精品解析：河南省三门峡市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

八年级数学试题卷 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，答题前，同学们务必先将自己的学校、班级、姓名、考场号、座号，以及准考证号写在试题卷和答题卡第一页的指定位置． 2．答题时，同学们一定要按要求把答案写在答题卡上，答案写在试题卷上无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 二次根式有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 2. 2024年2月26日，中国航天科技集团有限公司发布的《中国航天科技活动蓝皮书（2023年）》指出：2024年中国航天全年预计实施100次左右发射任务．有望创造新的纪录．小美上网查阅了解到2017-2023年中国航天年发射次数依次是：18，39，34，39，55，64，67，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A 34和34 B. 39和39 C. 39和55 D. 18和67 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平行四边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 一次函数的图象不经过的象限是（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 如图，甲乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动，图中，分别表示甲乙两人前往目的地所行驶的路程与时间的关系．根据图象判断下列说法错误的是（ ） A. 甲比乙早出发 B. 甲行驶的路程s与时间t的函数关系式为 C. 甲的速度是，乙的速度是 D 乙出发后两人相遇，这时他们离学校 7. 已知和是直线上的两点，当时，则k满足的条件为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成．在一次数学实践活动中，某数学小组制作了“赵爽弦图”，其中，阴影部分的面积是49，，则大正方形的边长是（ ） A 10 B. 11 C. 12 D. 13 9. 如图．菱形的顶点A在x轴上，于点D，将菱形沿所在直线折叠，点B的对应点为．若，点的横坐标为4，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C为直线l上一点，且纵坐标为3，点D为的中点，点P为上一动点，当最小时，点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 12. 将一次函数的图象沿y轴向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是______． 13. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，的长为，则的长为______． 14. 如图，在中，，边在数轴上，且，，若以点B为圆心，以的长为半径画弧，交数轴于点P，则点P表示的数为______． 15. 综合与实践活动课上，老师让同学们以“折纸做、、的角”为主题开展数学活动．如图，某小组准备了一张正方形纸片，将其对折，使对折的两部分完全重合，得到折痕，展开后再沿折叠，使点A正好落在上，延长，与交于点M，连接．这个小组得到以下结论：①；②；③；④；⑤．你认为正确有______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 下面是小美同学进行二次根式运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务． ………第一步 ………第二步 ………第三步 任务： （1）原式中的二次根式、、、、中，是最简二次根式的是______； （2）第______步开始出错，错误的原因是______； （3）第一步中，去括号的依据是______； （4）请写出正确的计算过程． 17. 2024年5月29日，国务院印发的《2024-2025年节能降碳行动方案》提到加快淘汰老旧机动车，提高营运车辆能耗限值准入标准，逐步取消各地新能源汽车购买限制，并落实便利新能源汽车通行等支持政策，随着绿色出行、节能减排、低碳环保的理念不断深入人心，新能源汽车也越来越受到人们的青睐．小美家计划购买一辆新能源汽车，通过初步了解，看中了售价一样的A、B两款汽车．为了选出更理想的汽车，小美一家三口分工进行了相关数据收集． a．信息一：小美的爸爸根据汽车鉴定机构发布的数据对这两款车的续航里程、百公里加速、智能化水平三项性能进行了评分（满分100分），如下表： 款型 续航里程（分） 百公里加速（分） 智能化水平（分） A 82 90 100 B 80 100 98 续航里程、百公里加速、智能化水平三项比例为，按此权重计算两款汽车的综合得分． b．信息二：小美的妈妈收集了10位网友对这两款车的评价得分（满分10分），数据由小美负责整理、描述、分析如下： *网友评价得分： A款：5 5 6 6 6 7 8 9 9 10 B款：4 6 6 7 7 7 8 8 9 9 *网友评价得分统计表： 款型 平均数 中位数 方差 A 7.1 m 2.89 B 7.1 7 2.09 根据以上信息，解答下列问题： （1）根据“信息一”提供的信息，分别计算A、B两款汽车的综合得分； （2）表格中______； （3）你认为小美家会选择购买哪一款汽车，说说你的理由（说出一条理由即可）． 18. 如图，四边形是平行四边形． （1）若平分，与交于点E，，，则平行四边形的周长为______； （2）在（1）的条件下，过点E作，与交于点F，试判断四边形的形状并说明理由． 19. 《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究．研究小组每记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为）．通过记录实验数据得知箭尺读数 和供水时间 近似满足一次函数的关系，当时，；当时，． （1）如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数．画出时的函数图象； （2）求出这个函数表达式； （3）如果本次实验的开始时间是上午．那么到下午时，箭尺读数增加了多少？ 20 阅读材料： 勾股定理本身就是一个关于a、b、c的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组，关于勾股数组的研究我国历史上有非常辉煌的成就，根据《周髀算经》记载，在约公元前1100年，人们就已经知道“勾广三、股修四、径隅五”（古人把较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，而斜边则为弦），即知道了勾股数组．类似地，还可以得到下列勾股数组：，，，…，等等，这些数组也叫做毕达哥拉斯勾股数组，上述勾股数组的规律，可以用下面表格直观表示： 勾股数组 各数组的和 和的另一表示法 和与最小数的差 股 弦 3，4，5 12 5，12，13 30 7，24，25 56 观察分析上述勾股数组，可以看出它们具有如下特点： 特点1：最小的勾股数的平方等于另两个勾股数的和； 特点2：______． … 回答问题： （1）请你再写出上述勾股数组的一个特点：______； （2）如果n表示比1大的奇数，则上述勾股数组可以表示为； （3）请你证明（2）中的三个式子是勾股数组． 21. 大营麻花是河南三门峡大营村特色传统名吃，始于清朝，距今已有数百年的历史．具有“脆、酥、香”的绝佳口感，是待客、走亲访友的佳品．2024年3月26日-28日，韩国东豆川市青少年友好交流团到三门峡进行交流访问活动．小美计划买一些大营麻花作为特色食品招待来家做客的外国朋友，据市场调研了解，3根传统咸味麻花和2根巧克力麻花共11元；2根传统咸味麻花和3根巧克力麻花共11.5元． （1）求传统咸味麻花和巧克力麻花的单价； （2）若小美计划购买传统咸味麻花和巧克力麻花共100根，且巧克力麻花的购买数量不少于传统成味麻花购买数量的．经过与商家沟通．传统咸味麻花可打九折．如何购买才能使花费最少？最少的费用为多少元？ 22. 在学习矩形的性质时，对于“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质的证明，聪明的小美同学想到了两种方法，如下表： 已知：如图，在中，，点O是边的中点．求证：． 方法一：倍长中线法． 证明：如图，延长至点D，使，连接、． …… 方法二：构造中位线法． 证明．如图，取的中点D，连接． …… 请你选择其中的一种方法，完成对这条性质的证明． 23. 如图，点C在线段上，是等边三角形，四边形是正方形． （1）求的度数； （2）点P是线段上的一个动点，连接、．若，．求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学试题卷 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，答题前，同学们务必先将自己的学校、班级、姓名、考场号、座号，以及准考证号写在试题卷和答题卡第一页的指定位置． 2．答题时，同学们一定要按要求把答案写在答题卡上，答案写在试题卷上无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 二次根式有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握要使二次根式有意义，其被开方数应为非负数．根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出其取值范围即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得，， 故选：C． 2. 2024年2月26日，中国航天科技集团有限公司发布的《中国航天科技活动蓝皮书（2023年）》指出：2024年中国航天全年预计实施100次左右发射任务．有望创造新的纪录．小美上网查阅了解到2017-2023年中国航天年发射次数依次是：18，39，34，39，55，64，67，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 34和34 B. 39和39 C. 39和55 D. 18和67 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中位数与众数的含义，直接根据中位数与众数的定义求解即可； 【详解】解：18，39，34，39，55，64，67，出现次数最多的数据是39； ∴这组数据的众数是39； 把数据排序为：18， 34，39，39，55，64，67， ∴中位数为39； 故选B 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的四则运算，掌握相关运算法则是解题关键．根据二次根式的加、减、除、乘运算法则逐一计算即可． 【详解】解：A、和不同类项，不能合并，原计算错误； B、，原计算错误； C、，原计算错误； D、，原计算正确； 故选：D． 4. 如图，在平行四边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行四边形的对角相等，邻角互补，据此即可求解． 【详解】解：∵四边形平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 5. 一次函数的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数，解题关键是掌握一次函数的图象和性质：①当，y随x的增大而增大，若，则图象经过第一、二、三象限；若，则图象经过第一、三、四象限；②当时，y随x的增大而减小，若，则图象经过第一、二、四象限；若，则图象经过第二、三、四象限．据此求解即可． 【详解】解：在一次函数中，，， 即图象经过第一、二、四象限， 图象不经过的象限是第三象限， 故选：C． 6. 如图，甲乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动，图中，分别表示甲乙两人前往目的地所行驶的路程与时间的关系．根据图象判断下列说法错误的是（ ） A. 甲比乙早出发 B. 甲行驶的路程s与时间t的函数关系式为 C. 甲的速度是，乙的速度是 D. 乙出发后两人相遇，这时他们离学校 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求一次函数解析式，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据函数图象可判断A、D 选项；利用待定系数法可判断B选项；利用速度路程时间，可判断C选项． 【详解】解：A、甲比乙早出发，说法正确，不符合题意； B、设甲行驶的路程s与时间t的函数关系式为，则，解得：， 即甲行驶的路程s与时间t的函数关系式为，说法正确，不符合题意； C、甲的速度是，乙的速度是，说法正确，不符合题意； D、乙出发后两人相遇，这时他们离出发地，说法错误，符合题意； 故选：D． 7. 已知和是直线上的两点，当时，则k满足的条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，掌握当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小是解题关键．由题意可知，随的增大而减小，从而得到，即可得到k满足的条件． 【详解】解：当时， 即随的增大而减小， ， ， 故选：B． 8. 如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成．在一次数学实践活动中，某数学小组制作了“赵爽弦图”，其中，阴影部分的面积是49，，则大正方形的边长是（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，理解“赵爽弦图”是解题关键．由题意可知，，由阴影部分的面积，可知阴影部分的周长为7，进而得出，再利用勾股定理，求出，即可求解． 【详解】解：由题意可知，， 阴影部分的面积是49， 阴影部分的边长为7， ， , 即大正方形的边长是13， 故选：D． 9. 如图．菱形的顶点A在x轴上，于点D，将菱形沿所在直线折叠，点B的对应点为．若，点的横坐标为4，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令与的交点为，根据菱形和折叠的性质，得到，进而得出，再由勾股定理求出，即可得到点B的坐标． 【详解】解：如图，令与的交点为， 四边形是菱形，， ，，， ，菱形沿所在直线折叠，点B的对应点为 ， ，即， ， 点的横坐标为4， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 点B的坐标为， 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形，菱形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． 10. 如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C为直线l上一点，且纵坐标为3，点D为的中点，点P为上一动点，当最小时，点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，一次函数的图象和性质，轴对称的性质等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键．作点关于原点的对称点，连接、，由轴对称的性质得出，即当点、、三点共线时，最小，此时与轴交点为点，根据一次函数解析式求出点的坐标，进而得出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，即可得到点P的坐标． 