精品解析：辽宁省大连市沙河口区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

沙河口区2023~2024学年度第二学期期末质量检测 七年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间共120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数，零的相反数是零”，由此即可求解． 【详解】解：的相反数是， 故选：． 【点睛】本题主要考查相反数的定义，掌握以上知识是解题的关键． 2. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据点的横纵坐标的符号可得所在象限． 【详解】解：∵点P的横坐标是负数，纵坐标是正数， ∴点在第二象限， 故选：B． 【点睛】本题主要考查点的坐标，熟练掌握各象限内点的坐标的特点是解本题的关键，第一、二、三、四象限内的点的坐标符号分别是、、、． 3. 以下调查中，适宜抽样调查的是（ ） A. 了解某班学生喜爱的体育运动项目的情况 B. 合唱节前，某班计划购买服装，统计同学们的服装尺寸大小 C. 了解某地区饮用水矿物质含量的情况 D. 旅客上飞机前的安全检查 【答案】C 【解析】 【分析】根据抽样调查和全面调查的使用范围依次判断即可． 【详解】解：A. 了解某班学生喜爱的体育运动项目的情况，调查范围小，适用全面调查，故A不符合题意； B. 合唱节前，某班计划购买服装，统计同学们的服装尺寸大小，调查结果重要，适用全面调查，故B不符合题意； C. 了解某地区饮用水矿物质含量的情况，适用抽样调查，故C符合题意； D. 旅客上飞机前的安全检查，调查结果重要，适用全面调查，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查抽样调查和全面调查的区别，理解抽样调查和全面调查的使用范围是解题的关键． 4. 如图，过点P作线段的垂线，垂足在（ ） A. 线段上 B. 线段的延长线上 C. 线段的反向延长线上 D. 直线外 【答案】B 【解析】 【分析】根据作垂线后垂足位置直接判断即可． 【详解】解:如图所示，垂足在线段的延长线上； 故选：B． 【点睛】本题考查了对线段的延长线和反向延长线等概念的认识，涉及到了作垂线，解题关键是掌握相关概念． 5. 若，则下列各式中正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质进行判断． 【详解】解：A、在不等式m＞n的两边同时加上2，不等号方向不变，即m+2＞n+2，故本选项不符合题意． B、在不等式m＞n的两边同时减去3，不等号方向不变，即m-3＞n-3，故本选项不符合题意． C、在不等式m＞n的两边同时乘-5，不等号方向改变，即-5m＜-5n，故本选项符合题意． D、在不等式m＞n的两边同时除以6，不等号方向不变，即，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了不等式，熟练掌握不等式的性质是解答本题的关键．运用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 6. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 如果两个角相等，那么它们是对顶角 B 两直线平行，内错角相等 C. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握对顶角的性质、平行线的判定及性质、平行公理、垂直公理等知识是解答此题的关键．据对顶角的性质、平行线的判定及性质、平行公理、垂直公理等知识逐项判定即可． 【详解】解：A：相等的角指的是大小相等的角；对顶角是如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角就是对顶角；可见，对顶角一定是相等的角，而相等的角未必是对顶角，故选项A是假命题； B：两直线平行，内错角相等，故选项B是真命题； C：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故选项C是假命题； D：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故选项D是假命题． 故选：B． 7. 如图，，点在上，过点作的垂线与相交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由垂直可得，再由平行线的性质可得，从而可求的度数． 【详解】解：∵过点作的垂线与相交于点， ， ，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用． 8. 如图，下列条件中，能判断，的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，由此即可判断． 【详解】解：A、与不是内错角，也不是同位角，不能判断，故A不符合题意； B、，能判定，故B不符合题意； C、，能判定，故C符合题意； D、，能判定，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法． 9. 一副含角和角的直角三角板如图摆放，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质．根据三角形外角的性质，可得，即可． 【详解】解：如图，根据题意得：， ∴． 故选：C 10. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子来量竿，却比竿子短一托．”其大意为，现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，根据题意，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设绳索长y尺，竿长x尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设绳索长y尺，竿长x尺， 根据题意得： ． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据算术平方根的平方等于被开方数，即可得到答案． 【详解】解：， ， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的平方等于被开方数，是解题的关键． 12. 将方程变形为用含的式子表示，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先两边同时减去，再两边同时除以，即可得到答案． 【详解】解：两边同时减去得，， 两边同时除以得，， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了等式的基本性质的应用，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． 13. 一个n边形的内角和是，那么__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案：6． 14. 如图所示的是一个关于的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示，则此不等式组的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据数轴表示的不等式解集求解即可． 【详解】解：根据数轴的意义，得不等式的解集为， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了用数轴表示不等式组的解集，熟知数轴与不等式解集的关系式解题的关键． 15. 如图，在中，，将线段沿线段平移得到线段（点与点对应，且不与点重合），连接和的平分线相交于点．若，则的度数是________．（用含的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质及判定，角平分线的定义，熟练掌握平移的性质是解题的关键。如图，过点作由平移的性质得进而得，，，再根据角平分线的性质即可得解． 【详解】解：如图，过点作 ∵将线段沿线段平移得到线段 ∴ ∴， ∴，， ∵和平分线相交于点． ∴ ∴． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算： （2）解方程组 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查了实数混合运算和解二元一次方程组，熟练掌握实数的运算法则和加减消元法是解题的关键． （1）先计算根式、化简绝对值后， 再进行实数混合运算即可； （2）利用加减法解二元一次方程组即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2） 得：， 则， 把代入①得：， 则， 原方程组的解为． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，点 （1）在平面直角坐标系中描出各点，并画出． （2）求的面积； （3）将先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，请在图中画出，并写出点的坐标． 【答案】（1）作图见解析； （2）； （3）作图见解析，，点，点． 【解析】 【分析】（）根据点的坐标描出各点，再连线即可画出图形； （）利用割补法解答即可求解； （）根据平移的性质作图即可，再根据平移后的图形可写出点的坐标； 本题考查了坐标与图形，三角形的面积，平移作图，掌握平移的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：， 的面积为； 【小问3详解】 解：如图所示，即为所求，由图可得，点，点，点． 18. 为提高学生的环保意识，某校举行了“爱护环境，从我做起”环保知识竞赛活动，该校有2000名学生，从中随机抽取部分学生进行测试（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）．并对测试成绩进行整理与描述，绘制不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图．根据以上信息，解答下列问题： 成绩分组（x/分） 频数（人） 90 20 （1）本次竞赛共抽取了多少名学生参赛？ （2）求m，n的值； （3）若竞赛成绩80分以上（含80分）为优秀，请你通过样本估计总体中优秀大约有多少名学生？ 【答案】（1）本次竞赛共抽取了200名学生参赛 （2）， （3）估计该校中2000名学生中成绩为优秀的人数约有700名学生 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体是解答本题的关键． （1）由直方图和扇形统计图可知，的人数为90，占比，根据样本总数等于频数除以频率即可得到答案； （2）由扇形统计图可知，的百分比为，根据频数等于样本总数乘以频率可得到，再根据各组人数之和等于总人数求出； （3）用总人数乘以样本中80分以上（含80分）的人数所占比例即可得． 【小问1详解】 解：（人）； 答：本次竞赛共抽取了200名学生参赛． 【小问2详解】 解： ， ， 故答案为：，． 【小问3详解】 解：（名）； 答：估计该校中2000名学生中成绩为优秀的人数约有700名学生． 19. 大连大樱桃久负盛名，李伯伯为了丰富自家大樱桃的品种，计划购买美早和黄水晶两个品种的树苗，经了解，棵美早树苗和棵黄水晶树苗共需元；棵美早树苗和棵黄水晶树苗共需元． （1）求这两种树苗的单价各多少元？ （2）为了错峰成熟，尽量达到供需平衡，李伯伯欲购买的美早树苗比黄水晶多棵，总费用不超过元，最多可以购买美早树苗多少棵？ 【答案】（1）美早树苗单价为元，黄水晶树苗单价为元 （2）最多可以购买美早树苗棵 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式，解题的关键是根据题意找到等量关系和不等关系，列出方程组和不等式，即可求解． （）设美早树苗单价为元，黄水晶树苗单价为元，根据棵美早树苗和棵黄水晶树苗共需元；棵美早树苗和棵黄水晶树苗共需元的等量关系，列出二元一次方程组，即可求解； （）设购买美早树苗棵，则购买黄水晶树苗棵，根据总费用不超过元的不等关系，列出一元一次不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：设美早树苗单价为元，黄水晶树苗单价为元， 由题意得 解得： 答：美早树苗单价为元，黄水晶树苗单价为元； 【小问2详解】 设购买美早树苗棵，则购买黄水晶树苗棵， 依题意，得：， 解得：． 由为正整数，得， 答：最多可以购买美早树苗棵． 20. （1）完成下面的证明． 已知：如图1，直线被直线所截，． 求证：． 证明：， ________（________）． ， ________（________）． ． （2）如图2，在中，是边上的高，平分，若，，求的度数． 【答案】（1）；同位角相等，两直线平行；；同位角相等，两直线平行；（2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，三角形内角和定理的应用，角平分线的定义； （1）根据平行线的性质与判定定理，补充证明过程； （2）根据三角形的高的定义，三角形的内角和定理可得，进而根据角平分线的定义，得出，进而根据，即可求解． 【详解】（1）证明：， （同旁内角互补，两直线平行）． ， （同位角相等，两直线平行）． ． （2）在中，为高，， 在中， 平分 21. 在中，是的角平分线，点在射线上，． （1）如图1，当点在上，若，求的度数； （2）当点在的延长线上，请在图2中补全图形，猜想与的数量关系并证明． 【答案】（1） （2）；证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，角平分线定义，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和为． （1）先求出，根据三角形内角和定理得出，根据角平分线定义得出，根据三角形内角和定理求出； （2）在中，设，根据三角形内角和定理得出，根据角平分线定义得出，根据三角形内角和定理得出． 【小问1详解】 解：， ， 在中，， ， 是的角平分线， ， 在中，； 【小问2详解】 解：，理由如下： ， ， 在中，设， ， 是的角平分线， ， 在与中， ， ， ， 即， ． 22. 如图，两面镜子相交于点，当从固定点发出的水平光线经过镜子反射时，． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，当两面镜子的夹角为锐角时，反射光线垂直镜面，光线与镜面平行（原题条件可以看成），求的度数； （3）改变两面镜子的夹角，保持反射光线垂直镜面，记与所夹锐角为与所夹锐角为，直线与直线所夹锐角等于； ①如图3，当为锐角时，求的度数； ②当为钝角时，请直接写出的度数． 【答案】（1） （2） （3）①，；② 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，三角形内角和定理， （1）首先得到，然后根据平行线的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可； （2）设，表示出，然后在中，根据两锐角互余得到，进而求解即可； （3）①设，根据题意得到①，②，联立求解即可； ②与①同理的方法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， ， 在中，； 【小问2详解】 解：设， ， ， ， ； ， ， 在中，， ， ． 【小问3详解】 解：①如图3，设，则， ， ， ， ， 即①， ， ， ， 又， 即②， 由①，②解得：， ，． ②与①同理可得，． 23. 平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，其中为常数，则称点是点的阶关联点．例如：若点的坐标为，则点的3阶关联点是，即点坐标为． （1）若点的坐标为，求点的4阶关联点的坐标； （2）若点的坐标为，点的阶关联点的坐标是，求的值； （3）如图，点坐标为是点的阶关联点，点在轴上，若的面积是2，求点的坐标； （4）已知点，点为线段上的动点，点的1阶关联点为点，点的阶关联点为点；当点在线段上运动时，若的面积是四边形面积的一半，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或， （4）点坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，坐标与图形， 二元一次方程组的应用，算术平方根； （1）根据新定义即可求解； （2）根据新定义得出关于的二元一次方程组，解方程组，即可求解； （3）根据新定义得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （4）根据新定义可得，，根据的面积是四边形面积的一半，分点在的左侧和右侧两种情况分别求解，即可． 【小问1详解】 解：∵点的坐标为， ∴， 即． 小问2详解】 解：依题意，点的坐标为，点的阶关联点的坐标是， ∴， 解得：．． 【小问3详解】 解：由题意得， 解得： 设， ， ， 解得：或， 或， 【小问4详解】 解：∵点，点为线段上的动点， ∴设， ∵点的1阶关联点为点，点的阶关联点为点； ∴，， ∵， ∴在的右侧，在上方，在下方 如图所示，过点作轴，过点作交的延长线与点，垂足为，连接， ∴四边形的面积为 ∵的面积是四边形面积的一半， ∴ 又∵ ∴ 解得：（负值舍去） 如图所示，当在的右侧时，同理可得 ∴ 解得：（负值舍去） ∴点坐标为或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 沙河口区2023~2024学年度第二学期期末质量检测 七年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间共120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 以下调查中，适宜抽样调查的是（ ） A. 了解某班学生喜爱的体育运动项目的情况 B. 合唱节前，某班计划购买服装，统计同学们的服装尺寸大小 C. 了解某地区饮用水矿物质含量的情况 D. 旅客上飞机前的安全检查 4. 如图，过点P作线段垂线，垂足在（ ） A. 线段上 B. 线段的延长线上 C. 线段的反向延长线上 D. 直线外 5. 若，则下列各式中正确的是( ) A. B. C. D. 6. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 如果两个角相等，那么它们是对顶角 B. 两直线平行，内错角相等 C. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 7. 如图，，点在上，过点作的垂线与相交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，下列条件中，能判断，的是（　　） A. B. C. D. 9. 一副含角和角的直角三角板如图摆放，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子来量竿，却比竿子短一托．”其大意为，现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，根据题意，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若，则______． 12. 将方程变形为用含的式子表示，则________． 13. 一个n边形内角和是，那么__________． 14. 如图所示的是一个关于的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示，则此不等式组的解集是________． 15. 如图，在中，，将线段沿线段平移得到线段（点与点对应，且不与点重合），连接和的平分线相交于点．若，则的度数是________．（用含的式子表示） 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算： （2）解方程组 17. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，点 （1）在平面直角坐标系中描出各点，并画出． （2）求的面积； （3）将先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，请在图中画出，并写出点的坐标． 18. 为提高学生的环保意识，某校举行了“爱护环境，从我做起”环保知识竞赛活动，该校有2000名学生，从中随机抽取部分学生进行测试（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）．并对测试成绩进行整理与描述，绘制不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图．根据以上信息，解答下列问题： 成绩分组（x/分） 频数（人） 90 20 （1）本次竞赛共抽取了多少名学生参赛？ （2）求m，n的值； （3）若竞赛成绩80分以上（含80分）优秀，请你通过样本估计总体中优秀大约有多少名学生？ 19. 大连大樱桃久负盛名，李伯伯为了丰富自家大樱桃的品种，计划购买美早和黄水晶两个品种的树苗，经了解，棵美早树苗和棵黄水晶树苗共需元；棵美早树苗和棵黄水晶树苗共需元． （1）求这两种树苗的单价各多少元？ （2）为了错峰成熟，尽量达到供需平衡，李伯伯欲购买的美早树苗比黄水晶多棵，总费用不超过元，最多可以购买美早树苗多少棵？ 20. （1）完成下面的证明． 已知：如图1，直线被直线所截，． 求证：． 证明：， ________（________）． ， ________（________）． ． （2）如图2，在中，是边上的高，平分，若，，求的度数． 21. 在中，是的角平分线，点在射线上，． （1）如图1，当点在上，若，求的度数； （2）当点在的延长线上，请在图2中补全图形，猜想与的数量关系并证明． 22. 如图，两面镜子相交于点，当从固定点发出的水平光线经过镜子反射时，． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，当两面镜子的夹角为锐角时，反射光线垂直镜面，光线与镜面平行（原题条件可以看成），求的度数； （3）改变两面镜子的夹角，保持反射光线垂直镜面，记与所夹锐角为与所夹锐角为，直线与直线所夹锐角等于； ①如图3，当为锐角时，求的度数； ②当为钝角时，请直接写出的度数． 23. 平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，其中为常数，则称点是点的阶关联点．例如：若点的坐标为，则点的3阶关联点是，即点坐标为． （1）若点的坐标为，求点的4阶关联点的坐标； （2）若点坐标为，点的阶关联点的坐标是，求的值； （3）如图，点坐标为是点的阶关联点，点在轴上，若的面积是2，求点的坐标； （4）已知点，点为线段上动点，点的1阶关联点为点，点的阶关联点为点；当点在线段上运动时，若的面积是四边形面积的一半，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$