项为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】二项式展开式的通项为（且）， 令，解得， 所以，即展开式中常数项为. 故选：C 2. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案. 【详解】由得， 故曲线在点处的切线斜率为，而， 故曲线在点处的切线方程为，即， 故选：A 3. 记为等差数列的前项和．若，则（ ） A. 140 B. 150 C. 160 D. 180 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的性质可求出，再利用等差前的性质可以求出，即可求解. 【详解】， ， ， ， ， 故选：B. 4. 已知函数的最小值为1，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，分类讨论，从而求出的单调区间，即可求解函数的最值求解. 【详解】函数的定义域为，， 当时，在内恒成立，所以函数在内为增函数,此时无最小值， 当时，由，得，由得 函数在内为减函数，在内为增函数，故当时，取最小值， 即，故， 故选：D 5. 同时拋掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，记事件“甲骰子正面向上的点数大于3”，事件“甲、乙骰子正面向上的点数之和为6”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法列出所有可能结合，再由条件概率公式计算可得. 【详解】用表示甲骰子向上的点数，表示乙骰子向上的点数，则两枚骰子的情况用数对表示， 则所有可能情况有，，，，，，，， ，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，， ，，，，，，，，共个结果. 其中包含共个基本事件， 包含共个基本事件， 所以，，所以. 故选：C 6. 在空间直角坐标系中，已知，则四面体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用空间向量法求出高，运用锥体体积公式进而求出体积 【详解】如图所示，正方体边长为1，建立坐标系， 则.则四面体为正三棱锥. 底面为等边，且边长为.则面积为. ，.设平面法向量为， 则，故. 则到平面的距离为． 则四面体的体积为. 故选：A 7. 将正整数1，2，3，…按从小到大且第组含个数分组：，则2024在第（ ）组． A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可求出前k组里共有数的个数的表达式，即可求得答案. 【详解】由题意可设前k组里共有的数的个数为， 则， 由于， 故2024在第10组， 故选：C 8. 某学校有两家餐厅，张同学连续三天午餐均在学校用餐．如果某天去餐厅，那么第2天还去餐厅的概率为；如果某天去餐厅，那么第2天还去餐厅的概率为．若张同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐，则张同学第3天去餐厅用餐的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全概率公式求出张同学第2天去A，B餐厅的概率，继而可求第3天去餐厅用餐的概率. 【详解】设表示事件：第i天去A餐厅，表示事件：第i天去B餐厅， 则,， 则, 故 , , 则 ， 故选：B 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是要求出第2天去A，B餐厅的概率，继而结合全概率公式求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆的两个焦点分别为，点在椭圆上，则（ ） A. B. 的面积为2 C. 椭圆的离心率为 D. 的内切圆半径为 【答案】ABD 【解析】 【分析】代入点的坐标求出，即可得到椭圆方程，从而求出，即可求出离心率，从而判断A、C，由面积公式判断B，由椭圆的定义及等面积法求出内切圆的半径，即可判断D. 【详解】依题意，解得，则，所以椭圆方程为， 所以，，即，，所以离心率，故A正确，C错误； 所以，故B正确； 又，设的内切圆半径为， 则，即，解得，故D正确. 故选：ABD 10. 记为数列的前项和．已知，则（ ） A. B. C. 数列为等比数列 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】令代入已知，求出，判断A；求出，判断B；根据的关系结合等比数列定义判断C；求出，即可判断D. 【详解】对于A，由于，令，则，A正确； 对于B，令，则，则，B错误； 对于C，当时，，则， 即，则，而， 故数列为首项为，公比为的等比数列，C正确； 对于D，由C可知，即， 故，D正确， 故选：ACD 11. 已知函数，则（ ） A. 若，则函数有且仅有1个零点 B. 若在处取得极值，则 C. 若无极值，则 D. 若的极小值小于0，则 【答案】AC 【解析】 【分析】求出，令求出零点，即可判断A；求出函数的导函数，由求出的值，再检验即可判断B；令，根据为极值，得到，即可判断C，利用特殊值，判断D. 【详解】对于A：， 则， 令，解得，所以函数有且仅有1个零点，故A正确； 对于B：因为，则， 依题意，所以，解得或， 当时，则， 因为，所以为的变号零点，满足在处取得极值，符合题意； 当时，则， 因为，所以为的变号零点，满足在处取得极值，符合题意， 所以或，故B错误； 对于C：因为，令，解得或， 因为无极值，所以，解得，故C正确； 对于D：令，，则， 所以， 所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极小值，即， 但是，故D错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：本题D选项利用特殊值法说明命题不正确，是一个比较好的方法. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的单调递增区间为，则的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，根据函数的单调区间，列式求解，即得答案. 【详解】由，得， 令，即， 若，则恒成立，在R上单调递增，不合题意； 故，则由得， 由于的单调递增区间为，故， 故答案为： 13. 用1，2，3，4，5这5个数字可以组成_____________个无重复数字的三位数，这些三位数中能被3整除的共有_____________个（用数字作答）． 【答案】 ①. 60 ②. 24 【解析】 【分析】根据排列即可求解. 