精品解析：山东省烟台市莱州市2023-2024学年八年级下学期期末数学试卷

2023-2024学年度第二学期期末学业水平检测 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡，试题卷共6页，共3道大题，28道小题，满分120分．考试时间为120分钟． 2．答题前，请将自己的班级、姓名、座号填写在相应的位置上． 一、选择题（本题共12个小题，每小题均给出标号为A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的） 1. 二次根式中，字母不能取值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 3. 下列函数中，是关于的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组图形中的两个三角形均满足，这两个三角形不是位似图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是关于x一元二次方程的两个根，且，，则该一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，在函数的图象上，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 大自然是美的设计师，一个盆景也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点为的黄金分割点（），则（ ） A. B. C. D. 8. 直角三角形两条直角边长分别为和，则该直角三角形斜边上的中线长为（ ） A. B. C. 1 D. 2 9. 根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图像如图所示．当时，该物体承受的压强的值为（ ） A. 400 B. 600 C. 800 D. 1000 10. 某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系.每盆植入3株时，平均单株盈利5元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利为20元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（ ） A. B. C. D. 11. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图像大致是（ ） A. B. C. D. 12. 数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，矩形中，，，点是边上与点和点不重合的任意一点，小明把矩形沿折叠，使点落在点处，连接，当线段的值最小时，的长度为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共8个小题） 13. 已知，则_______． 14. 二次根式是一个整数，那么正整数的最小值是__________． 15. 对反比例函数，下列说法正确的有_________（填序号）①其图象位于第二、四象限；②其图象必过，③其图象关于y轴对称；④若，则． 16. 如图，已知，点D是AC的中点，，则AB的长为______． 17. 已知a，b分别是方程的两根，则的值为__________． 18. 如图，的顶点M在第一象限，顶点N在x轴上，反比例函数的图象经过点M，若，的面积为8，则k的值为 _____． 19. 如图，在中，对角线，交于点，为中点，连接交于点，若的面积为1，则的面积为__________． 20. 问题探究：因为，所以，因为，所以请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各式：________． 三、解答题（本题共8个小题，要写出必要的解答过程或推理步骤） 21. 计算． （1）； （2）． 22. 解方程． （1）（公式法）； （2）（配方法）； （3）（因式分解法）． 23. 如图，在网格图中，每个小正方形边长均为1，点和的顶点均在小正方形的顶点处． （1）以为位似中心，在网格图中将缩小到原来，得到，画出图形； （2）连接（1）中的，求四边形的周长（结果保留根号）． 24. 已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k＝2，求该矩形的对角线L的长． 25. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点． （1）求这两个函数表达式； （2）直接写出关于的不等式的解集__________； （3）求证：． 26. 综合实践活动中，某小组利用直角尺和皮尺测量建筑物和的高，因为这两栋建筑物高度相同，于是这个小组设计出一种简捷的方案，如图所示： （1）把直角尺的顶点放在两栋建筑物之间的地面上，调整位置使直角尺的两边，所在直线分别经过建筑物外立面的的顶部和； （2）用皮尺度量和的长度； （3）通过计算得到建筑物的高度．若示意图中点A，，，，，，均在同一平面内．测得，．请求出这两栋建筑的高度． 27. 某市某水果批发市场某批发商原计划以每千克10元的单价对外批发销售某种水果．为了加快销售，该批发商对价格进行两次下调后，售价降为每千克6.4元． （1）求平均每次下调的百分率； （2）某大型超市准备到该批发商处购买2吨该水果，因数量较多，该批发商决定再给予两种优惠方案以供选择．方案一：打八折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金1000元．试问超市采购员选择哪种方案更优惠？请说明理由． 28. 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． （1）如图1，在中，为角平分线，，，求证：为的完美分割线； （2）如图2，中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，求和长； （3）在中，，是的完美分割线，且为等腰三角形，请直接写出的度数为__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度第二学期期末学业水平检测 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡，试题卷共6页，共3道大题，28道小题，满分120分．考试时间为120分钟． 2．答题前，请将自己的班级、姓名、座号填写在相应的位置上． 一、选择题（本题共12个小题，每小题均给出标号为A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的） 1. 二次根式中，字母不能取的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件逐项代入验证即可． 【详解】解：根据题意得，二次根式有意义的条件为：， A、当时，，故A选项不符合题意； B、当时，，故B选项不符合题意； C、当时，，故C选项符合题意； D、当时，，故D选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式的性质以及二次根式的加减法则分别进行判断即可． 【详解】解：中，没有同类二次根式，不能合并， 故A选项不符合题意； ， 故B选项符合题意； ， 故C选项不符合题意； ， 故D选项不符合题意， 故选：B． 3. 下列函数中，是关于的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义，进行判断作答即可． 【详解】解：A．不是关于x的正比例函数，故A错误； B．是关于x的反比例函数，故B正确； C．不是关于x的反比例函数，故C错误； D．不是关于x的反比例函数，D错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数定义,熟练掌握形如 (k为常数且)的函数是反比例函数是解题的关键． 4. 下列各组图形中的两个三角形均满足，这两个三角形不是位似图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据位似图形的概念和性质，对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．性质：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行，对各选项逐一分析，即可得出答案． 【详解】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形． 根据位似图形的概念，A、C、D三个图形中的两个图形都是位似图形； B中的两个图形不符合位似图形的概念，对应边不平行，故不是位似图形． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了位似变换，注意位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点． 5. 已知，是关于x的一元二次方程的两个根，且，，则该一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：∵，， ， 当时，，即， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则，． 6. 已知点，，在函数的图象上，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用反比例函数的性质先判断函数值的正负，再判断同一支上对应函数值的大小，即可求解． 【详解】解，且 ，，， 在第一象限随着的增大而减小， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 7. 大自然是美的设计师，一个盆景也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点为的黄金分割点（），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，熟练掌握黄金分割中的比例关系是解题的关键．根据黄金分割点的定义，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵点为的黄金分割点（）， ∴， 故选：A． 8. 直角三角形两条直角边长分别为和，则该直角三角形斜边上的中线长为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先根据勾股定理列式求出斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：∵两条直角边的长分别是为和， ∴斜边==4， ∴斜边上的中线=2． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，二次根式的混合运算，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键． 9. 根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图像如图所示．当时，该物体承受的压强的值为（ ） A. 400 B. 600 C. 800 D. 1000 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数应用，理解题意，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题关键．本题先根据待定系数法求出反比例函数解析式，再把代入，问题得解． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 由函数图像得反比例函数经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 当时，． 故答案为：A． 10. 某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系.每盆植入3株时，平均单株盈利5元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利为20元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知假设每盆花苗增加株，则每盆花苗有株，得出平均单株盈利为元，根据每盆花苗株数平均单株盈利每盆的总盈利即可得出方程． 【详解】解：设每盆应该多植株，由题意得 ， 故选：． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数平均单株盈利总盈利得出方程是解题关键． 11. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分或，根据一次函数与反比例函数的性质即可得出答案． 【详解】解：当时，一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数位于第一、三象限； 当时，一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数位于第二、四象限； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图像与性质，熟练掌握，图像经过第一、三象限，，图像经过第二、四象限是解题的关键． 12. 数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，矩形中，，，点是边上与点和点不重合的任意一点，小明把矩形沿折叠，使点落在点处，连接，当线段的值最小时，的长度为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形与折叠性质、勾股定理、最短路径问题，先根据两点之间线段最短得到线段的值最小时，点F在上的点处，此时点E在点处，根据矩形和折叠性质得到，，在中，由勾股定理求得即可． 【详解】解：连接， ∵，当D、F、B共线时取等号， ∴线段的值最小时，点F在上的点处，此时点E在点处，如图， 在矩形中，，，则， 由折叠性质得，， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即线段的值最小时，的长度为， 故选：D． 二、填空题（本题共8个小题） 13. 已知，则_______． 【答案】####1.25 【解析】 【分析】根据比例的性质设，，，再代入计算可求解． 【详解】解：由题意设，，， ∴． 故答案：． 【点睛】本题主要考查比例的性质，利用比例的性质设参数是解题的关键． 14. 二次根式是一个整数，那么正整数的最小值是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据二次根式的性质化简，即可得答案． 【详解】解：，且是一个整数 正整数的最小值3 故答案为：3． 15. 对反比例函数，下列说法正确的有_________（填序号）①其图象位于第二、四象限；②其图象必过，③其图象关于y轴对称；④若，则． 【答案】② 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征即可判断． 【详解】解：①∵k＝6＞0， ∴它的图象在第一、三象限，故错误； ②当x时，y4， ∴图象必过（，4），故正确； ③反比例函数图象关于原点对称，故错误； ④∵k＝6＞0， ∴当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y＞0， ∵当x＝﹣3时，y2， ∴x＞﹣3，则y＜﹣2或y＞0，故错误． 故答案为：②． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质和反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键． 16. 如图，已知，点D是AC的中点，，则AB的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据点D是AC的中点，可求得AC、AD，再根据相似三角形的性质即可求得． 【详解】解：点D是AC的中点，， ，AC=4， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握和运用相似三角形的性质是解决本题的关键． 17. 已知a，b分别是方程的两根，则的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程解的定义、代数式求值，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程解的定义是解题的关键．根据一元二次方程的根与系数之间的关系可得，再根据一元二次方程解的定义可得，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵a，b分别是方程的两根， ∴， 把代入方程得，，即， ∴， 故答案为：3． 18. 如图，的顶点M在第一象限，顶点N在x轴上，反比例函数的图象经过点M，若，的面积为8，则k的值为 _____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，反比例函数比例系数的几何意义等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 如图，作于，则，由，可得，计算求解即可． 【详解】解：如图，作于， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得，， 故答案为：8． 19. 如图，在中，对角线，交于点，为中点，连接交于点，若的面积为1，则的面积为__________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，先证明得到，进而得到，，求得，利用平行四边形的性质可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴，， ∵的面积为1， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：12． 20. 问题探究：因为，所以，因为，所以请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各式：________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简的方法，关键是把复合二次根式的被开方数配成完全平方式．观察式子可知：，，故可看作平方的结果． 【详解】解：， ． 故答案为： 三、解答题（本题共8个小题，要写出必要的解答过程或推理步骤） 21. 计算． （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的运算法则和顺序进行计算即可． （1）先计算二次根式的乘法，再计算除法，最后计算减法即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式计算后，再进行加减法即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 22. 解方程． （1）（公式法）； （2）（配方法）； （3）（因式分解法）． 【答案】（1）； （2），； （3），． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程， （1）根据公式法直接求解即可； （2）先将二次项系数化为1，再移项，再进行配方，最后开平方即可求解； （3）先进行移项，再利用平方差公式进行因式分解即可求解． 【小问1详解】 解：， ，，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解： 两边都除以2，得． 移项，得． 配方，得， 即， 开平方，得， 即，， ∴，． 【小问3详解】 解：原方程可变形为． ∴． ∴，， ∴，． 23. 如图，在网格图中，每个小正方形边长均为1，点和的顶点均在小正方形的顶点处． （1）以为位似中心，在网格图中将缩小到原来的，得到，画出图形； （2）连接（1）中的，求四边形的周长（结果保留根号）． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查作图-位似变换、勾股定理， （1）根据位似图形的性质作图即可． （2）利用勾股定理求出和的长，进而可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形的周长． 24. 已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k＝2，求该矩形的对角线L的长． 【答案】（1）k＞；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据关于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根，得出△＞0，再解不等式即可； （2）当k=2时，原方程x2-5x+5=0，设方程的两根是m、n，则矩形两邻边的长是m、n，利用根与系数的关系得出m+n=5，mn=5，则矩形的对角线长为，利用完全平方公式进行变形即可求得答案. 【详解】解：（1）∵方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝[－(2k＋1)]2－4×1×(k2＋1)＝4k－3＞0， ∴k＞； (2)当k＝2时，原方程为x2－5x＋5＝0， 设方程的两个根为m，n， ∴m＋n＝5，mn＝5， ∴矩形的对角线长为：. 【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根． 25. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点． （1）求这两个函数的表达式； （2）直接写出关于的不等式的解集__________； （3）求证：． 【答案】（1），； （2）； （3）证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是： （1）利用待定系数法即可解决问题； （2）根据函数图象的性质，结合图象即可求得不等式的解集； （3）求出点C坐标，求出、的长，即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象过， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为． ∵反比例函数的图象过， ∴， ∴， ∴B点坐标为． ∵一次函数过、两点， 把，代入，得，解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：由图象可知，当一次函数图象在反比例函数上方时，， ∴的解集为； 【小问3详解】 证明：对于直线， 令，得， ∴， ∵，， ∴， ∴． 26. 综合实践活动中，某小组利用直角尺和皮尺测量建筑物和的高，因为这两栋建筑物高度相同，于是这个小组设计出一种简捷的方案，如图所示： （1）把直角尺的顶点放在两栋建筑物之间的地面上，调整位置使直角尺的两边，所在直线分别经过建筑物外立面的的顶部和； （2）用皮尺度量和的长度； （3）通过计算得到建筑物的高度．若示意图中点A，，，，，，均在同一平面内．测得，．请求出这两栋建筑的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的应用，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 由“等角的余角相等”得到，继而，代入求解即可． 详解】如图，由题意得，，， ，， ， ， ， ， 即， 设，可得，， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：两栋楼的高度为． 27. 某市某水果批发市场某批发商原计划以每千克10元的单价对外批发销售某种水果．为了加快销售，该批发商对价格进行两次下调后，售价降为每千克6.4元． （1）求平均每次下调的百分率； （2）某大型超市准备到该批发商处购买2吨该水果，因数量较多，该批发商决定再给予两种优惠方案以供选择．方案一：打八折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金1000元．试问超市采购员选择哪种方案更优惠？请说明理由． 【答案】（1）平均每次下调的百分率是；（2）超市采购员选择方案一购买更优惠． 【解析】 【分析】设出平均每次下调的百分率，根据从10元下调到列出一元二次方程求解即可； 根据优惠方案分别求得两种方案的费用后比较即可得到结果． 【详解】解： 设平均每次下调的百分率为x． 由题意，得． 解这个方程，得，不符合题意， 符合题目要求的是． 答：平均每次下调的百分率是． 超市采购员方案一购买更优惠． 理由：方案一所需费用为：元， 方案二所需费用为：元． ， 超市采购员选择方案一购买更优惠． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意表示出第2次下调后价格是解题关键． 28. 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． （1）如图1，在中，为角平分线，，，求证：为的完美分割线； （2）如图2，中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，求和长； （3）在中，，是的完美分割线，且为等腰三角形，请直接写出的度数为__________． 【答案】（1）证明见解析 （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理求得，再根据角平分线的定义可得，再由等角对等边可得为等腰三角形，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再根据“完美分割线的定义”可得，得，即，求得，再根据相似三角形的性质可得，即可求解； （3）根据是的完美分割线，且为等腰三角形进行分类讨论：或，根据等腰三角形的性质、三角形的内角和及相似三角形的性质进行求解即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴不是等腰三角形． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴为等腰三角形． ∴． 又∵， ∴． ∴CD是的完美分割线； 【小问2详解】 解：∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴． ∵是的完美分割线， ∴． ∴， ∴， ∴． 解得或（不合题意，舍去）， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵是的完美分割线，且为等腰三角形， ∴时，， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查角平分线的定义、三角形的内角和定理、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的性质与判定、解一元二次方程及新定义，熟练掌握等腰三角形的判定与性质和似三角形的性质与判定，理解“完美分割线”是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$