精品解析：河南省商丘市商师联盟2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试题

2023～2024学年度高二下学期期末联考试卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第三册，集合与常用逻辑用语，不等式，函数. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 3. 设随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 五人站成一排拍照，其中甲､乙必须相邻且两人均不能站两端，则不同的站法有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 5. 关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 6. 对数函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 某人外出，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为0.8；若浇水，盆栽枯萎的概率为0.2．若邻居浇水的概率为P，该人回来盆栽没有枯萎的概率为0.74，则实数P的值为（ ） A. 0.9 B. 0.85 C. 0.8 D. 0.75 8. 若数若关于的方程恰有两个不同实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个命题中的假命题为（ ） A. ， B. 集合与集合是同一个集合 C. “为空集”是“A与B至少一个为空集”的充要条件 D. 命题p：．命题q：．则p是q的充分不必要条件 10. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 设随机变量，函数没有零点的概率是，则下列说法正确的是（ ） 附：若，则. A. 随机变量的数学期望是1 B. 随机变量的方差是2 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中项的系数为______. 13. 已知为偶函数，且在上单调递增，若，则实数a的取值范围是______． 14. 一质点在平面内每次只能向左或向右跳动1个单位，且第1次向左跳动．若前一次向左跳动，则后一次向左跳动的概率为；若前一次向右跳动，则后一次向左跳动的概率为．记第n次向左跳动的概率为，则________；________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，求的最小值； （2）求函数的定义域. 16. 电视剧《庆余年2》自2024年5月16日在CCTV-8和腾讯视频双平台开播以来，其收视率一路飙升，《庆余年2》剧组为了解该剧的收视情况，在喜欢看电视的居民中随机抽取了1000名居民进行调查，其中，男性居民和女性居民人数之比为9：11，且观看本剧的居民比没有观看本剧的居民多800人，没有观看本剧的女性居民有50人． （1）完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为是否观看《庆余年2》与性别有关联？ 男性居民 女性居民 总计 看过《庆余年2》 没看过《庆余年2》 50 总计 1000 （2）在这1000名居民中，按性别比例用分层随机抽样的方法从看过《庆余年2》的居民中随机抽取9人，并从这9人中随机抽取3人采访其观剧感受，记这3人中男性居民的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：，其中． a 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 17. 脑机接口，即指在人或动物大脑与外部设备之间创建的直接连接，实现脑与设备的信息交换.近日埃隆.马斯克宣布，脑机接口公司Neuralink正在接收第二位植入者申请，该试验可以实现意念控制手机和电脑.未来10到20年，我国脑机接口产业将产生数百亿元的经济价值.为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量（单位：亿元）与研发人员增量（人）的10组数据.现用模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图. 根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中. 7.5 2.25 82.50 4.50 12.14 2.88 （1）根据残差图，判断应选择哪个模型；（无需说明理由） （2）根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少多少人？（精确到1） 附：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为 18. 已知函数为偶函数. （1）求的值； （2）设函数，是否存在实数，使得函数在区间上的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 对于定义在上的函数和，若对任意给定的，不等式都成立，则称函数是函数的“从属函数”． （1）若函数是函数的“从属函数”，且是偶函数，求证：是偶函数； （2）设，求证：当时，函数是函数的“从属函数”； （3）若定义在上的函数和的图像均为一条连续曲线，且函数是函数的“从属函数”，求证：“函数在上是严格增函数或严格减函数”是“函数在上是严格增函数或严格减函数”的必要非充分条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023～2024学年度高二下学期期末联考试卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第三册，集合与常用逻辑用语，不等式，函数. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义即可得解. 【详解】， 所以. 故选：B. 2. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】全称量词命题的否定，首先把全称量词改成存在量词，然后把后面结论改否定即可. 【详解】因为命题是全称量词命题，则命题为存在量词命题， 由全称量词命题的否定得，命题：. 故选：D. 3. 设随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据二项分布方差的计算公式求，再根据求解. 【详解】由题意知，，解得， 所以. 故选：D 4. 五人站成一排拍照，其中甲､乙必须相邻且两人均不能站两端，则不同的站法有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 【答案】B 【解析】 【分析】相邻问题利用捆绑法，首先将甲、乙两人捆绑，再将捆绑后的甲、乙安排到中间2个位置中的一个，最后将其余人全排列. 【详解】由题意，首先将甲、乙两人捆绑，有种方法， 其次将捆绑后的甲、乙安排在中间2个位置，有种方法， 最后将剩余3人全排列，有种方法，所以不同的站法有种. 故选：B. 5. 关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】即不等式对应函数图象与x轴相切或在x轴上方，据此可得答案. 【详解】因关于的不等式的解集为， 则图象与与x轴相切或在x轴上方， 当时，，此时的解集不是R 则. 故选：B 6. 对数函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合图象，分别讨论和时，的单调性和的开口方向以及根的位置即可求解. 【详解】选项A、B中，由对数函数图象得，则二次函数中二次项系数，其对应方程的两个根为， 选项A中，由图象得，从而，选项A可能； 选项B中，由图象得，与相矛盾，选项B不可能； 选项D中，由对数函数的图象得，则，二次函数图象开口向下，选项D不可能； 选项C中，由图象与轴的交点的位置得，与相矛盾，选项C不可能. 故选：A. 7. 某人外出，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为0.8；若浇水，盆栽枯萎的概率为0.2．若邻居浇水的概率为P，该人回来盆栽没有枯萎的概率为0.74，则实数P的值为（ ） A. 0.9 B. 0.85 C. 0.8 D. 0.75 【答案】A 【解析】 【分析】据给定条件，由全概率公式列式，求解计算即可求出结果. 【详解】记A为事件“盆栽没有枯萎”，W为事件“邻居给盆栽浇水”， 由题意可得， 由对立事件的概率公式可得. 由全概率公式可得， 解得 故选：A 8. 若数若关于的方程恰有两个不同实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为方程有两个不相等实数根，画出的图象，根据数形结合的思想即可得出结果. 【详解】作出的图象如下图： 可化为，解得或，由图可知无解，故问题等价于有两个不相等实数根，由图象可得． 故选：． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个命题中的假命题为（ ） A. ， B. 集合与集合是同一个集合 C. “为空集”是“A与B至少一个为空集”的充要条件 D. 命题p：．命题q：．则p是q的充分不必要条件 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，当时，满足要求，故A为真命题；B选项，求出，，故B为假命题；CD选项，可举出反例. 【详解】A选项，当时，，故，，A为真命题； B选项，集合与集合不是同一个集合，B为假命题； C选项，不妨设，此时“为空集”，但不满足“A与B至少一个为空集”，故充分性不成立，C为假命题； D选项，，解得或，不妨设，满足，但不能推出．则p不是q的充分条件，D为假命题. 故选：BCD 10. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据基本不等式结合对数和指数的运算逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，所以， 所以，当且仅当时取等号，故A错误； 对于B，因为，所以，故， 又因，当且仅当时取等号， 所以，故B正确； 对于C，，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，因为，所以， 所以， 当且仅当时取等号，故D正确. 故选：BCD. 11. 设随机变量，函数没有零点的概率是，则下列说法正确的是（ ） 附：若，则. A. 随机变量的数学期望是1 B. 随机变量的方差是2 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】当函数没有零点，则求出的范围，根据正态分布的性质求出，即可判断A、B，再根据正态曲线的对称性判断C、D. 【详解】当函数没有零点时，，解得， 又因为没有零点的概率是，所以，由正态曲线的对称性知， 所以，即，即随机变量的数学期望是，方差是，故A正确，B错误； 又，所以，则，故C正确； 又， 所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中项的系数为______. 【答案】15 【解析】 【分析】根据题意，由二项式展开式的通项公式代入计算，即可求解. 【详解】的二项展开式的通项， 令，得，所以的展开式的项的系数为. 故答案为： 13. 已知为偶函数，且在上单调递增，若，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题中条件得到的图象关于对称，结合函数单调性，建立不等式，解出即可. 【详解】因为为偶函数，所以， 函数的图象关于对称， 又在上单调递增，， 所以，解得． 故答案为：. 14. 一质点在平面内每次只能向左或向右跳动1个单位，且第1次向左跳动．若前一次向左跳动，则后一次向左跳动的概率为；若前一次向右跳动，则后一次向左跳动的概率为．记第n次向左跳动的概率为，则________；________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】易得，，再利用全概率由求解；从而得到，利用等比数列求解. 【详解】解：由题意，得，，， 由， 设，则，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，， 所以． 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，求的最小值； （2）求函数的定义域. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式计算可得； （2）根据偶次方根的被开方数非负及零指数幂的底数不为零得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）因为，所以，则 ， 当且仅当，即时，等号成立．所以（）的最小值为． （2）对于函数，则，即， 解得或，所以函数的定义域为. 16. 电视剧《庆余年2》自2024年5月16日在CCTV-8和腾讯视频双平台开播以来，其收视率一路飙升，《庆余年2》剧组为了解该剧的收视情况，在喜欢看电视的居民中随机抽取了1000名居民进行调查，其中，男性居民和女性居民人数之比为9：11，且观看本剧的居民比没有观看本剧的居民多800人，没有观看本剧的女性居民有50人． （1）完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为是否观看《庆余年2》与性别有关联？ 男性居民 女性居民 总计 看过《庆余年2》 没看过《庆余年2》 50 总计 1000 （2）在这1000名居民中，按性别比例用分层随机抽样的方法从看过《庆余年2》的居民中随机抽取9人，并从这9人中随机抽取3人采访其观剧感受，记这3人中男性居民的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：，其中． a 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 男性居民 女性居民 总计 看过《庆余年2》 400 500 900 没看过《庆余年2》 50 50 100 总计 450 550 1000 0 1 2 3 ，无关 （2）的分布列如下表，【解析】 【分析】（1）补充完表格计算卡方，然后判断是否大于等于6.635； （2）服从超几何分布，根据超几何分布概率公式计算即可. 【小问1详解】 男居民人数人，女居民人数人， 设看过《庆余年2》的人数为，没看过《庆余年2》的人数为， 则， 男性居民 女性居民 总计 看过《庆余年2》 400 500 900 没看过《庆余年2》 50 50 100 总计 450 550 1000 提出假设：是否观看过《庆余年2》与性别无关， ， 所以根据小概率值，可以认为是否观看过《庆余年2》与性别无关. 【小问2详解】 由（1）可知，在看过《庆余年2》的人中随机抽取9人中，男性居民有4人，女性居民有5人，服从超几何分布， ，， ，， 所以的分布列如下表 0 1 2 3 . 17. 脑机接口，即指在人或动物大脑与外部设备之间创建的直接连接，实现脑与设备的信息交换.近日埃隆.马斯克宣布，脑机接口公司Neuralink正在接收第二位植入者申请，该试验可以实现意念控制手机和电脑.未来10到20年，我国脑机接口产业将产生数百亿元的经济价值.为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量（单位：亿元）与研发人员增量（人）的10组数据.现用模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图. 根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中. 7.5 2.25 82.50 4.50 12.14 2.88 （1）根据残差图，判断应选择哪个模型；（无需说明理由） （2）根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少多少人？（精确到1） 附：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为 【答案】（1）选择模型② （2），10人 【解析】 【分析】（1）根据残差图分析判断； （2）令与可用线性回归来拟合，有，然后根据公式结合已知的数据求出，从而可求出关于的经验回归方程，进而可求出关于的经验回归方程，再由可求出研发人员增量. 【小问1详解】 选择模型②，理由如下： 由于模型②残差点比较均匀在落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型①带状宽度窄， 所以模型②的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，所以模型②比较合适. 【小问2详解】 根据模型②，令与可用线性回归来拟合，有. 则，所以 则关于的经验回归方程为，所以关于的经验回归方程为. 由题意，，解得，又为整数，所以. 所以，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少为10人. 18. 已知函数为偶函数. （1）求的值； （2）设函数，是否存在实数，使得函数在区间上的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，代入函数解析式，从而求出的值； （2）根据（1）得出，利用换元得出二次函数，讨论对称轴与区间的关系即可求出的值. 【详解】（1）由题意知函数的定义域为， 因为为偶函数，所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 所以，解得. （2）由（1）知所以， 令，则，其对称轴为， ①当，即时，在上单调递减， 所以， 由， 解得，此时不满足，此时不存在符合题意的值； ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 由，解得或，又，所以； ③当，即时，在上单调递增， 所以， 由，解得，不满足，此时不存在符合题意的值. 综上所述，存在，使得函数在区间上的最小值为. 19. 对于定义在上的函数和，若对任意给定的，不等式都成立，则称函数是函数的“从属函数”． （1）若函数是函数的“从属函数”，且是偶函数，求证：是偶函数； （2）设，求证：当时，函数是函数的“从属函数”； （3）若定义在上的函数和的图像均为一条连续曲线，且函数是函数的“从属函数”，求证：“函数在上是严格增函数或严格减函数”是“函数在上是严格增函数或严格减函数”的必要非充分条件． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“从属函数”的定义和偶函数的性质可证对任意，恒成立，即可证明是偶函数； （2）不妨设，当时，利用放缩法可证，即可得证函数是函数的“从属函数”； （3）可通过举反例证明非充分，必要性，即证：函数是函数的“从属函数”，若函数在上为严格增函数或严格减函数，则函数在上是严格增函数或严格减函数，分情况讨论得证. 【小问1详解】 因为是上的偶函数，故对任意的都有．又是上的“从属函数”，于是恒成立，即对任意的成立，故是偶函数； 【小问2详解】 不妨设，当时，在上是严格增函数，有． 而， 所以， 因此，当时，函数是函数的“从属函数”； 【小问3详解】 举反例不具备充分性. 令，显然在上是严格增函数， 因为， 所以函数是函数的“从属函数”，但在上不是单调函数． 因此不是的充分条件． 必要性证明，即证：函数是函数的“从属函数”， 若函数在上为严格增函数或严格减函数， 则函数在上是严格增函数或严格减函数． 任取，且，有，即对任意，且，有． 下面证明：对任意的实数，有或成立． 若存在，，使得且…①， 其中不妨设…②， 当①或②式中有等号成立时，则与（其中）矛盾！ 当①②两式中等号均不成立时，考虑， 因为， 由连续函数的零点存在定理知，必存在使得， 也与（其中）矛盾！ 同理可证且也不可能. 【点睛】思路点睛：第二问利用放缩法即可得证，第三位可通过举反例证明非充分，必要性利用定义可得答案. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $