精品解析：河南省信阳市固始县高级中学2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题

2023—2024学年普通高中高一（下）期末教学质量检测 数学试题 本试卷共4页，19题，满分150分，考试时间120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸 和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】对复数进行分母实数化，根据复数的几何意义可得结果. 【详解】， 复数在复平面内对应的点的坐标是，位于第四象限． 故选：D 2. 已知，是平面，，是直线，下列命题中不正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中线面、面面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A：若，，则或与异面，故A错误； 对于B：两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面， 故若，，则，故B正确； 对于C：垂直于同一条直线的两个平面互相平行， 故若，，则，故C正确； 对于D：根据面面垂直的判断定理可知，若，，则，故D正确； 故选：A 3. 已知向量，，若与共线且反向，则实数的值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 或4 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标表示求出，再结合反向共线即可得解. 【详解】由向量，共线，得，解得或， 当时，，，与同向，不符合题意， 当时，，，与反向，符合题意， 所以实数的值为4. 故选：A 4. 甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶20次，命中环数的频率分布条形图如下．设甲、乙命中环数的众数分别为，，方差分别为，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】观察给定的图表，利用众数的意义运动员命中环数的集中与分散程度判断即可. 【详解】根据图表知，甲､乙命中环数的众数均为7环，则； 甲运动员命中的环数比较分散，乙运动员命中的环数比较集中，则． 故选：A 5. 已知函数的部分图象如图所示，若将函数的图象向右平移个单位后所得曲线关于轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的图象特征，结合五点法作图列式求出和，再根据图象的平移变换，以及图象的对称性即可得解. 【详解】由，得，又点及附近点从左到右是上升的，则， 由，点及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得， 联立解得，，而，于是，， 若将函数的图像向右平移个单位后，得到， 则，而，因此， 所以当时，取得最小值为. 故选：A 6. 已知，，，则的最小值是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两角和的余弦展开式化简可得的值，再由两角和的正切展开式、基本不等式可得答案. 【详解】由， 得， 因为，，所以，且， ， 当且仅当取等号. 故选：C. 7. 已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（ ） A B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求得，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台补成正三棱锥，与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，根据比例关系可得，进而可求正三棱锥的高，即可得结果. 【详解】解法一：分别取的中点，则， 可知， 设正三棱台的为， 则，解得， 如图，分别过作底面垂线，垂足为，设， 则，， 可得， 结合等腰梯形可得, 即，解得， 所以与平面ABC所成角的正切值为； 解法二：将正三棱台补成正三棱锥， 则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角， 因为，则， 可知，则， 设正三棱锥的高为，则，解得， 取底面ABC的中心为，则底面ABC，且， 所以与平面ABC所成角的正切值. 故选：B. 8. 已知边长为2的菱形中，点为上一动点，点满足，，则的最大值为（ ） A. 0 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】设，求得，得到，以与交点为原点，建立平面直角坐标系，设，求得，进而求得的最大值为. 【详解】由，可得， 设， 可得 ，所以， 因为，所以， 以与交点为原点，以所在的直线分别为轴和轴建立平面直角坐标系，如图所示，则，，， 设，且，则，，， 当时，. 故选：D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一个平面截正方体所得的截面图形可以是（ ） A. 等边三角形 B. 正方形 C. 梯形 D. 正五边形 【答案】ABC 【解析】 【分析】结合截面图形的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，截面是正三角形，如图甲所示，故A正确； 对于B，截面可能是正方形，如图乙所示，故B正确； 对于C，截面可能为梯形，如图丙所示，故C正确； 对于D，截面有可能是五边形，如图丁所示，但截面五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等，截面五边形不可能是正五边形，故D错误； 故选：ABC. 10. 若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由已知可得，由幂函数性质可判断A; 由对数函数性质可判断B; 由幂函数性质可判断C; 由不等式的性质可判断D. 【详解】对于A：∵，幂函数在上单调递增， 且，∴，故选项A错误； 对于B：∵，∴函数在上单调递减， 又∵，∴， ∴，即，故B正确； 对于选项C：∵，则，幂函数在上单调递减， 且，∴，∴，故选项C正确； 对于选项D：由选项B可知：，∴， ∵， ∴，∴，故D错误. 故选：BC. 11. 在锐角中，设，，分别表示角，，对边，，，则下列选项正确的有（ ） A. B. 的取值范围是 C. 当时的外接圆半径为 D. 若当变化时，存在最大值，则正数的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由对进行化简得，在利用正弦定理可以推出；再由为锐角三角形化简出的取值范围，且根据正弦定理化简出可判断出的取值范围；同样根据，加上，求出，再利用正弦定理即可求出的外接圆半径；由的取值范围，且对进行化简得，且，当取到最大值时转化成求出的取值范围. 【详解】对于A：，且，即， 由正弦定理得：， 即， 或（舍去）， ，故A正确； 对于B：由正弦定理， 则， 为锐角三角形，则，即， ，所以，故B不正确； 对于C：且， ，所以， 由正弦定理，求得，即的外接圆半径为；故C正确； 对于D： ，且， ，即； 要使得有最大值，即有最大值， 此时，当有最大值时，即时， 有最大值为，此时， ，又， ，， ∴的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题B选项的关键是利用正弦定理得到，再求出角的范围即可判断；D选项的关键是充分利用辅助角公式得到其范围. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上． 12. 若函数在上为严格增函数，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正切型函数的单调性可得，即可求解. 【详解】在上为严格增函数，则， 由于，则,故， 因此，解得， 故答案为： 13. 已知函数是偶函数，对任意，均有，当时，，则函数的零点有__________个. 【答案】4 【解析】 【分析】转化为函数的图象与的图象的交点个数即可求解. 【详解】函数是偶函数，说明函数的图象关于轴对称，说明的周期是2， 在同一平面直角坐标系中画出函数的图象与的图象，如图所示： 如图所示，共有4个不同的交点，即有4个零点. 故答案为：4. 14. 已知正方体的棱长均为2．以中点为球心，为半径的球面与侧面的交线长为________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得球与侧面的交线为一段圆弧，即可得到结果. 【详解】 取中点，中点，中点，中点， 由题意可得，，， 在平面内取一点，使得，则， 且，所以以中点为球心，为半径的球面与侧面的交线 是以为圆心，为半径的圆弧，且，则，则圆弧的长为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）求与的夹角； （2）若在方向上的投影向量为，求的值． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】（1）根据数量积的运算和性质计算可得； （2）先求投影向量，然后利用数量积有关性质计算即可. 【小问1详解】 ， ，即， ，， . 【小问2详解】 ， . 16. 在中，内角的对边分别为的面积为S，已知，且． （1）求； （2）求取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 分析】（1）利用三角形面积公式及余弦定理计算可得，再根据弦化切计算即可； （2）利用正弦定理结合（1）化简得，再结合角的范围及三角函数的性质计算即可. 【小问1详解】 因为，所以， 在中，由余弦定理，得， 因为，所以， 所以，所以，因为，所以． 【小问2详解】 在中，由正弦定理，得， 所以 因为，所以，所以， 所以，即的取值范围为． 17. 为迎接冬季长跑比赛，重庆八中对全体高二学生举行了一次关于冬季长跑相关知识的测试，统计人员从高二学生中随机抽取100名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间内，并制成如图所示的频率分布直方图． （1）估计这100名学生的平均成绩； （2）若在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为74和26，在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为89和106，据此估计在内的所有学生测试成绩的平均数和方差． 【答案】（1）69.5分 （2）平均数80，方差112 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图直接求平均数即可； （2）利用平均数和方差公式直接计算求解即可. 【小问1详解】 由图表可知，这100名学生的平均成绩为分 【小问2详解】 在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为74和26， 区间的学生频率为， 在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为89和106， 区间的学生频率为， 所以在内的所有学生测试成绩的平均数为， 方差为 18. 已知函数，求： （1）的最小正周期及最大值； （2）若且，求的值； （3）若，在有两个不等的实数根，求的取值范围. 【答案】（1）函数的最小正周期为，最大值为；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期，利用正弦函数的有界性可求得函数的最大值； （2）求出的取值范围，由可得出，可得出，进而可求得角的值； （3）令，由可求得，由可得出，问题转化为直线与函数在上的图象有两个交点，数形结合可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）， 所以，函数的最小正周期为，最大值为； （2），则， ，可得，，解得； （3）当时，，令，则. 由可得，即，即， 所以，直线与曲线在上的图象有两个交点，如下图所示： 由上图可知，当时，即当时， 直线与曲线在上图象有两个交点， 因此，实数的取值范围是. 【点睛】通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好． 19. 在直角梯形ABCD中，，（如图1），把△ABD沿BD翻折，使得平面BCD，连接AC，M，N分别是BD和BC中点（如图2）． （1）证明：平面平面AMN； （2）记二面角A—BC—D的平面角为θ，当平面BCD⊥平面ABD时，求tanθ的值； （3）若P、Q分别为线段AB与DN上一点，使得（如图3），令PQ与BD和AN所成的角分别为和，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用垂足关系和平行关系，转化为证明平面； （2）首先利用的垂线，利用垂线构造二面角的平面角，再根据几何关系求解的值； （3）利用垂足关系和平行关系，得到，即可化简，并求取值范围. 【小问1详解】 因为，且点是的中点， 所以， 因为是等腰直角三角形，，，， 则， 则，得， 因为点分别是的中点，所以，即， ，且平面， 所以平面，且平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 因为平面平面，且平面平面， 因为，所以平面， 取的中点，连结， 因为，则，， 所以， 所以为二面角的平面角， ； 【小问3详解】 在线段取点，使得， 从而易得且，，， 另一方面，，，从而， 所以，，，平面， 所以平面，平面， 所以， 因为，， 所以， 从而， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年普通高中高一（下）期末教学质量检测 数学试题 本试卷共4页，19题，满分150分，考试时间120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸 和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知，是平面，，是直线，下列命题中不正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 3. 已知向量，，若与共线且反向，则实数的值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 或4 4. 甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶20次，命中环数的频率分布条形图如下．设甲、乙命中环数的众数分别为，，方差分别为，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知函数的部分图象如图所示，若将函数的图象向右平移个单位后所得曲线关于轴对称，则的最小值为（ ） A B. C. D. 6. 已知，，，则的最小值是（ ） A B. C. D. 7. 已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知边长为2的菱形中，点为上一动点，点满足，，则的最大值为（ ） A. 0 B. C. D. 3 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一个平面截正方体所得的截面图形可以是（ ） A. 等边三角形 B. 正方形 C. 梯形 D. 正五边形 10. 若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 在锐角中，设，，分别表示角，，对边，，，则下列选项正确的有（ ） A. B. 的取值范围是 C. 当时的外接圆半径为 D. 若当变化时，存在最大值，则正数的取值范围为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上． 12. 若函数在上为严格增函数，则实数的取值范围是______. 13. 已知函数是偶函数，对任意，均有，当时，，则函数的零点有__________个. 14. 已知正方体的棱长均为2．以中点为球心，为半径的球面与侧面的交线长为________________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）求与的夹角； （2）若在方向上的投影向量为，求的值． 16. 在中，内角的对边分别为的面积为S，已知，且． （1）求； （2）求的取值范围． 17. 为迎接冬季长跑比赛，重庆八中对全体高二学生举行了一次关于冬季长跑相关知识的测试，统计人员从高二学生中随机抽取100名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间内，并制成如图所示的频率分布直方图． （1）估计这100名学生的平均成绩； （2）若在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为74和26，在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为89和106，据此估计在内的所有学生测试成绩的平均数和方差． 18. 已知函数，求： （1）的最小正周期及最大值； （2）若且，求值； （3）若，在有两个不等实数根，求的取值范围. 19. 在直角梯形ABCD中，，（如图1），把△ABD沿BD翻折，使得平面BCD，连接AC，M，N分别是BD和BC中点（如图2）． （1）证明：平面平面AMN； （2）记二面角A—BC—D的平面角为θ，当平面BCD⊥平面ABD时，求tanθ的值； （3）若P、Q分别为线段AB与DN上一点，使得（如图3），令PQ与BD和AN所成的角分别为和，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $