专题03 整式的乘法（九大题型，71题）-【尖子生培优】2024-2025学年七年级数学上学期重难点压轴题突破专练（沪教版上海2024）

专题03 整式的乘法（九大题型，71题） 目录 题型一：同底数幂的乘法 1 题型二：幂的乘方 2 题型三：积的乘方 2 题型四：单项式乘单项式 3 题型五：单项式乘多项式及其应用 4 题型六：多项式乘多项式 4 题型七：已知多项式的乘积不含某项求字母的值 6 题型八：多项式乘多项式与图形面积 7 题型九：多项式乘法中的规律性问题 9 一、题型一：同底数幂的乘法 1．（2022七年级上·上海·专题练习）若则的值为（    ） A． B．5 C．1 D． 2．（22-23七年级上·上海静安·期中）已知为奇数，为偶数，则下列各式的计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级·上海·假期作业）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：；比如，则，若，那么的结果是（ ） A．2022 B． C． D． 4．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）已知，则下列给出之间的数量关系式中，错误的是（    ） A． B． C． D． 5．（21-22七年级上·上海松江·期中）计算： ．（结果用幂的形式表示） 6．（22-23七年级上·上海宝山·期中）已知：，，则 ． 7．（22-23七年级·上海·假期作业）计算：= ． 8．（23-24七年级上·上海·期中）计算： .（结果用幂的形式表示） 9．（20-21七年级上·上海·期中）若，则x= ． 10．（22-23七年级上·上海浦东新·期中）如果，那么我们规定：，例如，因为，那么我们就说，； (1)请根据上述定义，填空： ______；______；______； (2)已知，，，且，求的值． 二、题型二：幂的乘方 11．（23-24七年级下·上海长宁·期末）计算： ． 12．（23-24七年级上·上海青浦·期中）已知，，则 ． 13．（22-23七年级上·上海闵行·期末）如果，那么 ． 14．（21-22七年级上·上海宝山·期末）若，则的值是 15．（22-23七年级上·上海宝山·期中）已知，，用含字母的代数式表示，则 16．（21-22七年级上·上海青浦·阶段练习）若，，、为正整数，则 ．（结果用含、的式子表示） 17．（21-22七年级上·上海浦东新·期中）已知3x﹣3•9x＝272，则x的值是 ． 18．（21-22七年级上·上海·期末）计算：． 19．（22-23七年级·上海·假期作业）比较大小： (1)比较下列一组数的大小：在，，，； (2)比较下列一组数的大小：； (3)比较下列一组数的大小：4488，5366，6244． 20．（21-22七年级上·上海浦东新·期中）若2x＝4y+1，27y＝3x﹣1，试求x与y的值． 三、题型三：积的乘方 21．（23-24七年级上·上海·期中）在下列运算中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 22．（23-24七年级上·上海宝山·阶段练习）若与互为倒数，则的值是（    ） A． B． C． D． 23．（23-24七年级上·上海静安·期中）计算： ； 24．（22-23七年级上·上海静安·期中）通过探究发现：当n为正整数时，，那么根据这一结论，请计算 25．（21-22七年级上·上海嘉定·期中）若与互为倒数，则的值是 ． 26．（23-24七年级上·上海静安·期中）已知（都是正整数），用含的式子表示． 27．（23-24七年级上·上海宝山·阶段练习）若单项式与单项式是同类项，那么求的值． 28．（22-23七年级·上海·假期作业）如果比的次数大1，那么的值是多少？ 29．（22-23七年级上·上海松江·阶段练习）计算： 30．（22-23八年级上·山东临沂·阶段练习）已知：，，（都是正整数），用含或的式子表示下列各式： (1)； (2)． 四、题型四：单项式乘单项式 31．（22-23七年级上·上海嘉定·期中）计算： ． 32．（21-22七年级上·上海·期末）计算：． 33．（22-23七年级·上海·假期作业）化简：． 34．（2022七年级上·上海·专题练习）已知：，求的值． 35．（2022七年级上·上海·专题练习）计算： (1)； (2)． 五、题型五：单项式乘多项式及其应用 36．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算： ． 37．（21-22七年级上·上海松江·期中）已知，那么代数式的值等于 ． 38．（20-21七年级上·上海·期中）已知三角形的一边长为米，这边上的高比这边少1米，那么这个三角形的面积为 平方米（用含的的代数式表示）． 39．（23-24七年级上·上海松江·阶段练习）计算：． 40．（22-23七年级上·上海黄浦·期中）先化简，后求值：，其中． 41．（22-23七年级上·上海·阶段练习）先化简再求值：，其中x＝﹣1，y＝2 42．（21-22七年级上·上海松江·期中）计算： 43．（2022七年级上·上海·专题练习）先化简，后求值：，其中    ． 44．（2022七年级上·上海·专题练习）解关于的方程：． 45．（21-22七年级上·上海·期末）如图，已知正方形与正方形，点在边上，已知正方形的边长为，正方形的边长为，且．用、表示下列图形的面积．    (1)的面积． (2)的面积． (3)的面积． 六、题型六：多项式乘多项式 46．（22-23七年级上·上海浦东新·期中）如果，那么、的值分别是（    ）． A．， B．， C．， D．， 47．（22-23七年级上·上海杨浦·期中）若，则 ． 48．（23-24七年级上·上海长宁·期中），求的值． 49．（22-23七年级上·上海闵行·周测）阅读材料，回答下列问题．阅读材料，回答下列问题． 多项式相乘的计算法则为用多项式中的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把结果加起来，例如 （乘法分配律） （合并同类项） 则叫做的展开式，叫做的展开式． (1)计算的展开式； (2)请指出是几次几项式，并计算的展开式（按照x进行降幂排列），指出这个展开式是几次几项式，并推测是几次几项式（用n表示，其中n为正整数）； (3)推测的展开式中各项系数之和，并证明你的结论（用n表示，其中n为正整数）． 50．（22-23七年级上·上海静安·期中）已知关于的一次二项式与的积不含二次项，一次项的系数是4． 求： (1)系数与的值； (2)二项式与的积． 51．（22-23七年级·上海·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)． 52．（22-23七年级上·上海闵行·期中）阅读材料： 在学习多项式乘以多项式时，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为：，常数项为：．那么一次项是多少呢？ 要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项系数就是：，即一次项为． 参考材料中用到的方法，解决下列问题： (1)计算所得多项式的一次项系数为　　． (2)如果计算所得多项式不含一次项，求的值； (3)如果，求的值． 53．（22-23七年级上·上海浦东新·期中）甲、乙两人共同计算一道整式：．由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是．求的值． 54．（22-23七年级上·上海·期中）已知多项式与的乘积中含项的系数为4，含x项的系数为2，求的值． 55．（22-23七年级上·上海长宁·期中）计算： 56．（21-22七年级上·上海宝山·期末）小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘错抄成除以，结果得到，如果小明没有错抄题目，并且计算依然正确，那么得到的结果应该是什么？ 七、题型七：已知多项式的乘积不含某项求字母的值 57．（23-24七年级上·上海松江·阶段练习）若的展开式中不含和项，求、得值． 58．（22-23七年级·上海·假期作业）如果的展开式中不含和项，求代数式：的值． 59．（22-23七年级·上海·假期作业）若的积中不含项与项： (1)求、的值． (2)求代数式的值． 60．（22-23七年级上·上海浦东新·期中）已知多项式与的乘积不含和两项．求代数式的值． 61．（22-23七年级上·上海黄浦·期中）已知二次三项式与多项式（a、b为常数）相乘，积中不出现二次项，且一次项系数为，求、的值． 八、题型八：多项式乘多项式与图形面积 62．（22-23七年级上·山东烟台·期中）利用图形的分、和、移、补，探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，，则矩形的面积是 （　　）    A．12 B．14 C．16 D．18 63．（22-23七年级上·上海·期中）有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为，宽为的矩形，则需要A类卡片 张，B类卡片 张，C类卡片 张，请你在右下角的大矩形中画出一种拼法．（标上卡片名称） 64．（22-23七年级上·上海青浦·期中）已知：5张如图1所示的长为，宽为（）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在长方形内，设长．未覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示，设左上角的阴影长方形的面积为，右下角的阴影长方形的面积为．    (1)请用、、的代数式分别表示． (2)如果，请用、、的代数式表示．（最后结果能化简的要化简） (3)当的长度变化时，如果始终保持不变，求、应满足的数量关系． 65．（21-22七年级上·上海浦东新·期中）某中学有一块长30m，宽20m的长方形空地，计划在这块空地上划分出部分区域种花，小明同学设计方案如图，设花带的宽度为x米． (1)请用含x的式子表示空白部分长方形的面积；（要化简） (2)当花带宽2米时，空白部分长方形面积能超过400m2吗？请说明理由． 66．（21-22七年级上·上海杨浦·期中）7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按如图2、3的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示． （1）如图2，点E、Q、P在同一直线上，点F、Q、G在同一直线上，右下角与左上角的阴影部分的面积的差为 　 　（用含a、b的代数式表示），矩形ABCD的面积为 　 　（用含a、b的代数式表示）； （2）如图3，点F、H、Q、G在同一直线上，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S，PC＝x．当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，那么a、b必须满足什么条件？ 九、题型九：多项式乘法中的规律性问题 67．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）阅读并填空： 我们已经学习了多项式乘以多项式，可以计算以下的式子， __________． __________．（结果按字母x降幂排列） __________．（结果按字母x降幂排列） …… 观察以上等式右边的各项系数的规律，这些系数的规律早在11世纪就已经被我国数学家贾宪发现．如图被后人称为“贾宪三角”． 利用“贾宪三角”可知：__________． “贾宪三角”中还蕴含了许多数字产生的规律，如第三斜列的数字1、3、6、10、15…也有规律，若数字1是第1个数，数字3是第2个数，那么第n个数是__________（用含n的式子表示）． 68．（21-22七年级上·上海·期中）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律． 例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1； （a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2； （a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4； 根据以上规律，解答下列问题： （1）（a+b）5展开式的系数和是　 　；（a+b）n展开式的系数和是　 　． （2）当a＝2时，（a+b）5展开式的系数和是　 　；（a+b）n展开式的系数和是　 　． 69．（21-22七年级上·上海浦东新·期中）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出右表，此表揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律，通常称它为“杨辉三角”，杨辉三角的发现要比欧洲早四百多年，它与勾股定理、圆周率的计算等其他中国古代数学成就一起，显示了我国古代劳动人民的卓越智慧与才能． 例如：规定： 那么，，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 根据以上规律，展开式共有________项，系数分别为________…… 根据以上规律，写出的展开式：=________ 70．（20-21七年级上·上海·期中）先观察下列各式的规律： 根据你的发现，试求： （1）的值； （2）的值 71．（19-20七年级上·上海徐汇·阶段练习）阅读下文，回答问题： 已知：（1-x）（1+x）=1-x2． （1-x）（1+x+x2）=_______; （1-x）（1+x+x2+x3）=_______; （1）计算上式并填空； （2）猜想：（1-x）（1+x+x2+…+xn）= ； （3）你能计算399+398+397…+32+3+1的结果吗？请写出计算过程（结果用含有3幂的式子表示）. 10 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 整式的乘法（九大题型，71题） 目录 题型一：同底数幂的乘法 1 题型二：幂的乘方 5 题型三：积的乘方 9 题型四：单项式乘单项式 14 题型五：单项式乘多项式及其应用 16 题型六：多项式乘多项式 20 题型七：已知多项式的乘积不含某项求字母的值 28 题型八：多项式乘多项式与图形面积 31 题型九：多项式乘法中的规律性问题 35 一、题型一：同底数幂的乘法 1．（2022七年级上·上海·专题练习）若则的值为（    ） A． B．5 C．1 D． 【答案】D 【分析】先根据同底数幂的乘法法则计算等式的左边，再与等式的右边进行比较可得一个关于的二元一次方程组，解方程组可得的值，然后代入计算即可得． 【详解】解：， ， ， ， 解得， 则， 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、二元一次方程组的应用，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键． 2．（22-23七年级上·上海静安·期中）已知为奇数，为偶数，则下列各式的计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘法法则分别运算，即可获得答案． 【详解】解：若为奇数，为偶数，则 A．，该选项运算错误，不符合题意； B．，该选项运算错误，不符合题意； C．，该选项运算错误，不符合题意； D． ，该选项运算正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 3．（22-23七年级·上海·假期作业）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：；比如，则，若，那么的结果是（ ） A．2022 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据新的运算定义，将化成1011个的积，然后再代值计算即可解答． 【详解】解：，，， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是同底数幂的乘法、新定义运算等知识点，理解新定义、将把新运算化成常规运算是解答本题的关键． 4．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）已知，则下列给出之间的数量关系式中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，根据已知条件式得到，进而推出，则，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴四个选项中只有C选项的关系式错误，符合题意； 故选C． 5．（21-22七年级上·上海松江·期中）计算： ．（结果用幂的形式表示） 【答案】/ 【分析】本题首先转化为同底数，然后根据同底数幂的乘法计算法则即可得出答案． 【详解】 故答案为： 【点睛】本题主要考查的就是同底数幂的乘法计算法则，属于基础题型．互为相反数的两个数的偶数次幂相等是解决这个问题的关键． 6．（22-23七年级上·上海宝山·期中）已知：，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据同底数幂的乘法以及幂的乘方的逆运算计算即可得出答案． 【详解】∵，， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是幂的运算公式，需要熟练掌握四个幂的运算公式及其逆运算． 7．（22-23七年级·上海·假期作业）计算：= ． 【答案】 【分析】先把式子变成同底数，再根据同底数幂相乘法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂相乘的运算法则，解题的关键是注意先要将底数化为相同． 8．（23-24七年级上·上海·期中）计算： .（结果用幂的形式表示） 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则计算即可得． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 9．（20-21七年级上·上海·期中）若，则x= ． 【答案】8或 【分析】运用同底数幂的乘法法则进行求解即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴ ∴x=或8． 故答案为：或8． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 10．（22-23七年级上·上海浦东新·期中）如果，那么我们规定：，例如，因为，那么我们就说，； (1)请根据上述定义，填空： ______；______；______； (2)已知，，，且，求的值． 【答案】(1)2，6，4； (2)． 【分析】（1）根据有理数的乘方和新定义即可得出答案； （2）根据新定义可得，，，然后利用同底数幂的乘法法则求出即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ， 故答案为：2，6，4； （2）解：∵，，， ∴，，， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了有理数的乘方、新定义、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则，正确理解新定义是解题的关键． 二、题型二：幂的乘方 11．（23-24七年级下·上海长宁·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的运算，解题的关键是掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘． 先将化为，再进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12．（23-24七年级上·上海青浦·期中）已知，，则 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了幂的乘方，根据幂的乘方的逆运算即可求解，解题的关键是熟练掌握幂的乘方运算法则． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 13．（22-23七年级上·上海闵行·期末）如果，那么 ． 【答案】 【分析】根据负整数指数幂的法则变形，然后逆用幂的乘方和同底数幂的乘法，再根据负整数指数幂的法则变形，进而列式求出m即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了负整数指数幂，幂的乘方和同底数幂的乘法，灵活运用运算法则进行变形是解题的关键． 14．（21-22七年级上·上海宝山·期末）若，则的值是 【答案】 【分析】将代入，根据幂的运算与负整数指数幂运算法则即可得． 【详解】解：， ， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了幂的运算与负整数指数幂，熟练掌握是解题关键． 15．（22-23七年级上·上海宝山·期中）已知，，用含字母的代数式表示，则 【答案】/ 【分析】先根据题意求出，接着变形，将整体代入即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，熟知幂的乘方的逆运算是解题的关键． 16．（21-22七年级上·上海青浦·阶段练习）若，，、为正整数，则 ．（结果用含、的式子表示） 【答案】 【分析】利用同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的整式进行运算即可． 【详解】解∵，， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方．正确将原式变形是解题的关键． 17．（21-22七年级上·上海浦东新·期中）已知3x﹣3•9x＝272，则x的值是 ． 【答案】3 【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘，同底数幂相乘，底数不变指数相加，计算后再根据指数相等列式求解即可． 【详解】解：∵3x-3•9x=3x-3•32x=3x-3+2x=36， ∴x-3+2x=6， 解得x=3． 故答案为：3． 【点睛】此题考查同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，关键是等式两边均化为底数均为3的幂进行计算． 18．（21-22七年级上·上海·期末）计算：． 【答案】 【分析】先计算幂的乘方和同底数幂的乘法，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了整式的运算法则，解题的关键是熟记幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项的知识． 19．（22-23七年级·上海·假期作业）比较大小： (1)比较下列一组数的大小：在，，，； (2)比较下列一组数的大小：； (3)比较下列一组数的大小：4488，5366，6244． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用幂的乘方分别将各数化为同指数的幂比较即可得解题； （2）利用幂的乘方分别将各数化为同底数的幂比较即可得解题； （3）利用幂的乘方分别将各数化为同指数的幂比较即可得解题． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴． 【点睛】本题考查了幂的乘方，本题中，指数幂运算结果都是很大的数，不可能直接算出来，采用间接法，利用幂的乘方运算法则，要么化作指数相同，比较底数大小，要么化作底数相同，比较指数大小，熟练掌握幂的乘方的运算法则是解题的关键． 20．（21-22七年级上·上海浦东新·期中）若2x＝4y+1，27y＝3x﹣1，试求x与y的值． 【答案】 【分析】根据幂的乘方的意义得到二元一次方程组，再进行计算即可． 【详解】解：∵2x＝4y+1，27y＝3x﹣1， ∴ ∴ 整理得， ①+②得， 把代入①得， ∴ ∴方程组的解为 【点睛】本题主要考查了幂的乘方和解二元一次方程组，熟练掌握解题步骤是解答本题的关键． 三、题型三：积的乘方 21．（23-24七年级上·上海·期中）在下列运算中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查同底数幂，合并同类项，积的乘方，幂的乘方，利用法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、与不属于同类项，不能合并，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 22．（23-24七年级上·上海宝山·阶段练习）若与互为倒数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可求，可化为，即可求解． 【详解】解：由题意得 与互为倒数， ， ； 故选：D． 【点睛】本题考查了倒数的定义，同底数幂的乘法公式逆用，积的乘方公式逆用，理解定义，掌握公式是解题的关键． 23．（23-24七年级上·上海静安·期中）计算： ； 【答案】 【分析】先根据积的乘方计算，然后再根据同底数幂的积进行计算即可解答． 【详解】解：． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了积的乘方、同底数幂的积等知识点，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键． 24．（22-23七年级上·上海静安·期中）通过探究发现：当n为正整数时，，那么根据这一结论，请计算 【答案】 【分析】所求式子可以变形为，根据积的乘方计算法则继续变形得到，由此根据题意求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了积的乘方运算，正确将所求式子变形为是解题的关键． 25．（21-22七年级上·上海嘉定·期中）若与互为倒数，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据与互为倒数，得到，再计算，即可得到答案． 【详解】解：与互为倒数， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查代数式求值，涉及倒数定义、同底数幂的乘法运算的逆用、积的乘方运算的逆用等知识，熟记相关运算法则是解决问题的关键． 26．（23-24七年级上·上海静安·期中）已知（都是正整数），用含的式子表示． 【答案】 【分析】运用逆用幂的乘方、积的乘方进行解答即可． 【详解】解：． 【点睛】本题主要考查了逆用幂的乘方、积的乘方等知识点，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键． 27．（23-24七年级上·上海宝山·阶段练习）若单项式与单项式是同类项，那么求的值． 【答案】 【分析】根据，同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数相同；进行计算即可求解． 【详解】解： ， 单项式与单项式是同类项， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了积的乘方，单项式的定义，求代数式的值，理解定义，掌握公式是解题的关键． 28．（22-23七年级·上海·假期作业）如果比的次数大1，那么的值是多少？ 【答案】1 【分析】根据积的乘方，幂的乘方、同底数幂相乘进行化简，再根据单项式的次数的概念列方程求解，即可得到答案． 【详解】解：， 的次数为， ， 的次数为， 比的次数大1， ， 解得：． 【点睛】本题考查了积的乘方，幂的乘方、同底数幂相乘，单项式的次数的概念，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 29．（22-23七年级上·上海松江·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】利用积的乘方、幂的乘方以及同底数幂乘法的运算法则计算即可解答． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查积的乘方、幂的乘方以及同底数幂乘法，熟练掌握各个运算法则是解题关键． 30．（22-23八年级上·山东临沂·阶段练习）已知：，，（都是正整数），用含或的式子表示下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）逆用积的乘方以及同底数幂的乘法运算即可求解； （2）逆用同底数幂的乘法以及幂的乘方的运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴． 【点睛】本题考查的是积的乘方，同底数幂的乘法与幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键. 四、题型四：单项式乘单项式 31．（22-23七年级上·上海嘉定·期中）计算： ． 【答案】 【分析】根据单项式乘以单项式法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查单项式乘以单项式，熟练掌握单项式乘以单项式法则是解题的关键． 32．（21-22七年级上·上海·期末）计算：． 【答案】 【分析】单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 【详解】解：原式， ． 【点睛】本题考查单项式与多项式相乘，积的乘方，单项式与单项式相乘，解题的关键是掌握以上运算法则． 33．（22-23七年级·上海·假期作业）化简：． 【答案】当时，原式=；当时，原式=． 【分析】先将原式化简为，再分当时，当时，两种情况去绝对值后根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式=；当时，原式=． 【点睛】本题主要考查单项式乘以单项式，化简绝对值，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 34．（2022七年级上·上海·专题练习）已知：，求的值． 【答案】5 【分析】已知等式左边利用单项式乘以单项式法则计算，根据单项式相等的条件即可求出m与n的值，进而求出m+n的值． 【详解】原式=，由此可得， 可解得， 所以，． 【点睛】此题考查了单项式乘以单项式法则，以及同底数幂的乘法法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 35．（2022七年级上·上海·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算单项式的乘方，再计算乘法，最后合并同类项即可得； （2）先计算单项式的乘方，再计算乘法，最后合并同类项即可得． 【详解】（1）解：原式= （2）原式= 【点睛】本题主要考查单项式乘多项式以及单项式的乘方，解题的关键是掌握单项式乘方和单项式乘多项式的运算法则． 五、题型五：单项式乘多项式及其应用 36．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算： ． 【答案】 【分析】根据单项式乘多项式的乘法法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查单项式乘多项式，熟练掌握单项式乘多项式的乘法法则是解题的关键． 37．（21-22七年级上·上海松江·期中）已知，那么代数式的值等于 ． 【答案】5 【分析】根据可得，，由此代入即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了因式分解的应用以及代数式求值，熟练掌握整体代入求值是解决本题的关键． 38．（20-21七年级上·上海·期中）已知三角形的一边长为米，这边上的高比这边少1米，那么这个三角形的面积为 平方米（用含的的代数式表示）． 【答案】 【分析】先根据三角形的面积公式列出算式，再根据单项式乘多项式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵三角形的一边长为米，这边上的高比这边少1米， ∴此三角形的高为（a-1）米， ∴根据三角形的面积公式得：（平方米）； 故答案为：． 【点睛】此题考查了单项式乘多项式以及三角形的面积公式，熟练掌握单项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 39．（23-24七年级上·上海松江·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】根据单项式乘多项式，积的乘方，同底数幂的乘法，计算求解即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了单项式乘多项式，积的乘方，同底数幂的乘法．解题的关键在于正确的运算． 40．（22-23七年级上·上海黄浦·期中）先化简，后求值：，其中． 【答案】化简结果，代数式的值为． 【分析】先计算多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，再合并同类项得到化简的结果，再把代入化简后的代数式进行计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 【点睛】本题考查的是整式的混合运算中的化简求值，掌握“多项式乘以多项式，单项式乘以多项式的运算法则”是解本题的关键． 41．（22-23七年级上·上海·阶段练习）先化简再求值：，其中x＝﹣1，y＝2 【答案】，304 【分析】直接利用整式的混合运算法则，运用单项式乘以多项式化简后，再把已知数据代入得出答案即可． 【详解】解： ， 当x＝﹣1，y＝2时， 原式＝ ＝ ＝． 【点睛】本题考查整式的混合运算，涉及到单项式乘以多项式运算法则、同底数幂的乘法运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键． 42．（21-22七年级上·上海松江·期中）计算： 【答案】 【分析】单项式与多项式各项相乘后，再把积相加． 【详解】解： = = 【点睛】本题考核知识点：整式乘法．掌握单项式与多项式的乘法法则是关键． 43．（2022七年级上·上海·专题练习）先化简，后求值：，其中    ． 【答案】，1 【分析】先根据单项式乘多项式，单项式乘单项式的法则进行计算，然后合并同类项，将x和y的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ． 将代入计算得： 原式=． 【点睛】本题主要考查代数式的化简，先利用单项式乘多项式的运算法则进行计算，然后合并同类项进行化简，最后代值计算． 44．（2022七年级上·上海·专题练习）解关于的方程：． 【答案】 【分析】先按照单项式乘多项式的法则去括号，再移项、合并同类项，整理为一元一次方程，解答即可． 【详解】解：去括号得： 整理： 移项、合并同类项： 系数化为1： 【总结】本题主要考查对单项式乘多项式乘法法则、同底数幂的乘法及解方程的应用，正确把握单项式乘多项式法则是解答此题的关键． 45．（21-22七年级上·上海·期末）如图，已知正方形与正方形，点在边上，已知正方形的边长为，正方形的边长为，且．用、表示下列图形的面积．    (1)的面积． (2)的面积． (3)的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）三角形以为底，为高，利用三角形面积公式求出即可； （2）三角形以为底，为高，利用三角形面积公式求出即可； （3）三角形面积=正方形面积+正方形面积+三角形面积三角形面积三角形面积，求出即可． 【详解】（1）解：根据题意得：的面积； （2）解：根据题意得：的面积； （3）解：根据题意得：的面积． 【点睛】此题考查了整式混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键． 六、题型六：多项式乘多项式 46．（22-23七年级上·上海浦东新·期中）如果，那么、的值分别是（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用多项式乘多项式法则，得到等式左侧的结果，根据对应项，对应相等，求出、的值即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：； 故选C． 【点睛】本题考查多项式乘多项式．熟练掌握多项式乘多项式的法则，是解题的关键． 47．（22-23七年级上·上海杨浦·期中）若，则 ． 【答案】7 【分析】根据等式中等号两边同类项的系数相等求出、、的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，， 解得， 把代入得：， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，运用相关法则正确计算是解题的关键． 48．（23-24七年级上·上海长宁·期中），求的值． 【答案】4 【分析】本题考查多项式乘多项式，先对等式左边进行变形得，再与右边对照，相应的系数对应相等，即可求出值． 【详解】解： ∵， ∴，解得： 49．（22-23七年级上·上海闵行·周测）阅读材料，回答下列问题．阅读材料，回答下列问题． 多项式相乘的计算法则为用多项式中的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把结果加起来，例如 （乘法分配律） （合并同类项） 则叫做的展开式，叫做的展开式． (1)计算的展开式； (2)请指出是几次几项式，并计算的展开式（按照x进行降幂排列），指出这个展开式是几次几项式，并推测是几次几项式（用n表示，其中n为正整数）； (3)推测的展开式中各项系数之和，并证明你的结论（用n表示，其中n为正整数）． 【答案】(1) (2)的展开式是二次三项式；的展开式是三次四项式；是n次项式 (3)的系数之和为，证明见解析 【分析】（1）按照完全平方公式，将展开即可； （2）将展开，然后得出是几次几项式即可，按照多项式乘法运算法则将展开，得出这个展开式是几次几项式即可；找出规律推测是几次几项式即可； （3）根据展开式的各项系数之和为，展开式的各项系数之和为，展开式的各项系数之和为，展开式的各项系数之和为，……得出的展开式中各项系数之和即可，设，令，，则，得出，从而证明结论． 【详解】（1）解： ， ∴的展开式为． （2）解：∵， ∴的展开式是二次三项式； ∵ ， ∴的展开式是三次四项式； 由的展开式是二次三项式，的展开式是三次四项式，推测是n次项式． （3）解：的系数之和为，理由如下： ∵展开式的各项系数之和为， 展开式的各项系数之和为， 展开式的各项系数之和为， 展开式的各项系数之和为， …… ∴展开式的各项系数之和为； 设， 令，， 则， ∴， 即展开式的各项系数之和为． 【点睛】本题主要考查了多项式乘法，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式运算法则，准确计算． 50．（22-23七年级上·上海静安·期中）已知关于的一次二项式与的积不含二次项，一次项的系数是4． 求： (1)系数与的值； (2)二项式与的积． 【答案】(1)系数的值为，系数的值为 (2) 【分析】（1）先计算，得，再根据关于的一次二项式与的积不含二次项，一次项的系数是4，得到关于与的方程，解方程即可得到答案； （2）把与的值代入即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得： ， 关于的一次二项式与的积不含二次项，一次项的系数是4， ， 解得：， 系数的值为，系数的值为； （2）解：由（1）得：系数的值为，系数的值为， 二项式与的积为：． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，解答本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则． 51．（22-23七年级·上海·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）利用多项式的乘法法则即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查多项式的乘法法则，用多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再进行合并同类项运算；（3）式计算中注意观察，运用整体思想，会使计算变得简单． 52．（22-23七年级上·上海闵行·期中）阅读材料： 在学习多项式乘以多项式时，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为：，常数项为：．那么一次项是多少呢？ 要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项系数就是：，即一次项为． 参考材料中用到的方法，解决下列问题： (1)计算所得多项式的一次项系数为　　． (2)如果计算所得多项式不含一次项，求的值； (3)如果，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接根据材料中的方法，求多项式的一次项系数即可； （2）先利用材料中的方法，求一次项的系数，然后其系数等于零求解即可； （3）求即多项式中一次项的系数，利用材料中的方法计算即可． 【详解】（1）解：一次项系数为， 故答案为：； （2）解：根据题意，得一次项系数， 解得； （3）解：的一次项系数为， ． 【点睛】此题考查了多项式与多项式的乘法运算，准确理解并掌握题目中的求多项式的某次项的系数的方法是解答此题的关键． 53．（22-23七年级上·上海浦东新·期中）甲、乙两人共同计算一道整式：．由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是．求的值． 【答案】 【分析】按甲乙错误的说法计算得出的系数的数值求出，的值，将，的值代入，即可求解． 【详解】解：甲抄错了的符号的计算结果为：， ∴ 乙漏抄了第二个多项式中的系数，计算结果为：（． ∴， ∴ ∴， 解得， ∴ 当时，原式 【点睛】此题考查了多项式乘多项式，解二元一次方程组，解题的关键是根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算． 54．（22-23七年级上·上海·期中）已知多项式与的乘积中含项的系数为4，含x项的系数为2，求的值． 【答案】4或2 【分析】根据多项式的乘法求出，再根据题意即可列出关于a，b的方程组，解出a，b的值，再计算即可． 【详解】解： ． ∵中含项的系数为4，含x项的系数为2， ∴， 解得：或． ∴或． 【点睛】本题主要考查多项式的乘法，二元二次方程组的应用．掌握多项式的乘法法则是解题关键． 55．（22-23七年级上·上海长宁·期中）计算： 【答案】 【分析】根据多项式乘多项式运算法则去括号，再合并同类项即可． 【详解】解： = = = 【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握相关运算的法则． 56．（21-22七年级上·上海宝山·期末）小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘错抄成除以，结果得到，如果小明没有错抄题目，并且计算依然正确，那么得到的结果应该是什么？ 【答案】3x3-12x2y+12xy2 【分析】根据被除式=商×除式，所求多项式是3x（x-2y），根据多项式乘多项式的法则计算即可． 【详解】解：第一个多项式是：3x（x-2y）=3x2-6xy， 正确的结果应该是：（3x2-6xy）（x-2y） =3x3-6x2y-6x2y+12xy2 =3x3-12x2y+12xy2． 【点睛】题考查了多项式乘多项式法则，根据被除式、除式、商三者之间的关系列出等式是解题的关键，熟练掌握运算法则也很重要． 七、题型七：已知多项式的乘积不含某项求字母的值 57．（23-24七年级上·上海松江·阶段练习）若的展开式中不含和项，求、得值． 【答案】， 【分析】求多项式乘多项式的展开式为，根据题意可得，，计算求解即可． 【详解】解： ， ∵展开式中不含和项， ∴，， 解得，，． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式．解题的关键在于正确的运算． 58．（22-23七年级·上海·假期作业）如果的展开式中不含和项，求代数式：的值． 【答案】 【分析】直接利用多项式乘法运算法则化简进而得出和项的系数为零进而得出答案． 【详解】解： = = ∵不含有和项， ∴且， ∴； 当时， ． 【点睛】本题考查了整式的乘法，本题一方面涉及幂的运算以及积的乘方，另一方面注意对乘积中不含和项的理解和应用． 59．（22-23七年级·上海·假期作业）若的积中不含项与项： (1)求、的值． (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2)36 【分析】（1）将原式根据多项式乘以多项式法则展开后合并同类项，由积中不含项与项，可知项与项的系数均等于0，可得关于的方程组，解方程组即可； （2）由（1）中的值得，将原式整理变形，再将的值代入计算即可． 【详解】（1）解：， ∵积中不含项与项， ， ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的运算，负整数指数幂、积的乘方，幂的乘方等知识，掌握相关运算法则是解题的关键， 60．（22-23七年级上·上海浦东新·期中）已知多项式与的乘积不含和两项．求代数式的值． 【答案】2 【分析】先计算，根据乘积不含和两项，求出的值，再代入代数式进行计算即可． 【详解】解：， ； ∵乘积不含和两项， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查多项式乘积不含某项的问题．熟练掌握多项式乘多项式法则，是解题的关键． 61．（22-23七年级上·上海黄浦·期中）已知二次三项式与多项式（a、b为常数）相乘，积中不出现二次项，且一次项系数为，求、的值． 【答案】， 【分析】由多项式的相关概念即可求解． 【详解】 据题意得：， 解得，． 【点睛】本题考查多项式的相关概念，关键是对两个多项式乘积进行合并同类项． 八、题型八：多项式乘多项式与图形面积 62．（22-23七年级上·山东烟台·期中）利用图形的分、和、移、补，探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，，则矩形的面积是 （　　）    A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】设小正方形的边长为x，利用a、b、x表示矩形的面积，再利用a、b、x表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于a、b、x的关系式，解出x，即可求出矩形面积． 【详解】解：设小正方形的边长为x， ∴矩形的长为，宽为， 由图1可得：， 整理得：， ∵，， ∴， ∴， ∴矩形面积为：． 故选：C． 【点睛】本题主要考查列代数式、多项式乘多项式与几何图形面积的应用，运用了整体代入的思想，求出小正方形的边长是解题的关键． 63．（22-23七年级上·上海·期中）有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为，宽为的矩形，则需要A类卡片 张，B类卡片 张，C类卡片 张，请你在右下角的大矩形中画出一种拼法．（标上卡片名称） 【答案】 2 1 3；图见解析（答案不唯一） 【分析】首先分别计算大矩形和三类卡片的面积，再进一步根据大矩形的面积应等于三类卡片的面积和，进行分析所需三类卡片的数量． 【详解】解：长为，宽为的矩形面积为： ， A图形面积为，B图形面积为，C图形面积为， 则可知需要A类卡片2张，B类卡片1张，C类卡片3张． 故答案为：2；1；3． 【点睛】本题主要考查的内容是整式的运算与几何的综合题，方法较新颖，注意对此类问题的深入理解，是解题的关键． 64．（22-23七年级上·上海青浦·期中）已知：5张如图1所示的长为，宽为（）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在长方形内，设长．未覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示，设左上角的阴影长方形的面积为，右下角的阴影长方形的面积为．    (1)请用、、的代数式分别表示． (2)如果，请用、、的代数式表示．（最后结果能化简的要化简） (3)当的长度变化时，如果始终保持不变，求、应满足的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）左上角的阴影长方形的长为，宽为，根据长方形的面积公式便可求得结果； （2）右下角的阴影长方形的长为，宽为a，根据长方形的面积公式表示出，进而由题意求得S； （3）由，当t取任何值时，S的值不发生变化得，便可求得结果． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）由图形知，， ； （3）∵当的长度变化时，S始终保持不变， ∴不论t为何值时，S的值不改变， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了列代数式，整式的混合运算，长方形的性质，关键是结合图形用代数式表示出阴影部分的长方形的长与宽． 65．（21-22七年级上·上海浦东新·期中）某中学有一块长30m，宽20m的长方形空地，计划在这块空地上划分出部分区域种花，小明同学设计方案如图，设花带的宽度为x米． (1)请用含x的式子表示空白部分长方形的面积；（要化简） (2)当花带宽2米时，空白部分长方形面积能超过400m2吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)超过，理由见解析 【分析】（1）空白部分长方形的两条边长分别是（30-2x）m，（20-x）m．得空白部分长方形的面积； （2）通过有理数的混合运算得结果与400进行比较． 【详解】（1）空白部分长方形的两条边长分别是（30-2x）m，（20-x）m． 空白部分长方形的面积：（30-2x）（20-x）=(2x2-70x+600) m2． （2）超过． ∵2×22-70×2+600=468（m2）， ∵468＞400， ∴空白部分长方形面积能超过400 m2． 【点睛】本题考查有代数式表示实际问题，掌握用代数式表示长方形的边长，读懂题意列出代数式是解决此题关键． 66．（21-22七年级上·上海杨浦·期中）7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按如图2、3的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示． （1）如图2，点E、Q、P在同一直线上，点F、Q、G在同一直线上，右下角与左上角的阴影部分的面积的差为 　 　（用含a、b的代数式表示），矩形ABCD的面积为 　 　（用含a、b的代数式表示）； （2）如图3，点F、H、Q、G在同一直线上，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S，PC＝x．当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，那么a、b必须满足什么条件？ 【答案】（1）；；（2） 【分析】(1)右下角的图形为边长为a的正方形，左上角图形为长方形，其长宽分别为4b，3b.分别计算面积作差即可，找到矩形ABCD的长宽分别为a+4b，a+3b计算面积即可， (2) AE=FQ，PC=HG，有FQ=HG+FH-QG，从而得到AE，把S表示出来，令与相乘的因式为零，即可得到S与BC长度无关． 【详解】(1) 右下角的图形为边长为a的正方形，面积为． 左上角图形为长方形，其长宽分别为4b，3b，面积为 ． 则右下角与左上角的阴影部分的面积的差为． 矩形ABCD的长宽分别为a+4b，a+3b，面积为 故答案为； (2) ∵AE=FQ，PC=HG，有FQ=HG+FH-QG ∴AE=PC+FH-QG 即AE=x+4b-a 图3中，右下角的矩形长宽分别为x，a，则面积为xa． 左上角矩形长宽分别为x+4b-a，3b，则面积为3b（x+4b-a）． 则 整理得到， 当BC的长度变化时，S始终保持不变，则时成立． 【点睛】本题解题关键在于找准各部分图形的边长与边长之间的关系，准确表示出面积的代数式，需要注意的是，矩形的对边与对边长度相等，可互相等量代换求得其他线段的长度． 九、题型九：多项式乘法中的规律性问题 67．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）阅读并填空： 我们已经学习了多项式乘以多项式，可以计算以下的式子， __________． __________．（结果按字母x降幂排列） __________．（结果按字母x降幂排列） …… 观察以上等式右边的各项系数的规律，这些系数的规律早在11世纪就已经被我国数学家贾宪发现．如图被后人称为“贾宪三角”． 利用“贾宪三角”可知：__________． “贾宪三角”中还蕴含了许多数字产生的规律，如第三斜列的数字1、3、6、10、15…也有规律，若数字1是第1个数，数字3是第2个数，那么第n个数是__________（用含n的式子表示）． 【答案】，，，， 【分析】本题考查了多项式乘多项式，数字的规律探究，根据题意推导一般性规律是解题的关键．利用多项式乘多项式的运算法则：先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加，求解多项式的乘方即可． 【详解】解 ：由题意知，． ． ． 利用“贾宪三角”可知：． ∵第1个数为， 第2个数为， 第3个数为， 第4个数为， 第5个数为， …… ∴可推导一般性规律为：第n个数是． 故答案为：，，，，． 68．（21-22七年级上·上海·期中）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律． 例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1； （a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2； （a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4； 根据以上规律，解答下列问题： （1）（a+b）5展开式的系数和是　 　；（a+b）n展开式的系数和是　 　． （2）当a＝2时，（a+b）5展开式的系数和是　 　；（a+b）n展开式的系数和是　 　． 【答案】（1）25； 2n；（2）35；3n． 【分析】（1）经过求和计算和变形，观察发现展开式的各项系数之和为当a=1,b=1时的代数式的值，按此规律便可求解 （2）利用知识迁移，用a=2，b=1求和（a+b）5展开式的系数和（2+1）5计算即可，同样方法求（a+b）n展开式的系数和（2+1）n即可 【详解】解：（1）1=10=（1+1）0， 1，1，1+1=2=21=（1+1）1， 1，2，1，1+2+1=22=（1+1）2， 1，3，3，1，1+3+3+1=8=23=（1+1）3 1，4，6，4，1，1+4+6+4+1=16=24=（1+1）4 …… 当a=1,b=1时，(a+b)n展开式的系数和（1+1）n 展开式的系数和是25， ∴（a+b）5展开式的系数和是当a=1,b=1时（1+1）5=25； ∴（a+b）5展开式的系数和是25； 当a=1,b=1时，（a+b）n=（1+1）n=2n， （a+b）n展开式的系数和是2n， 故答案为：25； 2n； （2）当a＝2时，b=1,（a+b）5=（2+1）5=35 当a＝2时，（a+b）5展开式的系数和是35； 当a＝2时，b=1, （a+b）n=（2+1）n=3n （a+b）n展开式的系数和是3n． 故答案为：35；3n． 【点睛】本题考查两数和的n次方公式与展开式各项系数和，本题主要是根据已知与图形，让学生探究，观察规律是求a与b为特定值是的代数式的值，属于一种开放性题目． 69．（21-22七年级上·上海浦东新·期中）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出右表，此表揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律，通常称它为“杨辉三角”，杨辉三角的发现要比欧洲早四百多年，它与勾股定理、圆周率的计算等其他中国古代数学成就一起，显示了我国古代劳动人民的卓越智慧与才能． 例如：规定： 那么，，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 根据以上规律，展开式共有________项，系数分别为________…… 根据以上规律，写出的展开式：=________ 【答案】五；1，4，6，4，1； 【分析】由图可知，从第三行开始，除去首项和最后一项，其余项应该等于上一行与其列数相同的数+上一行前一列的数．那么第五行的五个数就应该是1，4，6，4，1．即可得到答案． 【详解】解：（a+b）0=1，它只有一项，系数为1； （a+b）1=a+b，它有两项，系数分别为1，1； （a+b）2=a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1； （a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 所以（a+b）4的展开式有五项，系数分别为：1，4，6，4，1． 故答案为：五；1，4，6，4，1． ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查完全平方公式的推广，读懂题目信息，准确找出规律是解题的关键，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 70．（20-21七年级上·上海·期中）先观察下列各式的规律： 根据你的发现，试求： （1）的值； （2）的值 【答案】（1）127；（2） 【分析】（1）先由题意得出，当x=2时，上式变为，进一步即可求出结果； （2）同（1）题的思路可得：，当x=2时，上式变为，进而可得结果． 【详解】解：（1）由题意可得：， 当x=2时，上式变为， 所以=； （2）同理可得：， 当x=2时，上式变为， 所以． 【点睛】本题考查了多项式乘法的拓展和数字类规律探求，正确理解题意、明确求解的方法是解题关键． 71．（19-20七年级上·上海徐汇·阶段练习）阅读下文，回答问题： 已知：（1-x）（1+x）=1-x2． （1-x）（1+x+x2）=_______; （1-x）（1+x+x2+x3）=_______; （1）计算上式并填空； （2）猜想：（1-x）（1+x+x2+…+xn）= ； （3）你能计算399+398+397…+32+3+1的结果吗？请写出计算过程（结果用含有3幂的式子表示）. 【答案】（1）　 （2） （3） 【分析】(1)根据多项式乘以多项式的法则进行计算即可； (2)观察式子特点可得规律（1-x）（1+x+x2+…+xn）=； (3)根据（2）中的规律先计算(1-3)(399+398+397…+32+3+1)的值，即可求得结果. 【详解】解：（1）（1-x）（1+x+x2） =1+x+x2- x-x2- x3 =; （1-x）（1+x+x2+x3）=; （2）猜想：（1-x）（1+x+x2+…+xn）=； （3）∵(1-3)(399+398+397…+32+3+1)= ∴399+398+397…+32+3+1= 【点睛】本题考查了有特定规律的整式乘法，按法则进行计算并观察得到规律是解题的关键. 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$