精品解析：河南省省直辖县级行政单位济源市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年下期期末质量调研试题 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共三大题，23小题，满分120分，考试时间100分钟； 2．答题前，在答题卷规定的位置写上学校、班级、姓名、准考证号，用0.5mm黑色水笔作答，不能使用蓝色水笔，必须在答题卷的对应答题位置上答题，写在其它地方无效； 3．填涂时用2B铅笔将选项填满涂黑，修改时用橡皮擦干净； 4．保持答题卷整洁、不折叠，考试结束后，只交答题卷． 一、选择题（每小题3分，共30分） 下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的字母代号填涂在答题卡的对应位置． 1. 化简的正确结果为（ ） A. B. C. 3 D. 9 2. 将直线向上平移2个单位得到的直线是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，若，则度数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知一个直角三角形的两边长分别为、，则这个三角形的第三边长为（ ） A. 13cm B. 17cm C. D. 13cm或 5. 某校篮球队队员年龄分布如图所示，下面关于该队年龄统计数据说法正确的是（ ） A. 若年龄最大的选手离队，则方差将变小 B. 若今年和去年的球队成员完全一样，则今年方差比去年大 C. 中位数比众数小 D. 平均数比16大 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．图1~图3其作图过程． （1）作的垂直平分线交于点O； （2）连接，在的延长线上截取； （3）连接，，则四边形即为所求． 在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 8. 下面的三个问题中有两个变量： ①将喷水池中的水匀速放出，直至放完，喷水池中的剩余水量与放水时间； ②正方形的周长与它的边长； ③飞机从甲地匀速行驶到乙地，飞机的剩余路程与行驶时间． 其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ） A. ①③ B. ①②③ C. ①② D. ②③ 9. 如图，D、E、F分别是各边中点，则以下说法错误的是（ ） A. 和的面积相等 B. 四边形是平行四边形 C. 若，则四边形是菱形 D. 若，则四边形是矩形 10. 如图①，在长方形中，动点R从点N出发，沿方向运动至点M处停止，设点R运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，那么当时，点R应运动到（ ） A. 点N处 B. 点P处 C. 点Q处 D. 点M处 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是_________． 12. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，交于点，连接，若，，则的长_________． 13. 为弘扬和传承中华民族优秀传统文化，端午节当天，某校八年级二班开展了“粽叶飘香，情系端午”主题班会，全班同学共分成12个小组，动手实践包粽子．最终统计：有2个小组各包了9个粽子，8个小组各包了11个粽子，2个小组各包了13个粽子，则每个小组平均包粽子的数量为_________个． 14. 数形结合是解决数学问题常用思想方法．如图，每个小正方形网格的边长为1个单位，直线和直线相交于点，根据图象可知，方程组的解是_________． 15. 已知矩形中点在上，，点在上，且，与交于点，则_________． 二、解答题（共8道题，满分75分．其中16题10分，17—18题每题8分，19—20题每题9分，21—22题每题10分，23题11分） 16. 计算 （1） （2） 17. 2024年，中国共产党已经成立103周年、某中学为了解学生对“中国共产党历史知识”的掌握情况，从七、八两个年级各随机抽取若干名学生进行测试，将学生成绩（单位：分）分为5组（A．；B．；C．；D．；E．），并对成绩进行整理、分析，部分信息如下： 1．七年级中国共产党历史知识测试成绩扇形统计图： 2．八年级中国共产党历史知识测试成绩频数分布表： 组别 成绩（分） 频数 40 90 50 12 8 3．八年级组学生的得分情况，从第99名到第108名这10个同学成绩的数据如下： 84，80， 81，82，82，85，84，84，83，84 4．七、八年级中国共产党历史知识测试成绩的平均数、中位数、众数如下表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 80 79 80 八年级 82.5 84 根据以上信息，回答下列问题： （1）　　　　，　　　　； （2）八年级小明同学的测试成绩是82分．小红说：“小明的成绩低于平均分，所以小明的成绩低于一半学生的成绩．”你认为小红的说法正确吗？请说明理由． （3）请对该校八年级学生“中国共产党历史知识”的掌握情况作出合理的评价． 18. 在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方，，，则， 请利用“平方法”解决下面问题： （1）比较，大小，　　　　（填写，或者） （2）猜想，之间大小关系，并证明． 19. 如图甲，在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图甲所示．其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为和．整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度的关系图象如图乙所示． （1）图乙中，点对应图甲中的状态　　　　，点对应图甲中的状态　　　　，（填写图形序号），　　　　，　　　　． （2）已知弹簧测力计在状态③时显示的读数为，求圆柱体下降的高度和圆柱体浸入水中的高度． 20. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，请你借助格点，仅用无刻度的直尺按要求作图．（保留作图痕迹） （1）如图1，、的端点均在格点上，作出线段的中点； （2）如图2，的三个顶点均在格点上，作的角平分线，并证明其正确性． 21. 如图所示，在中，点O是边上一个动点，过点O作直线，设交的平分线于点E，交的外角平分线于点F． （1）求证：． （2）当点O运动到何处时，四边形是矩形？并证明你的结论； （3）在（2）的条件下，满足什么条件时，四边形是正方形，并证明你的结论． 22. 炎炎夏日，我们可以畅享水中世界的奇妙．为让大家尽享水中乐趣，释放压力，塑造健康体魄，某游泳馆推出了甲、乙两种消费卡，设游泳次数为时，所需费用为元，选择这两种卡消费时，与的函数关系如图示，解答下列问题： （1）分别求出选择这两种卡消费时，关于的函数解析式； （2）请根据游泳次数确定选择哪种卡消费比较合算． 23. 学习完《四边形》这章后，数学老师给一个问题情境让同学们探讨． 问题情境：如图1，矩形中，，，点为对角线和的交点，点为上一个动点，连接并延长交于点． （1）判断和的数量关系并证明． （2）如图2，将四边形沿方向平移得到四边形，当点与点重合时，由（1）可得点与点重合，求证：四边形是平行四边形． （3）如图3，当点在直线上运动时，若直线交直线于点，连接，将沿折叠，点的对应点为点，连接，得到，当时，请直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年下期期末质量调研试题 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共三大题，23小题，满分120分，考试时间100分钟； 2．答题前，在答题卷规定的位置写上学校、班级、姓名、准考证号，用0.5mm黑色水笔作答，不能使用蓝色水笔，必须在答题卷的对应答题位置上答题，写在其它地方无效； 3．填涂时用2B铅笔将选项填满涂黑，修改时用橡皮擦干净； 4．保持答题卷整洁、不折叠，考试结束后，只交答题卷． 一、选择题（每小题3分，共30分） 下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的字母代号填涂在答题卡的对应位置． 1. 化简的正确结果为（ ） A. B. C. 3 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，进行求解即可． 【详解】解：； 故选C． 2. 将直线向上平移2个单位得到的直线是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据平移规则，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：将直线向上平移2个单位得到的直线是； 故选D． 3. 在中，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 4. 已知一个直角三角形的两边长分别为、，则这个三角形的第三边长为（ ） A. 13cm B. 17cm C. D. 13cm或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，分为直角边和斜边两种情况进行求解即可． 【详解】解：当为直角边时，第三边长为； 当为斜边时，第三边长为； 故选D． 5. 某校篮球队队员年龄分布如图所示，下面关于该队年龄统计数据说法正确的是（ ） A. 若年龄最大的选手离队，则方差将变小 B. 若今年和去年的球队成员完全一样，则今年方差比去年大 C. 中位数比众数小 D. 平均数比16大 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求方差，平均数，众数和中位数，熟知相关定义是解题的关键． 根据方差，平均数，众数和中位数的定义进行求解判断即可． 【详解】解：平均数为，故D不符合题意； ∵一共有（人）， ∴把年龄按照从小到大排列，中位数为第11名和第12名年龄的平均数，即中位数为， ∵年龄为15的人数最多， ∴众数为15， ∴中位数与众数相等，故C不符合题意； ∵去年的所有成员都比今年对应成员小一岁， ∴去年的平均数为14岁， ∴去年的方差为今年的方差为， ∴今年方差跟去年方差相同，故B不符合题意； 年龄最大的选手离队，则方差为， ∴方差变小了，故A符合题意； 故选A． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的加减法则，进行计算后，判断即可． 【详解】解：A、不是同类二次根式，不能合并，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算正确，符合题意； 故选D． 7. 综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．图1~图3是其作图过程． （1）作的垂直平分线交于点O； （2）连接，在的延长线上截取； （3）连接，，则四边形即为所求． 在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据作图步骤可知，得出了对角线互相平分，从而可以判断． 【详解】解：根据图1，得出的中点，图2，得出， 可知使得对角线互相平分，从而得出四边形为平行四边形， 判定四边形ABCD为平行四边形的条件是：对角线互相平分， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判断，解题的关键是掌握基本的作图方法及平行四边形的判定定理． 8. 下面的三个问题中有两个变量： ①将喷水池中水匀速放出，直至放完，喷水池中的剩余水量与放水时间； ②正方形的周长与它的边长； ③飞机从甲地匀速行驶到乙地，飞机的剩余路程与行驶时间． 其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ） A. ①③ B. ①②③ C. ①② D. ②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图象中获取信息，结合各个选项，逐一进行分析即可． 【详解】解：将喷水池中的水匀速放出，直至放完，喷水池中的剩余水量随放水时间的增大而减小，故①符合题意； 正方形的周长随着它的边长的增大而增大，故②不符合题意； 飞机从甲地匀速行驶到乙地，飞机的剩余路程随着行驶时间的增大而减小，故③符合题意； 故选A． 9. 如图，D、E、F分别是各边中点，则以下说法错误的是（ ） A. 和的面积相等 B. 四边形是平行四边形 C. 若，则四边形是菱形 D. 若，则四边形是矩形 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位线的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形、菱形、矩形的判定定理逐一判断各个选项，即可得到答案． 【详解】解： ∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点， ∴DE、DF为△ABC得中位线， ∴ED∥AC，且ED＝AC＝AF；同理DF∥AB，且DF＝AB＝AE， ∴四边形AEDF一定是平行四边形，故B正确； ∴， ∴， ， ∴和的面积相等，故A正确； ∵， ∴DF＝AB=AE， ∴四边形不一定是菱形，故C错误； ∵∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形，故D正确； 故选：C． 【点睛】本题考查三角形中位线性质定理和平行四边形、矩形、菱形的判定定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握上述性质定理和判定定理是解题的关键． 10. 如图①，在长方形中，动点R从点N出发，沿方向运动至点M处停止，设点R运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，那么当时，点R应运动到（ ） A. 点N处 B. 点P处 C. 点Q处 D. 点M处 【答案】C 【解析】 【分析】注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决． 【详解】解：当点R运动到PQ上时，△MNR的面积y达到最大，且保持一段时间不变； 到Q点以后，面积y开始减小； 故当x=9时，点R应运动到Q处． 故选：C． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象问题，有一定难度，注意要仔细分析． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键．根据题中二次根式的被开方数为非负数列出不等式求解即可得到答案． 【详解】解：∵要使二次根式有意义 ∴ 解得： 故答案为：． 12. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，交于点，连接，若，，则的长_________． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形的性质得，，，进而由直角三角形斜边上的中线性质得，则，再由勾股定理得，然后由菱形等面积法求出的长即可． 【详解】解：在菱形中，，， ， ∴在中，， ， 又，， 则， 又， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 13. 为弘扬和传承中华民族优秀传统文化，端午节当天，某校八年级二班开展了“粽叶飘香，情系端午”主题班会，全班同学共分成12个小组，动手实践包粽子．最终统计：有2个小组各包了9个粽子，8个小组各包了11个粽子，2个小组各包了13个粽子，则每个小组平均包粽子的数量为_________个． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查求加权平均数，根据加权平均数的计算方法进行求解即可． 【详解】解：（个）； 故答案为：11． 14. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，每个小正方形网格的边长为1个单位，直线和直线相交于点，根据图象可知，方程组的解是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，根据两条直线的交点的横纵坐标即为由两条直线对应组成的方程组的解，即可得出结果． 【详解】解：由图象可知，点， ∴方程组的解是； 故答案为：． 15. 已知矩形中点在上，，点在上，且，与交于点，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和勾股定理等知识，关键是设出相等边，利用勾股定理表示出所求边．设，利用勾股定理分别表示出与的值即可解答． 【详解】解：设， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在和中，由勾股定理得， ，， ∴ 故答案为：． 二、解答题（共8道题，满分75分．其中16题10分，17—18题每题8分，19—20题每题9分，21—22题每题10分，23题11分） 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握二次根式的运算法则，是解题的关键： （1）先化简各数，去括号后，进行合并即可； （2）先进行乘法运算，去绝对值运算，利用二次根式的性质进行化简，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 小问2详解】 原式 ． 17. 2024年，中国共产党已经成立103周年、某中学为了解学生对“中国共产党历史知识”的掌握情况，从七、八两个年级各随机抽取若干名学生进行测试，将学生成绩（单位：分）分为5组（A．；B．；C．；D．；E．），并对成绩进行整理、分析，部分信息如下： 1．七年级中国共产党历史知识测试成绩扇形统计图： 2．八年级中国共产党历史知识测试成绩频数分布表： 组别 成绩（分） 频数 40 90 50 12 8 3．八年级组学生的得分情况，从第99名到第108名这10个同学成绩的数据如下： 84，80， 81，82，82，85，84，84，83，84 4．七、八年级中国共产党历史知识测试成绩的平均数、中位数、众数如下表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 80 79 80 八年级 82.5 84 根据以上信息，回答下列问题： （1）　　　　，　　　　； （2）八年级小明同学的测试成绩是82分．小红说：“小明的成绩低于平均分，所以小明的成绩低于一半学生的成绩．”你认为小红的说法正确吗？请说明理由． （3）请对该校八年级学生“中国共产党历史知识”的掌握情况作出合理的评价． 【答案】（1） （2）小红的说法不正确，理由见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查统计图表，求中位数，利用中位数作判断： （1）利用1减去其他组的百分比，求出的值，利用中位数的计算方法，进行求解即可； （2）根据中位数作判断即可； （3）求出80分以上的人数所占的比例，进行说明即可． 【小问1详解】 解：， ∴， 八年级抽查的人数为：， 将数据排序后，第100和第101个数据为：， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 小红的说法不正确，理由如下： 由（1）知，八年级的中位数为：， ∵分， ∴小明的成绩高于一半学生的成绩； 【小问3详解】 八年级的测试成绩不低于80分的人数所占的比例为：，所以该校八年级学生“中国共产党历史知识”的掌握情况较好．（答案不唯一，合理即可）． 18. 在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方，，，则， 请利用“平方法”解决下面问题： （1）比较，大小，　　　　（填写，或者） （2）猜想，之间的大小关系，并证明． 【答案】（1） （2），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查二次根式比较大小，二次根式的性质和运算，完全平方公式，掌握平方法比较大小，是解题的关键： （1）利用平方法比较大小即可； （2）利用平方法进行比较即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∵， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：猜想，理由如下： ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 19. 如图甲，在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图甲所示．其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为和．整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度的关系图象如图乙所示． （1）图乙中，点对应图甲中的状态　　　　，点对应图甲中的状态　　　　，（填写图形序号），　　　　，　　　　． （2）已知弹簧测力计在状态③时显示的读数为，求圆柱体下降的高度和圆柱体浸入水中的高度． 【答案】（1）②，④， （2）圆柱体下降的高度为，圆柱体浸入水中的高度为 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）根据图象获取信息，作答即可； （2）求出段的解析式，再进行求解即可． 【小问1详解】 解：由图象可知，点表示圆柱体的下表面刚与水面平齐，即对应图甲中的状态②，点表示圆柱体，恰好完全浸没在水中，对应图甲中的状态④， ∴； 故答案为：②，④，； 【小问2详解】 设线段段对应的函数解析式为：， 把，代入，得： ，解得：， ∴， 当N时，，解得：， ∴圆柱体下降的高度为，圆柱体浸入水中的高度为． 20. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，请你借助格点，仅用无刻度的直尺按要求作图．（保留作图痕迹） （1）如图1，、的端点均在格点上，作出线段的中点； （2）如图2，的三个顶点均在格点上，作的角平分线，并证明其正确性． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质： （1）根据矩形对角线相等且互相平分，即可作出的中点； （2）根据等腰三角形三线合一以及矩形的性质，即可作出的角平分线． 【小问1详解】 解：如图所示，点即为所求； 【小问2详解】 如图，即为所求； 由勾股定理，得：， ∴为等腰三角形， 由图可知：为的中点， ∴是的角平分线． 21. 如图所示，在中，点O是边上一个动点，过点O作直线，设交的平分线于点E，交的外角平分线于点F． （1）求证：． （2）当点O运动到何处时，四边形是矩形？并证明你的结论； （3）在（2）的条件下，满足什么条件时，四边形是正方形，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析 （2）当点O运动到的中点时，四边形是矩形； （3）满足的直角三角形时，四边形是正方形． 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义得出，，得出，同理得出，即可得出结论； （2）先证明四边形是平行四边形，再由对角线相等，即可得出结论； （3）当点O运动到的中点时，且满足的直角三角形时，四边形是正方形．由（2）知，当点O运动到的中点时，四边形是矩形，由平行线的性质得出，得出，即可证明． 【小问1详解】 解： ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴； 【小问2详解】 解：当点O运动到的中点时，四边形是矩形． ∵当点O运动到的中点时，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 由（1）可知，， ∴， ∴，即， ∴四边形是矩形； 【小问3详解】 解：当点O运动到中点时，且满足的直角三角形时，四边形是正方形． ∵由（2）知，当点O运动到的中点时，四边形是矩形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定、矩形的判定、正方形的判定定理；熟练掌握平行线的性质和矩形、菱形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键． 22. 炎炎夏日，我们可以畅享水中世界的奇妙．为让大家尽享水中乐趣，释放压力，塑造健康体魄，某游泳馆推出了甲、乙两种消费卡，设游泳次数为时，所需费用为元，选择这两种卡消费时，与的函数关系如图示，解答下列问题： （1）分别求出选择这两种卡消费时，关于的函数解析式； （2）请根据游泳次数确定选择哪种卡消费比较合算． 【答案】（1）甲卡：；乙卡： （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据图象可知，甲为正比例函数，乙为一次函数，设出相应的函数解析式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出两直线的交点坐标，图象法进行分析即可． 【小问1详解】 解：设甲的函数解析式为：， 把代入，得：， ∴； 设乙的函数解析式为：， 把，代入，得： ，解得：， ； 【小问2详解】 联立，解得：， ∴两条直线的交点坐标为， 由图象可知：当时，选择两种卡的消费费用相同， 当时，甲的图象在下方，选择甲卡消费，较合算； 当时，乙的图象在下方，选择乙卡消费，较合算． 23. 学习完《四边形》这章后，数学老师给一个问题情境让同学们探讨． 问题情境：如图1，矩形中，，，点为对角线和的交点，点为上一个动点，连接并延长交于点． （1）判断和的数量关系并证明． （2）如图2，将四边形沿方向平移得到四边形，当点与点重合时，由（1）可得点与点重合，求证：四边形是平行四边形． （3）如图3，当点在直线上运动时，若直线交直线于点，连接，将沿折叠，点的对应点为点，连接，得到，当时，请直接写出线段的长度． 【答案】（1），证明见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性质，证明，即可得出结论； （2）由平移性质可得，再由，即可证明四边形是平行四边形； （3）当时，此时点Q落在上，根据折叠的性质，勾股定理求出的长，进而求出的长，设，则，在中，由勾股定理，进行求解即可． 【小问1详解】 解：，证明如下： ∵矩形， ∴，， ∴． 又∵，， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：由平移的性质可得， 由（1）知：，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问3详解】 当时，此时点Q落在上，如图： ∵折叠， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查矩形与折叠，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平移的性质，平行四边形的判定等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$