精品解析：湖北省武汉市江岸区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

八年级数学 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑． 1. 二次根式有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 3. 下列图象中不能表示y是x的函数关系的是（ ） A B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 将直线向上平移个单位长度后，所得的直线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 对甲、乙、丙、丁四名射击选手进行射击测试，每人射击10次，平均成绩均为环，方差如表所示：则四名选手中成绩最稳定的是（ ） 选手 甲 乙 丙 丁 方差 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 如图，函数的图象与函数的图象交于点，其中k，b，m，n为常数，．则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》记载：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下﹐蔓日长一尺．问几何日相逢？意思是有一道墙，高9尺，在墙头种一株瓜，瓜蔓沿墙向下每天长7寸（1尺10寸）；同时地上种着瓠沿墙向上每天长1尺，问瓜蔓、瓠蔓要多少天才相遇？小李绘制如图的函数模型解决了此问题．图中（单位：尺）表示瓜蔓与瓠蔓离地面的高度，（单位：天）表示生长时间．根据小李的模型，点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，，．然后向左扭动框架，得到新的四边形（点E在的上方）．若在扭动后四边形面积减少了8．点P和Q分别为四边形和四边形对角线的交点，则的长为（ ） A. B. C. D. 2 10. 1765年数学家欧拉在其著作《三角形几何学》中首次提出定理：三角形三边的垂直平分线的交点，三条中线的交点以及三条高线的交点在一条直线上，这条线也被称为欧拉线．如图，已知的三个顶点分别为，，，则的欧拉线的解析式为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接写在答题卡的指定位置． 11. 计算：=_______． 12. 一次函数的图象不经过第_______象限． 13. 小明在课间活动中进行了8次一分钟跳绳练习，所跳个数分别为160，163，160，157，160，161，162，165．则160，163，160，157，160，161，162，165这8个数的众数为_______． 14. 如图，点E为正方形对角线上一点，，点F在边上，，则_______ 15. 已知一次函数（k为常数），其图象为直线l．下列四个结论：①无论k取何值，直线l都过点；②一次函数图象与直线l没有公共点，则；③直线l不经过第三象限，则；④点和在直线l上，若，则；其中正确的是_______．（填序号） 16. 如图，点O为等边边的中点．以为斜边作（点A与点D在同侧且点D在外），点F为线段上一点，延长到点E使，，若，，则_______ 三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 根据下列条件分别确定函数（k，b为常数）的解析式： （1）y与x成正比例，当时，； （2）直线经过点与点． 19. 为了积极倡导“绿色出行，低碳生活”，某市积极构建公共绿色交通体系，公共自行车的投入使用给市民的出行带来很多便利．某学校研究性学习小组为了解某小区一周内公共自行车的使用情况，随机调查了该小区部分居民一周内平均每天使用公共自行车的骑车时间t（单位：分钟），并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图，如图所示．请你根据图表提供的信息解答下列问题： 平均每天骑车时间统计表 组别 骑车时间t（分钟） 人数（频数） A 16 B m C 28 D 4 平均每天骑车时间扇形统计图 （1）__________，__________； （2）随机抽取这部分居民平均每天骑车时间的中位数落在__________组（填组别字母）； （3）若该小区居民总数为2400人，试估计该小区一周内平均每天使用公共自行车的骑车时间（分钟）的人数． 20. 如图，已知矩形中，对角线，相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形面积． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C，E，F都是格点，N在上，M在上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图（1）中，先以，为邻边作平行四边形，再在上画点H，使得； （2）在图（2）中，先画点F关于的对称点P，再过点M作的平行线l． 22. 某网络公司给出A，B两种上网的月收费方式（如下表） 收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/（元/h） A 30 30 B 45 50 3 设上网时间为t（单位：h），，根据表格回答： （1）请写出B种方式上网费用y（单位：元）关于上网时间t（单位：h）的函数解析式； （2）若，选取B种方式的上网费用低于A种方式时，求上网时间t的取值范围； （3）若，当上网时间为m时，A方式和B方式的上网费用相同，若m的值存在两个，直接写出a的取值范围_______． 23. 问题提出：如图1，点F是正方形边上一点，的角平分线交边于点E，探究线段，和之间的数量关系． 问题探究 （1）先将图1问题特殊化，如图2，若，，直接写出下列线段的长度，______，_______，______； （2）如图1，再探究一般情形中线段，和的数量关系，并证明你的结论； 问题拓展 （3）如图3，四边形中，，，，点F在的延长线上，平分交于点E，，直接写出的长度______． 24. 在数学探究性学习中经常会用到从特殊到一般、类比化归等数学思想和方法，如下是一个具体的探究性学习案例，请完善整个探究过程． 问题呈现：过点直线（k，c为常数且）分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于点A和B．探究并说明是定值． （1）特例探究：如图1，过点的直线分别交x轴和y轴于点A和B，求的值； （2）一般证明： ①时，直接写出______；，时，直接写出______； ②求出的值； （3）类比推广：如图2，已知，，点M在x轴的正半轴上，过M且不与y轴平行的直线l交直线于第一象限点N，若总有，请探究：直线l是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果否，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑． 1. 二次根式有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握要使二次根式有意义，其被开方数应为非负数．根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出其取值范围即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得，， 故选：C． 2. 以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：A、因为，所以不能构成直角三角形； B、因为，所以不能构成直角三角形； C、因为，所以能构成直角三角形； D、因为，所以不能构成直角三角形． 故选：C． 3. 下列图象中不能表示y是x的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键． 可根据“在某变化过程中有两个变量、，如果对于在某一范围内的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，那么称是的函数，叫做自变量”进行求解即可． 【详解】解：A选项中，每取一个的值对应一个或两个的值，不能表示是的函数，故A选项符合题意； B选项中，每取一个的值对应一个的值，能表示是的函数，故B选项不符合题意； C选项中，每取一个的值对应一个的值，能表示是的函数，故C选项不符合题意； D选项中，每取一个值对应一个的值，能表示是的函数，故D选项不符合题意； 故选：A． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的性质及运算，掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的性质化简，二次根式的运算即可求解． 【详解】解：A、、不是同类二次根式不能进行加减，故原选项错误，不符合题意； B、，故原选项错误，不符合题意； C、，故原选项正确，符合题意； D、，故原选项错误，不符合题意； 故选：C． 5. 将直线向上平移个单位长度后，所得的直线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数平移口诀：左加右减，上加下减的平移方法即可求得． 【详解】直线向上平移4个单位可得到：, 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像的平移，解题关键是掌握函数平移的方法． 6. 对甲、乙、丙、丁四名射击选手进行射击测试，每人射击10次，平均成绩均为环，方差如表所示：则四名选手中成绩最稳定的是（ ） 选手 甲 乙 丙 丁 方差 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差越小，越稳定判断即可．本题考查了方差的意义，解题关键是明确方差越小，波动越小． 【详解】解：因为乙的方差最小，所以乙的成绩最稳定； 故选：B． 7. 如图，函数的图象与函数的图象交于点，其中k，b，m，n为常数，．则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于)0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上(或下)方部分所有的点的横坐标的取值范围． 观察函数图象，写出一次函数的图象在一次函数的图象下方的自变量的取值范围即可． 【详解】解：根据图象可得：当时，， 所以不等式的解集为． 故选：D． 8. 《九章算术》记载：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下﹐蔓日长一尺．问几何日相逢？意思是有一道墙，高9尺，在墙头种一株瓜，瓜蔓沿墙向下每天长7寸（1尺10寸）；同时地上种着瓠沿墙向上每天长1尺，问瓜蔓、瓠蔓要多少天才相遇？小李绘制如图的函数模型解决了此问题．图中（单位：尺）表示瓜蔓与瓠蔓离地面的高度，（单位：天）表示生长时间．根据小李的模型，点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息、一元一次方程的应用，根据题意和图象可知，当它们相遇时，它们生长的长度之和为9，设瓜蔓、瓠蔓经过天相遇，根据相遇时“瓜蔓生长的长度瓠蔓生长的长度墙头的高度”列方程并求解即可． 【详解】解：设瓜蔓、瓠蔓经过天相遇， 根据题意，当瓜蔓、瓠蔓相遇时，得：， 解得： 点的横坐标为， 故选：B． 9. 如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，，．然后向左扭动框架，得到新的四边形（点E在的上方）．若在扭动后四边形面积减少了8．点P和Q分别为四边形和四边形对角线的交点，则的长为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 连接、、，先证是的中位线，得出，再证四边形是平行四边形，根据矩形的面积得出平行四边形的面积，即可求出的长，进一步求出、的长，根据勾股定理即可求出的长，从而求出的长． 【详解】解：连接、、， ∵点和分别为四边形和四边形对角线的交点， ∴过点过点， ∴点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， 在矩形框架中，， ∴矩形的面积为， 由题意得，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵扭动后四边形面积减少了8， ∴四边形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， 故选：A． 10. 1765年数学家欧拉在其著作《三角形几何学》中首次提出定理：三角形三边的垂直平分线的交点，三条中线的交点以及三条高线的交点在一条直线上，这条线也被称为欧拉线．如图，已知的三个顶点分别为，，，则的欧拉线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据中线的定义和待定系数法求解析式，求出三条中线的交点点的坐标，再根据线段垂直平分线的性质以及两点之间的距离公式求出三角形三边的垂直平分线的交点，再运用待定系数法即可求解； 【详解】解：设边上的中线为交于点， 则点的坐标分别为、， 设直线的表达式为，则，解得， 故直线的表达式为①， 由点坐标，同理可得直线的表达式为②， 联立①②并解得故点的坐标为； 设三角形三边的垂直平分线的交点，为，则， ∴， 解得．可得． 设该三角形的欧拉线方程为，将，代入可得： ，解得：， 则该三角形的欧拉线方程为， 故选：C． 【点睛】该题主要考查了三角形中线的性质，线段垂直平分线的性质，两点之间的距离公式，中点坐标公式，待定系数法求一次函数解析式以及函数交点求解等知识点，解题的关键是求出点和点W． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接写在答题卡的指定位置． 11. 计算：=_______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据算术平方根的概念求解即可．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果． 【详解】解：原式==4． 故答案为4． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误． 12. 一次函数的图象不经过第_______象限． 【答案】二 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象性质，准确掌握一次函数的图象性质是解题的关键． 根据一次函数的解析式，可得，再由一次函数图象性质，可得一次函数的图象经过第一、三、四象限． 【详解】解：∵一次函数， ， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴一次函数的图象不经过第二象限． 故答案为：二． 13. 小明在课间活动中进行了8次一分钟跳绳练习，所跳个数分别为160，163，160，157，160，161，162，165．则160，163，160，157，160，161，162，165这8个数的众数为_______． 【答案】160 【解析】 【分析】本题考查求一组数据的众数，理解众数的定义是解题关键． 根据众数是一组数据中出现次数最多的数值求解即可． 【详解】解：这组数据中出现次数最多的是160，出现了三次， ∴这组数据的众数为160， 故答案为：160． 14. 如图，点E为正方形对角线上一点，，点F在边上，，则_______ 【答案】##150度 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的性质和判定，解题关键是正确作出辅助线．连接，证明，得，得，得，由，即可得． 【详解】解：连接， ∵是正方形， ∴， ∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15. 已知一次函数（k为常数），其图象为直线l．下列四个结论：①无论k取何值，直线l都过点；②一次函数的图象与直线l没有公共点，则；③直线l不经过第三象限，则；④点和在直线l上，若，则；其中正确的是_______．（填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象和性质依次判断即可． 【详解】解：∵， ∴时，， ∴无论取何值，直线都过点， ∴①正确． ∵一次函数的图象与直线没有公共点， ∴直线平行于直线， ∴， ∴②正确． ∵直线不经过第三象限， ∴， 当直线经过原点时，，解得， ∴直线不经过第三象限，则； ∴③正确． ∵直线上有两点和，且， ∴，或， ∴随的增大而减小， ∴， ∴④错误． 故答案为：①②③． 16. 如图，点O为等边边中点．以为斜边作（点A与点D在同侧且点D在外），点F为线段上一点，延长到点E使，，若，，则_______ 【答案】9 【解析】 【分析】延长到N，使．连接，并延长交于．连接在上截取．连接．证明，得出，得出，再通过平行四边形的性质证明为中点，，再证明，，得出，再证明，证出为等边三角形，得出，即可求解； 【详解】解：延长到N，使．连接，并延长交于．连接在上截取．连接． ， ， ， O为中点， ， 延长使得，连接， ∵， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 为中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即 ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 故答案为：9． 【点睛】该题主要考查了等边三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质和判定等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． 三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则，尤其注意平方差公式的运用． （1）分别化简各项，再作加减法； （2）利用平方差公式展开，再计算． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 根据下列条件分别确定函数（k，b为常数）的解析式： （1）y与x成正比例，当时，； （2）直线经过点与点． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用待定系数法求正比例函数和一次函数的解析，掌握待定系数法是解题关键． （1）先根据正比例函数的定义可得，再利用待定系数法即可得； （2）直接利用待定系数法即可得． 【小问1详解】 解：y与x成正比例， ， ∴， 当时，， ， 解得：， 函数解析式为． 【小问2详解】 解：将点，代入中 得， 解得：， 函数解析式为． 19. 为了积极倡导“绿色出行，低碳生活”，某市积极构建公共绿色交通体系，公共自行车的投入使用给市民的出行带来很多便利．某学校研究性学习小组为了解某小区一周内公共自行车的使用情况，随机调查了该小区部分居民一周内平均每天使用公共自行车的骑车时间t（单位：分钟），并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图，如图所示．请你根据图表提供的信息解答下列问题： 平均每天骑车时间统计表 组别 骑车时间t（分钟） 人数（频数） A 16 B m C 28 D 4 平均每天骑车时间扇形统计图 （1）__________，__________； （2）随机抽取的这部分居民平均每天骑车时间的中位数落在__________组（填组别字母）； （3）若该小区居民总数为2400人，试估计该小区一周内平均每天使用公共自行车的骑车时间（分钟）的人数． 【答案】（1）32；20 （2）B （3）960人 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体： （1）用A组的人数除以其人数占比求出参与调查的人数，进而求出m、n的值即可； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）用2400乘以样本中周内平均每天使用公共自行车的骑车时间（分钟）的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：人， ∴参与调查的人数为80人， ∴，， ∴， 故答案为：32；20； 【小问2详解】 解：把这80人的骑车时间从低到高排列，处在第40名和第41名的时间都处在B组， ∴中位数落在B组， 故答案为：B． 【小问3详解】 解：样本中一周内平均每天骑车时间分钟的人数占比为 （人） 答：估计该小区一周内平均每天骑车时间分钟的人数为960人． 20. 如图，已知矩形中，对角线，相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）24 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． （1）首先由四边形是矩形，根据矩形的性质，易得，又由，，可证得四边形是平行四边形，即可判定四边形是菱形； （2）根据以及，即可解决问题． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ，，， ， ∵，， 四边形是平行四边形， 又∵， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ，， ∴， ∵， ， ∵四边形是菱形， ． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C，E，F都是格点，N在上，M在上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图（1）中，先以，为邻边作平行四边形，再在上画点H，使得； （2）在图（2）中，先画点F关于的对称点P，再过点M作的平行线l． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定画出图形，连接交于点，连接，延长交一点，点即为所求(证明，推出； （2）根据轴对称变化的性质求出点的对应点，取格点，连接交于点，连接，延长交于点，作直线即可． 【小问1详解】 解：如图1中，四边形，点即所求； 证明：∵， ∴是平行四边形， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图2中，点，直线即为所求． 证明：∵， ， ； ∴， 即是的线段垂直平分线， 故点F关于的对称是点P； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【点睛】本题考查作图-轴对称变换，线段垂直平分线的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，平行线的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22. 某网络公司给出A，B两种上网的月收费方式（如下表） 收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/（元/h） A 30 30 B 45 50 3 设上网时间为t（单位：h），，根据表格回答： （1）请写出B种方式上网费用y（单位：元）关于上网时间t（单位：h）的函数解析式； （2）若，选取B种方式的上网费用低于A种方式时，求上网时间t的取值范围； （3）若，当上网时间为m时，A方式和B方式的上网费用相同，若m的值存在两个，直接写出a的取值范围_______． 【答案】（1） （2）时，选取B种方式上网费用低 （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用等，理解题意、写出函数关系式并画出其图象是解题的关键． （1）根据“当时，上网费用月使用费；当时，上网费用月使用费费超时费包时上网时间）”作答并写为分段函数即可； （2）根据（1）的方法写出种方式上网费用关于上网时间的函数解析式，在同一坐标系中作出两种方式上网费用关于上网时间的函数图象，根据图象作答即可； （3）求出超时费为元时种方式上网费用关于上网时间的函数解析式，在上面的坐标系数中分析两图象交点情况，从而求出的取值范围． 【小问1详解】 解：当时，； 当时，； ∴种方式上网费用关于上网时间的函数解析式为． 【小问2详解】 解：对于种上网方式，当时，； 当时，； ∴种方式上网费用关于上网时间的函数解析式为． 两种方式上网费用关于上网时间的函数图象如图所示： 当两图象相交时，得， 解得， ∴两图象交点坐标为， 由图象可知，当种方式的上网费用低于种方式时，上网时间的取值范围为． 【小问3详解】 解：对于种上网方式，当时，； 当时，； ∴种方式上网费用关于上网时间的函数解析式为． 如图，当时，种方式上网费用关于上网时间的函数图象经过坐标，图象经过坐标， 当图象经过坐标时，得，解得； 当图象经过坐标时，得，解得； ∴若的值存在两个，的取值范围为． 故答案为：． 23. 问题提出：如图1，点F是正方形边上一点，的角平分线交边于点E，探究线段，和之间的数量关系． 问题探究 （1）先将图1问题特殊化，如图2，若，，直接写出下列线段的长度，______，_______，______； （2）如图1，再探究一般情形中线段，和的数量关系，并证明你的结论； 问题拓展 （3）如图3，四边形中，，，，点F在的延长线上，平分交于点E，，直接写出的长度______． 【答案】（1）2，3，5；（2），证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）由中点可得，再根据角平分线得到两组全等三角形、，最后利用勾股定理建立方程即可； （2）延长至点，使，先证，再证，最后证出即可得证； （3）同第（2）问构造全等得到，再利用构造特殊直角三角形，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ， ， 过作于点， 平分， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ， 故答案为：． （2），理由如下： 延长至点，使，连接， ∵四边形是正方形， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， 即， 又∵， ， ， ， ； （3）延长至点，使，连接， 是等腰梯形， ， ， ， ， 同(2)中方法可得， 设， 过作交延长线于， ， ， ， ， ， 在中，， 即， 解得， 即． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的性质和判定、直角三角形的性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题的关键． 24. 在数学探究性学习中经常会用到从特殊到一般、类比化归等数学思想和方法，如下是一个具体的探究性学习案例，请完善整个探究过程． 问题呈现：过点的直线（k，c为常数且）分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于点A和B．探究并说明是定值． （1）特例探究：如图1，过点的直线分别交x轴和y轴于点A和B，求的值； （2）一般证明： ①时，直接写出______；，时，直接写出______； ②求出的值； （3）类比推广：如图2，已知，，点M在x轴的正半轴上，过M且不与y轴平行的直线l交直线于第一象限点N，若总有，请探究：直线l是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果否，请说明理由． 【答案】（1）； （2）①，1；②1； （3）是，． 【解析】 【分析】（1），，则； （2）①点、的坐标分别为：，、，即可求解； ②由①知，，，，则； （3）求出，，即可求解． 本题考查是一次函数综合运用，涉及一次函数的图象和性质，函数表达式的求解等，按题设的顺序逐次求解是解题的关键． 【小问1详解】 解：直线分别交轴和轴于点和，则点、的坐标分别为：、， 则，， 则； 【小问2详解】 解：①将点的坐标代入一次函数表达式得：， 则点、的坐标分别为：，、， 当时，即，则， 则，，则； 当，时，同理可得：， 故答案为：，1； ②由①知，，，， 则； 【小问3详解】 解：由点、的坐标得，直线的表达式为：，设直线的表达式为：， 联立上述两式得：， 解得：，则点，， 由点、的坐标得，，则， 由直线的表达式知，点，，则， ，即， 解得：， 则， 当时，， 即直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$