【详解】从1，2，3，4，5中任取三个数全排列可得个无重复数字的三位数， 能被3整除的三位数，则数字之和为3的倍数，故有,2,，,3,，,3,，,4,,每组都有种， 根据分步计数原理可得，共有种， 故答案为：60，24 14. 已知四个整数满足．若成等差数列，成等比数列，且，则的值为_____________． 【答案】333 【解析】 【分析】设公差为x，从而由题意列式得到，化为，结合b为整数确定x的取值，进而确定的值. 【详解】因为成等差数列，故设公差为x，则， 由成等比数列，得，结合， 得，整理得， 由于为整数，且，故x为整数，， 则，需满足，即， 结合b为整数，代入，可得只有当时，才为整数， 当时，，则，不合题意； 当时，，则，，，适合题意， 则， 故答案为：333 【点睛】关键点点睛：本题考查了数列的综合应用，解答的关键是利用等差等比数列的性质来设参数x，得出后，要结合题意确定x的值，进而求得答案. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，正方体中，为的中点． （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，设，连接，即可证明，从而得证； （2）建立空间直角坐标，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 连接，设，连接，则为中点， 在中，因为为的中点，所以， 又因为平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系． 设正方体的棱长为2，则， ， 设为平面的一个法向量，由， 得，即，令得 设与平面所成角大小为， 则， 所以与平面所成角的正弦值为． 16. 已知等差数列满足，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据递推公式求出，设的公差为，结合求出，即可求出通项公式； （2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 由，，令得，解得， 设的公差为， 因为，所以， 所以， 故的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）知， 所以①， ②， ①②得， 化简得， 所以． 17. “十四五”时期，成都基于历史文化底蕴、独特资源禀赋、生活城市特质和市民美好生活需要，高水平推进“三城三都”（世界文创名城、旅游名城、赛事名城和国际美食之都、音乐之都、会展之都）建设.2023年，成都大运会的成功举办让赛事名城的形象深入人心，让世界看到成都的专业、活力和对体育的热爱；2024年，相约去凤凰山体育场观看成都蓉城队的比赛已经成为成都人最时尚的生活方式之一．已知足球比赛积分规则为：球队胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．成都蓉城队2024年七月还将迎来主场与队和客场与队的两场比赛．根据前期比赛成绩，设成都蓉城队主场与队比赛：胜的概率为，平的概率为，负的概率为；客场与B队比赛：胜的概率为，平的概率为，负的概率为，且两场比赛结果相互独立． （1）求成都蓉城队七月主场与队比赛获得积分超过客场与B队比赛获得积分的概率； （2）用表示成都蓉城队七月与队和B队比赛获得积分之和，求的分布列与期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析，期望为 【解析】 【分析】（1）由题意可知，成都蓉城队七月主场与队比赛获得积分超过客场与队比赛获得积分包括3种情况，且每种情况之间是互斥事件，然后根据独立事件和互斥事件的概率公式可求得结果； （2）由题意可知的所有可能取值为，求出相应的概率，从而可求出的分布列与期望． 【小问1详解】 设事件“成都蓉城队主场与队比赛获得积分为3分”， 事件“成都蓉城队主场与队比赛获得积分为1分”， 事件“成都蓉城队主场与队比赛获得积分为0分”， 事件“成都蓉城队客场与队比赛获得积分为3分”， 事件“成都蓉城队客场与队比赛获得积分为1分”， 事件“成都蓉城队客场与队比赛获得积分为0分”， 事件“成都蓉城队七月主场与队比赛获得积分超过客场与队比赛获得积分”． 则． 所以成都蓉城队七月主场与队比赛获得积分超过客场与队比赛获得积分的概率为． 【小问2详解】 由题意可知的所有可能取值为， 所以分布列为： 0 1 2 3 4 6 所以的期望 18. 已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线相交于两点． （1）当直线倾斜角为时，直线被圆所截得的弦长为，求的值； （2）若点在轴上，且是以为直角顶点的等腰直角三角形，求直线的斜率． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设出直线，运用圆当中的弦长公式构造方程，解出即可； （2）将直线和设出来，然后直线与曲线联立方程，运用韦达定理，结合等腰直角三角形的中垂性质，构造方程，求解即可. 【小问1详解】 因为直线的倾斜角为，所以． 由题意，抛物线的焦点坐标为． 所以直线的方程为． 因为圆的方程为，即， 所以圆心坐标为，半径为2． 所以圆心到直线距离． 由垂径定理得，解得或． 故或． 【小问2详解】 由题意，直线斜率存在，如图所示． 设直线，， 由消去得， 故中点坐标为， 由得， 即，整理得．① 由得， 即， 代入整理得．② 由①②消去得， 即， 整理得． 所以，解得． 综上，直线的斜率． 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）若数列满足，记为数列的前项和．证明：． 【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）． （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据导函数的正负即可求解， （2）根据题意可得，即可由导数结合分类讨论求解最值，进一步将问题转化为，构造函数，求导即可求解最值求解， （3）根据（2）的求解可得不等式和，即可根据，得，由累加法以及裂项求和即可求证. 【小问1详解】 当时，， 故当单调递减； 当单调递增． 综上，的单调递减区间为，单调递增区间为． 【小问2详解】 由题意，． ①当时，在单调递减， 由，不合题意； ②当时，在单调递减，单调递增． 由恒成立，得． 即． 令， 恒成立， 所以在单调递减，且． 故当，符合题意， 当，不合题意． 综上，的取值范围为． 【小问3详解】 由， 得，且． 由（2）可知，令，有可得， 令可得即． 由得即． 两边取对数得，由上述不等式得 于是， 所以． 当时，，不等式成立； 当时， ．即当时，不等式成立． 综上，得证． 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$