精品解析：河南省鹤壁市高中2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题

鹤壁市高中2023—2024学年（下）期末考试 高一数学试题卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚； 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效； 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用作差法即可判断A，利用不等式的性质即可判断B，举出反例即可判断CD. 【详解】对于A，， 因为，所以， 所以， 所以，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以，故B正确； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，当时，，故D错误. 故选：B. 2. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性即可判断 【详解】， ，即 所以 故选： 3. 已知是函数的零点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】A零点存在性定理判断零点所在区间；由题设得、，结合基本不等式、零点所在区间有、判断B、C、D. 【详解】A，函数为单调递增函数， 且，，故零点，错误； B，是函数的零点，则， 变形可得，两边同时取对数可得，正确； C，是函数的零点，则， 则，故， 又，则，根据对勾函数图象与性质知， 则，错误； D，，则，则，错误． 故选：B 4. 有甲、乙两个袋子，甲袋子中有3个白球，2个黑球；乙袋子中有4个白球，4个黑球．现从甲袋子中任取2个球放入乙袋子，然后再从乙袋子中任取一个球，则此球为白球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据独立事件与古典概型计算分从甲袋子取出2个白球放入乙袋子、从甲袋子取出2个黑球放入乙袋子和从甲袋子取出1个白球和1个黑球放入乙袋子三种情况讨论，从而可得出答案． 【详解】解：若从甲袋子取出2个白球放入乙袋子，然后再从乙袋子中任取一个球，则此球为白球的概率为； 若从甲袋子取出2个黑球放入乙袋子，然后再从乙袋子中任取一个球，则此球为白球的概率为； 若从甲袋子取出1个白球和1个黑球放入乙袋子，然后再从乙袋子中任取一个球，则此球为白球的概率为． 从甲袋子中任取2个球放入乙袋子，然后再从乙袋子中任取一个球，则此球为白球的概率为． 故选：B. 5. 如图所示；测量队员在山脚A测得山顶的仰角为，沿着倾斜角为的斜坡向上走到达处，在处测得山顶的仰角为．若，，，（参考数据：，，，，，），则山的高度约为（ ） A. 181.13 B. 179.88 C. 186.12 D. 190.21 【答案】C 【解析】 【分析】在中，利用正弦定理求，进而在Rt中求山的高度. 【详解】在中，则， 因为，则， 在Rt中，则. 故选：C. 6. 在锐角中，角的对边分别为的面积为，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由面积公式与正余弦定理化简后得出关系后求解 【详解】由题意，而， 所以，由余弦定理得， 故， 又由正弦定理得， 整理得， 故或（舍去），得， 因为是锐角三角形， 故， 解得，故， . 故选：C. 【点睛】关键点点睛：关键是适当结合正弦定理、余弦定理进行边角转换由此即可顺利得解. 7. 如图，在中，已知，，，、边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，取为基底，利用向量数量积求出，再利用向量夹角公式求解作答. 【详解】在中，令，，则，， 因为、边上的两条中线，相交于点，则，， 于是， ， ， 所以. 故选：A 8. 已知复数满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意确定复数z对应的点的轨迹，再结合椭圆的性质以及的几何意义，即可求得答案. 【详解】复数满足， 则复数z对应的点的轨迹为以为焦点，长轴长的椭圆， 则椭圆短半轴长为，椭圆方程为， 表示椭圆上的点到原点的距离， 当点位于椭圆长轴上的顶点时，取值大值2； 当点位于椭圆短轴上的顶点时，取值小值； 故的取值范围为， 故选：D 二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分. 9. 已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，在上是增函数 B. 不等式的解集是 C. 的图象过定点 D. 当时，的图象与的图象有且只有一个公共点 【答案】AC 【解析】 【分析】对A、B、C，结合对数函数性质逐项判断即可得，对D，将函数图象交点个数转化为研究函数的零点个数，借助零点的存在性定理即可判断. 【详解】对A：当时，在上是增函数，故A正确； 对B：当时，，则，当时，，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：当时，，令， 有，， ， 故在及上都至少有一根， 即的图象与的图象在及上都至少有一个交点， 故D错误. 故选：AC. 10. 如图，在正方体中，为棱上的动点，平面为垂足，下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. D. 与所成的角为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，可证得平面，进而有，所以在的中垂线上，可得，即可判断；对于B，由，而三棱锥的体积为定值，所以三棱锥的体积为定值，即可判断；对于C，可证得平面，则，即可判断；对于D，在正方体中，由是正三角形，可得与所成的角为，即可判断. 【详解】 对于A，在正方体中，连接，交于点，连接，则， 又平面，平面，所以， 因为平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为为的中点，所以在的中垂线上， 所以，故A正确； 对于B，在正方体中，平面，为棱上的动点， 所以点到平面的距离即为到平面的距离， 即为正方体的棱长，为定值，的面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，又， 所以三棱锥的体积为定值，故B正确； 对于C，连接，则， 又在正方体中，平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面，又平面， 所以，故C正确； 对于D，连接， 在正方体中，且， 所以四边形是平行四边形， 所以，所以即为与所成的角， 又是正三角形，所以与所成的角为，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知函数，则（ ） A. 的最大值为2 B. 函数的图象关于点对称 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 函数在区间上单调递增 【答案】AB 【解析】 【分析】先用辅助角公式将函数变形为，结合正弦型函数的性质逐项判断正确与否即可. 【详解】函数， 对于选项A，，A正确； 对于选项B和C，将代入函数的解析式，得，函数的图象关于点对称，B正确，C错误； 对于选项D，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，D不正确； 故选：AB. 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 函数相邻的两个零点分别为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角恒等变换得到，求出解得或，分两种情况，结合诱导公式求出答案. 【详解】 ， 令得， 故，或， 解得或， 又，其中， 故， 或， 综上，. 故答案为： 13. 在中，内角的对边分别为为锐角，的面积为2，则的周长的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题设可得，根据三角形内角的性质可知是的直角三角形，即有其周长为，利用基本不等式即可求出最小值，注意等号成立的条件. 【详解】由知：，而， ∴， ∴是的直角三角形，故，即，而， ∴的周长，当且仅当等号成立. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：利用三角恒等变换及三角形内角的性质判断三角形的形状，再由三角形周长公式、基本不等式求周长的最小值即可. 14. 已知四棱锥的侧棱长都相等，且底面是边长为的正方形，它的五个顶点都在直径为10的球面上，则四棱锥的体积为__________． 【答案】6或54 【解析】 【分析】分球心位于棱锥内部和外部进行讨论，根据球的半径求得棱锥的高，即可得到棱锥的体积. 【详解】由题意可知，棱锥底面正方形的对角线长为：， 棱锥的底面积为：，据此分类讨论： 当球心位于棱锥内部时，棱锥的高为：，棱锥的体积：； 当球心位于棱锥外部时，棱锥的高为：，棱锥的体积：； 综上可得：四棱锥的体积为6或54. 故答案为：6或54 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 对于函数，若存在，使得成立，则称为函数的“囧点”． （1）当m＝2，a＝－3，b＝2时，求函数的“囧点”； （2）当m＝0时，对任意实数b，函数恒有“囧点”，求a的取值范围． 【答案】（1）“囧点”， （2） 【解析】 【分析】（1）利用“囧点”定义布列方程，即可得到结果； （2）函数恒有“囧点”，等价于函数恒有“囧点”，结合判别式即可得到结果. 【小问1详解】 当m＝2，a＝－3，b＝2时，， 由题意知：∴，∴， 解得，， 所以当m＝2，a＝－3，b＝2时，函数的“囧点”，． 【小问2详解】 由题知：，所以， 由于函数恒有“囧点”， 所以，即， 又因为b是任意实数，所以， 解得，又．故． 16. 某电子产品制造企业为了提升生产质量，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件）. 质是指标值 产品 60 100 160 300 200 100 80 （1）估计这组样本的质量指标值的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）； （2）设表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，精确到个位，.根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量初步稳定；若有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功.请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？ 【答案】（1）； （2）可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功. 【解析】 【分析】（1）利用表格中的数据，根据平均数和方差的公式，准确计算，即可求解； （2）根据题设中的公式，分别求得区间和，并判断数据落在该区间的概率，结合给定的概率比较，得出结论. 【小问1详解】 解：由检测数据的统计图表，可得： 平均数， 方差为 【小问2详解】 解：由（1）知，，因为，，所以， 又因为精确到个位数，所以， 则， 该抽样数据落在内的概率约为， 又由，， 所以该抽样数据落在内的概率约为， 所以，可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功. 17. 如图所示，的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的D、E、F点上．岛屿到补给站的距离为岛屿到的，岛屿和岛屿到补给站的距离相等，补给站在靠近岛屿的BC的三等分点上．设． （1）用表示； （2）若三个岛屿围成的的面积为平方公里，且满足，求岛屿和岛屿之间距离的最小值． 【答案】（1）， （2）公里 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，且，结合向量的运算法则，即可求解； （2）由，化简得到，结合正弦定理得到，利用三角形的面积公式，求得，进而求得的最小值，得到答案. 【小问1详解】 解：由岛屿到补给站的距离为岛屿到的，可得， 点为中点，且， 又由，所以， . 【小问2详解】 解：由，可得， 即， 可得，即， 设，由正弦定理知 而 ， 所以， 因为，所以，得， 所以当，即时，取得最小值120，即的最小值为， 所以岛屿和岛屿之间距离的最小值为公里． 18. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，平面与平面将该正方体截成三个多面体，其中分别在棱上. （1）求证：平面平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）证明：由题意得平面平面， 又平面平面， 平面平面，所以， 同理， 因为且， 所以四边形为平行四边形，则， 所以， 又平面，且平面， 所以平面， 又为中点，所以为中点， 同理为中点，连接，， 因为，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，且平面，所以平面， 又，，平面， 所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）由面面平行的性质得到线线平行，进而得到，进而得到，平面，同理得到平面，证明出面面平行； （2）由（1）可得为异面直线与所成角或其补角，求出三边长，利用余弦定理求出异面直线的夹角余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知：， 所以为异面直线与所成角或其补角， 连接，因为正方体棱长为2且为中点， 则，， 又在正方体中，面，面，则， 则， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为． 【点睛】 19. 已知函数，在曲线与直线的交点中，若相邻交点的距离为. （1）求函数的解析式； （2）若，解不等式； （3）若，且关于的方程有三个不等的实根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的周期公式可求，即可求解函数解析式； （2）结合正弦函数的性质即可求解不等式； （3）由已知方程可得或，然后结合正弦函数的性质即可求解. 【小问1详解】 由可得， 因此其最大值为2，由与直线的交点中相邻交点的距离为， 可得，故， 所以解析式为 【小问2详解】 由不等式可得，， 解得， 所以； 因为， 所以或， 故的范围为或； 【小问3详解】 关于的方程有三个不等的实根， 即有三个不等的实根， 也即或有三个不等实根， 画出函数在上的图象如下： 结合函数图象可知，有一个根， 故有两个不等实数根， 所以， 故的范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鹤壁市高中2023—2024学年（下）期末考试 高一数学试题卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚； 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效； 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是函数的零点，则（ ） A. B. C. D. 4. 有甲、乙两个袋子，甲袋子中有3个白球，2个黑球；乙袋子中有4个白球，4个黑球．现从甲袋子中任取2个球放入乙袋子，然后再从乙袋子中任取一个球，则此球为白球的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示；测量队员在山脚A测得山顶的仰角为，沿着倾斜角为的斜坡向上走到达处，在处测得山顶的仰角为．若，，，（参考数据：，，，，，），则山的高度约为（ ） A. 181.13 B. 179.88 C. 186.12 D. 190.21 6. 在锐角中，角的对边分别为的面积为，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，已知，，，、边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知复数满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分. 9. 已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，在上是增函数 B. 不等式的解集是 C. 的图象过定点 D. 当时，的图象与的图象有且只有一个公共点 10. 如图，在正方体中，为棱上的动点，平面为垂足，下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. D. 与所成的角为 11. 已知函数，则（ ） A. 的最大值为2 B. 函数的图象关于点对称 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 函数在区间上单调递增 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 函数相邻的两个零点分别为，则______. 13. 在中，内角的对边分别为为锐角，的面积为2，则的周长的最小值为___________. 14. 已知四棱锥的侧棱长都相等，且底面是边长为的正方形，它的五个顶点都在直径为10的球面上，则四棱锥的体积为__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 对于函数，若存在，使得成立，则称为函数的“囧点”． （1）当m＝2，a＝－3，b＝2时，求函数的“囧点”； （2）当m＝0时，对任意实数b，函数恒有“囧点”，求a的取值范围． 16. 某电子产品制造企业为了提升生产质量，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件）. 质是指标值 产品 60 100 160 300 200 100 80 （1）估计这组样本的质量指标值的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）； （2）设表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，精确到个位，.根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量初步稳定；若有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功.请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？ 17. 如图所示，的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的D、E、F点上．岛屿到补给站的距离为岛屿到的，岛屿和岛屿到补给站的距离相等，补给站在靠近岛屿的BC的三等分点上．设． （1）用表示； （2）若三个岛屿围成的的面积为平方公里，且满足，求岛屿和岛屿之间距离的最小值． 18. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，平面与平面将该正方体截成三个多面体，其中分别在棱上. （1）求证：平面平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 19. 已知函数，在曲线与直线的交点中，若相邻交点的距离为. （1）求函数的解析式； （2）若，解不等式； （3）若，且关于的方程有三个不等的实根，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $