贵州省黔东南州2023-2024学年高一下学期期末文化水平测试数学试题

黔东南州2023一2024学年度第二学期期末文化水平测试 高一数学试卷 注意事项： 1、本试卷分为选择题和非选择题两部分，共19道小题，满分150分，考试用时120分钟. 2、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签宇笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，将 条形码贴在答题卡“考生条形码区”， 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 请用橡皮擦干净后，再进涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上 无效 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求) 1.在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，圆柱 桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是 A.圆面 B.矩形面 C.梯形面 D.椭圆面或部分椭圆面 2.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是0.4、0.5，则两人都能成功破 译的概率是 A.0.2 B.0.3 c.0.45 D.0.9 3.若z1=2+1,z2=3-i,则z22= A.7-i B.7+i c.5-i D.5+i 4.在△ABC中，b=√2，B=30°，C=45°，则c= 其他 5% 蓄 食品开支 2W5 30% 30% A√G B. 3 通信开支 5% 日常开支 C.1 D.2 煺乐开支/ 20% 10% 5.小波一星期的总开支（单位：元）分布如图1所示，一星期的 图1 120 食品开支（单位：元）分布如图2所示，则小波一星期的肉类 100 100 80 80 开支占总开支的百分比为 60 A.33% B.11% 20 鸡蛋 C.10% D.1% 牛奶 肉类 蜚菜 其他 图2 高一数学试卷第1页（供4页） 扫描全能王创建 6.已知a为平面，a,b为两条不同的直线，则下列结论正确的是 A.若a⊥a,a∥b,则b⊥a B.若a∥a,b∥a,则a∥b C.若a⊥，a⊥b,则b∥a D.若a∥，a⊥b,则b⊥a 7.在△MBC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin2A+sin2B=2sin2C,则C 的最大值等于 2π 3 4 p. 8.图3是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图.其阴离子排列如图4所示，图4中圆的半径 均为1，且相邻的圆都相切，A,B,C,D是其中四个圆的圆心，则AB.CD= 图3 图4 A.14 B.26 C.38 D.42 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列关于向量的概念运算叙述正确的是 A.若a与b都是单位向量，则a=b B.若用有限线段表示的向量M与N不相等，则点M与N不重合 C.(A忑+CD)+BC=AD D.若a在b上的投影向量是c,则a·b=a·c 10.已知i为虚数单位，复数z= 2i 则下列结论正确的是 1-i' A.z的共轭复数为1+i B.z的虚部为-i c.=2 D.z在复平面内对应的点在第二象限 高一数学试卷第2页（共4页） 扫描全能王创建 11.如图5，在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，O为正方形AB,CD的中心，则下列结论 正确的是 A.BO⊥AC B.BOI∥平面ACD C.点B到平面ACD,的距离为5 O与直线AD的夹 图5 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知AB=(2,3),BC=(x,6),若A,B,C三点共线，则x= 13.从长度为2,3,5,7,11的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为 14.某半球形容器如图6（左）所示，底面圆的半径为2.往其中放入四个大小相同的小球，每个小 球都与半球面相切，也与底面相切，其俯视图如图6（右）所示，则小球的表面积等于 图6 四、解答题（本大题共5小题，共刀分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分)已知a=3,=2,a与b的夹角为60°. (1)求a·(a-2b):(2)若a+b与a-1b垂直，求实数2的值 16.(本小题满分15分) ·在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知V3 bcosA=asi血B. (1)求角A的大小： (2)若a=2√万，b+c=10,求△ABC的面积. 高一数学试卷第3页（供4页） 扫描全能王创建 17.(本小题满分15分)如图7，在三梭锥P-ABC中，PA⊥底面ABC,AB⊥BC. (1)证明：平面PAB⊥平面PBC: (2)若PA=AC=2BC,M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角 的正切值， 图7 18.(本小题满分17分) 为推动学校体育运动发展，引导学生积极参与体育锻炼，增强健康管理意识，某校根据性别比 例采用分层抽样的方法随机抽取了120名男生和80名女生，调查并分别绘制出男、女生每天在校平 均体育活动时间的频率分布直方图（如图8所示） ◆频率 ◆频率 组距 组距 0.035 0.035 0.030 0.020 0.020 0.010 0.005 0.005 05000708090100 W405060708309响 日均体育活动时间/mn 日均体育活动时间/min 男生 女生 图8 (1)求的值，并估计该校男生每天在校平均体育活动时间的中位数（保留，位小数）： (2)若该粒有1130人，试估计该枚学生每天在校平均体育活动时间超过一小时的人数。 19.(本小题满分17分)如图9，某景区有發点4，B,C,D,经测量得，BC=6km,∠ABC=120°， sin /BAC= √2 ∠ACD=60°，CD=AC. 14 D (1)求景点A,D之间的距离： (2)现计划从景点B处起始建造一条栈道BM,并在M处修建观景台.为·A 获得最佳观景效果，要求观景台对景点4D的视角∠D=120°.为 了节约修建成本，求栈道BM长度的最小值， 图9 高一数学试卷第4页（共4页） 扫描全能王创建第 1 页 共 6 页 黔东南州 2023－2024 学年度第二学期期末文化水平测试 高一数学参考答案 一、单项选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 C A B D C A D B 解析： 1. 解：将圆柱桶竖直放，水平面为圆面；将圆柱桶斜放，水平面为椭圆面或部分椭圆面； 将圆柱桶水平放置，水平面为矩形面，但圆柱桶内的水平面不可能呈现出梯形面．故选 C． 2. 解：因为两人是独立地破译密码，所以两人都能成功破译的概率是0.4 0.5 0.2  .故选A． 3．解： 21 2 (2 i)(3 i) 6 i i 7 iz z         ，故选 B． 4．解：由 sin sin b c B C  得 2 sin 22 21sin 2 Cc b B      ，故选 D． 5．解：由题图 2知小波一星期的食品开支为 300元，其中肉类开支为 100元，占食品开支 的 1 3 ，而食品开支占总开支的 30%，所以小波一星期的肉类开支占总开支的百分比为 1 0.3 0.1 10% 3    ．故选 C． 6．如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面，因此 A选项正确，易知 B，C，D错误．故选 A． 7．由已知及正弦定理可得 2 2 22a b c  ，所以 2 2 2 2 2 1 ( ) 2cos 2 2 a ba b cC ab ab     ，由于 2 2 2a b ab  ，所以 2 21 ( ) 12 2 2 a b ab   ，当且仅当 a b 时，等号成立，故cosC的最小值 等于 1 2 ，即C的最大值等于 3  ．故选 D． 8． 解：如图所示，建立以 1e ， 2e 为一组基底的基向量，其中 1 2 1 e e 且 1e ， 2e 的夹 角为60，∴ 1 22 4AB    e e ， 1 24 2CD    e e ，∴ 1 2 1 2(2 4 ) (4 2 )AB CD       e e e e 第 2 页 共 6 页 2 2 1 2 1 28 8 20 26    e e e e ．故选 B． 二、多项选择题 题号 9 10 11 选项 BC CD ABC 解析： 9．解：选 BC． 10．解：因为 2i 2i 1 i 2(i 1) 1 i 1 i 1 i 1 i 2 z            ，所以 z的共轭复数为 1 i  ， z的 虚部为 1 ， 2z  ， z在复平面内对应的点为 ( 1,1) ，在第二象限．故选 CD． 11． 解：对于 A，如图，可证：AC 平面 1 1BB D ，故 AC BO ，故 A 正确；对于 B，连接 BD，可证： 1//BO D E，故 //BO 平面 1ACD ，故 B 正确；对于 C，设点 B到平面 1ACD 的距离为 d，因为 1 1D ABC B ACDV V  ， 故 1 1 1 1 1 3 2      1 1 2 2 sin 60 3 2 d     ，解得 3 3 d  ，故 C正 确；对于 D，连接 1BC ，则 1 1//AD BC ， 1OBC 即为直线 BO与直线 1AD 的夹角，易得 1 1 1 1 2 6 OBC ABC     ，故 D错误．故选 ABC． 三、填空题 题号 12 13 14 选项 4 1 5 (16 8 3) 12．解：由题 //AB BC   ，所以2 ( 6) 3 0x    ，解得 4x   ． 13．解：从这5条线段中任取3条有以下情形：{2,3,5}，{2,3,7}，{2,3,11}，{2,5,7}， {2,5,11}，{2,7,11}，{3,5,7}，{3,5,11}，{3,7,11}，{5,7,11}，共10种．能构成一个三 第 3 页 共 6 页 角形的有以下情形：{3,5,7}，{5,7,11}，共2种．所以，这三条线段能构成一个三角形的 概率为 1 5 ． 14．解：设四个小球的球心分别为 , , ,A B C D，半径为 r，其在底面上的射影分别为 1 1 1 1, , ,A B C D ，半球形容器的球心为O，如图所示，在长方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中， 1 1 1 1AA BB CC DD r    ， 2AB BC r  . 连接 1,OD OD ，则 12 , 2OD r OD r   ， 在 1Rt ODD△ 中， 2 2 2 1 1OD OD DD  ， 即 2 2 2(2 ) ( 2 )r r r   ，解得 3 1r   ，所以小球的表面积为 24 (16 8 3)r   . 四、解答题 15．解：（1）∵ 22 9, cos60 3       a a a b a b ，……………………………（4分） ∴ 2( 2 ) 2 3     a a b a a b ． …………………………………（6分） （2）由题， ( ) ( ) 0   a b a b ， …………………………………（8分） ∴ 2 2 0      a a b a b b ， …………………………………（10分） ∴9 3 3 4 0     ， 解得 12 7   ， ∴实数的值为 12 7 ． …………………………………（13分） 16．解：（1）由正弦定理及 3 cos sinb A a B 可得 3sin cos sin sinB A A B ， …………………………………（2分） 在 ABC△ 中，因为 sin 0B  ， ∴ 3cos sinA A ， …………………………………（3分） ∴ tan 3A  ， …………………………………（5分） 又因为0 A   ，所以 3 A  ． …………………………………（7分） （2）由已知及余弦定理，得 2 2 2 cos 28b c bc A   ， 第 4 页 共 6 页 即 2 2 28b c bc   ， ∴ 2( ) 3 28b c bc   ， …………………………………（10分） 又∵ 10b c  ， ∴100 3 28bc  ，即 24bc  ， …………………………………（13分） ∴ ABC△ 的面积 1 sin 6 3 2 S bc A  ． …………………………………（15分） 17．解：（1）证明：∵PA底面 ABC，BC底面 ABC， ∴PA BC ， .…………………………………（2分） 又∵ AB BC ，PA AB A ， ∴BC 平面PAB， .…………………………………（5分） ∵BC平面PBC， ∴平面PAB平面PBC． .…………………………………（7分） （2）如图，作 AN PB ，交PB于点N，连接MN．……………………………（8分） 由（1）可知，BC AN ，而PB BC B ， ∴ AN 平面PBC， ∴ AM与平面PBC所成角为 AMN ． .…………………………………（11分） 不妨设 1BC  ，则 2PA AC  ， ∴ 3, 2AB AM  ， 在Rt PAB△ 中，利用等面积法可求得 2 3 2 21 77 PA ABAN PB      ， ∴ 2 2 14 7 MN AM AN   ， ∴ tan 6 ANAMN MN    ， 所以 AM与平面PBC所成角的正切值为 6． ..…………………………………（15分） 第 5 页 共 6 页 18．解：（1）由频率分布直方图的含义可知： ( 0.02 0.035 0.02 0.005) 10 1a a       ， …………………………………（2分） 解得 0.010a  ． .…………………………………（3分） 因为 (0.01 0.02) 10 0.3 0.5    ， (0.01 0.02 0.035) 10 0.65 0.5     ， 故设中位数为 x，则 [60,70)x ， .…………………………………（5分） ∴ (0.01 0.02) 10 ( 60) 0.035 0.5x      ， .…………………………………（7分） 解得 4060 65.7 7 x    ， ∴估计该校男生每天在校平均体育活动时间的中位数为65.7．…………………（8分） （2）样本中男生在校平均体育活动时间超过一小时的频率为： (0.035 0.02 0.01 0.005) 10 0.7     ， .…………………………………（10分） 女生在校平均体育活动时间超过一小时的占的频率为： (0.03 0.01 0.005) 10 0.45    ， .…………………………………（12分） 所以该校学生每天在校平均体育活动时间超过一小时的频率为： 0.7 120 0.45 80 0.6 120 80      ， .…………………………………（15分） ∴ 1130 0.6 678  ， 所以该校学生每天在校平均体育活动时间超过一小时的人数约为678．………（17分） 19．解：（1）在 ABC△ 中，利用正弦定理得 sin sin AC BC ABC BAC    得 6 sin120 21 14 AC   ， 解得 6 7AC  ， .…………………………………（3分） 易知 ACD△ 是正三角形，即 6 7AD AC  ， ∴景点 ,A D之间的距离为6 7 km. .…………………………………（5分） （2）由 6 7AD  ， 120AMD  及正弦定理可知，M 的轨迹是两段圆弧， 第 6 页 共 6 页 要使栈道BM最短，M 的轨迹只能取位于 ACD△ 内的圆弧，设其圆心为O，半径为 R． 由 2 sin AD R AMD   得 2 21R  , …………………………………（8分） 由于 ACD△ 是正三角形，数形结合可知： 圆心O在 ACD△ 高 1CO 的延长线上，且 2 4 21OC R  , …………………（11分） 记 BAC   ，则 30 (180 120 ) 90OCB         ， ∴ 21cos cos(90 ) sin 14 OCB       ， …………………………………（14分） 在 OCB△ 由余弦定理得， 2 2 2 2 cos 300OB OC BC OC BC OCB       ， ∴ 10 3OB  ， ………………………………（15分） ∴ min 10 3 2 21BM OB R    , 所以栈道BM长度的最小值是10 3 2 21 km．…………………………………（17分）