【详解】解：如图，作点关于原点的对称点，连接、， ， ， 当点、、三点共线时，最小，此时与轴交点为点， 直线与y轴交于点B， 当时，， ， 点D为的中点， ， ， 点C为直线l上一点，且纵坐标为3， ，解得：， ， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 当时，，解得：， 点P的坐标是， 故选：C 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行化简． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 将一次函数的图象沿y轴向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数图象与几何变换．根据一次函数的平移规律：“上加下减，左加右减”解题即可． 【详解】解：由一次函数的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的图象对应的函数关系式为， 化简得：， 故答案为：． 13. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，的长为，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形对角线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，掌握相关知识是解题关键．由矩形对角线互相平分的性质，得到是等腰三角形，根据等腰三角形的对边对等角的性质解出的度数，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：在矩形中，, ∴,， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ， 故答案为：． 14. 如图，在中，，边在数轴上，且，，若以点B为圆心，以的长为半径画弧，交数轴于点P，则点P表示的数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，正确运用勾股定理求出的长是解题的关键，要理解数轴上的点与实数的对应关系．根据题意运用勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∴点P表示的数为：． 故答案为：． 15. 综合与实践活动课上，老师让同学们以“折纸做、、的角”为主题开展数学活动．如图，某小组准备了一张正方形纸片，将其对折，使对折的两部分完全重合，得到折痕，展开后再沿折叠，使点A正好落在上，延长，与交于点M，连接．这个小组得到以下结论：①；②；③；④；⑤．你认为正确有______． 【答案】①②④⑤ 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的特征等知识，熟练掌握正方形和折叠的性质是解题关键．过点作于点，根据正方形和折叠的性质，证明四边形是矩形，进而证明，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半和等边对等角的额性质，得到，可判断①③结论；再根据平行线的性质和三角形内角和定理，可判断②⑤结论；证明，可判断④结论． 【详解】解：如图，过点作于点， 四边形是正方形，将其对折，使对折的两部分完全重合，得到折痕， ，，， ， ， 四边形是矩形， ， 在和中， ， ， ， 由折叠的性质可知，，，， 在中，为中点， ， ， ， ， ， ， ，①结论正确； ，③结论错误； ， ， ， ，②结论正确； ，⑤结论正确； 在和中， ， ， ，④结论正确； 故答案为：①②④⑤． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 下面是小美同学进行二次根式运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务． ………第一步 ………第二步 ………第三步 任务： （1）原式中的二次根式、、、、中，是最简二次根式的是______； （2）第______步开始出错，错误的原因是______； （3）第一步中，去括号的依据是______； （4）请写出正确的计算过程． 【答案】（1）、 （2）一，去括号时，括号前是负号，没有改变括号内符号； （3）乘法分配律 （4）见解析 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义、去括号法则，二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据最简二次根式的定义逐一判断即可； （2）根据去括号法则分析即可； （3）根据去括号的依据解答即可； （4）先计算二次根式乘法、去括号，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解：，不是最简二次根式； ，不最简二次根式； ，不是最简二次根式； 、是最简二次根式， 故答案为：、 【小问2详解】 解：第一步开始出错，错误的原因是：去括号时，括号前是负号，没有改变括号内符号； 故答案为：一，去括号时，括号前是负号，没有改变括号内符号； 【小问3详解】 解：第一步中，去括号的依据是乘法分配律， 故答案为：乘法分配律； 【小问4详解】 解： ． 17. 2024年5月29日，国务院印发的《2024-2025年节能降碳行动方案》提到加快淘汰老旧机动车，提高营运车辆能耗限值准入标准，逐步取消各地新能源汽车购买限制，并落实便利新能源汽车通行等支持政策，随着绿色出行、节能减排、低碳环保的理念不断深入人心，新能源汽车也越来越受到人们的青睐．小美家计划购买一辆新能源汽车，通过初步了解，看中了售价一样的A、B两款汽车．为了选出更理想的汽车，小美一家三口分工进行了相关数据收集． a．信息一：小美的爸爸根据汽车鉴定机构发布的数据对这两款车的续航里程、百公里加速、智能化水平三项性能进行了评分（满分100分），如下表： 款型 续航里程（分） 百公里加速（分） 智能化水平（分） A 82 90 100 B 80 100 98 续航里程、百公里加速、智能化水平三项比例为，按此权重计算两款汽车的综合得分． b．信息二：小美的妈妈收集了10位网友对这两款车的评价得分（满分10分），数据由小美负责整理、描述、分析如下： *网友评价得分： A款：5 5 6 6 6 7 8 9 9 10 B款：4 6 6 7 7 7 8 8 9 9 *网友评价得分统计表： 款型 平均数 中位数 方差 A 7.1 m 2.89 B 7.1 7 2.09 根据以上信息，解答下列问题： （1）根据“信息一”提供的信息，分别计算A、B两款汽车的综合得分； （2）表格中______； （3）你认为小美家会选择购买哪一款汽车，说说你的理由（说出一条理由即可）． 【答案】（1）A、B两款汽车的综合得分分别分、分； （2） （3）小美家会选择购买款汽车，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数、中位数，以及利用中位数和方差的意义作决策，熟练掌握相关定义是解题关键． （1）根据加权平均数计算公式求解即可； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）根据中位数和方差的意义分析即可． 【小问1详解】 解：A款汽车的综合得分（分）， B款汽车的综合得分（分） 【小问2详解】 解：10位网友对款车的评价得分排在第五、六位的分别是6、7， 中位数， 故答案为：； 【小问3详解】 解：小美家会选择购买款汽车， 理由：因为款车的综合得分高于款车，且款车的网友评价得分中位数高于款车，方差小于款车，更稳定，所以会选择购买款汽车． 18. 如图，四边形是平行四边形． （1）若平分，与交于点E，，，则平行四边形周长为______； （2）在（1）的条件下，过点E作，与交于点F，试判断四边形的形状并说明理由． 【答案】（1）34 （2）四边形是菱形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． （1）由平行四边形的性质得到，结合角平分线的定义，得到，由等角对等边的性质，得到，从而得到，即可求出平行四边形的周长； （2）先证明四边形是平行四边形，由（1）可知，，即可判断四边形的形状． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形， ， ， 平分， , , , ， ， 平行四边形的周长为, 故答案为：34； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，理由如下： 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形, 由（1）可知，， 四边形是菱形． 19. 《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究．研究小组每记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为）．通过记录实验数据得知箭尺读数 和供水时间 近似满足一次函数的关系，当时，；当时，． （1）如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数．画出时的函数图象； （2）求出这个函数表达式； （3）如果本次实验的开始时间是上午．那么到下午时，箭尺读数增加了多少？ 【答案】（1）见解析 （2） （3）箭尺读数增加了． 【解析】 【分析】本题考查了画一次函数图像，求一次函数关系式，求一次函数的哈数值，掌握一次函数的图象和性质是解题关键． （1）在平面直角坐标系确定，；，，根据描点法画出函数图象即可； （2）利用待定系数法求出函数表达式即可； （3）由题意可知，供水时间，结合（2）所得关系式，求出函数值，再减去箭尺的初始读数，即可得到答案． 【小问1详解】 解：函数图象如图； 【小问2详解】 解：设函数表达式为， 则，解得：， 设函数表达式为； 【小问3详解】 解：上午到下午时，共小时，即供水时间， 当时，， 箭尺的初始读数为， ， 即箭尺读数增加了． 20. 阅读材料： 勾股定理本身就是一个关于a、b、c的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组，关于勾股数组的研究我国历史上有非常辉煌的成就，根据《周髀算经》记载，在约公元前1100年，人们就已经知道“勾广三、股修四、径隅五”（古人把较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，而斜边则为弦），即知道了勾股数组．类似地，还可以得到下列勾股数组：，，，…，等等，这些数组也叫做毕达哥拉斯勾股数组，上述勾股数组的规律，可以用下面表格直观表示： 勾股数组 各数组的和 和的另一表示法 和与最小数的差 股 弦 3，4，5 12 5，12，13 30 7，24，25 56 观察分析上述勾股数组，可以看出它们具有如下特点： 特点1：最小的勾股数的平方等于另两个勾股数的和； 特点2：______． … 回答问题： （1）请你再写出上述勾股数组的一个特点：______； （2）如果n表示比1大的奇数，则上述勾股数组可以表示为； （3）请你证明（2）中的三个式子是勾股数组． 【答案】（1）勾股数组的和等于最小的勾股数与比它大1的整数的乘积；（答案不唯一） （2），； （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的概念，整式的混合运算，熟记勾股数的概念是解题关键． （1）根据勾股数组的特点解答即可； （2）根据已知表格，先求出勾股数组的和，进而得到勾股数组的和与最小数的差，再求出股和弦即可； （3）根据正数的混合运算法则计算即可证明． 【小问1详解】 解：上述勾股数组的一个特点：勾股数组的和等于最小的勾股数与比它大1的整数的乘积； 故答案为：勾股数组的和等于最小的勾股数与比它大1的整数的乘积； 【小问2详解】 解：为最小的勾股数， 勾股数组的和为， 勾股数组的和与最小数的差为， 股为，弦为， 勾股数组可以表示为， 故答案为：，； 【小问3详解】 证明： ， 即是勾股数组． 21. 大营麻花是河南三门峡大营村特色传统名吃，始于清朝，距今已有数百年的历史．具有“脆、酥、香”的绝佳口感，是待客、走亲访友的佳品．2024年3月26日-28日，韩国东豆川市青少年友好交流团到三门峡进行交流访问活动．小美计划买一些大营麻花作为特色食品招待来家做客的外国朋友，据市场调研了解，3根传统咸味麻花和2根巧克力麻花共11元；2根传统咸味麻花和3根巧克力麻花共11.5元． （1）求传统咸味麻花和巧克力麻花的单价； （2）若小美计划购买传统咸味麻花和巧克力麻花共100根，且巧克力麻花的购买数量不少于传统成味麻花购买数量的．经过与商家沟通．传统咸味麻花可打九折．如何购买才能使花费最少？最少的费用为多少元？ 【答案】（1）传统咸味麻花的单价为2元，巧克力麻花的单价为2.5元． （2）传统成昧麻花购买根，则巧克力麻花购买根，，费用最少，最少为元． 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式． （1）设传统咸味麻花的单价为元，巧克力麻花的单价为元，根据3根传统咸味麻花和2根巧克力麻花共11元；2根传统咸味麻花和3根巧克力麻花共11.5元，列出方程组求解即可； （2）设传统成昧麻花购买根，则巧克力麻花购买根，费用为元，列出一次函数关系式，再由一次函数性质即可得到答案． 【小问1详解】 设传统咸味麻花的单价为元，巧克力麻花的单价为元， 根据题意得：， 解得，， 传统咸味麻花的单价为2元，巧克力麻花的单价为2.5元； 【小问2详解】 设传统成昧麻花购买根，则巧克力麻花购买根，费用为元， 根据题意得：， 巧克力麻花的购买数量不少于传统成昧麻花购买数量的， ， 解得：， ， 随的增大而减小． 当时，最小，此时， ， 传统成昧麻花购买根，巧克力麻花购买根时，费用最少，最少为元． 22. 在学习矩形的性质时，对于“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质的证明，聪明的小美同学想到了两种方法，如下表： 已知：如图，在中，，点O是边的中点．求证：． 方法一：倍长中线法． 证明：如图，延长至点D，使，连接、． …… 方法二：构造中位线法． 证明．如图，取的中点D，连接． …… 请你选择其中的一种方法，完成对这条性质的证明． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定和性质，三角形中位线定理，垂直平分线的性质，掌握特殊四边形的判定定理是解题关键．方法一：证明四边形是矩形，得出，即可证明；方法二：由三角形中位线定理，得到，从而得出垂直平分，即可证明． 【详解】证明：方法一：倍长中线法． ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ； 方法二：构造中位线法． 点O是边的中点，点D是的中点， 是的中位线， ， ， ，即， 垂直平分， ． 23. 如图，点C在线段上，是等边三角形，四边形是正方形． （1）求的度数； （2）点P是线段上的一个动点，连接、．若，．求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形和正方形性质，得到，，再根据等边对等角的性质，即可求出的度数； （2）作点关于的对称点，连接与交于点，连接与交于点，连接，由轴对称的性质可知，，，，先证明是等腰直角三角形，得到，进而得出，过点作于点，则是等腰直角三角形，得到，即点与点重合，然后利用勾股定理求出的长，即可得到的最小值． 【小问1详解】 解：是等边三角形，四边形是正方形， ，，，， ，， ； 【小问2详解】 解：如图，作点关于的对称点，连接与交于点，连接与交于点，连接， 由轴对称的性质可知，，， ， 即当点、、三点共线时，有最小值，为的长． 是等边三角形， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 过点作于点，则是等腰直角三角形， ， ， 即点与点重合， ， 在中，， 即的最小值为． 【点睛】本题考查了等边三角形的额性质，正方形的性质，轴对称的额性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用轴对称的性质求线段最值是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$