精品解析：辽宁省大连市庄河市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年度第二学期学业质量检测八年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间共120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，的对角线、相交于点O，添加一个条件，使得是菱形，则下列选项不符合题意的是（ ） A. B. C. D. 5. 小华同学的三次月考数学成绩依次为91分，93分，90分，若按的比例计算总评成绩，则小华的数学总评成绩是（ ） A 89.1分 B. 91.2分 C. 93.4分 D. 95.2分 6. 已知一次函数的图象如图所示，点在该函数图象上，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 为了加强学生的体育锻炼意识，某校举办了一次趣味运动会，该校初二10名学生的得分依次是．则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A B. C. D. 8. 从A地向B地打长途电话，通话时间不超过收费2.4元，超过后每分钟加收1元（通话时间均为整数，不足的通话时间均按计算）．若有10元钱时，打一次电话最多可以通话多长时间（ ） A. B. C. D. 9. 如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系，下表为记录几次数据之后所列表格： 1 2 3 … 8 135 19 若不挂重物时，秤跎到秤纽的水平距离是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，分别为四边形的对角线，，点P为中点，连接，且，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 5 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 使二次根式有意义的的取值范围是_______． 12. 一次函数与x轴的交点坐标为_______． 13. 甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10次．他们的平均成绩均为8.2环，10次射击成绩的方差分别是．成绩较为稳定的是_______． 14. 如图，将一副直角三角板如图所示放置在平面直角坐标系中，轴，若点的坐标为，则的长为______． 15. 如图，在四边形中，将边绕点A逆时针旋转交于点E．若，，，则_______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16 计算 （1）； （2）． 17. 如图，已知是平行四边形，分别为直线上两点，且，证明：四边形是平行四边形． 18. 已知y与成正比，且当时，， （1）求y与x的函数关系式； （2）点在这个函数图象上，求a的值． 19. 某商场为了方便客人进出，将入口大厅的门改为自动感应门，感应门上方装有一个感应范围的感应器C（即）．如图，一个身高的客人走到离感应门处时，感应门正好自动打开，请求出感应器C离地面的高度．（均垂直于地面） 20. 5月日是我国“防灾减灾日”．为增强学生防灾减灾意识，某区举行防灾减灾安全知识竞赛．竞赛结束后，发现所有参赛学生的成绩（满分分）均不低于分．下图为某学校参加竞赛学生的成绩（用x表示）分为四组：A组，组，组，组，绘制了如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）请补全频数分布直方图； （2）扇形统计图中D组所对应的圆心角的度数为______； （3）根据小明学校成绩，估计全区参加竞赛的名学生中有多少人的成绩不低于分？ 21. 甲、乙两车分别从相距的两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速驶，途径加油站，甲车到达加油站后停留一小时，接着以原来的速度继续行驶．乙车从B地直达A地，两车同时到达目的地．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的函数图象如图所示．请结合图象信息解答下列问题： （1）甲车的速度是_____千米/时，乙车的速度是_____千米/时，____； （2）求甲车距它出发地的路程与它出发的时间x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围？ （3）当甲、乙两车相距时，请直接写出乙车行驶了多长时间？ 22. 【问题发现】 如图，在正方形纸片中，点为线段上一点（点不与点重合），将正方形纸片沿直线折叠得到． （）如图，点恰好落在对角线上，连接交于点，交于点．求证：； （）如图，点落正方形纸片内部，延长交边于点， ①猜想线段之间的数量关系，并证明； ②试说明的度数． 【探究应用】 （）如图，在正方形纸片中，点为线段上一点（点不与点重合），将正方形纸片沿直线折叠得到，再将纸片沿过点的直线折叠，使与重合，折痕为，继续将正方形纸片沿直线折叠，点的对应点恰好落在折痕上的点处，与相交于点，若，求的长度． 23. 【了解概念】 已知函数是自变量x的函数，当，称函数为函数的“加和函数”． 在平面直角坐标系中，对于函数图象上一点，称点为点A关于函数的“加和点”，点B在函数的“加和函数”的图象上． 【理解运用】 例如：函数，当时，称函数是函数的“加和函数”． 在平面直角坐标系中，函数图象上任意一点，点为点A关于的“加和点”，点B在函数的“加和函数” 的图象上． （1）求函数的“加和函数”的表达式； （2）点在函数的图象上，点P关于函数的“加和点”为点Q，若点Q与点P的纵坐标互为相反数，求点P的坐标； 【拓展提升】 （3）在（2）的条件下，的“加和函数”为，直线交y轴于点T，已知点．若将的边构成的图形记为M，现将四边形的边与图形“M”有且只有2个交点时，求t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度第二学期学业质量检测八年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间共120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式．熟练掌握最简二次根式是解题的关键． 根据最简二次根式的定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，A中，不是最简二次根式，故不符合要求； B中，不是最简二次根式，故不符合要求； C中，是最简二次根式，故符合要求； D中，不是最简二次根式，故不符合要求； 故选：C． 2. 以下列各线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形就是直角三角形，由此即可判断． 【详解】A．，不能构成三角形，故选项不符合题意； B．，能构成直角三角形，故选项符合题意； C．，不能构成直角三角形，故选项不符合题意； D． ，不能构成直角三角形，故选项不符合题意； 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质和二次根式的加减法法则，熟练掌握二次根式的性质和二次根式的加减法法则是解题的关键．利用二次根式的性质和二次根式的加减法法则及二次根式的乘法法则进行判断即可． 【详解】解：A、，故符合题意； B、，不符合题意； C、，故不符合题意； D、与不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意； 故选：A． 4. 如图，的对角线、相交于点O，添加一个条件，使得是菱形，则下列选项不符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的判定，根据菱形的判定定理逐项判断即可解题． 【详解】解：A．添加后，可证明是矩形，不能证明它是菱形； B．添加后，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可证明是菱形； C．添加后，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可证明是菱形； D．添加后，根据“对角线平分一组对角的平行四边形是菱形”可证明是菱形． 故选：A． 5. 小华同学三次月考数学成绩依次为91分，93分，90分，若按的比例计算总评成绩，则小华的数学总评成绩是（ ） A. 89.1分 B. 91.2分 C. 93.4分 D. 95.2分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查加权平均数，根据加权平均数的定义求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 6. 已知一次函数的图象如图所示，点在该函数图象上，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，根据一次函数图象与一元一次不等式的联系求解即可． 【详解】解：由图可得，当时，， ∴关x的不等式的解集是， 故选：D． 7. 为了加强学生的体育锻炼意识，某校举办了一次趣味运动会，该校初二10名学生的得分依次是．则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据众数和中位数的概念求解即可． 【详解】解：把这一组数据从小到大排列为， 位于正中间的两个数均为39， ∴中位数为， ∵39出现的次数最多， ∴这组数据的众数为39． 故选：A 8. 从A地向B地打长途电话，通话时间不超过收费2.4元，超过后每分钟加收1元（通话时间均为整数，不足的通话时间均按计算）．若有10元钱时，打一次电话最多可以通话多长时间（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据通话时间与收费标准，可得函数解析式，根据函数值，可得相应自变量的值． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， 解得． ∵通话时间取整数，不足的通话时间均按计算， ∴打一次电话最多可以通话， 答：有10元钱时，打一次电话最多可以通话． 故选：A． 9. 如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系，下表为记录几次数据之后所列表格： 1 2 3 … 8 13.5 19 若不挂重物时，秤跎到秤纽的水平距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，设，用待定系数法求解析式，再令，即可解题． 【详解】解：秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系， 设与的函数关系式为：， 根据表格数据可得：， 解得， 与的函数关系式为：， 当不挂重物时，， 代入函数关系式得：， 秤跎到秤纽的水平距离是， 故选：B． 10. 如图，分别为四边形的对角线，，点P为中点，连接，且，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理垂直平分线的判定和性质，直角三角形的性质，中位线的性质，延长交于点Q，根据勾股定理求出，根据、P在的垂直平分线上，得出垂直平分，根据中位线的性质得出，，设，则，，根据勾股定理得出，求出结果即可． 【详解】解：延长交于点Q，如图所示： ∵，， ∴， ∵点P为中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴、P在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴，， ∵点P为中点， ∴，， ∴， 设，则，， 根据勾股定理得：， ， ∴， 即， 解得：， ∴． 故选：B． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 使二次根式有意义的的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件及解一元一次不等式组，根据二次根式有意义的条件及分式有意义的条件列不等式组，解不等式组，即可得出答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：． 故答案为： 12. 一次函数与x轴的交点坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点，令，求得x的值，即可得交点坐标． 【详解】解：对于，令，即， 解得：， 一次函数与x轴交点坐标为； 故答案为：． 13. 甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10次．他们平均成绩均为8.2环，10次射击成绩的方差分别是．成绩较为稳定的是_______． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题主要考查了方差的应用，根据方差越小，成绩越稳定，进行比较方差的大小即可解答． 【详解】解：因为， 所以乙的成绩较为稳定． 故答案为：乙． 14. 如图，将一副直角三角板如图所示放置在平面直角坐标系中，轴，若点的坐标为，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，由题意可得，，，由平行线的性质可得，过点作轴于点，由点的坐标可得，由可得为等腰直角三角形，即得，由，，得，即得，在中利用勾股定理可得，最后根据线段的和差关系即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，， ∵轴， ∴， 过点作轴于点，则， ∵点的坐标为， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在四边形中，将边绕点A逆时针旋转交于点E．若，，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，作出合适的辅助线是解答本题的关键. 过点作交延长线于点, 连接,先证明 再证明,即可得, 即有为等腰直角三角形，即可得 进一步解答即可. 【详解】解：过点作交延长线于点, 连接, 如图, 根据旋转有: , ∵, ∴,即， ∵ ∴ , 即 ∵, , ∴, 又∵, ∴, ∴, , ∴, 又∵, ∴为等腰直角三角形， ∴, , , , 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，二次根式的乘法运算，二次根式的加减混合运算．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，二次根式的乘法运算，二次根式的加减混合运算是解题的关键． （1）根据二次根式的乘法运算求解即可； （2）利用二次根式的性质进行化简，然后进行加减运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，已知是平行四边形，分别为直线上两点，且，证明：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题关键．连接交于点，根据平行四边形的性质得出，，根据线段的和差关系得出，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得结论 【详解】证明：连接交于点， ∵是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 18. 已知y与成正比，且当时，， （1）求y与x的函数关系式； （2）点在这个函数图象上，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查用待定系数法求一次函数解析式、求一次函数的自变量或函数值： （1）利用待定系数法求正比例函数解析式即可； （2）把点代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵y与成正比， 设y与x的函数关系式为， 把代入得，， 解得， ∴y与x的函数关系式为； 【小问2详解】 解：∵点在这个函数图象上， 把点代入得，， 解得． 19. 某商场为了方便客人进出，将入口大厅的门改为自动感应门，感应门上方装有一个感应范围的感应器C（即）．如图，一个身高的客人走到离感应门处时，感应门正好自动打开，请求出感应器C离地面的高度．（均垂直于地面） 【答案】感应器C离地面的高度为米 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理的应用．熟练掌握矩形的判定与性质，勾股定理的应用是解题的关键． 由题意知，，，，，如图，作于点H ，则四边形为矩形，则，由勾股定理得，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，，，， 如图，作于点H ，则四边形为矩形， ∴， 由勾股定理得， ∴， 答：感应器C离地面的高度为米． 20. 5月日是我国“防灾减灾日”．为增强学生防灾减灾意识，某区举行防灾减灾安全知识竞赛．竞赛结束后，发现所有参赛学生的成绩（满分分）均不低于分．下图为某学校参加竞赛学生的成绩（用x表示）分为四组：A组，组，组，组，绘制了如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）请补全频数分布直方图； （2）扇形统计图中D组所对应的圆心角的度数为______； （3）根据小明学校成绩，估计全区参加竞赛的名学生中有多少人的成绩不低于分？ 【答案】（1）见解析 （2） （3）人 【解析】 【分析】（1）由题意知，调查的总人数为（人），则C组所对应的人数为（人），B组所对应的人数为（人），然后补图即可； （2）根据D组所对应的圆心角的度数为，计算求解即可； （3）根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，调查的总人数为（人）， ∴C组所对应的人数为（人）， ∴B组所对应的人数为（人）， 补图如下； 【小问2详解】 解：由题意知，D组所对应的圆心角的度数为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由题意知，（人）， ∴估计全区参加竞赛的名学生中有人的成绩不低于分． 【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，圆心角，用样本估计总体等知识．从条形统计图，扇形统计图中获取正确的信息是解题的关键． 21. 甲、乙两车分别从相距的两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速驶，途径加油站，甲车到达加油站后停留一小时，接着以原来的速度继续行驶．乙车从B地直达A地，两车同时到达目的地．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的函数图象如图所示．请结合图象信息解答下列问题： （1）甲车的速度是_____千米/时，乙车的速度是_____千米/时，____； （2）求甲车距它出发地路程与它出发的时间x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围？ （3）当甲、乙两车相距时，请直接写出乙车行驶了多长时间？ 【答案】（1），， （2） （3）乙车行驶了或或或小时． 【解析】 【分析】（1）由题意知，时，乙出发1小时，路程为千米，可知乙的速度为千米/时；时，甲车到达加油站，路程为千米，可知甲的速度为千米/时；由题意知，（小时）； （2）由题意知，当时，；当时，；当时，待定系数法可求；然后作答即可； （3）待定系数法求乙车距它出发地的路程与它出发的时间x的函数关系式为，当乙出发、甲未出发，甲、乙两车相距时，乙车行驶了（小时）；令，计算求出满足要求的解即可；令，计算求出满足要求的解即可；令，计算求出满足要求的解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，时，乙出发1小时，路程千米， ∴乙的速度为千米/时； 时，甲车到达加油站，路程为千米， ∴甲的速度为千米/时； 由题意知，（小时）， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：由题意知，当时，； 当时，； 当时，设解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴； 综上所述，； 【小问3详解】 解：设乙车距它出发地的路程与它出发的时间x的函数关系式为， 将代入得，， 解得，， ∴， 当乙出发、甲未出发，甲、乙两车相距时，乙车行驶了（小时）； 令， 解得，或（舍去）；即乙车行驶了小时， 令， 解得，或（舍去）；即乙车行驶了小时， 令， 解得，或（舍去）；即乙车行驶了小时， 综上所述，当甲、乙两车相距时，乙车行驶了或或或小时． 【点睛】本题考查了函数图象，一次函数的应用，一次函数解析式，绝对值方程等知识．熟练掌握函数图象，一次函数的应用，一次函数解析式，绝对值方程是解题的关键． 22. 【问题发现】 如图，在正方形纸片中，点为线段上一点（点不与点重合），将正方形纸片沿直线折叠得到． （）如图，点恰好落在对角线上，连接交于点，交于点．求证：； （）如图，点落在正方形纸片内部，延长交边于点， ①猜想线段之间的数量关系，并证明； ②试说明的度数． 【探究应用】 （）如图，在正方形纸片中，点为线段上一点（点不与点重合），将正方形纸片沿直线折叠得到，再将纸片沿过点的直线折叠，使与重合，折痕为，继续将正方形纸片沿直线折叠，点的对应点恰好落在折痕上的点处，与相交于点，若，求的长度． 【答案】（）证明见解析；（）①，证明见解析；②；（）． 【解析】 【分析】（）证明即可求证； （）①．连接，证明，得到，进而由即可求证；②由折叠得，由，得，进而得即可求解； （）由翻折可得，，，即得，得到，进而得到，，再得到，由此得到 ，最后证明，得到； 本题考查了正方形的性质，折叠的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（）证明：∵将正方形纸片沿直线折叠得到，点恰好落在对角线上 ∴， ， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ； （）①． 证明：连接， 正方形纸片沿直线折叠得到 ， ∴， ∵， ， 在与中， ∴， ， ， ； ②由折叠得， ∵， ∴， ， ， ． （）由翻折可得，，， 又， ， ∴， 在中，， ， ， ， ， 在中，， ， ∵， ， ∵，， ， 由（）可知， ， ∴为等腰直角三角形， ， 在与中 ， ， ． 23. 【了解概念】 已知函数是自变量x的函数，当，称函数为函数的“加和函数”． 在平面直角坐标系中，对于函数图象上一点，称点为点A关于函数的“加和点”，点B在函数的“加和函数”的图象上． 【理解运用】 例如：函数，当时，称函数是函数的“加和函数”． 在平面直角坐标系中，函数图象上任意一点，点为点A关于的“加和点”，点B在函数的“加和函数” 的图象上． （1）求函数的“加和函数”的表达式； （2）点在函数的图象上，点P关于函数的“加和点”为点Q，若点Q与点P的纵坐标互为相反数，求点P的坐标； 【拓展提升】 （3）在（2）的条件下，的“加和函数”为，直线交y轴于点T，已知点．若将的边构成的图形记为M，现将四边形的边与图形“M”有且只有2个交点时，求t的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了理解新定义，待定系数法求一次函数关系式，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据 “加和函数”的定义解答即可； （2）先确定点P，Q的坐标，再结合互为相反数的定义求出答案； （3）先确定Q，T的坐标，进而求出直线的关系式，然后分情况求出临界值，即可得出答案． 【详解】（1）． 所以是函数的“加和函数”； （2）点关于函数的“加和点”点的坐标为． ∵点Q和点P的纵坐标互为相反数， ∴， 解得， ∴点； （3）由（2）可知点． 当时，， ∴点． 设直线的关系式为，得， 解得， 所以直线的关系式为． 四边形是以原点为中心，为边长的逐渐变化的正方形． 当正方形的顶点在直线上，当时，； 当正方形的顶点在直线上，当时，； 所以当时，四边形的边与图形“M”有且只有2个交点； 当正方形的边与重合时，，当正方形过点T时，， 所以当时，四边形的边与图形“M”有且只有2个交点． 故t的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$