第二章 机械振动章末优化提升（教师用书）-【勤径学升】2024-2025学年高中物理选择性必修第一册（人教版）

机械振动 考点一　简谐运动的图像 如图所示，简谐运动的图像反映的是位移随时间的变化规律，图像不代表质点运动的轨迹。由图像可以获得以下信息： （1）可以确定振动物体在任一时刻的位移。如图中对应t1、t2时刻的位移分别为x1＝7 cm，x2＝－5 cm。 （2）确定振幅。图中最大位移的值等于振幅，由图可以看出振幅是10 cm。 （3）确定振动的周期和频率。振动图像上一个完整的正弦（或余弦）函数图形在时间轴上拉开的“长度”表示周期。 由图可知，OD、AE、BF的时间间隔都等于振动周期，T＝0．2 s，频率f＝＝5 Hz。 （4）确定各时刻质点的振动方向。例如图中的t1时刻，质点正远离平衡位置向位移的正方向运动；在t3时刻，质点正向着平衡位置运动。 （5）比较不同时刻质点回复力（或加速度）的大小和方向。例如图中t1时刻质点位移x1为正，则回复力F1（或加速度a1）为负；t2时刻质点位移x2为负，则回复力F2（或加速度a2）为正，又因为｜x1｜＞｜x2｜，所以｜F1｜＞｜F2｜（或｜a1｜＞｜a2｜）。 [例1]　（多选）一弹簧振子沿x轴振动，振幅为4 cm，振动的平衡位置位于x轴上的0点。图中的a、b、c、d为四个不同的振动状态：黑点表示振子的位置，黑点上的箭头表示运动的方向。如图给出的①②③④四条振动曲线，可用于表示振子的振动图像的是 （　　） A．若规定状态a时t＝0，则图像为① B．若规定状态b时t＝0，则图像为② C．若规定状态c时t＝0，则图像为③ D．若规定状态d时t＝0，则图像为④ [解析]　振子在状态a时t＝0，此时的位移为3 cm，且向规定的正方向运动，选项A正确。振子在状态b时t＝0，此时的位移为2 cm，且向规定的负方向运动，相应的图像②中初始位移不对，选项B错误。振子在状态c时t＝0，此时的位移为－2 cm，且向规定的负方向运动，相应的图像③中运动方向及初始位移均不对，选项C错误。振子在状态d时t＝0，此时的位移为－4 cm，速度为零，选项D正确。 [答案]　AD 考点二　类单摆模型 1．类单摆模型 除了前面学习的单摆模型，有些物体的运动规律与单摆的运动类似，该类物体的运动即为类单摆模型。 2．实例 （1）如图所示，为竖直面内的光滑小圆弧（半径为R），且≪R（或对应圆心角∠BOC很小），当小球在间运动时，小球受重力、轨道支持力作用，轨道支持力可以等效为单摆中的摆线拉力，故其运动为类单摆运动，等效摆长为R。 （2）如图所示，在固定的光滑斜面上，用长度为l的细绳一端固定于O1点，下端悬挂一小球，使小球在斜面内来回摆动，小球受到重力、绳的拉力、斜面的支持力作用，其运动为类单摆运动，等效重力为G'＝mgsin θ，等效重力加速度为g'＝gsin θ。 3．处理类单摆问题的方法 （1）确认符合类单摆模型的条件。 （2）确定等效摆长l。 （3）确定等效重力加速度g'。 （4）利用公式T＝2π或简谐运动规律分析求解有关问题。 [例2]　如图所示，将小球甲、乙、丙（都可视为质点）分别从A、B、C三点由静止同时释放，最后都到达竖直面内圆弧的最低点D，其中甲从圆心A出发做自由落体运动，乙沿弦轨道从一端B（与圆心A等高）到达另一端D，丙沿圆弧轨道从C点运动到D点，且C点很靠近D点。如果忽略一切摩擦阻力，那么下列判断正确的是（　　） A．甲球最先到达D点，乙球最后到达D点 B．甲球最先到达D点，丙球最后到达D点 C．丙球最先到达D点，乙球最后到达D点 D．甲球最先到达D点，无法判断哪个球最后到达D点 [解析]　设圆的半径为r，甲球从A到D的过程中做自由落体运动，所用时间t1＝，由几何知识知∠ADB＝θ＝45°，弦BD长度为2rcos θ，乙球从B到D的过程中做初速度为零的匀加速直线运动，运动加速度为gcos θ，所用时间t2＝＝2，丙球沿圆弧轨道从C点运动到D点可以看成类单摆运动，周期T＝2π，时间t3＝。故有t2＞t3＞t1，由此可知乙球最后到，甲球最先到，故A正确，BCD错误。 [答案]　A （满分：100分，时间：90分钟） 一、选择题：本题共10小题，共46分。在每小题给出的四个选项中，第1~7题只有一项符合题目要求，每小题4分；第8~10题有多项符合题目要求，每小题6分，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。 1．关于简谐运动，下列说法正确的是 （　　） A．简谐运动一定是水平方向的运动 B．所有的振动都可以看作是简谐运动 C．物体做简谐运动时一定可以得到正弦曲线形的轨迹线 D．只要振动图像是正弦曲线，物体一定做简谐运动 解析　物体的简谐运动并不是只在水平方向发生，各个方向都有可能发生，选项A错误；简谐运动是最简单的振动，选项B错误；物体做简谐运动的轨迹并不是正弦曲线，选项C错误；若物体的振动图像是正弦曲线，则其一定是做简谐运动，选项D正确。 答案　D 2．在飞机的发展史中有一个阶段，飞机上天后不久，飞机的机翼（翅膀）很快就抖动起来，而且越抖越厉害。后来人们经过了艰苦的探索，利用在飞机机翼前缘处安装一个配重杆的方法，解决了这一问题。在飞机机翼前缘处安装配重杆的目的主要是 （　　） A．加大飞机的惯性 B．使机体更加平衡 C．使机翼更加牢固 D．改变机翼的固有频率 解析　飞机抖动得厉害是因为发生了共振现象，想要解决这一问题需要使系统的固有频率与驱动力的频率差别增大，在飞机机翼前缘处安装一个配重杆，改变的是机翼的固有频率，故选项D正确。 答案　D 3．把空心铁球内部装满水做摆球，若球正下方有一小孔，水不断从孔中流出，从球内装满水到水流完的过程中，其振动周期 （　　） A．不变 B．变大 C．先变大后变小再回到原值 D．先变小后变大再回到原值 解析　单摆的周期与摆球的质量无关，但当水从球中向外流出时，等效摆长是先变长后变短再加到原值，因而周期先变大后变小再回到原值，故选项C正确。 答案　C 4．有一个弹簧振子，振幅为0．8 cm，周期为0．5 s，初始时刻具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是 （　　） A．x＝8×10－3sin （4πt＋） m B．x＝8×10－3sin （4πt－） m C．x＝8×10－1sin（πt＋π） m D．x＝8×10－1sin （t＋） m 解析　A＝8×10－3 m，T＝0．5 s，ω＝＝4π，初始时刻具有负方向的最大加速度，则初相位为φ＝，故振动方程应为x＝8×10－3sin （4πt＋） m，故选项A正确。 答案　A 5．一个质点，在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，如图甲所示，它的振动图像如图乙所示，设向右为正方向，下列说法正确的是（　　） A．第0．2 s末质点的速度方向是A→O B．第0．4 s末质点的加速度方向是A→O C．在0．1～0．3 s内质点通过的路程为5 cm D．在0．2～0．4 s内质点的动能在逐渐增加 解析　题目规定向右为正方向，由题图乙可判断，第0．2 s末质点位于O点且从O向A运动，故速度方向为负方向，即O→A，A错误；由题图乙可判断第0．4 s末质点位于A点，由于做简谐运动的物体加速度的方向总是指向平衡位置，故加速度方向是A→O，B正确；由题图乙可判断在0．1～0．3 s内，质点先从BO段中的某点向平衡位置运动，速度逐渐增大，过O点后继续运动，速度逐渐减小，由于质点振动的周期为0．8 s，所以质点振动了T，根据对称性，可判断质点通过的路程大于5 cm，C错误；在0．2～0．4 s内质点从O向A运动，速度逐渐减小，故动能在逐渐减小，D错误。 答案　B 6．某弹簧振子在两种不同驱动力作用下做受迫振动，达到稳定时的振动图像如图甲中的曲线Ⅰ和曲线Ⅱ所示。图乙为该弹簧振子的共振曲线，图中a、b、c为共振曲线上的三点，则 （　　） A．若c状态所对应的振动图像是曲线Ⅰ，则曲线Ⅱ对应的状态可能是图乙中的b点 B．若c状态所对应的振动图像是曲线Ⅰ，则曲线Ⅱ对应的状态可能是图乙中的a点 C．若b状态所对应的振动图像是曲线Ⅱ，则曲线Ⅰ对应的状态可能是图乙中的c点 D．若b状态所对应的振动图像是曲线Ⅱ，则曲线Ⅰ对应的状态可能是图乙中的a点 解析　受迫振动的频率与驱动力的频率相同；当物体受迫振动时，驱动力的频率与振动子的固定频率越接近，振幅越大。由题图甲可得，fⅠ＞fⅡ，AⅠ＞AⅡ。若c状态所对应的图像是曲线Ⅰ，由于fⅡ＜fⅠ，所以曲线Ⅱ所对应的状态可能是图像中的a点，故A错误，B正确；若b状态所对应的是曲线Ⅱ，由于fⅠ＞fⅡ，所以图线Ⅰ的状态不可能是a点和c点，故C、D选项错误。 答案　B 7．如图所示，两段光滑圆弧轨道半径分别为R1和R2，圆心分别为O1和O2，所对应的圆心角均小于5°，在最低点O平滑连接。M点和N点分别位于O点左右两侧，MO的距离小于NO的距离。现分别将位于M点和N点的两个小球A和B（均可视为质点）同时由静止释放。关于两小球第一次相遇点的位置，下列判断正确的是 （　　） A．恰好在O点 B．一定在O点的左侧 C．一定在O点的右侧 D．条件不足，无法确定 解析　据题意，两段光滑圆弧所对应的圆心角均小于5°，把两球在圆弧上的运动看作等效单摆，等效摆长等于圆弧的半径，则A、B两球的运动周期分别为TA＝2π，TB＝2π，两球第一次到达O点的时间分别为tA＝TA＝，tB＝TB＝，由于R1＜R2，则tA＜tB，故两小球第一次相遇点的位置一定在O点的右侧，故选C。 答案　C 8.如图所示，A、B分别为单摆做简谐运动时摆球的不同位置。其中，位置A为摆球摆动的最高位置，虚线为过悬点的竖直线。以摆球最低位置为重力势能零点，则摆球在摆动过程中(　　) A．位于B处时动能最大 B．位于A处时势能最大 C．在位置A的势能大于在位置B的动能 D．在位置B的机械能大于在位置A的机械能 解析　单摆摆动过程中，机械能守恒，在最高点时重力势能最大，最低位置时动能最大，故选项B正确，选项A错误；在B点，EB＝EkB＋EpB＝EpA，故选项C正确，选项D错误。 答案　BC 9．如图所示，物体系在两弹簧之间，弹簧劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于自然状态。现在向右拉动物体，然后释放，物体在B、C间振动，O为平衡位置（不计阻力），设向右为正方向，物体相对O点的位移为x，则下列判断正确的是 （　　） A．物体做简谐运动，OC＝OB B．物体做简谐运动，OC≠OB C．物体所受合力F＝－kx D．物体所受合力F＝－3kx 解析　物体的位移为x，则物体所受的合力F＝－k1x－k2x＝－（k2＋k1）x＝－3kx，D正确，C错误；可见物体做的是简谐运动，由简谐运动的对称性可得OC＝OB，A正确，B错误。 答案　AD 10．如图甲所示，把一个筛子用四根弹簧支撑起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛，该共振筛的共振曲线如图乙所示。已知增大电压可使偏心轮转速提高，增加筛子质量可增大筛子的固有周期。现在，在某电压下偏心轮的转速为36 r/min，要增大筛子的振幅，下列措施可行的是(　　) A．升高电压 B．降低电压 C．增加筛子质量 D．减小筛子质量 解析　根据受迫振动的特点，共振筛的振动频率等于偏心轮的转动频率，当偏心轮的转速为36 r/min时，共振筛的振动频率为f1＝ Hz＝0.6 Hz，增大电压，偏心轮的转动频率将增大，根据题图乙的共振曲线可知，若共振筛的振动频率由0.6 Hz逐渐增大到0.8 Hz，筛子的振幅会增大，当频率为0.8 Hz时振幅最大，A正确，B错误；由题图乙知筛子的固有频率为0.8 Hz，由题意，增大筛子质量，可增大筛子的固有周期，筛子的固有频率将减小，由于开始时偏心轮的转动频率小于筛子的固有频率，若筛子的固有频率减小，则固有频率更接近筛子的振动频率，可知筛子的振幅会增大，当筛子的固有频率减小到0.6 Hz时振幅最大，C正确，D错误。故选A、C。 答案　AC 二、非选择题：本题共5小题，共54分。 11．(6分)暑假期间，几名同学到郊外野游，登上一座小荒山后，一时兴起他们想利用学过的知识粗略测量一下他们所在处的重力加速度。于是他们用长线拴好一个易拉罐P，爬到树上系在树枝上做成一个简易单摆，如图所示。然后用随身携带的钢卷尺、电子手表进行了测量。同学们首先测出摆长L，然后将易拉罐拉开一个小角度，由静止释放，使易拉罐在竖直平面内摆动(树枝始终静止)，用电子手表测出单摆完成n次全振动所用的时间t。 (1)利用测量数据计算山顶处重力加速度的表达式g＝________。 (2)若振动周期测量正确，但由于难以确定易拉罐重心，只是测出悬点O到易拉罐上方的节点A的距离，并把OA距离当作摆长，这样计算出来的重力加速度值比真实值________(选填“偏大”“偏小”或“相等”)。 解析　(1)单摆的周期T＝，由单摆周期公式T＝2π可得，g＝＝。 (2)悬点到易拉罐重心的距离是单摆的摆长，只测出悬点O到易拉罐上方的节点A的距离，把OA距离当作摆长，则所测摆长L偏小，由g＝可知，所测重力加速度偏小。 答案　(1)　(2)偏小 12．（8分）某研究性学习小组在进行“用单摆测定重力加速度”的实验中（实验装置如图甲所示），已知单摆在摆动过程中的最大偏角小于5°。在测量单摆的周期时，从单摆运动到最低点开始计时且记数为1，到第n次经过最低点所用的时间为t。在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长（从悬点到摆球的最上端）为L，再用螺旋测微器测得摆球的直径为d（读数如图乙所示）。 （1）摆球的直径为d＝　　　　mm。  （2）用上述物理量的符号写出重力加速度的一般表达式g＝　　　　　　　　。  （3）实验结束后，同学们在讨论如何能够提高测量结果的精确度时，提出了以下建议，其中可行的是　　　　。  A．尽可能选择细、轻且不易伸长的线作为摆线 B．当单摆经过最高位置时开始计时 C．质量相同、体积不同的摆球，应选用体积较大的 D．测量多组周期T和摆长l，作l－T2关系图像来处理数据 解析　（1）螺旋测微器的主尺读数为5．5 mm， 可动刻度读数为0．01×48．0 mm＝0．480 mm， 则最终读数为5．980 mm。 （2）由题知，从单摆运动到最低点开始计时且记数为1，到第n次经过最低点所用的时间为t，则单摆的全振动的次数为N＝，周期为T＝， 单摆的摆长为l＝L＋， 由单摆的周期公式T＝2π， 得g＝。 （3）公式中，重力加速度的测量值与摆长有关，所以要尽可能选择细、轻且不易伸长的线作为摆线，故A正确；为了减小误差，需要在单摆经过平衡位置时开始计时，且选用体积较小的摆球，故BC错误；应用图像法处理实验数据可以减小实验误差，测量多组周期T和摆长l，作l－T2关系图像来处理数据，故D正确。 答案　（1）5．980　（2）　（3）AD 13．（12分）正在修建的房顶上固定的一根不可伸长的细线垂到三楼窗沿下，某同学应用单摆原理测量窗的上沿到房顶的高度，先将线的下端系上一个小球，发现当小球静止时，细线恰好与窗子上沿接触且保持竖直，他打开窗子，让小球在垂直于墙的竖直平面内摆动，如图所示，从小球第1次通过图中的B点开始计时，第21次通过B点用时30 s；球在最低点B时，球心到窗上沿的距离为1 m，当地重力加速度g取π2（m/s2）；根据以上数据，求： （1）小球运动的周期T是多少？ （2）房顶到窗上沿的高度h是多少？ 解析　（1）由题意知，小球30 s内完成全振动的次数：n＝×（21－1）＝10，故小球运动的周期T＝＝3 s。 （2）设球以窗上沿为悬点做单摆运动的周期为T1， 以房顶为悬点做单摆运动的周期为T2， 则由题意知，T1＝2π，T2＝2π， 故T＝， 解得h＝3 m。 答案　（1）3 s　（2）3 m 14．（14分）如图所示，弹簧振子在光滑水平面上以振幅A做简谐运动，质量为M的滑块上面放一个质量为m的砝码，砝码随滑块一起做简谐运动，已知弹簧的劲度系数为k，试求： （1）使砝码随滑块一起运动的回复力是什么力？它跟位移成正比的比例常数k'等于多少？ （2）当滑块运动到振幅一半位置时，砝码所受回复力有多大？方向如何？ （3）当砝码与滑块的动摩擦因数为μ时，要使砝码与滑块不发生相对滑动的最大振幅为多大？ 解析　（1）使砝码随滑块一起做简谐运动的回复力是滑块对砝码的静摩擦力。 对M、m整体：F＝kx＝（M＋m）a， 对m：f＝ma， 由以上两式可得f＝x， 所以k'＝。 （2）f＝k'·， 方向指向平衡位置。 （3）fm＝μmg＝k'Am， Am＝。 答案　（1）滑块对砝码的静摩擦力　 （2），方向指向平衡位置 （3） 15．(14分)将测力传感器连接到计算机上就可以用来测量快速变化的力，图甲表示小滑块(可视为质点)沿固定的光滑半球形容器内壁在竖直平面内的A、A′之间来回滑动，A、A′两点到O点连线与竖直方向的夹角相等且都为θ，θ小于5°。图乙表示滑块对器壁的压力F随时间t变化的曲线，且图中t＝0为滑块从A点开始运动的时刻，试根据力学规律和题中(包括图中)所给的信息，求：(g取10 m/s2) (1)小滑块的质量m； (2)容器的半径R。 解析　(1)在最高点A，有FA＝mg cos θ， 在最低点B，有FΒ－mg＝m， 由题图乙可知FA＝0.495 N，FB＝0.510 N， 从A到B，滑块机械能守恒，有 mgR(1－cos θ)＝mv2， 解得m＝0.05 kg。 (2)完成一次全振动的时间为一个周期，由题图乙得小滑块做简谐运动的周期T＝ s， 由题意可知T＝2π，解得R＝0.1 m。 答案　(1)0.05 kg　(2)0.1 m 学科网（北京）股份有限公司 $$