专题1.16 勾股定理（全章常考核心知识点分类专题）（基础练）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.16 勾股定理（全章常考核心知识点分类专题）（基础练） 考点目录： 【考点1】勾股数； 【考点2】求直角三角形的第三边（分类讨论）； 【考点3】勾股定理与等面积法求线段长； 【考点4】直角三角形边长有关的面积问题（勾股树）； 【考点5】用勾股定理解决网格问题； 【考点6】勾股定理与折叠问题； 【考点7】勾股定理解决平方和或平方关系； 【考点8】勾股定理的验证； 【考点9】勾股定理与弦图问题； 【考点10】用勾股定理解决最值问题； 【考点11】运用勾股定理表示数轴上的点； 【考点12】运用勾股定理构造直角三角形解决问题. 1、 选择题 【考点1】勾股数； 1．（23-24八年级下·新疆巴音郭楞·期末）下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．2，3，4 B．4，5，6 C．7，8，9 D．3，4，5 2．（2024八年级下·全国·专题练习）勾股定理最早出现在《周解算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为（，为正整数），则其弦是（结果用含的式子表示）（ ） A． B． C． D． 【考点2】求直角三角形的第三边（分类讨论）； 3．（23-24八年级下·广东汕头·期末）已知直角三角形的两条直角边长分别为5和12，则斜边长为（     ） A． B．13 C．14 D．13或 4．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）已知线段、、首尾相连后能构成直角三角形，若，，则的长为（    ） A．或 B．或 C． D． 【考点3】勾股定理与等面积法求线段长； 5．（23-24八年级下·四川内江·期末）如图，在中，，，，平分，交于点，，是，上的动点，则的最小值为（   ）    A． B．3 C．4 D． 6．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）如图，在中，，，若，，则（    ） A． B．3 C． D． 【考点4】直角三角形边长有关的面积问题（勾股树）； 7．（23-24八年级下·广西北海·期末）如图是一棵美丽的勾股树，它是由正方形和直角三角形拼成的，若正方形A，B的面积分别为41，25，则正方形C的面积是（    ） A．4 B．5 C．16 D．66 8．（23-24八年级下·天津南开·期末）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，．则图中阴影部分的面积为（    ） A．14 B． C．7 D． 【考点5】用勾股定理解决网格问题； 9．（23-24八年级下·天津河西·期末）如图，网格中的小正方形边长均为1，的三个顶点均在格点上，则的长度为（    ） A． B．4 C． D． 10．（23-24八年级下·广西梧州·期中）如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，则的值是（    ） A．4 B．8 C．10 D．12 【考点6】勾股定理与折叠问题； 11．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的长度为(   ) A．6 B．10 C．24 D．48 12．（2024·山东烟台·二模）如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是（　　） A． B． C． D． 【考点7】勾股定理解决平方和或平方关系； 13．（21-22八年级上·贵州六盘水·阶段练习）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 14．（23-24八年级上·河北保定·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【考点8】勾股定理的验证； 15．（23-24八年级下·广东云浮·期中）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现了数形结合的思想．下列选项中的图形，不能证明勾股定理得是（    ） A．   B．   C．    D．   16．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形，可以验证的式子为（    ） A． B． C． D． 【考点9】勾股定理与弦图问题； 17．（23-24八年级下·四川泸州·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，小正方形的面积为36，则大正方形的边长为（  ） A． B． C．8 D．6 18．（22-23八年级上·江苏苏州·期中）如图是用个全等的直角三角形与个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为，小正方形面积为，若用，表示直角三角形的两直角边，下列四个说法： ①； ②； ③； ④． 其中说法正确的是( ) A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【考点10】用勾股定理解决最值问题； 19．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期中）如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为、、．和是台阶两个相对的端点，在点有一只蚂蚁，想到点去觅食，那么它爬行的最短路程是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24八年级上·广东深圳·期中）华表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前耸立着高大的汉白玉华表，每根华表重约20000公斤，如图，在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从点到点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约9米，则雕刻在石柱上的巨龙至少（    ）米．    A． B． C． D． 【考点11】运用勾股定理表示数轴上的点； 21．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，数轴上点 A 表示的数为（    ） A． B． C． D． 22．（2024·山西大同·模拟预测）为了比较与的大小，小亮先画了一条数轴，然后在原点O处作了一条垂线段，且，点B表示的数是2，点C表示的数为3，连接，由推出，这里小亮用到的数学思想是（   ） A．统计思想 B．数形结合 C．模型思想 D．分类讨论 【考点12】运用勾股定理构造直角三角形解决问题； 23．（2024·辽宁抚顺·一模）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几?”译文：“秋千静止的时候，踏板高地1尺，将它往前推送两步(两步＝10尺)时，此时踏板升高到离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长?”如图，若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 24．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发到达藏宝点B，则门口A到藏宝点B的直线距离是（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 【考点1】勾股数； 25．（23-24七年级上·山东济宁·期中）下面各组a、b、c，是勾股数的是 ．（填序号） （1），， （2），， （3），， （4），， 26．（23-24七年级下·全国·假期作业）能够成为直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，观察下面的几组勾股数： 由勾股数3、4、5有； 由勾股数5、12、13有； 由勾股数7、24、25有 由勾股数9、40、41有． 可以发现，在一组勾股数中，当最小的数为奇数时，它的平方恰好等于另外两数之和，用关于的代数式表示第组的勾股数应为 ． 【考点2】求直角三角形的第三边（分类讨论）； 27．（23-24八年级下·浙江台州·期末）在中，，则的长为 ． 28．（23-24八年级下·四川德阳·期末）若直角三角形的两条边长为，，且满足，则该直角三角形的斜边长为 ． 【考点3】勾股定理与等面积法求线段长； 29．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在中，，于点D，，则 ． 30．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）在中，，，，过点C作于H，则线段的长度为 ． 【考点4】直角三角形边长有关的面积问题（勾股树）； 31．（23-24八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，分别以、、为直径作半圆，图中阴影部分图形称为“希波克拉底月牙”．当，时，则阴影部分的面积为 ． 32．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，直线l上有三个正方形a、b、c，若a、b的面积分别为2和5，则c的面积为 ． 【考点5】用勾股定理解决网格问题； 33．（23-24八年级下·广东广州·期中）在的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，则边上的高为 ． 34．（23-24七年级上·山东淄博·期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，P为上任一点，则的值是 ．    【考点6】勾股定理与折叠问题； 35．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，将长方形沿折叠，点D恰好落在边的F点上，已知，，则 ． 36．（10-11九年级下·云南大理·阶段练习）如图是一张直角三角形纸片，两直角边，将折叠，顶点与点重合，折痕为，则的长为 ．    【考点7】勾股定理解决平方和或平方关系； 37．（21-22八年级上·辽宁朝阳·期中）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于 ． 38．（15-16八年级上·江苏盐城·期中）在△ABC中，∠C=90°，若AB＝6，则= ． 【考点8】勾股定理的验证； 39．（23-24八年级上·吉林长春·期末）人们很早就发现直角三角形的三边满足的关系，我国汉代“赵爽弦图”（如图）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有 ．（直接填写图序号） 40．（22-23九年级上·湖南长沙·期中）素有“千古第一定理”之称的勾股定理，它是人类第一次将数与形结合在一起的伟大发现，也是人类最早发现并用于生产、观天、测地的第一个定理，它导致了无理数的发现，引发了第一次数学危机，它使数学由测量计算转变为推理论证．在中国，也被称为“商高定理”，西方则称其为“毕达哥拉斯定理”，几千年来，太多的溢美之词给了这一定理，由于它迷人的魅力，人们冥思苦索给出了数百种证明方法，成为了证明方法最多的定理，其中，利用等面积法证明勾股定理最为常见，现有四名网友为证明勾股定理而提供的图形，其中提供的图形（可以作辅助线）能证明勾股定理的网友是 （填写数字序号即可）． 【考点9】勾股定理与弦图问题； 41．（23-24八年级下·福建厦门·期末）如图是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形．三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．若一个直角三角形面积为24，大正方形面积为100，则的值为 ． 42．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）如图1，第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，若正方形与正方形的面积之比为m，，则m的值是 ． 【考点10】用勾股定理解决最值问题； 43．（23-24八年级下·广东江门·阶段练习）在中，分别为射线与射线上的两动点，且，连接，则最小值为 ． 44．（22-23八年级上·山东青岛·期末）如图，已知圆柱底面的周长为8dm，圆柱高为4dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长的最小值的平方为 dm． 【考点11】运用勾股定理表示数轴上的点； 45．（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，在数轴上，点表示的数为，与数轴垂直，且，以原点为圆心，为半径的圆交数轴于点（点在点的右侧），则点表示的数为 ． 46．（16-17八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为0、2，于点B，且，连接，在上截取，以A为圆心，的长为半径画弧，交线段于点E，则点E表示的实数是 ． 【考点12】运用勾股定理构造直角三角形解决问题； 47．（23-24九年级上·山东济南·期中）我国明代有一位杰出的数学家程大位在所著的《直指算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺立地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高土素好奇，算出索长有几？”词写得很优美，其大意是：当秋千静止在地面上时，秋千的踏板离地的距离为一尺，将秋千的踏板往前推两步（每一步为五尺），秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺，当然这时秋千的绳索是呈直线状态，问这个秋千的绳索有多长？ ． 48．（20-21八年级下·湖北武汉·阶段练习）（勾股定理的应用）如图，在中，，，，则 ．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】本题考查了勾股数：满足勾股定理且是正整数的数；利用勾股数的定义进行判断，逐个计算即可． 【详解】解：、因为，所以不是勾股数； 、因为，所以不是勾股数； 、因为，所以不是勾股数； 、因为，又3，4，5都是正整数，是勾股数． 故选：D． 2．C 【分析】本题考查了勾股数，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 根据题意得为偶数，设其股是，则弦为，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】解：为正整数， 为偶数，设其股是，则弦为， 根据勾股定理得，， 解得， 弦是， 故选：C． 3．B 【分析】本题主要考查了勾股定理．利用勾股定理，即可求解． 【详解】解：斜边长为 故选：B 4．A 【分析】该题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理的内容，注意分情况． 根据线段、、首尾相连后能构成直角三角形，分情况运用勾股定理计算即可． 【详解】解：根据题意可得： 或， 故选：A． 5．D 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式．过点C作，垂足为H，在上取一点，使，连接，判断出，得出，进而得出当点在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，最后用面积法，即可求出答案． 【详解】解：如图，过点C作，垂足为H，在上取一点，使，连接，    ∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当点在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为， ∵， ∴， 即的最小值为， 故选：D． 6．C 【分析】此题考查了勾股定理，等面积法求线段长度， 首先根据勾股定理求出，然后利用等面积法求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴． 故选：C． 7．C 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理，可知，以直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边的正方形的面积，即可得解；正确掌握相关知识点是解题关键． 【详解】解：根据勾股定理，可知，以直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边的正方形的面积， 即：， ， 故选：C． 8．C 【分析】本题考查了勾股定理，由正方形的面积得，，由勾股定理得，即可求解；能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：，， ， ， ， ； 故选：C． 9．D 【分析】本题考查了勾股定理，根据题意利用勾股定理即可得；掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵网格中的小正方形边长均为1，的三个顶点均在格点上， ∴， 故选：D． 10．B 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 用勾股定理分别求出的值，再代入求解即可． 【详解】解：由勾股定理得：， ∴， 故选：B． 11．B 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题；由折叠可知，设利用勾股定理进行分析计算即可． 【详解】解：由折叠可知， 设 由勾股定理可得， 即， 解得， ， 故选：B． 12．A 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，，，可得，继而设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点P处， ∴，， ∵折叠纸片，使点C与点P重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， 解得， 即， 故选：A． 13．D 【分析】根据，利用勾股定理可得，据此求解即可． 【详解】解：如图示， ∴在中， ∴， 故选：D． 【点拨】本题主要考查了勾股定理的性质，掌握直角三角形中，三角形的三边长，，满足是解题的关键． 14．C 【分析】根据垂美四边形的性质，勾股定理的运用即可求解，本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是“垂美”四边形，即， ∴在中，，在中，， ∴， 在中，，在中，， ∴， ∴， 故选：． 15．C 【分析】本题考查勾股定理的证明，根据各个图形，利用面积的不同表示方法，列式证明结论，找出不能证明的那个选项． 【详解】解：A、通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式，可得，可以证明勾股定理，不符合题意； B、通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式，可得，可以证明勾股定理，不符合题意； C、通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式，不能证明勾股定理，符合题意； D、通过梯形的面积的不同表示方法，可以列式，可得，可以证明勾股定理，不符合题意； 故选：C． 16．C 【分析】本题考查了勾股定理，根据大正方形的面积，大正方形的面积个三角形的面积个小正方形的面积，列出式子，变形即可得出答案． 【详解】解：由图可得：大正方形的面积， 大正方形的面积个三角形的面积个小正方形的面积， ， ， 故选：C． 17．A 【分析】本题考查勾股定理，完全平方公式变形．根据题意设大正方形边长为，由题意表示出，继而利用勾股定理可得本题答案． 【详解】解：设大正方形边长为， ∵小正方形的面积为36， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 18．B 【分析】本题利用了勾股定理、面积分割法等知识．根据大正方形的面积和勾股定理可判断①正确；根据四个三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积可判断②③正确；根据①③可知即可判断④不正确． 【详解】解：①大正方形的面积是，则其边长是7，利用勾股定理可得，故式①正确； ②小正方形面积为，则其边长是2， 因为是四个全等三角形，所以有，所以，故式②正确； ③根据图形可得四个三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积，即，化简得，故式③正确； ④因为，所以，故式④不正确． 综上，①②③正确． 故选：B． 19．C 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，勾股定理．根据题意画出台阶的侧面展开图，再根据勾股定理求出的长即可得出结论． 【详解】解：如图所示， ， ． 故选C． 20．D 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用——最短距离问题，根据题意得到把圆柱体的侧表面展开后是长方形，如图，把大长方形均分为3个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为3个小长方形的对角线的和，再根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧表面展开后是长方形，如图，把大长方形均分为3个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为3个小长方形的对角线的和，    ∵底面周长约为3米，柱身高约9米， ∴， ∴， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少． 故选：D 21．C 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，正确计算的长度是解题的关键． 如图，利用勾股定理计算出的长，再根据，即可解答． 【详解】 解：如图，， ， 点A在原点右边， 点 A 表示的数为． 故选C． 22．B 【分析】本题考查了勾股定理、三角形的三边关系等知识点，根据题意可得，据此即可求解． 【详解】解：由题意得， ∴ 该过程利用数轴，结合勾股定理可得，用到了数形结合的数学思想． 故选：B． 23．C 【分析】此题主要考查了考差了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出 的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．设秋千的绳索长为 尺，根据题意可得尺，利用勾股定理可得方程． 【详解】解：设秋千的绳索长为 尺，根据题意可列方程为：即． 故选：C 24．D 【分析】过点B作，观察图形可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点B作，如图， 观察图形可知：，， 在中，， ∴门口A到藏宝点B的直线距离是， 故选：D． 【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是结合图形，读懂题意，根据题意找到需要的数量关系，运用勾股定理求线段的长度． 25．（1）（2） 【分析】此题考查的知识点是勾股数．根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形，据此逐项判定即可． 【详解】解：（1），能构成勾股数，故符合题意； （2），能构成勾股数，故符合题意； （3），不能构成勾股数，故不符合题意． （4），，均不是整数，故不符合题意； 故答案为：（1）（2）． 26．     【分析】本题主要考查了勾股数问题，数字类的规律探索，观察可知当最小的数为奇数时，其可表示为，则第二小的数可以表示为，最大的数表示为，据此可得答案． 【详解】解：由勾股数3、4、5有； 由勾股数5、12、13有； 由勾股数7、24、25有 由勾股数9、40、41有． ……， 以此类推可得，由勾股数，，有， 故答案为：    ． 27．或/或 【分析】本题主要考查的是利用勾股定理求边长的问题，根据勾股定理来进行解答即可，本题需要分两种情况进行计算，即为斜边和为直角边． 【详解】解：∵ ∴， 当为直角边时，根据勾股定理可得：， 当为斜边时，根据勾股定理可得：， 故答案为：或． 28．4或5 【分析】本题主要考查了非负数的性质，勾股定理，根据非负数的性质可得，据此求出，再分当边长为b的边为直角边时， 当边长为b的边为斜边时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 当边长为b的边为直角边时，则斜边长为， 当边长为b的边为斜边时，则斜边长即为4，； 综上所述，该直角三角形的斜边长为4或5， 故答案为：4或5． 29． 【分析】本题考查了直角三角形面积的不同表示方法及勾股定理的综合应用，根据勾股定理求得的长，再根据三角形的面积公式求得即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 30． 【分析】本题考查了勾股定理；根据勾股定理求出斜边的长为5，再利用面积相等关系即可求得的长度． 【详解】解：如图，由勾股定理得：， ， ， ； 故答案为：． 31．30 【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 首先根据勾股定理求出，然后根据阴影部分面积等于以为直径的2 个半圆的面积加上减去为半径的半圆面积即，然后代数求解即可． 【详解】解：在中，， ， ． 故答案为：30． 32． 【分析】本题考查了对勾股定理几何意义的理解能力，根据根据已知及全等三角形的判定可得到，从而得到c的面积的面积的面积． 【详解】解： ∵三个正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴（如上图），根据勾股定理的几何意义，的面积的面积的面积， ∴c的面积的面积的面积． 故答案为：． 33． 【分析】此题考查了勾股定理，以及三角形的面积，首先求出的面积，再根据勾股定理可求出的长，进而根据面积公式即可求得边上的高的长． 【详解】解：由题意可得， ∵， ∴中边上的高长． 故答案为：． 34．12 【分析】本题主要考查勾股定理，运用勾股定理求出，两式相减即可得出结论． 【详解】解：在中，， 在中， ∴ ， 故答案为：12． 35．10 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，根据折叠的性质得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：根据折叠的性质，， 长方形中， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， 故答案为：10． 36． 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，运用勾股定理建立方程求出是关键；由折叠知，则，在中由勾股定理建立方程，即可求出，在中由勾股定理即可求得结果． 【详解】解：， ； 由折叠知， 则； 在中，， 即， 解得：； 在中，由勾股定理得． 故答案为：． 37．69 【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果． 【详解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中， BD2＝AB2−AD2， CD2＝AC2−AD2， 在Rt△BDM和Rt△CDM中， BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2， MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2， ∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2）， ＝132−102， ＝69． 故答案为：69． 【点拨】此题考查了勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2． 38．72 【详解】试题分析：根据勾股定理可得：=，则原式=2=2×36=72． 考点：勾股定理 39．③④/④③ 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，解题的关键是理解题意，掌握利用等面积法进行证明．分别求出①②③④的面积，进行化简即可得． 【详解】解：①长方形的面积：， ②， ③， 整理，得， ④， 整理，得， 故答案为：③④． 40．①②③④ 【分析】根据各部分图形的面积和差系导出a、b、c三者关系进行判断便可． 【详解】解：①由图形可知，， 整理得， 故①符合题意； ②由图形可知，， 整理得， 故②符合题意； ③由下图知，， 整理得， 故③符合题意； ④由下图知，， 即， ∴， ∴， 由的面积公式得， 整理得， 故④符合题意； 故答案为：①②③④． 【点拨】本题主要考查的是勾股定理的证明，掌握正方形、梯形、直角三角形的面积公式是解决此题的关键． 41．2 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明、正方形面积的计算、三角形面积的计算等知识，熟练掌握正方形面积和三角形面积的计算公式是解题的关键．由完全平方公式变形求值，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ， ， 故答案为：2． 42．3 【分析】本题考查勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由正方形与正方形的面积之比为m，得到，设，，得到，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】解：∵正方形与正方形的面积之比为m， ∴， ∴设，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：3． 43． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定以及勾股定理；过点作，使得，过点作于点，连接，证明得出，则当在线段上时，取的最小值，最小值为的长， 【详解】解：如图，过点作，使得，过点作于点，连接， 在中， ， ∴， ∴， ∴， 则当在线段上时，取的最小值，最小值为的长， ∵，，， ∴ ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 44．128 【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度． 圆柱底面的周长为，圆柱高为， ，， ， ， 这圈金属丝的周长最小为， 则这圈金属丝的周长的最小值的平方为． 故答案为：128． 【点拨】本题考查了平面展开-最短路径问题，掌握圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”是解题的关键． 45． 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，利用勾股定理求出即可得到答案． 【详解】解：由题意得，，，， ∴， ∴点P表示的数为， 故答案为：． 46．/ 【分析】本题主要考查了勾股定理及实数与数轴，熟练掌握勾股定理及实数与数轴上的点是一一对应关系进行求解是解决本题的关键．根据勾股定理可得的长，由题意可得，即，因为，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则点E表示的实数是． 故答案为：． 47．尺 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设这个秋千的绳索，得到，求出的值即可． 【详解】解：设这个秋千的绳索， 则， ， ， ∵， ， ， ， 这个秋千的绳索有尺． 故答案为：尺 48． 【分析】过C作，垂足为D，设，在和中，利用勾股定理列出方程，解之得到，利用勾股定理求出，再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过C作，垂足为D， 设，则， 在和中， ， 即， 解得：，即， ∴， ∴， 故答案为：．    【点拨】本题考查了勾股定理，三角形的面积，解题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求出相应线段长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$