精品解析：福建省泉州市安溪县2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

2024年春季高二年期末质量监测数学试题 （本试卷共19题，满分150分，考试用时120分钟） 学校______ 班级______ 姓名______ 座号______ 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 4.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 已知随机变量X服从正态分布，则（ ） （参考数据：，） A. 0.3413 B. 0.4772 C. 0.6826 D. 0.9544 3. 用4种不同的颜色对右侧图形中的4个区域进行着色，相邻两个区域颜色不同，则不同的着色方法种数等于（ ） A 16 B. 24 C. 48 D. 256 4. 已知两个分类变量X，Y的数据列联表如下，则下列能说明X与Y有关联的是（ ） X Y 合计 100 a d 200 b e 合计 300 c n A. B. C. D. 5. 设函数的导函数为，已知函数的图象如图所示，则的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 6. 某公司为了解年研发资金x（单位：亿元）对年产值y（单位：亿元）的影响，对公司近8年的年研发资金和年产值（，）的数据对比分析中，利用最小二乘法求得y关于x的经验回归方程为，且经数据处理得到，，，则（ ） A. B. 49.92 C. 62.08 D. 120.98 7. 如图为某公交线路图的一部分，现在6名同学从安一中站点上车，分组到人民银行、实验小学、凤山公园、凤山书院4个站点参加公益宣传活动，每个站点至少一人，且实验小学站至少2人，则下车的不同方案种数为（ ） A. 120 B. 480 C. 540 D. 660 8. 如图，已知正三角形边长为2，且对任意，，，分别为，，的中点，记的周长为，则（ ） A. B. C. 1023 D. 2046 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某同学根据变量x与y的六组数据（，2，…，6）绘制了如下散点图，并选择一元线性回归模型进行拟合，若去掉B点，则下列说法正确的是（ ） A. 残差平方和变小 B. 相关系数r越趋于1 C. 决定系数变大 D. y与x线性相关程度变强 10. 设A，B为随机事件，，则下列能推出的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，.对于不相等的实数，，设，，则下列说法正确的是（ ） A. 对于任意不相等的实数，，都有 B. 对于任意的a及任意不相等的实数，，都有 C. 对于任意的a，存在不相等的实数，，使得 D. 对于任意的a，存在不相等的实数，，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知展开式中含的系数等于2，则_____________. 13. 已知数列满足，，则_____________. 14. 有一个邮件过滤系统，它可以根据邮件的内容和发件人等信息，判断邮件是不是垃圾邮件，并将其标记为垃圾邮件或正常邮件.对这个系统的测试具有以下结果：每封邮件被标记为垃圾邮件的概率为；邮件在被标记为垃圾邮件的条件下，它是正常邮件的概率为；邮件在被标记为正常邮件的条件下，它是垃圾邮件的概率为，则垃圾邮件被该系统成功过滤（即垃圾邮件被标记为垃圾邮件）的概率等于_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求的极值. 16. 某学校共1000名学生，其中男生500人，女生500人，在一次调查“体育迷”的活动中，采用分层随机抽样的方法从中抽取100人，统计得到如下等高堆积条形图. （1）求抽取的男生人数和女生人数； （2）根据已知条件完成下面的2×2列联表： 体育迷 非体育迷 合计 男生 女生 合计 （3）据小概率值的独立性检验，能否认为性别是否与体育迷有关联？ 附：，． 0.1 0.05 001 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.789 10.828 17. 已知数列满足，. （1）证明：数列为等比数列； （2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为d等差数列，令，求数列的前n项和. 18. 某城市拟建立一个艺术公园，为此对资格初审入围的两家设计公司A，B进行招标问题测试，并聘请专家制定方案如下：先从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，A公司能正确回答其中4道题目，而B公司能正确回答每道题目的概率均为.假设A公司答对题数为X，B公司答对题数为Y，A，B两家公司对每道题的回答都是相互独立，互不影响的. （1）求的概率； （2）试从期望和方差的角度分析哪家公司通过测试的可能性更大？ （3）设，求Z的分布列和数学期望. 19. 曼哈顿距离，也被称为出租车距离，是指在平面上，一个点沿着网格线（即沿着水平或垂直方向）移动到另一个点的最短距离.它是一种简单而有效的度量方式，广泛应用于计算机科学中的图论、机器人路径规划、以及机器学习中作为距离度量等领域.已知在平面直角坐标系xOy中，A，B的曼哈顿距离记作，点M在函数的图象上. （1）若，，且，求n； （2）已知，求的取值范围； （3）已知点，为的中点，记的最大值为，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年春季高二年期末质量监测数学试题 （本试卷共19题，满分150分，考试用时120分钟） 学校______ 班级______ 姓名______ 座号______ 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 4.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】应用等差数列通项公式及前n项和公式基本量运算，最后求出即可. 【详解】因为， 所以, 所以. 故选：A. 2. 已知随机变量X服从正态分布，则（ ） （参考数据：，） A. 0.3413 B. 0.4772 C. 0.6826 D. 0.9544 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的性质写出，再根据正态分布知识即可求解. 详解】随机变量X服从正态分布, , , 根据正态分布对称性可得. 故选：B. 3. 用4种不同的颜色对右侧图形中的4个区域进行着色，相邻两个区域颜色不同，则不同的着色方法种数等于（ ） A. 16 B. 24 C. 48 D. 256 【答案】C 【解析】 【分析】根据分步计数原理，即可求解. 【详解】利用分步计数原理，先涂两两挨着的3块，再涂最后一块，有种不同的方法. 故选：C 4. 已知两个分类变量X，Y的数据列联表如下，则下列能说明X与Y有关联的是（ ） X Y 合计 100 a d 200 b e 合计 300 c n A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，同一个样本中，越大，说明两个变量的关系越强，然后分别计算各选项，即可得到结果. 【详解】同一个样本中，越小，说明两个变量的关系越弱， 越大，说明两个变量的关系越强， 对于A，当时，， 对于B，当时，可得，则， 对于C，当时，， 对于D，当时，，即，此时， 由以上分析可知，选项C能说明X与Y有关联. 故选：C 5. 设函数的导函数为，已知函数的图象如图所示，则的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合导函数的图象分析的单调性，再结合偶函数的导函数为奇函数判断即可. 【详解】由导函数的图象可知当或时， 当或时， 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 且的图象关于原点对称，即为奇函数， 设为偶函数，即，所以，所以为奇函数， 即偶函数的导函数（导函数存在）为奇函数， A、B、D三个图象均关于轴对称，即为偶函数，满足导函数为奇函数，符合题意； C选项的图象对应的函数为非奇非偶函数，不符合题意. 故选：C 6. 某公司为了解年研发资金x（单位：亿元）对年产值y（单位：亿元）的影响，对公司近8年的年研发资金和年产值（，）的数据对比分析中，利用最小二乘法求得y关于x的经验回归方程为，且经数据处理得到，，，则（ ） A. B. 49.92 C. 62.08 D. 120.98 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用换元转化为，再求样本点中心，代入回归方程，即可求解. 【详解】设，则， ，则，， 则，所以. 故选：A 7. 如图为某公交线路图一部分，现在6名同学从安一中站点上车，分组到人民银行、实验小学、凤山公园、凤山书院4个站点参加公益宣传活动，每个站点至少一人，且实验小学站至少2人，则下车的不同方案种数为（ ） A. 120 B. 480 C. 540 D. 660 【答案】D 【解析】 【分析】分别考虑实验小学站2人，实验小学站3人，根据分组分配问题，结合排列组合即可求解． 【详解】当实验小学站2人，种． 实验小学站3人，种． 则下车的不同方案种数为． 故选：D． 8. 如图，已知正三角形的边长为2，且对任意，，，分别为，，的中点，记的周长为，则（ ） A. B. C. 1023 D. 2046 【答案】D 【解析】 【分析】先根据图形规律求出，然后按照等比数列求和公式求解即可. 【详解】正三角形的边长为2，周长； 正三角形的边长为4，周长； 正三角形的边长为8，周长; …….. 正三角形的边长为，周长; . 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某同学根据变量x与y的六组数据（，2，…，6）绘制了如下散点图，并选择一元线性回归模型进行拟合，若去掉B点，则下列说法正确的是（ ） A. 残差平方和变小 B. 相关系数r越趋于1 C. 决定系数变大 D. y与x线性相关程度变强 【答案】ACD 【解析】 【分析】从图中可以看出B点较其他点，偏离直线远，所以去掉B点后，回归效果更好，再结合残差的定义、以及相关系数和决定系数的性质判断． 【详解】从图中可以看出B点较其他点，偏离直线远，所以去掉B点后，回归效果更好， A．残差平方和变小，拟合效果越好，故正确，符合题意； B．相关系数|r|越趋于1，拟合的回归方程越优， 所以去掉B点后，相关系数r的绝对值越趋于1，故B错误，不符合题意； C．决定系数R2越接近于1，拟合的回归方程越优， 即去掉B点后，变大，越趋于1，故正确，符合题意； D．解释变量x与预报变量y相关性增强，故正确，符合题意． 故选：ACD． 10. 设A，B为随机事件，，则下列能推出的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据，知道有样本点，掌握条件概率、积事件的概率的求法，借助图形来直观的进行判断． 【详解】解：，利用韦恩图来形象表示， A．从图象上看， 满足的样本点的部分为， 满足的样本点的部分为， ， 相等， ， ，正确，符合题意； B．从图象上看， 满足的样本点的部分， 满足的样本点的部分为， ， 相等， ， ，正确，符合题意； C． 从图象上看， 满足的样本点的部分为， 满足的样本点的部分为， ， 相等， ， ，正确，符合题意； D． 从图象上看， 满足的样本点的部分为， 满足的样本点的部分为， ，从图形上看表示为相同的部分， 不能直接推出，错确，不符合题意； 故选：ABC． 11. 已知函数，.对于不相等的实数，，设，，则下列说法正确的是（ ） A. 对于任意不相等的实数，，都有 B. 对于任意的a及任意不相等的实数，，都有 C. 对于任意的a，存在不相等的实数，，使得 D. 对于任意的a，存在不相等的实数，，使得 【答案】AC 【解析】 【分析】运用对数函数的单调性，即可判断A；由二次函数的单调性，即可判断B；通过函数，求出导数判断单调性，即可判断C；通过函数求出导数判断单调性，即可判断D. 【详解】对于A，由对数函数的单调性可得在R上递增，即有，则A正确； 对于B，由二次函数的单调性可得在上单调递减，在上单调递增， 则不恒成立，则B错误； 对于C，由，可得，即， 考查函数，， 对于函数，时，，， 故先单调递减后单调递增，所以C正确； 对于D，由，可得， 即 考查函数，， 当时，，此时函数单调递增，不符合要求，所以D不正确. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的展开式中含的系数等于2，则_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，由二项式展开式的通项公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为的展开式中含的系数等于2， 即，解得 故答案为： 13. 已知数列满足，，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知递推关系即可求解． 【详解】因为数列满足，， 所以， ， ， ． 故答案为： 14. 有一个邮件过滤系统，它可以根据邮件的内容和发件人等信息，判断邮件是不是垃圾邮件，并将其标记为垃圾邮件或正常邮件.对这个系统的测试具有以下结果：每封邮件被标记为垃圾邮件的概率为；邮件在被标记为垃圾邮件的条件下，它是正常邮件的概率为；邮件在被标记为正常邮件的条件下，它是垃圾邮件的概率为，则垃圾邮件被该系统成功过滤（即垃圾邮件被标记为垃圾邮件）的概率等于_____________. 【答案】 【解析】 【分析】设事件表示“正常邮件”，事件表示“标记为正常邮件”，根据题意有，，，再结合对立事件，条件概率及全概率公式求解即可. 【详解】设事件表示“正常邮件”，事件表示“标记为正常邮件”， 则，，， ，， 故， . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求的极值. 【答案】（1）； （2）当时，取得极大值；当x=0时，取得极小值0． 【解析】 【分析】（1）先求导函数再代入求出斜率结合点斜式即可写出切线方程； （2）先求出导函数再根据导数正负得出单调性即可求出极值. 【小问1详解】 由，得切点为， ， 从而切线的斜率， 故所求的切线方程为，即． 【小问2详解】 的定义域为，且， 令，得或， 当x变化时，，的变化情况如下表 x 0 ＋ 0 － 0 ＋ 单调递增 单调递减 0 单调递增 作出的图象，如图 由图可知当时，取得极大值；当x=0时，取得极小值0． 16. 某学校共1000名学生，其中男生500人，女生500人，在一次调查“体育迷”的活动中，采用分层随机抽样的方法从中抽取100人，统计得到如下等高堆积条形图. （1）求抽取的男生人数和女生人数； （2）根据已知条件完成下面的2×2列联表： 体育迷 非体育迷 合计 男生 女生 合计 （3）据小概率值的独立性检验，能否认为性别是否与体育迷有关联？ 附：，． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6635 7.789 10.828 【答案】（1）男生人数50，女生人数50； （2）答案见解析； （3）性别与体育迷有关联. 【解析】 【分析】（1）根据抽样比，计算抽取的男生和女生人数； （2）根据等高条形图的比例关系，计算男生和女生的体育迷和非体育迷的人数，填写列联表； （3）根据列联表计算，再和表中数据比较大小，即可得到结论. 【小问1详解】 根据分层抽样，得抽取的男生人数为， 抽取的女生人数为； 【小问2详解】 男生中“体育迷”的人数为， “非体育迷”的人数为20， 女生中“体育迷”的人数为， “非体育迷”的人数为30， 故2×2列联表如下： 体育迷 非体育迷 合计 男生 30 20 50 女生 20 30 50 合计 50 50 100 【小问3详解】零假设为：性别与体育迷无关联． 根据残联表中的数据，经计算得到 ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为性别与体育迷有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05． 17. 已知数列满足，. （1）证明：数列为等比数列； （2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为d的等差数列，令，求数列的前n项和. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）先把条件转化成的形式，再根据等比数列的定义进行判断. （2）先明确数列的通项公式：，再用分组求和的方法求前项和. 【小问1详解】 由，得， 整得，得， 又，所以， 故，． 所以数列是以为首项，为公比的等比数列． 故，从而． 【小问2详解】 依题意，得 所以 从而 . 18. 某城市拟建立一个艺术公园，为此对资格初审入围的两家设计公司A，B进行招标问题测试，并聘请专家制定方案如下：先从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，A公司能正确回答其中4道题目，而B公司能正确回答每道题目的概率均为.假设A公司答对题数为X，B公司答对题数为Y，A，B两家公司对每道题的回答都是相互独立，互不影响的. （1）求的概率； （2）试从期望和方差的角度分析哪家公司通过测试的可能性更大？ （3）设，求Z的分布列和数学期望. 【答案】（1）； （2）答案见解析； （3）分布列见解析，数学期望. 【解析】 【分析】（1），运用独立事件概率乘法公式计算即可； （2）分布求出随机变量的数学期望和方差，后进行比较即可； （3），得，1，2，3，与（1）方法一样分布求出概率,最后求期望即可. 【小问1详解】 因为A，B两家公司对每道题的回答都是相互独立， 所以 ， 【小问2详解】 当时，， 所以，. 又，2，3， ，，， 所以X的分布列为： X 1 2 3 P 故， ． 因为，， 所以A公司竞标成功的可能性更大． 【小问3详解】 由，得，1，2，3， 因为A，B两家公司对每道题的回答都是相互独立， 所以 . 所以Z的分布列为： Z 0 1 2 3 P 故. 19. 曼哈顿距离，也被称为出租车距离，是指在平面上，一个点沿着网格线（即沿着水平或垂直方向）移动到另一个点的最短距离.它是一种简单而有效的度量方式，广泛应用于计算机科学中的图论、机器人路径规划、以及机器学习中作为距离度量等领域.已知在平面直角坐标系xOy中，A，B的曼哈顿距离记作，点M在函数的图象上. （1）若，，且，求n； （2）已知，求的取值范围； （3）已知点，为中点，记的最大值为，求的最小值. 【答案】（1）或； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据曼哈顿距离的定义即可得到； （2）根据曼哈顿距离的定义得，再分类讨论去绝对值，然后通过导数分析在的单调性即可求解； （3）根据曼哈顿距离的定义得，去绝对值，构造函数利用导数分析单调性即可求解. 【小问1详解】 由题意，得， 从而可得，即，解得或； 【小问2详解】 设，则， ①当时，， 令，则， 所以在单调递增，从而； ②当时，则， 令，则， 所以在单调递减，从而， 综上，可得的取值范围为． 【小问3详解】 设，，K为MN的中点，则，， 所以， ， 令（），则， 所以在单调递增，故； 令（），则， 当时，，所以在单调递减； 当时，，所以在单调递增， 故； 从而 ， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为． 【点睛】根据题意曼哈顿距离的定义理解列式，再结合绝对值和导数分析函数单调性来解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$