精品解析：北京市海淀区北京理工大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末练习（二）数学试题

2023-2024学年度第二学期高一数学学科期末练习（二） 命题人 何拓程，审题人 郗玲玲，审核人 金永涛 班级 姓名 本试卷共三道大题，满分50分，考试时间30分钟 一、选择题（共9小题，每小题4分，共36分） 1. 一个平面图形用斜二测画法画出直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的周长为（ ） A. 8 B. C. 16 D. 2. 下列说法不正确的是（ ） A. 平行六面体的侧面和底面均为平行四边形 B. 直棱柱的侧棱长与高相等 C. 斜棱柱侧棱长大于斜棱柱的高 D. 直四棱柱是长方体 3. 下列命题正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 梯形确定一个平面 C. 两条直线确定一个平面 D. 四边形确定一个平面 4. 已知点A∈直线l，又A∈平面，则（ ） A. B. C. D. 或 5. 若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，bc，则直线a与c（　　） A. 一定平行 B. 一定垂直 C. 一定是异面直线 D. 一定相交 6. 给定空间中的直线l与平面，则“直线l与平面垂直”是“直线l垂直于平面内无数条直线”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知是平面，m、n是直线，则下列命题正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8. 如图，三棱台中，底面是边长为6的正三角形，且，平面平面，则棱（ ） A. B. C. 3 D. 9. 如图，在棱长为2的正方体中，P为线段的中点，Q为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 存在点Q，使得 B. 存在点Q，使得平面 C. 三棱锥体积是定值 D. 存在点Q，使得PQ与AD所成的角为 二、填空题（共2小题，每小题4分，共8分） 10. 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在面对角线AC上运动，给出下列四个命题： ①D1P∥平面A1BC1； ②D1P⊥BD； ③平面PDB1⊥平面A1BC1； ④三棱锥A1﹣BPC1的体积不变． 则其中所有正确的命题的序号是_____． 11. 陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作“干乐”，北方叫作“冰尜（gá）”或“打老牛”．传统古陀螺大致是木制或铁制的倒圆锥形．现有一圆锥形陀螺（如图所示），其底面半径为3，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周．①圆锥的母线长为9；②圆锥的表面积为；③圆锥的侧面展开图（扇形）的圆心角为；④圆锥的体积为，其中所有正确命题的序号为______________． 三、解答题 12. 如图，在正三棱柱中，P，Q分别为，的中点. （1）证明：平面ABC； （2）证明：平面平面. 请在下列证明过程中的横线上填上推理的依据. 解答】 （1）证明：取AB的中点D，连接PD、CD，因为P，Q分别为，的中点， 所以且， 又三棱柱是正三棱柱，所以，， 所以且， 所以PDCQ为平行四边形，所以， 又因为平面ABC，平面ABC， 所以平面ABC（① 定理）. （2）证明：在正三棱柱中，D为AB的中点， 所以，又平面ABC，平面ABC，所以， ，，平面， 所以平面（② 定理）. 又，所以平面，又平面， 所以平面平面（③ 定理）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度第二学期高一数学学科期末练习（二） 命题人 何拓程，审题人 郗玲玲，审核人 金永涛 班级 姓名 本试卷共三道大题，满分50分，考试时间30分钟 一、选择题（共9小题，每小题4分，共36分） 1. 一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的周长为（ ） A. 8 B. C. 16 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法的过程将直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的周长即可． 【详解】还原直观图为原图形如图所示， 因为，所以，还原回原图形后， ，， 所以， 所以原图形的周长为． 故选：C. 2. 下列说法不正确的是（ ） A. 平行六面体的侧面和底面均为平行四边形 B. 直棱柱的侧棱长与高相等 C. 斜棱柱的侧棱长大于斜棱柱的高 D. 直四棱柱是长方体 【答案】D 【解析】 【分析】根据几何体的定义和性质依次判断每个选项判断得到直四棱柱不一定是长方体得到答案. 【详解】根据平行多面体的定义知：平行六面体的侧面和底面均为平行四边形，A正确； 直棱柱的侧棱长与底面垂直，故与高相等，B正确； 斜棱柱的侧棱与高可构成以侧棱为斜边，高为直角边的直角三角形，斜边大于直角边，C正确； 当直四棱柱的底面不是长方形时不是长方体，D错误. 故选：D. 3. 下列命题正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 梯形确定一个平面 C. 两条直线确定一个平面 D. 四边形确定一个平面 【答案】B 【解析】 【分析】依次判断每个选项：当三点共线时不能确定一个平面，梯形上底和下底平行，能确定一个平面，两条直线异面时不能确定一个平面，空间四边形不能确定一个平面，得到答案. 【详解】当三点共线时不能确定一个平面，A错误； 梯形上底和下底平行，能确定一个平面，B正确； 两条直线异面时不能确定一个平面，C错误； 空间四边形不能确定一个平面，D错误. 故选：B. 4. 已知点A∈直线l，又A∈平面，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与平面的位置关系判断． 【详解】点A∈直线l，又A∈平面，则与平面至少有一个公共点，所以或． 故选：D． 5. 若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，bc，则直线a与c（　　） A. 一定平行 B. 一定垂直 C. 一定是异面直线 D. 一定相交 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中直线的位置关系分析判断. 【详解】∵a⊥b，bc，∴a⊥c. 故选：B. 6. 给定空间中的直线l与平面，则“直线l与平面垂直”是“直线l垂直于平面内无数条直线”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由线面垂直的性质结合两个条件之间的推出关系可得正确的选项. 【详解】若直线l与平面垂直，由垂直的定义知，直线l垂直于平面内无数条直线； 但当直线l垂直于平面内无数条直线时，直线l与平面不一定垂直. 所以“直线l与平面垂直”是“直线l垂直于平面内无数条直线”的充分不必要条件， 故选：A 7. 已知是平面，m、n是直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面平行、线面垂直的性质依次判断每个选项得到答案. 【详解】若，则或或与相交，A错误； 若，则，B正确； 若，则或，C错误； 若，则或相交或异面，D错误. 故选：B. 8. 如图，三棱台中，底面是边长为6的正三角形，且，平面平面，则棱（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】取中点分别为，连接,过点作的垂线，垂足为，从而在直角梯形求解即可. 【详解】 如图，取中点分别为，连接, 过点作的垂线，垂足为， 因为，所以， 且,所以, 因平面平面，平面平面， 面, 所以平面，又因为平面，所以， 又因为在三棱台中，， 所以四边形为直角梯形， 因为,, 所以， 所以直角三角形中，, 故选: A. 9. 如图，在棱长为2的正方体中，P为线段的中点，Q为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 存在点Q，使得 B. 存在点Q，使得平面 C. 三棱锥的体积是定值 D. 存在点Q，使得PQ与AD所成的角为 【答案】B 【解析】 【分析】A由、即可判断；B若为中点，根据正方体、线面的性质及判定即可判断；C只需求证与面是否平行；D利用空间向量求直线夹角的范围即可判断. 【详解】A：正方体中，而P为线段的中点，即为的中点， 所以，故不可能平行，错； B：若为中点，则，而，故， 又面，面，则，故， ，面，则面， 所以存在Q使得平面，对； C：由正方体性质知：，而面，故与面不平行， 所以Q在线段上运动时，到面的距离不一定相等， 故三棱锥的体积不是定值，错； D：构建如下图示空间直角坐标系，则，，且， 所以，，若它们夹角为， 则， 令，则， 当，则，； 当则； 当，则，； 所以不在上述范围内，错. 故选：B 二、填空题（共2小题，每小题4分，共8分） 10. 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在面对角线AC上运动，给出下列四个命题： ①D1P∥平面A1BC1； ②D1P⊥BD； ③平面PDB1⊥平面A1BC1； ④三棱锥A1﹣BPC1的体积不变． 则其中所有正确的命题的序号是_____． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】利用线面平行判定定理与性质定理，面面垂直的判定定理与三棱锥的体积公式对四个选项逐一分析判断即可． 【详解】①∵在正方体中，D1A∥BC1，D1C∥BA1，且D1A∩DC1=D1，∴平面D1AC∥平面A1BC1；∵P在面对角线AC上运动，∴D1P∥平面A1BC1；∴①正确． ②当P位于AC的中点时，D1P⊥BD不成立，∴②错误； ③∵A1C1⊥平面BDD1B1；∴A1C1⊥B1D，同理A1B⊥B1D，∴B1D⊥平面A1BC1，∴平面BDD1B⊥面ACD1，∴平面PDB1⊥平面A1BC1；∴③正确． ④三棱锥A1-BPC1体积等于B-A1PC1的体积，△A1PC1的面积为定值A1C1•AA1，B到平面A1PC1的高为BP为定值，∴三棱锥A1-BPC1的体积不变，∴④正确． 故答案为①③④． 【点睛】本题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系及体积，突出考查面面平行的判定定理与性质定理，考查面面垂直的判定定理，考查几何体的体积运算. 11. 陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作“干乐”，北方叫作“冰尜（gá）”或“打老牛”．传统古陀螺大致是木制或铁制的倒圆锥形．现有一圆锥形陀螺（如图所示），其底面半径为3，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周．①圆锥的母线长为9；②圆锥的表面积为；③圆锥的侧面展开图（扇形）的圆心角为；④圆锥的体积为，其中所有正确命题的序号为______________． 【答案】①② 【解析】 【分析】利用圆锥在平面内转回原位置求解以为圆心，为半径的圆的面积，再求解圆锥的侧面积，根据圆锥本身恰好滚动了3周列出方程求解结果；利用圆锥的表面积公式进行计算；圆锥的底面圆周长即为圆锥侧面展开图（扇形）的弧长，根据弧长公式求解圆心角；求解圆锥的高，利用圆锥体积公式求解． 【详解】解：设圆锥的母线长为，以为圆心，为半径的圆的面积为， 圆锥的侧面积为， 当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周， 则，所以圆锥的母线长为，故①正确； 圆锥的表面积，故②正确； 圆锥的底面圆周长为，设圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角为， 则，解得，即，故③错误； 圆锥的高， 所以圆锥的体积为，故④错误． 故答案为：①②． 三、解答题 12. 如图，在正三棱柱中，P，Q分别为，的中点. （1）证明：平面ABC； （2）证明：平面平面. 请在下列证明过程中的横线上填上推理的依据. 【解答】 （1）证明：取AB的中点D，连接PD、CD，因为P，Q分别为，的中点， 所以且， 又三棱柱是正三棱柱，所以，， 所以且， 所以PDCQ为平行四边形，所以， 又因为平面ABC，平面ABC， 所以平面ABC（① 定理）. （2）证明：在正三棱柱中，D为AB的中点， 所以，又平面ABC，平面ABC，所以， ，，平面， 所以平面（② 定理）. 又，所以平面，又平面， 所以平面平面（③ 定理）. 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】根据题意，由线面平行的判定定理以及线面与面面垂直的判定定理，即可得到结果. 【小问1详解】 ①线面平行的判定定理 【小问2详解】 ②线面垂直的判定定理 ③面面垂直的判定定理 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$