精品解析：吉林省白城市洮北区白城市实验高级中学2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题

白城市实验高级中学2023-2024学年高二下学期7月期末数学试卷 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 一、单选题（共8小题） 1. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的是（ ） A. { x |是小于18的正奇数} B. C. D. 3. 下列关于回归分析与独立性检验的说法：①回归分析和独立性检验没有什么区别；②回归分析是对两个变量准确关系的分析，而独立性检验是分析两个变量之间的不确定性关系；③回归分析是研究两个变量之间的相关关系，而独立性检验是对两个变量是否具有某种关系的一种检验；④独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系．其中正确的是（ ） A. ①② B. ③ C. ③④ D. ①②③④ 4. 在上的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 （2023·广西八市联考10月月考） 5. 已知是定义在上的偶函数，对任意实数满足，且在上单调递增，设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 设，，，则（ ） A. B. C. D. (2020·新高考全国Ⅰ卷) 7. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ） A. 62% B. 56% C. 46% D. 42% 8. 若偶函数满足且时，，则方程的根有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 1个 二、多选题（共4小题） 9. 已知的分布列为 -1 0 1 则（ ） A. B. C. D. 10. 设，那么（ ） A. B. C. D. （2023·江苏省盐城市联盟五校第一次学情调研） 11. 已知定义在上的函数，其导函数的定义域也为.若，且为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数有极小值 B. 函数在处切线的斜率为4 C. 当时，恰有三个实根 D. 若时，，则的最小值为2 三、填空题（共5小题） （2023·湖北省荆州市公安县车胤中学11月月考） 13. 已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围为_________． 14. 已知随机变量，则__________. 15. 新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献.某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下表： 研发投入（亿元） 1 2 3 4 5 产品收益（亿元） 3 7 9 10 11 用最小二乘法求得关于的经验回归直线方程是，当研发投入亿元时，相应的产品收益估计值为__________. (2023·江苏海安高级中学模拟) 16. 函数在区间上的值域为，则的取值范围是________. 17. 设函数，若函数在处的切线斜率为，则________． 四、解答题（共6小题） 18. 在某果园的苗圃进行果苗病虫害调查，随机调查了200棵受到某病虫害的果苗，并测量其高度（单位：，得到如下的样本数据的频率分布直方图. （1）估计该苗圃受到这种病虫害的果苗的平均高度（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）估计该苗圃一棵受到这种病虫害的果苗高度位于区间的概率； （3）已知该苗圃的果苗受到这种病虫害的概率为，果苗高度位于区间的棵数占该果苗总棵数的.从该苗圃中任选一棵高度位于区间的果苗，求该棵果苗受到这种病虫害的概率（以样本数据中受到病虫害果苗的高度位于各区间的频率作为受到病虫害果苗的高度位于该区间的概率）. 19. 求下列函数的导数. （1）； （2）； （3）. 20. 设函数. （1）求函数的单调增区间； （2）当时，记，是否存在整数，使得关于x的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：） 21. 7人站成一排． （1）甲必须在乙的前面（不一定相邻），则有多少种不同的排列方法？ （2）甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变（不一定相邻），则有多少不同的排列方法？ 22. 某跨国公司决定将某种智能产品大量投放中国市场，已知该产品年固定研发成本30万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入为万元，. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润＝销售收入﹣成本）； （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润. 23. 设，且． （1）求的值及的定义域； （2）求在区间上的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 白城市实验高级中学2023-2024学年高二下学期7月期末数学试卷 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 一、单选题（共8小题） 1. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据由能不能推出及由能不能推出即可得答案. 【详解】解：由，可得或； 由可得且， 所以由不能推出，但由能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 2. 对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的是（ ） A. { x |是小于18的正奇数} B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对照四个选项一一验证： 对于A：{ x |是小于18的正奇数}=即可判断； 对于B：即可判断； 对于C：即可判断； 对于D：即可判断. 【详解】对于A：{ x |是小于18的正奇数}=，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：D 3. 下列关于回归分析与独立性检验的说法：①回归分析和独立性检验没有什么区别；②回归分析是对两个变量准确关系的分析，而独立性检验是分析两个变量之间的不确定性关系；③回归分析是研究两个变量之间的相关关系，而独立性检验是对两个变量是否具有某种关系的一种检验；④独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系．其中正确的是（ ） A. ①② B. ③ C. ③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据回归分析和独立性检验的定义逐一判断即可． 【详解】解：回归分析是对两个变量之间的相关关系的一种分析，而相关关系是一种不确定关系；独立性检验是对两个变量是否具有某种关系的一种分析，并可以分析这两个变量在多大程度上具有这种关系，但不能100%肯定这种关系，所以①②④错误，③正确． 故选：B 4. 在上的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】首先分析函数在区间上的单调性，再根据单调性求最值. 【详解】， 因为在上单调递减， ∴当时，取得最大值，最大值为. 故选：A （2023·广西八市联考10月月考） 5. 已知是定义在上的偶函数，对任意实数满足，且在上单调递增，设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数奇偶性以及可知的周期为2，且在上单调递减，将表达式化简可得，，，又易知即可得. 【详解】根据题意可知，即可得， 所以函数是以2为周期的偶函数， 又在上单调递增，所以可得在上单调递增； 根据偶函数性质可知在上单调递减， 又 显然，所以可得，即； 因此可得. 故选：A 6. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的性质及对数的运算性质判断即可. 【详解】因为，， 又，，所以. 故选：D. (2020·新高考全国Ⅰ卷) 7. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ） A. 62% B. 56% C. 46% D. 42% 【答案】C 【解析】 【分析】由容斥原理即可得解.. 【详解】由题意，该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为 所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为. 故选：C. 8. 若偶函数满足且时，，则方程的根有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分析可得是周期为2的周期函数，结合函数的解析式作出的图象，进而分析函数与的交点的个数，两图象的交点个数即为方程的根的个数． 【详解】方程的解的个数， 等价于的图象与函数的图象的交点个数， 因为函数满足， 所以周期， 当时，，且为偶函数， 在同一个坐标系中画出函数的图象与函数的图象，如图所示： 显然函数的图象与函数的图象有个交点， 故有4个实数根. 故选：C. 二、多选题（共4小题） 9. 已知的分布列为 -1 0 1 则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据分布列的性质，求出.然后即可根据均值以及方差的公式，计算得出答案. 【详解】对于A，由分布列的性质可得，解得，则，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，当或时，， 所以，，D正确. 故选：ABD. 10. 设，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意，令和，两式相加减求得，，再求得的系数，得到的值. 【详解】令，可得， 令，可得. 两式相加除以求得， 两式相减除以可得. 由二项式通项公式得， 所以， 所以. 故选：ABC. （2023·江苏省盐城市联盟五校第一次学情调研） 11. 已知定义在上的函数，其导函数的定义域也为.若，且为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可以推出的周期以及对称中心，根据，可得的周期是4，又是由向左平移1个单位得到的，且注意到为奇函数，因此的对称中心为；然后对每一选项逐一验证判断即可. 【详解】对于A选项：注意到，又是由向左平移1个单位得到的， 且注意到为奇函数，因此的对称中心为即，因此；故A选项符合题意. 对于B选项：令，此时满足题意，但，故B选项不符题意. 对于C选项：因为的对称中心为，所以，又已知， 所以，这表明了关于直线对称，即， 由复合函数求导法则且同时两边对求导得；故C选项符合题意. 对于D选项：由的对称中心为，即，两边对求导得， 结合C选项分析结论，可知， 所以这表明了的周期为4， 因此，注意到， 所以；故D选项符合题意. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解决本题有两个关键之处，一方面：的周期以及对称中心并举反例排除B选项；另一方面：得出的对称轴，进而求出的奇偶性、周期性. 12. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数有极小值 B. 函数在处切线的斜率为4 C. 当时，恰有三个实根 D. 若时，，则的最小值为2 【答案】AD 【解析】 【分析】求导，利用导数判断的单调性和极值，结合图象判断ACD，利用导数的几何意义判断B. 【详解】由题意可得：， 令，解得；令，解得或； 则在上单调递减，在上单调递增， 可知的极大值为，极小值为， 且当x趋近于，趋近于，当x趋近于，趋近于， 可得的图象如下： 对于选项A：可知的极小值为，故A正确； 对于选项B：因为，所以函数在处切线的斜率为，故B错误； 对于选项C：对于方程根的个数，等价于函数与的交点个数， 由图象可知：时，恰有三个实根，故C错误； 对于选项D：若时，，则， 所以的最小值为2，故D正确； 故选：AD. 三、填空题（共5小题） （2023·湖北省荆州市公安县车胤中学11月月考） 13. 已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式的性质将题设条件中的不等式等价变形，构造辅助函数，利用导数和函数单调性的关系、函数的极值与最值、分离参数法分析运算即可得解. 【详解】解：由题意，，即，可得， 即对任意的恒成立， 令，则， ∴当时，，单调递减； 当时，，单调递增， ∴当时，是的极小值，也是最小值， ∴当时，． 令，则，则对任意的恒成立， 等价于对任意的恒成立， ∴对任意的恒成立，则当时，． 令，则，则在上单调递增， ∴是在上的最小值，即， ∴，即实数的取值范围为． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用分离参数法确定不等式（，为参数）恒成立问题中参数范围的步骤： 1.将参数与变量分离，不等式化为或的形式； 2.求在时的最大值或者最小值； 3.解不等式或，得到的取值范围. 14. 已知随机变量，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由二项分布的概率计算公式运算即可得解. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 15. 新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献.某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下表： 研发投入（亿元） 1 2 3 4 5 产品收益（亿元） 3 7 9 10 11 用最小二乘法求得关于的经验回归直线方程是，当研发投入亿元时，相应的产品收益估计值为__________. 【答案】亿元 【解析】 【分析】将样本中心点的坐标代入回归直线方程，求出的值，可得出回归直线方程，再将代入回归直线方程，可得结果. 【详解】由表格中的数据可得，， 将样本中心点代入回归直线方程可得，解得， 所以，回归直线方程为， 当时，（亿元）， 因此，当研发投入亿元时，相应的产品收益估计值为亿元. 故答案为：亿元. (2023·江苏海安高级中学模拟) 16. 函数在区间上的值域为，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求解方程和的解，再由函数的值域，结合函数的单调性，确定的取值范围. 【详解】解方程， 解得或， 解方程， 解得， 由于函数在区间上的值域为. 若函数在区间上单调， 则或， 此时取得最小值2； 若函数在区间上不单调，且当取最大值时，， 所以的最大值为4. 所以的取值范围是. 故答案为： 17. 设函数，若函数在处的切线斜率为，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】先对函数求导，然后由题意得，解方程可求出. 【详解】由，得， 因为函数在处的切线斜率为， 所以，解得. 故答案为：1 四、解答题（共6小题） 18. 在某果园的苗圃进行果苗病虫害调查，随机调查了200棵受到某病虫害的果苗，并测量其高度（单位：，得到如下的样本数据的频率分布直方图. （1）估计该苗圃受到这种病虫害的果苗的平均高度（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）估计该苗圃一棵受到这种病虫害的果苗高度位于区间的概率； （3）已知该苗圃的果苗受到这种病虫害的概率为，果苗高度位于区间的棵数占该果苗总棵数的.从该苗圃中任选一棵高度位于区间的果苗，求该棵果苗受到这种病虫害的概率（以样本数据中受到病虫害果苗的高度位于各区间的频率作为受到病虫害果苗的高度位于该区间的概率）. 【答案】（1）33cm； （2）0.6； （3）0.0225. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数公式求解即可； （2）求出所给区间上的频率即可求解； （3）根据条件概率公式求解即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图得该苗圃受到这种病虫害的果苗的平均高度为： . 【小问2详解】 该苗圃一棵受到这种病虫害的果苗高度位于区间的频率为：. 所以，估计该苗圃一颗受到这种病虫害的果苗高度位于区间的概率为0.6. 【小问3详解】 设从苗圃中任选一棵高度位于区间的果苗为事件，该棵果苗受到这种病虫害为事件， 则. 19. 求下列函数的导数. （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）函数可以看作函数和的复合函数，由复合函数的求导法则即可求出结果； （2）函数可以看作函数和的复合函数，由复合函数的求导法则即可求出结果； （3）函数可以看作函数和的复合函数，由复合函数的求导法则即可求出结果. 【小问1详解】 函数可以看作函数和的复合函数， 由复合函数的求导法则可得. 【小问2详解】 函数可以看作函数和的复合函数， 由复合函数的求导法则可得 . 【小问3详解】 函数可以看作函数和的复合函数， 由复合函数的求导法则可得 . 20. 设函数. （1）求函数的单调增区间； （2）当时，记，是否存在整数，使得关于x的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：） 【答案】（1） 当时，的增区间为； 当时，的增区间为； 时，的增区间为. （2）存在，的最小值为0 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，就的不同取值可求的解，从而可得函数的单调增区间. （2）利用导数结合虚设零点可求，从而可得整数的最小值. 【小问1详解】 因为， 所以， ①当时，由，解得； ②当时，由，解得； ③当时，由，解得； ④当时，由，解得； ⑤当时，由，解得， 综上所述，当时，的增区间为； 当时，的增区间为； 时，的增区间为. 【小问2详解】 当时，，所以， 而， 因为均为上的增函数， 故为上的增函数， 而，， 故在上有且只有一个零点， 且且时，；当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故， 因为，所以， 所以， 而整数，使得关于x的不等式有解，故， 故存在整数满足题意，且的最小值为0. 【点睛】思路点睛：利用导数求函数的最值时，如果导数的零点不易求得，则可以虚设零点，利用零点满足的关系式化简最值，从而得到最值的范围或符号. 21. 7人站成一排． （1）甲必须在乙的前面（不一定相邻），则有多少种不同的排列方法？ （2）甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变（不一定相邻），则有多少不同的排列方法？ 【答案】（1）2520 （2）840 【解析】 【分析】（1）7人站成一排，甲在乙前面的排法种数占全体排列种数的一半可得. （2）7人站成一排，甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变（不一定相邻）占全排列种数的，可得. 【小问1详解】 甲在乙前面的排法种数占全体排列种数的一半，故有（种）不同的排法． 【小问2详解】 甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全排列种数的，故有（种）不同的排法． 22. 某跨国公司决定将某种智能产品大量投放中国市场，已知该产品年固定研发成本30万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入为万元，. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润＝销售收入﹣成本）； （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润. 【答案】（1）；（2）当年产量为30万台时，该公司获得的利润最大，最大利润为2370万元. 【解析】 【分析】（1）根据利润销售收入成本，即可得解； （2）分和两种情况，分别根据二次函数的性质和基本不等式，求出对应的的最大值，再比较大小，即可得解． 【详解】解：（1）年利润. （2）当时，， 所以在上单调递增， 所以； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立，此时， 因为，所以，， 故当年产量为30万台时，该公司获得的利润最大，最大利润为2370万元. 23. 设，且． （1）求的值及的定义域； （2）求在区间上的最大值． 【答案】（1）； （2）2 【解析】 【分析】（1）根据结合对数运算，即可求得a的值；根据函数解析式列不等式组，即可求得函数定义域； （2）判断函数在给定区间上的单调性，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意知，且， 故，则， 而，故， 由，可得， 故的定义域为； 【小问2详解】 由（1）可得 而， 在上单调递增，在上单调递减， 故当时，取到最大值4， 函数为其定义域上的增函数， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在区间上的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $