精品解析：辽宁省辽阳市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

高一考试数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教B版必修第三､四册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A 1 B. 2 C. D. 2. 在中，，则（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 4 3. 已知直线，及平面，，且，，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 4. 已知单位向量，满足，则与夹角为（ ） A. 0 B. C. D. 5. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，则该四棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知四边形的顶点都在半径为2的圆上，且经过圆的圆心，，四边形的面积为，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点中心对称 D. 最大值为1 10. 已知平面向量，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 若与的夹角为锐角，则的取值范围是 C. 一定存在一个实数，使得 D. 若，则在上的投影向量的坐标为 11. 有一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1.也可由正方体切割而成，如图2.在如图2所示的“蒺藜形多面体”中，若，则（ ） A. 该几何体表面积为 B. 该几何体的体积为4 C. 直线与直线所成的角为 D. 二面角的余弦值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知复数，则__________. 13. 如图，四棱台的侧棱长均相等，四边形和四边形都是正方形，，则该四棱台的体积为__________. 14. 若函数在上有个零点，则的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）若，求； （2）若向量，，求与夹角的余弦值. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为的中点，点在线段上，平面. （1）证明：； （2）求的值. 17. 已知函数，且. （1）求的值； （2）求的单调递增区间； （3）若的值域是，求的取值范围. 18. 如图，在四棱柱中，平面平面，，，，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 是直线外一点，点在直线上（点与点任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记.在中，角的对边分别是，点在射线上. （1）若是角的平分线，且，由点对施以视角运算，求的值； （2）若，由点对施以视角运算，，求的周长； （3）若，，由点对施以视角运算，，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一考试数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教B版必修第三､四册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数除法计算法则结合虚部定义可得答案. 【详解】， 所以复数的虚部为2. 故选：B 2. 在中，，则（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由正弦定理代入计算，即可求解. 【详解】在中，由正弦定理可得， 即. 故选：D 3. 已知直线，及平面，，且，，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中线面位置的判定和性质，判断选项中的结论是否正确. 【详解】对于A：若，则不一定垂直，故A错误； 对于B：因为，所以，因为，所以，故B正确； 对于C：若，则不一定平行于，故C错误； 对于D：若，则或，故D错误. 故选：B.. 4. 已知单位向量，满足，则与的夹角为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据单位向量定义与等量关系可得，再利用夹角的计算公式即可求解. 【详解】由题意得，， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以，即与的夹角为. 故选：C. 5. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象求出，即可求出，再根据函数过点，求出，即可求出函数解析式，再代入计算可得. 【详解】依题意可得，所以，又，所以，解得， 所以，又函数过点，则， 又，所以，所以，则， 所以，则. 故选：D 6. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，则该四棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】四棱锥可补成长方体，利用长方体的体对角线求外接球的半径，即可得解. 【详解】将四棱锥补全成以为长、宽、高的长方体， 则该四棱锥的外接球即补全后长方体的外接球， 外接球的半径为长方体体对角线一半， 所以外接球表面积为. 故选：C 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用辅助角公式、两角和与差的正弦公式即可求解. 【详解】因为 ， 所以， 即. 故选：A. 8. 已知四边形的顶点都在半径为2的圆上，且经过圆的圆心，，四边形的面积为，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将四边形的面积转化为，利用三角形面积公式，结合两角差的正弦公式进行化简，可得，结合，从而可求出，进而可求出. 【详解】连接，则为等边三角形，， 四边形的面积为 ， 所以， 所以， 因，所以， 所以， ， ， ， 所以， 因为，所以， 所以或， 所以，或， 因为，所以舍去，所以， 所以为等腰直角三角形，所以. 故选：C 【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数恒等变换公式的应用，考查三角形面积公式的应用，解题的关键是将四边形的面积转化为，再利用三角形面积公式化简，结合三角函数恒等变换公式可求得结果，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点中心对称 D. 的最大值为1 【答案】ABC 【解析】 【分析】求得最小正周期判断A；求得最大值判断B；求得对称中心判断C；求得对称轴判断D. 【详解】因为，所以的最小正周期为，故A正确； 由，可得， 所以图象的对称轴为， 当时，图象的关于对称，故B正确； 由，可得， 所以图象的对称中心为，当时， 图象的关于点对称，故C正确； 当时，的最大值为2，故D不正确. 故选：ABC. 10. 已知平面向量，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 若与的夹角为锐角，则的取值范围是 C. 一定存在一个实数，使得 D. 若，则在上的投影向量的坐标为 【答案】ACD 【解析】 【分析】表示出，结合二次函数的性质判断A；根据且与不同向判断B；根据数量积的运算律得到，即可判断C；根据投影向量的定义判断D. 【详解】对于A：因为， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，故A正确； 对于B：若与的夹角为锐角，则且与不同向， 所以且，解得且，故B错误； 对于C：若，则， 所以，则，解得， 即存在，使得，故C正确； 对于D：当时，所以， 又， 所以在上的投影向量的坐标为，故D正确. 故选：ACD 11. 有一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1.也可由正方体切割而成，如图2.在如图2所示的“蒺藜形多面体”中，若，则（ ） A. 该几何体的表面积为 B. 该几何体的体积为4 C. 直线与直线所成的角为 D. 二面角的余弦值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据正四面体的表面积即可判断A；利用割补法，结合体积公式即可判断B；根据异面直线所成角的定义平移直线到直线，求解即可判断C；根据二面角的定义作出二面角的平面角，结合空间向量法即可求解D. 【详解】对于A，因为，所以． 蒺藜形多面体的表面可看作是八个全等的棱长为的小正四面体构成， 故该几何体的表面积为，故A正确； 对于B，该几何体的体积为，故B正确； 对于C，因为，所以直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，又因为，所以，故C正确 对于D，设的中点为，连接、，则，， 则即二面角的平面角． 建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、， 则，， 则，故D错误.    故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题关键点是准确题解题意中“蒺藜形多面体”的定义，结合图1和图2直观想象“蒺藜形多面体”的几何特征，对多面体分割计算表面积和体积，再借助正方体求解异面直线所成的角与二面角. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知复数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数，再计算其模即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 13. 如图，四棱台的侧棱长均相等，四边形和四边形都是正方形，，则该四棱台的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出四棱台的高，再根据棱台的体积公式计算即可. 【详解】在四棱台中，分别是上下底面对角线的交点，即上下底面的中心，为四棱台的高， 过点作与交于点，则， 四边形和四边形都是正方形，且，则 ，，则，， ，即四棱台的高. 又上底面积，下底面积， 则该四棱台的体积为. 故答案为：. 14. 若函数在上有个零点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简得到，令，参变分离可得，令，，从而得到，分析，的单调性，从而得到在上有个解，结合正弦函数的性质求出的范围，即可求出的范围. 【详解】因为， 由，可得，所以， 因为，所以，所以， 令，则，所以，令，， 因为与在上单调递减， 所以在上单调递减， 因为在上有个解， 则在上有个解， 则，则，所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是换元，转化为在上有个解，确定的取值范围，由单调性确定的范围. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）若，求； （2）若向量，，求与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用向量垂直的坐标结论求出，再用模公式求解即可； （2）用向量平行的坐标结论求出，再用夹角的坐标公式求解即可； 【小问1详解】 因为，，所以. 由，可得， 即，解得， 所以，故. 【小问2详解】 依题意得. 因为，所以 解得，则. ，，， 所以， 所以与夹角的余弦值为. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为的中点，点在线段上，平面. （1）证明：； （2）求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2）1 【解析】 【分析】（1）证明，再由平面与平面垂直的性质即可证明； （2）设为的中点，连接，，证明平面平面，得平面，再由线面平行的性质即可得为中点. 【小问1详解】 因为，为的中点， 所以. 因为平面平面， 平面平面，平面， 所以平面. 因为平面， 所以. 【小问2详解】 设为的中点，连接，，如图所示， 因为，， 所以四边形是平行四边形， 所以. 因为平面，平面， 所以平面. 因为平面，平面， 所以平面平面. 因为平面， 所以平面. 因为平面平面，平面， 所以， 所以. 17. 已知函数，且. （1）求的值； （2）求的单调递增区间； （3）若的值域是，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入最大值点化简函数即可求参； （2）应用正弦函数的单调增区间求解即可； （3）化简得出正弦函数的值域进而确定自变量的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以, 可得， 所以, 所以 【小问2详解】 的单调增区间为. 【小问3详解】 因为, 又因为, 所以即. 18. 如图，在四棱柱中，平面平面，，，，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）在线段上取一点，使得，连接，问题转化为，； （2）首先证明出平面，然后在通过体积转化法求出点到平面的距离为，最后再通过求解. 【小问1详解】 如图：在线段上取一点，使得，连接， 因为，，，所以四边为正方形， 所以，，，， 又因为，，所以，所以， 又因为，，所以， 因为，，，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为，所以， 由于且，，平面且必相交与一点， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）可知，，所以， 又因为平面，，所以平面， 设点到平面的距离为，与平面的夹角为， 中，，，， ，， 所以， 而， 由可得：， 所以，所以与平面夹角正弦值为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键点是利用体积转化法求出点到平面的距离为，进而转化为求三角形面积的问题，在计算过程中为普通三角形，面积需要三部来计算，计算量较大，最后再通过求解. 19. 是直线外一点，点在直线上（点与点任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记.在中，角的对边分别是，点在射线上. （1）若是角的平分线，且，由点对施以视角运算，求的值； （2）若，由点对施以视角运算，，求的周长； （3）若，，由点对施以视角运算，，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，从而得到，即可得解； （2）根据所给定义及条件得到，再由余弦定理求出，即可求出，从而求出三角形的周长； （3）依题意可得，由等面积法得到，从而得到，再由乘“1”法及基本不等式计算可得. 【小问1详解】 因为是角的平分线，所以且在线段上， 所以， 又，所以； 【小问2详解】 因为点在射线上，，且，所以在线段外，且， 所以， 所以， 在中，由余弦定理可得， 即，解得（负值已舍去）， 所以， 所以的周长为. 【小问3详解】 因为，所以，则， 因为，所以， 又，所以， 又，所以，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题关键理解所给定义，第三问关键是推导出，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$