精品解析：河南省周口市鹿邑县2023-2024学年高一下学期7月期末数学试题

2023—2024高一下期期末试卷 数学试题 时间120分钟 总分150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 样本数据24，13，14，18，12，14，20，16的75%分位数为（ ） A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 2. 设事件A，B，已知P（A）＝，P（B）＝，P(A∪B)＝，则A，B之间的关系一定为（ ） A. 两个任意事件 B. 互斥事件 C. 非互斥事件 D. 对立事件 3. 某圆台上底面圆半径为1，下底面圆半径为2，母线长为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，满足，，且，的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 设为两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 样本平均数为，样本的平均数为，那么样本的平均数为 A B. C. D. 7. 锐角中，角、、所对的边分别为、、，若、，，，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在梯形中，且，点为线段的靠近点的一个四等分点，点为线段的中点，与交于点，且，则的值为（ ） A 1 B. C. D. 二、多选题（3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 以下四种说法正确的是（ ） A B. 若，则复平面内对应的点位于第二象限 C. 复数的虚部为 D. 复平面内，实轴上的点对应的复数是实数 10. 某校为了落实“双减”政策，决定调查学生作业量完成情况．现随机抽取名学生进行完成率统计，发现抽取的学生作业完成比率均在至之间，进行适当地分组后，画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（ ） A. 直方图中的值为 B. 在被抽取的学生中，作业完成比率在区间内的学生有人 C. 估计全校学生作业完成比率的中位数约为 D. 若各组数据用所在区间中点值代替，估计全校学生作业完成比率的平均值为 11. (多选题)从装有大小和形状完全相同的5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,那么下列各对事件中,互斥而不对立的是 A. 至少有1个红球与都是红球 B. 至少有1个红球与至少有1个白球 C. 恰有1个红球与恰有2个红球 D. 至多有1个红球与恰有2个红球 三、填空题（3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，，若与共线，则实数______. 13. 已知点，，，在同一个球的球表面上，平面，，，，则该球的表面积为________． 14. 某工厂的三个车间生产同一种产品，三个车间的产量分布如图所示，现在用分层随机抽样方法从三个车间生产的该产品中，共抽取70件做使用寿命的测试，则C车间应抽取的件数为____________；若A，B，C三个车间产品的平均寿命分别为200，220，210小时，方差分别为30，20，40，则总样本的方差为____________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，，设（、为实数）. （1）求，的值； （2）若，，求 16. 在正三棱柱中，已知它的底面边长为2. （1）若该正三棱柱的高为4，分别求其表面积与体积. （2）若直线与平面所成角的大小为，求三棱锥的体积. 17. 在中，内角的对边分别是，若，． （1）求； （2）若，点D为边BC上一点，且，求的面积． 18. 质量监督局检测某种产品的三个质量指标，用综合指标核定该产品的等级.若，则核定该产品为一等品.现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下： 产品编号 质量指标（） 产品编号 质量指标（） （1）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率； （2）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，设事件为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标均满足”，求事件的概率. 19. 上饶某中学为了解该校高三年级学生数学学习情况，对一模考试数学成绩进行分析，从中抽取了50 名学生的成绩作为样本进行统计（若该校全体学生的成绩均在分），按照，，，，，，，的分组做出频率分布直方图如图所示，若用分层抽样从分数在内抽取8人，则抽得分数在的人数为3人． （1）求频率分布直方图中的，的值；并估计本次考试成绩的平均数（以每一组的中间值为估算值）； （2）该高三数学组准备选取数学成绩在前的学生进行培优指导，若小明此次数学分数是132，请你估算他能被选取吗？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024高一下期期末试卷 数学试题 时间120分钟 总分150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 样本数据24，13，14，18，12，14，20，16的75%分位数为（ ） A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】由百分位数的定义即可得解. 【详解】数据从小到大排序为12，13，14，14，16，18，20，24，则， 所以75%分位数为. 故选：C. 2. 设事件A，B，已知P（A）＝，P（B）＝，P(A∪B)＝，则A，B之间的关系一定为（ ） A. 两个任意事件 B. 互斥事件 C. 非互斥事件 D. 对立事件 【答案】B 【解析】 【分析】由题意先求P（A）＋P（B），然后检验P（A）＋P（B）是否与P(A∪B)相等，从而可判断是否满足互斥关系 【详解】因为P（A）＋P（B）＝＝P(A∪B)，所以A，B之间的关系一定为互斥事件． 故选：B 【点睛】此题考查了互斥事件的概率公式的简单应用，属于基础题 3. 某圆台上底面圆半径为1，下底面圆半径为2，母线长为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出圆台的高，再由圆台的体积公式求出即可. 【详解】设圆台的母线长为l，高为h， 因为圆台上底面圆的半径为1，下底面圆半径为2，母线， 因此圆台的高为， 所以圆台的体积为. 故选：A 4. 已知向量，满足，，且，的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用投影向量的公式即可求解. 【详解】向量在向量方向上的投影向量， 故选：D． 5. 设为两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，与还可能相交；对于B，还有可能；对于C，还有可能；对于D，用反证法可证命题正确. 【详解】对于A，若，则或与相交.故A不正确； 对于B，若，则或.故B不正确； 对于C，若，则或.故C不正确； 对于D，若，则，命题正确，证明如下： 如图： 假设与不平行，则必相交，设， 设直线与和分别交于点，在上取一点，连、， 因为，，所以， 因，，所以， 又直线、直线、直线在同一平面内，所以，这与相矛盾，故假设不成立，所以.故D正确. 故选：D 6. 样本的平均数为，样本的平均数为，那么样本的平均数为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知，所以所求平均数为 考点：样本平均数 7. 锐角中，角、、所对边分别为、、，若、，，，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由向量垂直得到，利用余弦定理求出或，利用锐角三角形排除，从而，利用面积公式求出答案. 【详解】由题意得：，故， 因为， 所以， 由余弦定理得：， 解得：或， 当时，最大值为B，其中，故为钝角，不合题意，舍去； 当时，最大值为B，其中，故B为锐角，符合题意， 此时. 故选：D 8. 如图，在梯形中，且，点为线段的靠近点的一个四等分点，点为线段的中点，与交于点，且，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的线性运算法则化简得到和，结合三点共线和三点共线，得出和，联立方程组，即可求解. 【详解】根据向量的线性运算法则，可得 ， 因为三点共线，可得，即； 又由， 因为三点共线，可得，即， 联立方程组，解得，所以. 故选：C. 二、多选题（3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 以下四种说法正确的是（ ） A. B. 若，则复平面内对应的点位于第二象限 C. 复数的虚部为 D. 复平面内，实轴上的点对应的复数是实数 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数运算、复数对应点、虚部和实轴等知识确定正确答案. 详解】A选项，，A选项正确. B选项，，对应点，对应点在虚轴上，B选项错误. C选项，复数的虚部为，C选项错误. D选项，复平面内，实轴上的点，对应的复数是实数，D选项正确. 故选：AD 10. 某校为了落实“双减”政策，决定调查学生作业量完成情况．现随机抽取名学生进行完成率统计，发现抽取的学生作业完成比率均在至之间，进行适当地分组后，画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（ ） A. 直方图中的值为 B. 在被抽取的学生中，作业完成比率在区间内的学生有人 C. 估计全校学生作业完成比率的中位数约为 D. 若各组数据用所在区间中点值代替，估计全校学生作业完成比率的平均值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为可判断A选项；计算出作业完成比率在区间内的频率，乘以可判断B选项；根据频率分布直方图计算中位数和平均数，可判断CD选项. 【详解】选项A：因为，则，故选项A正确； 选项B：在被抽取的学生中，作业完成比率在区间内的学生频率为，则学生有人，故选项B错误； 选项C：作业完成比率在区间内的学生频率为，作业完成比率在区间内的学生频率为， 中位数在内，且为，故答案C正确； 选项D：， 故估计全校学生作业完成比率的平均值为，D正确． 故选：ACD． 11. (多选题)从装有大小和形状完全相同的5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,那么下列各对事件中,互斥而不对立的是 A. 至少有1个红球与都是红球 B. 至少有1个红球与至少有1个白球 C. 恰有1个红球与恰有2个红球 D. 至多有1个红球与恰有2个红球 【答案】CD 【解析】 【分析】 根据互斥不对立事件的定义辨析即可. 【详解】根据互斥事件与对立事件的定义判断. A中两事件不是互斥事件,事件“3个球都是红球”是两事件的交事件; B中两事件能同时发生,如“恰有1个红球和2个白球”,故不是互斥事件; C中两事件是互斥而不对立事件;至多有1个红球,即有0个或1个红球,与恰有2个红球互斥,除此还有3个都是红球的情况,因此它们不对立, D符合题意. 故选：CD 【点睛】本题主要考查了互斥与对立事件的辨析,属于基础题型. 三、填空题（3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，，若与共线，则实数______. 【答案】3 【解析】 【分析】先求出，再由与共线，列方程能求出实数． 【详解】解：向量，，， ， 与共线， ，解得实数． 故答案为：3． 【点睛】本题考查实数值求法，考查平面向量坐标运算法则和向量共线的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 13. 已知点，，，在同一个球的球表面上，平面，，，，则该球的表面积为________． 【答案】8π 【解析】 【分析】通过补形的方法求得球的半径，由此求得球的表面积. 【详解】由于平面，所以，而， 所以是长方体一个顶点引出的三条棱， 设球的半径为，则，所以， 所以球的表面积为. 故答案为： 14. 某工厂的三个车间生产同一种产品，三个车间的产量分布如图所示，现在用分层随机抽样方法从三个车间生产的该产品中，共抽取70件做使用寿命的测试，则C车间应抽取的件数为____________；若A，B，C三个车间产品的平均寿命分别为200，220，210小时，方差分别为30，20，40，则总样本的方差为____________. 【答案】 ①. 21； ②. 89 【解析】 【分析】根据分层抽样按比例抽取即可得到C车间应抽取的件数；由分层抽样的方差公式：计算即可. 【详解】解：由分层抽样方法可得：抽取C车间应抽取的件数为； 样本的总体平均数为：， 样本的总体方差为：， 故答案为：21；89. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，，设（、为实数）. （1）求，的值； （2）若，，求. 【答案】（1），；（2）6. 【解析】 【分析】（1）利用向量的减法法则可得，化简即可求得结果； （2）由（1）求得，，利用数量积公式计算即可. 【详解】（1）， ∴,则， ，. （2）由（1）得，， . 16. 在正三棱柱中，已知它的底面边长为2. （1）若该正三棱柱的高为4，分别求其表面积与体积. （2）若直线与平面所成角的大小为，求三棱锥的体积. 【答案】（1）表面积为，体积为 （2） 【解析】 【分析】（1）求出三棱柱的侧面积和底面积，求出表面积，利用体积公式求出体积； （2）先根据线面角求出棱柱的高，进而利用等体积法求出三棱锥的体积. 【小问1详解】 正三棱柱的两个底面积之和为， 正三棱柱的侧面积为， 故正三棱柱的表面积为； 正三棱柱的体积为； 【小问2详解】 因为⊥平面，所以即为直线与平面所成角， 故， 所以，故， . 17. 在中，内角的对边分别是，若，． （1）求； （2）若，点D为边BC上一点，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角以及正弦定理可得，即可根据余弦的二倍角公式求解， （2）根据余弦定理可得，即可根据同角关系得，由面积公式即可求解. 【小问1详解】 ∵，∴， 在中，由正弦定理得，， 又，∴，∴； 【小问2详解】 ∵，，∴， 由余弦定理得，，则， 化简得，，解得或（负值舍去）， ∵，∴，∵，，∴， ∴的面积． 18. 质量监督局检测某种产品的三个质量指标，用综合指标核定该产品的等级.若，则核定该产品为一等品.现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下： 产品编号 质量指标（） 产品编号 质量指标（） （1）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率； （2）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，设事件为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标均满足”，求事件的概率. 【答案】（1）0.6；（2）. 【解析】 【分析】（1）分别计算10件产品的综合指标，找出满足条件的件数，除以总的10件，即可估计总的一等品率； （2）写出所有的基本事件并得其种数，找出满足条件综合指标均有的基本事件数，由古典概型概率计算公式求得答案. 【详解】（1）计算10件产品的综合指标，如下表： 产品编号 4 5 6 5 6 5 6 6 3 4 其中的有共6件，故该样本的一等品率为， 从而估计该批产品的一等品率为0.6. （2）在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为： 共15种. 在该样本一等品中，综合指标均满足的产品编号分别为， 则事件发生的所有可能结果为 共3种， 所以. 【点睛】本题考查用样本的概率估计总体概率，还考查了古典概型问题求概率，属于简单题. 19. 上饶某中学为了解该校高三年级学生数学学习情况，对一模考试数学成绩进行分析，从中抽取了50 名学生的成绩作为样本进行统计（若该校全体学生的成绩均在分），按照，，，，，，，的分组做出频率分布直方图如图所示，若用分层抽样从分数在内抽取8人，则抽得分数在的人数为3人． （1）求频率分布直方图中的，的值；并估计本次考试成绩的平均数（以每一组的中间值为估算值）； （2）该高三数学组准备选取数学成绩在前的学生进行培优指导，若小明此次数学分数是132，请你估算他能被选取吗？ 【答案】（1），；平均数为分 （2）小明能被选取 【解析】 【分析】（1）根据题意，由频率分布直方图即可求得，然后代入公式即可求得平均数； （2）根据题意，由条件列出方程，即可得到结果. 【小问1详解】 设由分层抽样可得分数在的人数与分数在的人数之比为， 所以，则， ， 又由频率分布直方图可知分数在的频率为0.04，分数在的频率为0.06， 分数在的频率为0.1，分数在的频率为0.2，分数在的频率为0.3， 分数在的频率为0.14，分数在的频率为0.1，分数在的频率为0.06． 则平均数为 分. 【小问2详解】 由题意可知分数在的频率为6%，所以前5%在该组，不妨设第5%名的分数为，则可得等式为 ， ∴， ∵，故小明能被选取. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$