精品解析：吉林省松原市前郭县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

前郭县2023－2024学年度第二学期期末考试 八年级数学试卷 一、选择题（每小题2分，共12分） 1. 以下列各数为边长，不能组成直角三角形的是（ ） A. 1，2，2 B. 1，，2 C. 3，4，5 D. 7，24，25 【答案】A 【解析】 【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】A、，不能构成直角三角形，符合题意； B、，能构成直角三角形，不符合题意； C、，能构成直角三角形，不符合题意． D、，能构成直角三角形，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 2. 下列各式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 根据同类二次根式的定义即可解答． 【详解】解：A．，与不是同类二次根式，本选项错误，不符合题意； B．与是同类二次根式，故本选项正确，符合题意； C．，与不是同类二次根式，本选项错误，不符合题意； D．，与不是同类二次根式，本选项错误，不符合题意． 故选：B． 3. 某班七个兴趣小组人数如下：5，6，6，，7，8，9，已知这组数据的平均数是7，则这组数据的中位数是( ) A. 6 B. 6.5 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数求出x的值，再利用中位数定义即可得出答案． 【详解】∵5，6，6，，7，8，9，这组数据的平均数是7， ∴， ∴这组数据从小到大排列为：5，6，6，7，8，8，9 ∵这组数据最中间的数为7， ∴这组数据的中位数是7． 故选C． 【点睛】此题主要考查了中位数，根据平均数正确得出的值是解题关键． 4. 顺次连接四边形的四边中点所得的四边形是正方形，则下列判断正确的是（ ） A. 四边形一定是正方形 B. 四边形一定是菱形 C. 四边形一定是矩形 D. 四边形的对角线一定相互垂直且相等 【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，由中位线定理可得，，由四边形EFGH为正方形，可得：，，进而可得：，． 【详解】已知：如下图，四边形EFGH为正方形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点 求证：四边形ABCD是对角线垂直且相等的四边形 证明：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点， ∴，， ∵四边形EFGH为正方形， ∴，， ∴，． 故答案为：D． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，正方形的性质和判定，熟练掌握相关定理是解题的关键． 5. 如图，在中的对角线，相交于点，且，，则的周长（ ） A. 10 B. 14 C. 20 D. 22 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用平行四边形的性质得出AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，再利用已知求出AO+BO的长，进而得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO，BO=DO，DC=AB=6， ∵AC+BD=16， ∴AO+BO=8， ∴△ABO的周长= AO+BO+AB=8+6=14． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及三角形周长的计算等知识；正确得出AO+BO的值是解题关键． 6. 一次函数与正比例函数为常数且在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的判断，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得a、的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案． 【详解】解：根据一次函数的图象分析可得： A、由一次函数图象可知，，即；正比例函数的图象可知，不一致，故此选项不符合题意； B、由一次函数图象可知，；即，与正比例函数的图象可知，一致，故此选项符合题意； C、由一次函数图象可知，，即；正比例函数的图象可知，不一致，故此选项不符合题意； D、由一次函数图象可知，，即；正比例函数的图象可知，不一致，故此选项不符合题意； 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 _____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数大于等于零、分式的分母不能为零是解题关键． 根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件列不等式组求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴，解得：且． 故答案为：且． 8. 已知y关于x的函数是正比例函数，则m的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正比例函数定义可得，且，再解即可． 【详解】解：解：由题意得：，且， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正比例函数定义，关键是掌握形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数． 9. 某校规定：学生的单科学期综合成绩是由平时、期中和期末三项成绩按的比例计算所得.已知某学生本学期数学的平时、期中和期末成绩分别是80分、80分和85分，那么他本学期数学学期综合成绩是_________分. 【答案】82 【解析】 【分析】直接利用平时、期中和期末三项成绩按3：3：4的比例计算，进而利用平时、期中和期末成绩分别是80分、80分和85分，代入求出答案． 【详解】解：∵学生的单科学期综合成绩是由平时、期中和期末三项成绩按3：3：4的比例计算所得，某学生本学期数学的平时、期中和期末成绩分别是80分、80分和85分， ∴他本学期数学学期综合成绩是： （分）． 故答案为：82． 【点睛】此题主要考查了加权平均数，正确理解权的意义是解题关键． 10. 如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】先将点代入，求出的值，再根据函数图象即可解答． 【详解】解：∵函数过点， ∴， 解得：， ∴， 当时，函数的图象在函数图象的上方， ∴不等式的解集为． 11. 已知：表示、两个实数的点在数轴上的位置如图所示，化简__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，绝对值的性质，二次根式的性质．解答此题的关键是熟知：数轴上的任意两个数，右边的数总比左边的数大．根据数轴上得到的a，b的大小去绝对值，然后合并同类项即可． 【详解】解：由图可知，， 则，， ． 12. 如图，矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且，则的长为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】先利用矩形性质得到及，再根据折叠性质得到、、，计算出的长；接着在中用勾股定理求出的长；最后设，在中利用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：四边形是矩形，， ，， 是翻折而成， ，，， ，∠EFC=90°， 在中，由勾股定理得： ， 设，则，， 在中，由勾股定理得： 即， 解得． 13. 如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据两组对边分别平行证明四边形ABCD是平行四边形，再根据两张纸条的宽度相等，利用面积求出AB=BC，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据宽度是3与∠ABC=60°求出菱形的边长，然后利用菱形的面积=底×高计算即可． 【详解】解：∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵两张纸条的宽度都是3， ∴S四边形ABCD=AB×3=BC×3， ∴AB=BC， ∴平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是菱形． 如图，过A作AE⊥BC，垂足为E， ∵∠ABC=60°， ∴∠BAE=90°-60°=30°， ∴AB=2BE， 在△ABE中，AB2=BE2+AE2， 即AB2=AB2+32， 解得AB=2， ∴S四边形ABCD=BC•AE=2×3=6． 故答案是：6． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，根据宽度相等，利用面积法求出边长相等是证明菱形的关键． 14. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，大正方形的面积为，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长． 【详解】由题意可知：中间小正方形的边长为：， ∵大正方形的面积为 ∴， 又∵， ∴， ∴，即 ∴ 故答案为． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握该知识点是本题解题的关键． 三、解答题（每题5分，共20分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先算除法和乘法，再化为最简二次根式，然后算加减即可． 【详解】解： ． 16. 先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，其关键步骤是分式的化简，熟悉混合运算的顺序是解题关键．先算括号，再根据分式计算法则化简，代入x，y值即可计算． 【详解】解：原式 当，时， 原式． 17. 如图，正方形中，点P，Q分别为边上的点，且，连接．求证：． 【答案】 证明：在正方形中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 【解析】 【分析】根据正方形的性质得出，，根据已知条件得出，证明，得出，根据等量代换得出，即可得证. 【详解】略 四、解答题（每小题7分，共28分） 18. 在的菱形网格中，点A，B，C都在格点上，仅用无刻度的直尺，按要求画图： （1）在图1中找一个格点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形； （2）在图2中作中平行于边的中位线．（保留画图痕迹，不写画法） 【答案】（1） 如图，点D即为所求． （2） 如图，线段EF即为所求． 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的判定作出点D即可； （2）利用格点特征作出AB、AC的中点E、F，线段EF即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，平行四边形的判定和性质，三角形中位线的定义等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 19. 某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作，当停止工作时，油箱中油量为．在整个过程中，油箱里的油量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示． （1）机器每分钟加油量为_____，机器工作的过程中每分钟耗油量为_____． （2）求机器工作时关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． （3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时的值． 【答案】（1）3，；（2），；（3）5或40． 【解析】 【分析】（1）根据加油量为即可得；根据时剩余油量为即可得； （2）根据函数图象，直接利用待定系数法即可得； （3）先求出机器加油过程中的关于的函数解析式，再求出时，两个函数对应的x的值即可． 【详解】（1）由函数图象得：机器每分钟加油量为 机器工作的过程中每分钟耗油量为 故答案为：3，； （2）由函数图象得：当时，机器油箱加满，并开始工作；当时，机器停止工作 则自变量的取值范围为，且机器工作时的函数图象经过点 设机器工作时关于的函数解析式 将点代入得： 解得 则机器工作时关于的函数解析式； （3）设机器加油过程中的关于的函数解析式 将点代入得： 解得 则机器加油过程中的关于的函数解析式 油箱中油量为油箱容积的一半时，有以下两种情况： ①在机器加油过程中 当时，，解得 ②在机器工作过程中 当时，，解得 综上，油箱中油量为油箱容积的一半时的值为5或40． 【点睛】本题考查了函数图象、利用待定系数法求一次函数和正比例函数的解析式等知识点，从函数图象中正确获取信息是解题关键． 20. 下面是晓明的探究过程，请你补充完整： （1）具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：　　（填写一个符合上述运算特征的例子）． （2）观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：　　． （3）应用运算规律，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据所给的式子的特点进行求解即可； （2）分析所给的式子的形式，不难得出其规律； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：特例5为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解： ． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，数字的变化规律，解题的关键是由所给的式子总结出存在的规律． 21. 如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF． （1）求证：四边形DEFB是平行四边形； （2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长． 【答案】 （1）证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE//BC，BC＝2DE， ∵CF＝3BF， ∴BC＝2BF， ∴DE＝BF， ∴四边形DEFB是平行四边形； （2）平行四边形DEFB的周长＝ 【解析】 【分析】（1）证DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，BC＝2DE，再证DE＝BF，即可得出四边形DEFB是平行四边形； （2）由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，得BD＝EF，再由勾股定理求出BD＝10（cm），即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形， ∴BD＝EF， ∵D是AC的中点，AC＝12cm， ∴CD＝AC＝6（cm）， ∵∠ACB＝90°， ∴BD＝＝10（cm）， ∴平行四边形DEFB的周长＝2（DE+BD）＝2（4+10）＝28（cm）． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形DEFB为平行四边形是解题的关键． 22. 在学校组织的“文明出行”知识竞赛中，8（1）和8（2）班参赛人数相同，成绩分为A、B、C三个等级，其中相应等级的得分依次记为A级100分、B级90分、C级80分，达到B级以上（含B级）为优秀，其中8（2）班有2人达到A级，将两个班的成绩整理并绘制成如下的统计图，请解答下列问题： 平均数（分） 中位数（分） 方差 8（1）班 m 90 49 8（2）班 91 90 29 （1）求各班参赛人数，并补全条形统计图； （2）此次竞赛中8（2）班成绩为C级的人数为 ___________人； （3）小明同学根据以上信息制作了如下统计表：求出m的值，并从优秀率和稳定性方面比较两个班的成绩． 【答案】（1）10人，2人， 补全条形统计图如下： （2）1 （3） 91 ，八（1）班学生成绩的优秀率为， 八（2）班学生成绩的优秀率为， 从优秀率看，，所以八（2）班的成绩较好， 从方差来看，，所以八（2）班的成绩较稳定． 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的前提，掌握频率频数总数，是正确解答的关键． （1）从两个统计图可知八（2）班成绩为A等级的学生有2人，占调查人数的，由频率频数总数，可求出八（2）班调查人数，进而求出八（1）班成绩为C等级的人数，补全条形统计图； （2）根据频率频数总数，进行计算即可； （3）根据平均数的计算方法进行计算即可求出m的值，再根据优秀率的大小和方差的大小得出结论即可． 【小问1详解】 解：八（2）班调查人数为（人），即八（1）班调查人数也是10人， 所以样本中八（1）班成绩在C等级的人数为（人）， 【小问2详解】 解：8（2）班成绩为C级的人数为（人）， 故答案为：1； 【小问3详解】 解：八（1）班学生成绩的平均数为（分），即， 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 自2022年新课程标准颁布以来，南阳油田教育中心高度重视新课标的学习和落实，开展了信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，教育中心计划购买A，B两种型号的教学设备，已知A型设备价格比B型设备价格每台高，用30000元购买A型设备的数量比用15000元购买B型设备的数量多4台． （1）求A，B型设备的单价分别是多少元； （2）教育中心计划购买两种设备共50台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的．设购买台A型设备，购买总费用为元，求与的函数关系式，并设计出费用最低时的购买方案． 【答案】（1）A，B型设备单价分别是，元 （2），当购买台A型设备，则购买B型设备台时，购买费用最低 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意列出关系式是解题的关键． （1）设型设备的单价为元，则型设备的单价为元，根据题意建立分式方程，解方程即可求解； （2）设购买台型设备，购买型设备台根据题意建立一元一次不等式，求得最小整数解；根据单价乘以数量即可求的与的函数关系式，根据一次函数的性质即可求得最少购买费用． 【小问1详解】 解：设型设备的单价为元，则型设备的单价为元， 根据题意得：， 解得，经检验是原方程的解， 型设备的单价为元； 答：，型设备单价分别是，元． 【小问2详解】 设购买台型设备， 购买型设备台，依题意， ． 解得， 的最小整数解为， 购买总费用为元，， ， ，随的增大而增大， 时，取得最小值，此时． 答：当购买台型设备，则购买型设备37台时，购买费用最低 24. 风筝能够飞行的主要原因就是风力会产生一个向上的分力，风对风筝产生的作用力是垂直于风筝向上的，而线产生的拉力是斜向下的，这样就有可能达到受力平衡，风筝就可以稳定的飞在天上．“风大放线，风小收线”，其实说的就是通过调整拉力的大小来改变迎角，这样风筝就可以稳定的飞行了．某校八年级的王明和孙亮两位同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们来到了西区广场进行了如下操作：①测得的长度为米；（注：）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；③牵线放风筝的王明身高米； （1）求风筝的垂直高度． （2）若王明同学想让风筝沿方向下降米到点的位置，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）米 （2）他应该往回收线米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，解题的关键是能从实际问题中抽象出直角三角形． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理求出，然后即可得到结论． 【小问1详解】 解：在中， 由勾股定理得， （米）， 风筝的垂直高度为米； 【小问2详解】 由题意得米，  （米）， （米）， （米） 他应该往回收线米． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点A的坐标为，点B，C在x轴上，点D在y轴上． （1）求点B的坐标； （2）动点P以每秒1个单位长度的速度从点O出发，沿射线方向运动，设点P运动的时间为t秒，连接，，设的面积为，求S与t的函数关系式（请直接写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，平面内是否存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）； （3）存在，点Q的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）利用菱形的性质和点A的坐标求出菱形的边长，在中，由勾股定理得的长，求得的长即可； （2）分Р在线段上或Р在延长线上两种情况分别列出S与t的函数关系式即可； （3）分和两种情况讨论，当时，利用勾股定理和全等三角形的判定和性质求解即可；当时，画出图形，直接写出点Q的坐标． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形，点A的坐标为， ∴，． 在中，由勾股定理，得 ． ∴． ∴； 【小问2详解】 解：． ①当点P在上时，， ∴； ②当点P在OB的延长线上时，， ∴． 综上，； 【小问3详解】 解：当时，设， 则点A到x轴的距离等于点Q到x轴的距离，即为4， 作于点F，于点E， ，，， 由勾股定理得，即， 解得， 即， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，又， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， ∴； 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 26. 如图，直线交y轴于点A，交x轴于点B，点在第四象限，点在线段上．连接，，过点P作x轴的垂线，交边于点E，交折线段于点F． （1）求点A，B的坐标； （2）设点E，F的纵坐标分别为，，当时，为定值，求t的值； （3）在（2）的条件下，分别过点E，F作，垂直于y轴，垂足分别为点G，H，当时，求长方形周长的最大值． 【答案】（1）， （2） （3）28 【解析】 【分析】（1）令，得以关于的一元一次方程，令，得到的值，解方程后即可得出点，的坐标； （2）确定的解析式为，表示出，再根据定值的条件即可得解； （3）分①当时，②当时两种进行讨论即可． 【小问1详解】 解：∵直线交y轴于点A，交x轴于点B， ∴当时，得：， 解得：， 当时，得：， ∴，； 【小问2详解】 解：设的解析式为，过点， ∴， ∴， ∴的解析式为， ∵点在线段上，过点作轴的垂线，交边于点，交折线段于点，且点，的纵坐标分别为，，， ∴，， ∴， ∵为定值，即为定值， ∴， 解得：； 【小问3详解】 ①当时， （定长），在点运动到图中点，此时直线经过点，即， ∴长方形周长的最大值：， ②当时， 设的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴的解析式为， ∴， ∴长方形的周长为：， ∵， ∴随的增大而减小， 当时，长方形周长的最大值为：， 综上所述，长方形周长的最大值为． 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点，待定系数法确定一次函数的解析式，两点之间的距离，长方形的周长，一次函数的图像与性质等知识点，运用了分类讨论的思想．掌握一次函数的图像与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 前郭县2023－2024学年度第二学期期末考试 八年级数学试卷 一、选择题（每小题2分，共12分） 1. 以下列各数为边长，不能组成直角三角形的是（ ） A. 1，2，2 B. 1，，2 C. 3，4，5 D. 7，24，25 2. 下列各式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 某班七个兴趣小组人数如下：5，6，6，，7，8，9，已知这组数据的平均数是7，则这组数据的中位数是( ) A. 6 B. 6.5 C. 7 D. 8 4. 顺次连接四边形的四边中点所得的四边形是正方形，则下列判断正确的是（ ） A. 四边形一定是正方形 B. 四边形一定是菱形 C. 四边形一定是矩形 D. 四边形的对角线一定相互垂直且相等 5. 如图，在中的对角线，相交于点，且，，则的周长（ ） A. 10 B. 14 C. 20 D. 22 6. 一次函数与正比例函数为常数且在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 _____． 8. 已知y关于x的函数是正比例函数，则m的值是________． 9. 某校规定：学生的单科学期综合成绩是由平时、期中和期末三项成绩按的比例计算所得.已知某学生本学期数学的平时、期中和期末成绩分别是80分、80分和85分，那么他本学期数学学期综合成绩是_________分. 10. 如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为______． 11. 已知：表示、两个实数的点在数轴上的位置如图所示，化简__________． 12. 如图，矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且，则的长为_____． 13. 如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为_________． 14. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，大正方形的面积为，则的长为______． 三、解答题（每题5分，共20分） 15. 计算： 16. 先化简再求值：，其中，． 17. 如图，正方形中，点P，Q分别为边上的点，且，连接．求证：． 四、解答题（每小题7分，共28分） 18. 在的菱形网格中，点A，B，C都在格点上，仅用无刻度的直尺，按要求画图： （1）在图1中找一个格点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形； （2）在图2中作中平行于边的中位线．（保留画图痕迹，不写画法） 19. 某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作，当停止工作时，油箱中油量为．在整个过程中，油箱里的油量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示． （1）机器每分钟加油量为_____，机器工作的过程中每分钟耗油量为_____． （2）求机器工作时关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． （3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时的值． 20. 下面是晓明的探究过程，请你补充完整： （1）具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：　　（填写一个符合上述运算特征的例子）． （2）观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：　　． （3）应用运算规律，求的值． 21. 如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF． （1）求证：四边形DEFB是平行四边形； （2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长． 22. 在学校组织的“文明出行”知识竞赛中，8（1）和8（2）班参赛人数相同，成绩分为A、B、C三个等级，其中相应等级的得分依次记为A级100分、B级90分、C级80分，达到B级以上（含B级）为优秀，其中8（2）班有2人达到A级，将两个班的成绩整理并绘制成如下的统计图，请解答下列问题： 平均数（分） 中位数（分） 方差 8（1）班 m 90 49 8（2）班 91 90 29 （1）求各班参赛人数，并补全条形统计图； （2）此次竞赛中8（2）班成绩为C级的人数为 ___________人； （3）小明同学根据以上信息制作了如下统计表：求出m的值，并从优秀率和稳定性方面比较两个班的成绩． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 自2022年新课程标准颁布以来，南阳油田教育中心高度重视新课标的学习和落实，开展了信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，教育中心计划购买A，B两种型号的教学设备，已知A型设备价格比B型设备价格每台高，用30000元购买A型设备的数量比用15000元购买B型设备的数量多4台． （1）求A，B型设备的单价分别是多少元； （2）教育中心计划购买两种设备共50台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的．设购买台A型设备，购买总费用为元，求与的函数关系式，并设计出费用最低时的购买方案． 24. 风筝能够飞行的主要原因就是风力会产生一个向上的分力，风对风筝产生的作用力是垂直于风筝向上的，而线产生的拉力是斜向下的，这样就有可能达到受力平衡，风筝就可以稳定的飞在天上．“风大放线，风小收线”，其实说的就是通过调整拉力的大小来改变迎角，这样风筝就可以稳定的飞行了．某校八年级的王明和孙亮两位同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们来到了西区广场进行了如下操作：①测得的长度为米；（注：）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；③牵线放风筝的王明身高米； （1）求风筝的垂直高度． （2）若王明同学想让风筝沿方向下降米到点的位置，则他应该往回收线多少米？ 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点A的坐标为，点B，C在x轴上，点D在y轴上． （1）求点B的坐标； （2）动点P以每秒1个单位长度的速度从点O出发，沿射线方向运动，设点P运动的时间为t秒，连接，，设的面积为，求S与t的函数关系式（请直接写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，平面内是否存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 如图，直线交y轴于点A，交x轴于点B，点在第四象限，点在线段上．连接，，过点P作x轴的垂线，交边于点E，交折线段于点F． （1）求点A，B的坐标； （2）设点E，F的纵坐标分别为，，当时，为定值，求t的值； （3）在（2）的条件下，分别过点E，F作，垂直于y轴，垂足分别为点G，H，当时，求长方形周长的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $