精品解析：四川省攀枝花市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

2023—2024学年度（下）普通高中教学质量监测 高二数学试题卷 2024.7 本试题卷共4页，22小题，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并用2B铅笔将答题卡上对应数字标号涂黑. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知等比数列满足，则首项（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 由这4个数字组成无重复数字的四位数且为偶数，则不同的排法种数为（ ） A. B. 12 C. 18 D. 24 4. 已知函数满足，则在处的导数为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 在处取得最大值 B. 在区间上单调递减 C. 在处取得极大值 D. 在区间上有2个极大值点 6. 设为同一个随机试验中的两个随机事件，若，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.6 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，若是唯一的最大值，则的值为（ ） A. 5.6 B. 6.4 C. 7.2 D. 8 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知二项式的展开式中各项系数之和是，则下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 二项式系数最大的项是第4项 C. 展开式的常数项为540 D. 展开式的有理项共有3项 10. 甲乙两种品牌的手表，它们的日走时误差分别为和（单位：），其分布列为 甲品牌的走时误差分布列 0 1 0.1 0.8 0.1 乙品牌的走时误差分布列 0 1 2 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，棱长均为2的正三棱柱中，、分别为、的中点，则（ ） A. 平面 B. C. 直线与所成角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 12. 若函数存在两个极值点，则（ ） A. 函数至少有一个零点 B. 或 C. D. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知，则正整数=____. 14. 乡村振兴战略坚持农业农村优先发展，目标是按照产业兴旺､生态宜居､乡风文明､治理有效､生活富裕的总要求，建立健全城乡融合发展体制机制和政策体系，加快推进农业农村现代化.某乡镇通过建立帮扶政策，使得该乡镇财政收入连年持续增长，具体数据如表所示： 第年 1 2 3 4 5 收入（单位：亿元） 3 8 10 14 15 由上表可得关于的近似回归方程为，则第6年该乡镇财政收入预计为__________亿元. 15. 从4名男生和3名女生中选出4人去参加一项创新大赛，如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，则不同的选法种数为__________（用数字作答）. 16. 已知函数（是自然对数的底数），则函数的最大值为______；若关于的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围为______. 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知函数在处有极值. （1）求的解析式； （2）求在上的最大值和最小值. 18. 近年来我国新能源汽车产业迅速发展，下表是某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表： 年份 销量（万台） 某机构调查了该地区位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示： 购置传统燃油车 购置新能源车 总计 男性车主 女性车主 总计 （1）求新能源乘用车的销量关于年份的线性相关系数，并判断与之间的线性相关关系的强弱；（若，相关性较强；若，相关性一般；若，相关性较弱） （2）请将上述列联表补充完整，根据小概率值的独立性检验，分析购车车主购置新能源乘用车与性别是否有关系？ ①参考公式：相关系数； ②参考数据：； ③卡方临界值表： 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 其中，. 19. 已知数列的前项和为，且满足，公差不为0的等差数列中，，且是与的等比中项. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 20. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，点是棱上的一点，平面. （1）求证：点是棱的中点； （2）若平面与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值. 21. 2023年第三十一届世界大学生夏季运动会在成都举行，中国运动员在赛场上挥洒汗水､挑战极限､实现梦想.最终，中国代表团以103枚金牌､40枚银牌､35枚铜牌，总计178枚奖牌的成绩，位列金牌榜和奖牌榜双第一，激发了大学生积极进行体育锻炼的热情.已知甲､乙两名大学生每天上午､下午都各用半个小时进行体育锻炼，近50天选择体育锻炼项目情况统计如下： 体育锻炼项目情况 （上午，下午） （足球，足球） （足球，羽毛球） （羽毛球，足球） （羽毛球，羽毛球） 甲 20天 10天 乙 10天 10天 5天 25天 假设甲､乙在上午､下午选择体育锻炼的项目相互独立，用频率估计概率.已知甲上午锻炼选择羽毛球的条件下，下午锻炼仍选择羽毛球的概率为. （1）请将表格内容补充完整（写出计算过程）； （2）记为甲､乙在一天中选择体育锻炼项目的个数之差的绝对值.求的分布列和数学期望； （3）已知在这50天中上午室外温度在20度以下的概率为，并且当上午的室外温度低于20度时，甲去打羽毛球的概率为，若已知某天上午甲去打羽毛球，求这一天上午室外温度在20度以下的概率. 22. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积； （2）讨论函数的零点个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度（下）普通高中教学质量监测 高二数学试题卷 2024.7 本试题卷共4页，22小题，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并用2B铅笔将答题卡上对应数字标号涂黑. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求解即得. 【详解】由随机变量服从正态分布，得，而， 则， 所以. 故选：D 2. 已知等比数列满足，则首项（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，列出关于的方程组，再求解即得. 【详解】设等比数列的公比为， 由，得， 所以. 故选：C 3. 由这4个数字组成无重复数字的四位数且为偶数，则不同的排法种数为（ ） A. B. 12 C. 18 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】按个位数字是0和2分类求解即得. 【详解】当个位数字是0时，无重复数字的四位偶数的个数是， 当个位数字是2时，无重复数字的四位偶数的个数是， 所以不同的排法种数为. 故选：A 4. 已知函数满足，则在处的导数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对给定等式求导，赋值求出即可. 【详解】函数，求导得， 因此，即， 所以. 故选：D 5. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 在处取得最大值 B. 在区间上单调递减 C. 在处取得极大值 D. 在区间上有2个极大值点 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的符号确定函数的单调性，由此确定函数的极值. 【详解】由导函数的图象可知： 0 0 非负 递增 极大值 递减 极小值 递增 故选：C 6. 设为同一个随机试验中的两个随机事件，若，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.6 【答案】B 【解析】 【分析】根据对立事件概率及条件概率的公式计算即可得解. 【详解】由，得， 由， 得，所以. 故选：B 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设分析函数的单调性，可得的大小关系；设函数，分析函数单调性，可得的大小. 【详解】设，（），因为， 由；由. 所以函数在上递减，在上递增. 所以， 又，，所以. 再设，（），因为， 由；由. 所以函数在上递减，在上递增. 所以. 又，即. 故. 故选：A 8. 某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，若是唯一的最大值，则的值为（ ） A. 5.6 B. 6.4 C. 7.2 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，列出不等式求出，再利用二项分布的期望公式计算得解. 【详解】依题意，， 由是唯一的最大值，得，即， 则，整理得，解得， 而，因此，所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是列出不等式，利用组合数公式变形求解. 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知二项式的展开式中各项系数之和是，则下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 二项式系数最大的项是第4项 C. 展开式的常数项为540 D. 展开式的有理项共有3项 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用赋值法求出幂指数，再结合展开式的通项，逐项判断即可. 【详解】由二项式的展开式中各项系数之和是，得当时，，解得， 对于A，展开式共7项，A错误； 对于B，二项式系数最大的项是第4项，B正确； 二项式展开式的通项， 对于C，由，得，则展开式的常数项，C正确； 对于D，由为整数，得，因此展开式的有理项共有4项，D错误. 故选：BC 10. 甲乙两种品牌的手表，它们的日走时误差分别为和（单位：），其分布列为 甲品牌的走时误差分布列 0 1 0.1 0.8 0.1 乙品牌的走时误差分布列 0 1 2 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用期望、方差的定义计算判断AD；利用期望、方差的性质计算判断CD. 【详解】对于A，，，A正确； 对于B，，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：ABC 11. 如图，棱长均为2的正三棱柱中，、分别为、的中点，则（ ） A. 平面 B. C. 直线与所成角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A由及平面即可判断；B首先确定，得到，再由线平面垂直的判定、性质定理判断；C令为中点，连接，直线与所成角即为所求，应用余弦定理求其余弦值；D应用等体积法求点平面距. 【详解】A：由题意，而平面，即平面不成立，错； B：由、分别为、的中点，则，且， 所以，则，易得， 由底平面为等边三角形，则， 而，都在平面内，则平面， 由平面，则，都在平面内， 所以平面，平面，，对； C：为中点，连接，则， 故直线与所成角，即为直线与所成角， 由题设易知：，，则，对； D：由，若到平面的距离为，且， 则，即，对. 故选：BCD 12. 若函数存在两个极值点，则（ ） A. 函数至少有一个零点 B. 或 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出零点判断A；由导函数有两个不等的正零点判断B；利用一元二次方程根的分布判断C；计算并构造函数，探讨函数的最小值判断D. 【详解】对于A，由，得是的一个零点，A正确； 对于B，函数定义域为， 求导得，由存在两个极值点， 得方程有两个不相等的正实根，即有两个变号零点， 因此，且，解得，B错误； 对于C，由，，得，则，C正确； 对于D， ， 令，求导得， 即在上单调递增，因此，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：导数研究函数的极值问题，关键是问题的转化，利用极值点与题中参数关系，把问题转化为关于参数的函数，转化为确定函数的单调性． 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知，则正整数=____. 【答案】4 【解析】 【分析】由组合数和排列数公式列方程求解. 【详解】因为， 即，解得，满足题意. 故答案为：4 14. 乡村振兴战略坚持农业农村优先发展，目标是按照产业兴旺､生态宜居､乡风文明､治理有效､生活富裕的总要求，建立健全城乡融合发展体制机制和政策体系，加快推进农业农村现代化.某乡镇通过建立帮扶政策，使得该乡镇财政收入连年持续增长，具体数据如表所示： 第年 1 2 3 4 5 收入（单位：亿元） 3 8 10 14 15 由上表可得关于的近似回归方程为，则第6年该乡镇财政收入预计为__________亿元. 【答案】19 【解析】 【分析】先根据线性回归方程一定经过样本中心点求，再利用回归方程进行预计. 【详解】因为：，，由线性回归方程一定经过样本中心点，可得： ，所以，即. 当时，. 故答案为：19 15. 从4名男生和3名女生中选出4人去参加一项创新大赛，如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，则不同的选法种数为__________（用数字作答）. 【答案】30 【解析】 【分析】分甲入选，乙没入选，乙入选，甲没入选和甲乙均入选三种情况，求出不同选法相加即可. 【详解】若甲入选，乙没入选，从除了乙之外的5人选择3人，有种情况， 若乙入选，甲没入选，同理可得，有种情况， 若甲乙均入选，则从除甲乙外的5人中选择2人，有种情况， 综上，共有种情况. 故答案为：30 16. 已知函数（是自然对数的底数），则函数的最大值为______；若关于的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）利用导数求得函数的单调区间，由此求得的最大值. （2）对因式分解，将此方程有三个不同实数解，转化为，的解的个数来求解的取值范围. 【详解】（1）的定义域为，，故在上递增，在上递减，所以是的极大值也即是最大值. （2）由（1）知在上递增，在上递减，最大值为. 当时，当时，，当时，. 由，即. 由上述分析可知有一个解.故需有两个不同的解，由上述分析可知，解得.所以实数的取值范围是. 故答案为：（1）；（2）. 【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的最大值，考查利用导数研究方程的零点问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知函数在处有极值. （1）求的解析式； （2）求在上的最大值和最小值. 【答案】（1）； （2）最大值20，最小值2. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用极值点、极值建立方程求解并验证即得. （2）由（1）求出函数的单调区间，再求出最值. 【小问1详解】 函数，求导得， 依题意，，解得，此时， 当或时，当时，，则在处取得极大值，因此， ，由，解得， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 由（1）知，，且函数在上递增，在上递减， 当时，，， 所以函数在上的最大值是，最小值是. 18. 近年来我国新能源汽车产业迅速发展，下表是某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表： 年份 销量（万台） 某机构调查了该地区位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示： 购置传统燃油车 购置新能源车 总计 男性车主 女性车主 总计 （1）求新能源乘用车的销量关于年份的线性相关系数，并判断与之间的线性相关关系的强弱；（若，相关性较强；若，相关性一般；若，相关性较弱） （2）请将上述列联表补充完整，根据小概率值的独立性检验，分析购车车主购置新能源乘用车与性别是否有关系？ ①参考公式：相关系数； ②参考数据：； ③卡方临界值表： 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 其中，. 【答案】（1）0.96，y与x之间的线性相关性较强 （2） 购置传统燃油车 购置新能源车 总计 男性车主 女性车主 总计 认为购车车主购置新能源乘用车与性别是有关，此推断犯错误概率不大于0.05.【解析】 【分析】（1）根据公式计算相关系数，进而判断相关性强弱； （2）完成联表，根据公式计算，结合临界值表判断是否有关. 【小问1详解】 由表格知：，， 所以， ， ， 由上，有， 所以与之间的线性相关性较强； 【小问2详解】 依题意，完善表格如下： 购置传统燃油车 购置新能源车 总计 男性车主 女性车主 总计 则的观测值， 根据小概率值的独立性检验，我们认为购车车主购置新能源乘用车与性别是有关，此推断犯错误概率不大于. 19. 已知数列的前项和为，且满足，公差不为0的等差数列中，，且是与的等比中项. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用与的关系求出；利用等比中项的定义求出，进而求出. （2）利用（1）的结论求出，再利用错位丰减法求和即得. 【小问1详解】 数列的前项和为，，当时，， 两式相减得，即，由，得， 因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，； 由是与的等比中项，得，又，则， 整理得，又，解得，于是， 所以数列的通项公式分别为，. 【小问2详解】 由（1）知，， ， 于是， 两式相减得， 所以. 20. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，点是棱上的一点，平面. （1）求证：点是棱的中点； （2）若平面与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，利用线面平行的性质定理可得答案； （2）利用线面垂直的判定定理可得就是与平面所成的角，求出，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面、平面的一个法向量，由二面角的向量求法可得答案. 【小问1详解】 连接交于点，连接， 因为为矩形，所以点是是中点， 因为平面，平面，平面平面， 所以，因为点是是中点， 所以点是棱的中点； 【小问2详解】 因为，所以， 因为平面，平面，所以， 因为为矩形，所以， 因为，平面， 所以平面，所以就是与平面所成的角， 可得，， 以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，， 设是平面的一个法向量， 可得，所以， 令，可得，所以， 设是平面的一个法向量， 可得，所以， 令，可得，所以， 所以， 所以二面角的余弦值为. 21. 2023年第三十一届世界大学生夏季运动会在成都举行，中国运动员在赛场上挥洒汗水､挑战极限､实现梦想.最终，中国代表团以103枚金牌､40枚银牌､35枚铜牌，总计178枚奖牌的成绩，位列金牌榜和奖牌榜双第一，激发了大学生积极进行体育锻炼的热情.已知甲､乙两名大学生每天上午､下午都各用半个小时进行体育锻炼，近50天选择体育锻炼项目情况统计如下： 体育锻炼项目情况 （上午，下午） （足球，足球） （足球，羽毛球） （羽毛球，足球） （羽毛球，羽毛球） 甲 20天 10天 乙 10天 10天 5天 25天 假设甲､乙在上午､下午选择体育锻炼的项目相互独立，用频率估计概率.已知甲上午锻炼选择羽毛球的条件下，下午锻炼仍选择羽毛球的概率为. （1）请将表格内容补充完整（写出计算过程）； （2）记为甲､乙在一天中选择体育锻炼项目的个数之差的绝对值.求的分布列和数学期望； （3）已知在这50天中上午室外温度在20度以下的概率为，并且当上午的室外温度低于20度时，甲去打羽毛球的概率为，若已知某天上午甲去打羽毛球，求这一天上午室外温度在20度以下的概率. 【答案】（1）设事件C为“甲上午选择羽毛球”，事件为“甲下午选择羽毛球”， 设甲一天中锻炼情况为（羽毛球，足球）的天数为， 则，解得， 所以甲一天中锻炼情况为（足球，羽毛球）的天数为， 体育锻炼项目的情况（上午，下午） （足球，足球） （足球，羽毛球） （羽毛球，足球） （羽毛球，羽毛球） 甲 20天 15天 5天 10天 10天 10天 5天 25天 （2）分布列：期望； （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件概率的计算公式得到甲一天中锻炼情况为（羽毛球，足球）的天数，从而可补充表格内容. （2）先用古典概型计算公式分别计算甲、乙上午、下午选择同一种球和两种球的概率，再确定的取值，根据每个值对应的含义，求得每个值对应的概率，即可得分布列，进而求得期望. （3）利用条件概率的计算公式即可求解. 【小问1详解】 设事件C为“甲上午选择羽毛球”，事件为“甲下午选择羽毛球”， 设甲一天中锻炼情况为（羽毛球，足球）的天数为， 则，解得， 所以甲一天中锻炼情况为（足球，羽毛球）的天数为， 体育锻炼项目的情况（上午，下午） （足球，足球） （足球，羽毛球） （羽毛球，足球） （羽毛球，羽毛球） 甲 20天 15天 5天 10天 10天 10天 5天 25天 【小问2详解】依题意，甲上午､下午选择同一种球的概率为，选择两种球的概率为； 乙上午､下午选择同一种球的概率为，选择两种球的概率为． 记为甲､乙在一天中选择体育锻炼项目个数之差的绝对值，则的所有可能取值为， ，， 所以的分布列为： 所以． 【小问3详解】 记事件为“上午室外温度在20度以下”，事件为“甲上午打羽毛球”， 由题意知， . 故若某天上午甲去打羽毛球，则这一天上午室外温度在20度以下的概率为． 【点睛】结论点睛：求有两种方法：基于样本空间Ω，求出，则；以A为样本空间，求出A，AB包含的样本点数，则. 22. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积； （2）讨论函数的零点个数. 【答案】（1）； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程即可求解. （2）求出函数的导数，分类讨论函数的单调性，结合零点存在性定理及函数最值情况探讨零点即可. 【小问1详解】 当时，，求导得，则，而， 于是曲线在点处的切线为，即， 直线交轴于点，交于点， 所以曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积. 【小问2详解】 函数的定义域为， 求导得， 当时，则，函数在上单调递减， 显然，当时，，， 则，，， 于是，因此函数有唯一零点； 若，由得， 当时，，当时，， 则在单调递减，在单调递增，， 显然函数在上单调递增， 当时，，函数无零点； 当时，，函数有唯一零点； 当时，，当时，，， 则，，，于是，函数在上有一个零点， 当时，显然，， ， 因此，令，求导得， 即在上单调递增，，于是， 从而函数在上有一个零点， 于是当时，函数有两个零点， 所以当或时，函数有1个零点；当时，有两个零点；当时，无零点. 【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $