专题02 整式的加减（七大题型，50题）-【尖子生培优】2024-2025学年七年级数学上学期重难点压轴题突破专练（沪教版上海2024）

专题02 整式的加减（七大题型，50题） 目录 题型一：同类项 1 题型二：合并同类项 1 题型三：去括号和添括号 2 题型四：整式的加减运算 2 题型五：整式加减中的化简求值 3 题型六：整式加减中的无关型问题 4 题型七：整式加减的应用 5 一、题型一：同类项 1．（2021·上海·中考真题）下列单项式中，的同类项是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22七年级上·上海·期末）如果单项式与是同类项，那么 ． 3．（22-23七年级上·上海浦东新·期中）已知与是同类项，那么 ． 4．（22-23七年级上·上海青浦·期中）已知与是同类项，则 ． 5．（22-23七年级上·上海·阶段练习）若与是同类项，试求的值． 二、题型二：合并同类项 6．（23-24七年级上·上海宝山·阶段练习）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算： ． 8．（23-24七年级上·上海松江·阶段练习）计算：． 9．（22-23七年级上·上海普陀·期中）已知，，求． 10．（23-24七年级上·上海·期末）多项式减去一个多项式A的差是，求这个多项式A． 三、题型三：去括号和添括号 11．（22-23七年级上·全国·单元测试）下列去括号或添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（23-24七年级上·上海宝山·阶段练习）下列去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24七年级上·上海宝山·阶段练习）计算： ． 14．（19-20七年级上·上海普陀·阶段练习）整式计算： ⑴       ⑵ ⑶      ⑷   ⑸     ⑹ 15．（23-24七年级上·上海宝山·阶段练习）求多项式减去的差． 四、题型四：整式的加减运算 16．（22-23七年级上·上海青浦·期中）已知：，且，求． 17．（22-23七年级·上海·假期作业）计算： (1) (2) (3) (4) 18．（22-23七年级·上海·假期作业）如果，那么的值． 19．（22-23七年级上·上海浦东新·期中）计算：． 20．（22-23七年级上·上海·期末）已知一个多项式与的和是，求这个多项式． 21．（22-23七年级上·上海·期中）已知：，． (1)计算：； (2)当时，求的值． 22．（22-23七年级上·上海青浦·期中）已知，求的最小值． 23．（22-23七年级上·上海·阶段练习）计算： 24．（22-23七年级上·上海宝山·期中）已知：，，求． 25．（22-23七年级上·上海闵行·期中）若整式减去某个多项式的差是，求这个多项式． 五、题型五：整式加减中的化简求值 26．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）已知m、x、y满足条件：（1）；（2）与是同类项．求代数的值． 27．（23-24七年级上·上海长宁·期中）若，先求出这个多项式，再计算当时，这个多项式的值． 28．（22-23七年级上·上海浦东新·期中）先化简，再求值，其中，． 29．（22-23七年级上·上海闵行·期中）已知：整式，，且整式，试求出整式C，并计算当，时C的值． 30．（22-23七年级上·上海奉贤·期中）先化简，再求值：，其中，． 31．（22-23七年级上·上海闵行·期中）已知代数式，． (1)如果，满足，求的值； (2)如果的值与的取值无关，求的值． 32．（22-23七年级上·上海·阶段练习）化简求值：，其中a＝﹣1 33．（2022七年级上·上海·专题练习）先化简，后求值：，已知． 34．（21-22七年级上·上海浦东新·期中）先化简，再求值：，其中， 35．（20-21七年级上·上海·期中）化简求值：其中， 六、题型六：整式加减中的无关型问题 36．（23-24七年级上·上海·期中）已知多项式的值与的大小无关，求代数式的值． 37．（22-23七年级上·上海青浦·期中）已知：5张如图1所示的长为，宽为（）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在长方形内，设长．未覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示，设左上角的阴影长方形的面积为，右下角的阴影长方形的面积为．    (1)请用、、的代数式分别表示． (2)如果，请用、、的代数式表示．（最后结果能化简的要化简） (3)当的长度变化时，如果始终保持不变，求、应满足的数量关系． 38．（22-23七年级上·上海长宁·阶段练习）定义：对于依次排列的多项式、、、（是常数），当他们满足，且是常数时，则称是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子，例如，对于多项式、、、来说因为，所以2、1、6、5是一组平衡数，4是该组平衡数的平衡因子． (1)已知2、4、7、9是一组平衡数，则该组平衡数的平衡因子__________． (2)若、2、、3是一组平衡数，求的值． (3)当之间满足怎样的数量关系时，他们是一组平衡数？ 39．（22-23七年级上·上海浦东新·期中）已知，，且与的3倍的差的值与的取值无关，求代数式的值． 40．（22-23七年级上·上海·期中）学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求m的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，m看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的系数为0，即原式，所以，则． (1)若多项式的值与x的取值无关，求a值； (2)5张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分)，设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长变化时，发现的值始终保持不变，请求出a与b的数量关系． 七、题型七：整式加减的应用 41．（21-22七年级上·上海·期末）将连续自然数1-36按下图方式排成一个长方形阵列，用一个小长方形任意圈出其中9个数，设圈出的9个数的中心数为n，用含n的代数式表示这9个数的和为 ． 42．（22-23七年级上·上海杨浦·期末）一个多项式减去的差是，则这个多项式是 . 43．（23-24七年级上·上海宝山·期末）长方形中，，，、分别在、边上，，连接、、． (1)用关于的代数式表示四边形的面积； (2)如果三角形与三角形的面积之和等于20，求三角形的面积． 44．（23-24七年级上·上海闵行·期中）如图，正方形分割成四个长方形、、、，它们的面积分别为、、、，图中阴影部分是正方形．请用含有、的代数式分别表示正方形和正方形的边长．(其中)    45．（22-23七年级上·上海·期中）已知矩形中，点E、F分别是、上的点，，，，且，连接、、， (1)如果和都是等腰直角三角形，求的面积； (2)延长到点M，使得，连接、，求出的面积；（结果都可用含a、b的代数式表示，并化简） (3)如果点P是线段的中点，连接、得到，求的面积并与（1）中的三角形面积相比哪个大，大多少？ 46．（22-23七年级上·上海青浦·期中）试用整式的运算说明：当时，我们计算可以将十位数字与十位数字加一相乘的结果顺次写在千位和百位，将两个数个位数字的乘积顺次写在十位和个位，如果乘积不足两位数可以用0补齐十位．（例：计算时，可以口算，，则最终结果为1209） 47．（21-22七年级上·上海青浦·阶段练习）请阅读以下材料： [材料]若，，试比较，的大小． 解：设，那么，． 因为， 所以． 我们把这种方法叫做换元法． 请仿照例题比较下列两数大小：，． 48．（21-22七年级上·上海浦东新·期末）记，令，我们称为这列数的“理想数”．例如：，则，，则． （1）请直接写出 ． （2）如果，那么 ． （3）已知的“理想数”为2004，那么8，的“理想数”是多少？ 49．（21-22七年级上·上海奉贤·期中）图1是一个长方形窗户ABCD，它是由上下两个长方形（长方形AEFD和长方形EBCF）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝一个方向水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和2b（即DF＝a，BE＝2b），且b＞a＞0．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），窗户的透光面积就是整个长方形窗户（长方形ABCD）的面积． 如图2，上面窗户的遮阳帘水平方向向左拉伸2a至GH．当下面窗户的遮阳帘水平方向向右拉伸2b时，恰好与GH在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）． （1）求长方形窗户ABCD的总面积；（用含a、b的代数式表示） （2）如图3，如果上面窗户的遮阳帘保持不动，将下面窗户的遮阳帘继续水平方向向右拉伸b至PQ时，求此时窗户透光的面积（即图中空白部分的面积）为多少？（用含a、b的代数式表示） （3）如果上面窗户的遮阳帘保持不动，当下面窗户的遮阳帘拉伸至BC的中点处时，请通过计算比较窗户的透光的面积与被遮阳帘遮住的面积的大小． 50．（22-23七年级上·上海静安·阶段练习）若一个多项式与的和是，求这个多项式． 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 整式的加减（七大题型，50题） 目录 题型一：同类项 1 题型二：合并同类项 3 题型三：去括号和添括号 5 题型四：整式的加减运算 7 题型五：整式加减中的化简求值 11 题型六：整式加减中的无关型问题 16 题型七：整式加减的应用 21 一、题型一：同类项 1．（2021·上海·中考真题）下列单项式中，的同类项是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】比较对应字母的指数,分别相等就是同类项 【详解】∵a的指数是3，b的指数是2，与中a的指数是2，b的指数是3不一致， ∴不是的同类项，不符合题意； ∵a的指数是2，b的指数是3，与中a的指数是2，b的指数是3一致， ∴是的同类项，符合题意； ∵a的指数是2，b的指数是1，与中a的指数是2，b的指数是3不一致， ∴不是的同类项，不符合题意； ∵a的指数是1，b的指数是3，与中a的指数是2，b的指数是3不一致， ∴不是的同类项，不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查了同类项，正确理解同类项的定义是解题的关键． 2．（21-22七年级上·上海·期末）如果单项式与是同类项，那么 ． 【答案】12 【分析】根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得出关于m和n的方程，解出即可得出m和n的值，继而代入可得出的值． 【详解】解：与是同类项， ，， 解得：，， ． 故答案为：12． 【点睛】此题考查了同类项的知识，求代数式的值，属于基础题，解答本题的关键是掌握同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同． 3．（22-23七年级上·上海浦东新·期中）已知与是同类项，那么 ． 【答案】 【分析】根据同类项的定义：几个单项式中的字母及其指数完全相同，列式求出的值，代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查同类项，代数式求值．熟练掌握同类项的定义，是解题的关键． 4．（22-23七年级上·上海青浦·期中）已知与是同类项，则 ． 【答案】3或 【分析】根据与是同类项列出方程组，求方程组的解即可得到、的值，继而即可求解． 【详解】解：∵与是同类项， ∴ 解得：或， ∴或者， 故答案为：3或． 【点睛】本题考查同类项定义，一元一次方程，解题的关键是根据同类项定义列出一元一次方程并正确解方程． 5．（22-23七年级上·上海·阶段练习）若与是同类项，试求的值． 【答案】 【分析】根据同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得x，y的值，再将整式化简代入即可得到答案． 【详解】解：由与是同类项，知， 可得， 所以当时， 原式 ． 【点睛】本题主要考查同类项的定义和整式的化简，利用相同字母指数相同来求解是解题的关键． 二、题型二：合并同类项 6．（23-24七年级上·上海宝山·阶段练习）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，，合并同类项，进行计算后逐一判断，即可求解. 【详解】解：A.，运算不正确，故不符合题意； B.，运算正确，故符合题意； C.，运算不正确，故不符合题意； D.，不能进行运算，故不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了幂的乘方公式，同底数幂的乘法公式，合并同类项，掌握公式是解题的关键． 7．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算： ． 【答案】 【分析】根据合并同类项法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解题的关键． 8．（23-24七年级上·上海松江·阶段练习）计算：． 【答案】． 【分析】先利用单项式乘以单项式，多项式乘法法则计算，再合并同类项即可． 【详解】解：原式， ， ． 【点睛】此题考查了整式的乘法运算，解题的关键是熟练掌握单项式乘以单项式，单项式乘以多项式法则和合并同类项法则及其应用． 9．（22-23七年级上·上海普陀·期中）已知，，求． 【答案】． 【分析】把A、B表示的式子代入中，然后去括号，合并同类项即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了整式的加减，解题的关键是要掌握去括号的法则，以及能正确合并同类项． 10．（23-24七年级上·上海·期末）多项式减去一个多项式A的差是，求这个多项式A． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减运算，解题的关键是熟练掌握去括号合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将括号和负号去掉后，括号内每一项的符号要发生改变． 【详解】解：∵多项式减去一个多项式A的差是， ∴这个多项式为： ． 三、题型三：去括号和添括号 11．（22-23七年级上·全国·单元测试）下列去括号或添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据去括号法则或添括号法则计算判断即可． 【详解】解：A．，故本选项错误； B．，故本选项错误； C．，故本选项正确； D．，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了去括号法则，添括号法则，熟练掌握法则是解题的关键． 12．（23-24七年级上·上海宝山·阶段练习）下列去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据去括号法则进行计算即可． 【详解】解：A．，符合题意； B．，不符合题意； C．，不符合题意； D．，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查去括号法则，熟练掌握去括号法则是解题的关键． 13．（23-24七年级上·上海宝山·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】先根据去括号法则化简，再合并同类项即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的加减法法则，熟练掌握运算法则是解题的关键． 14．（19-20七年级上·上海普陀·阶段练习）整式计算： ⑴       ⑵ ⑶      ⑷   ⑸     ⑹ 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）. 【分析】（1）（2）合并同类项即可求解； （3）（4）（5）（6）先去括号，然后合并同类项即可. 【详解】解：（1）原式=； （2）原式=； （3）原式=； （4）原式=； （5）原式=； （6）原式= 故答案为（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）. 【点睛】本题考查了去括号和合并同类项的应用，注意：当括号前是“−”号时，把括号和它前面的“−”去掉，括号内的各个项都变号，当括号前是“＋”号时，把括号和它前面的“＋”去掉，括号内的各个项都不变号． 15．（23-24七年级上·上海宝山·阶段练习）求多项式减去的差． 【答案】 【分析】根据题意可得，再根据去括号法则去括号，再合并同类项即可． 【详解】解：由题意得， ． 【点睛】本题考查去括号法则和整式的加减法法则，熟练掌握运算法则是解题的关键． 四、题型四：整式的加减运算 16．（22-23七年级上·上海青浦·期中）已知：，且，求． 【答案】 【分析】由加减法的意义可得，再代入A进行计算即可得到，从而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴． 【点睛】本题考查的是整式的加减运算，熟记去括号，合并同类项的法则是解本题的关键． 17．（22-23七年级·上海·假期作业）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）去括号再根据有理数加减乘法法则计算即可得到答案； （2）先算乘方及绝对值，再根据有理数加减乘法法则计算即可得到答案； （3）根据整式加减法则合并同类项即可得到答案； （4）先去括号，再合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【点睛】本题考查含乘方的有理数混合运算及整式的四则运算，解题的关键是去括号时注意符号的选择． 18．（22-23七年级·上海·假期作业）如果，那么的值． 【答案】12 【分析】先进行整式加减运算，然后分组，最后整体代入求值即可． 【详解】 ∵， ∴原式． 【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，在计算时注意整体代入思想的运用． 19．（22-23七年级上·上海浦东新·期中）计算：． 【答案】 【分析】先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查整式的加减运算．熟练掌握去括号，合并同类项法则，是解题的关键． 20．（22-23七年级上·上海·期末）已知一个多项式与的和是，求这个多项式． 【答案】 【分析】根据整式的加减运算即可求解 【详解】解：一个多项式与的和是， 这个多项式为： ． 【点睛】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握和运用整式加减运算的方法解决本题的关键 21．（22-23七年级上·上海·期中）已知：，． (1)计算：； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接代入，去括号再合并同类项即可； （2）把两个值代入化简后的式子中求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：当时，． 【点睛】本题考查了整式的加减及求代数式的值，进行运算时注意符号与数字不要出错． 22．（22-23七年级上·上海青浦·期中）已知，求的最小值． 【答案】 【分析】由，得到，再由，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 即， ∴的最小值为． 【点睛】此题考查了整式的加减，不等式的基本性质等知识，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 23．（22-23七年级上·上海·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】利用乘法分配律去括号，再合并同类项即可得解． 【详解】原式. 【点睛】此题考查整式的混合运算，掌握单项式乘以多项式法则，去括号法则是解题的关键． 24．（22-23七年级上·上海宝山·期中）已知：，，求． 【答案】的值为 【分析】将变形为，再将即可求出B值，进而即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了代数式求值，准确的计算是解决本题的关键． 25．（22-23七年级上·上海闵行·期中）若整式减去某个多项式的差是，求这个多项式． 【答案】 【分析】根据题意，可以列出算式，然后去括号，合并同类项即可． 【详解】解： 即这个多项式为． 【点睛】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确去括号法则和合并同类项的方法． 五、题型五：整式加减中的化简求值 26．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）已知m、x、y满足条件：（1）；（2）与是同类项．求代数的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质，同类项的定义，先去括号，然后合并同类项化简，再根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0得到，再根据所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，得到，据此代值计算即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵与是同类项， ∴， ∴， ∴原式 ． 27．（23-24七年级上·上海长宁·期中）若，先求出这个多项式，再计算当时，这个多项式的值． 【答案】，4 【分析】本题考查了整式的加减－化简求值，先根据整式的加减：合并同类项进行化简，再将x的值代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，原式． 28．（22-23七年级上·上海浦东新·期中）先化简，再求值，其中，． 【答案】； 【分析】先算单项式乘单项式，再合并同类项，化简后，代值计算即可． 【详解】解：； 当，时，原式． 【点睛】本题考查整式的混合运算．熟练掌握整式的运算法则，是解题的关键． 29．（22-23七年级上·上海闵行·期中）已知：整式，，且整式，试求出整式C，并计算当，时C的值． 【答案】， 【分析】根据整式的加减运算法则求出，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵，， ∴原式 ． 【点睛】本题考查了整式的加减－化简求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解本题的关键． 30．（22-23七年级上·上海奉贤·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先去括号，然后合并同类项，最后将字母的值代入即可求解． 【详解】原式 ， 当，时，原式． 【点睛】本题考查了整式加减中的化简求值，正确的去括号是解题的关键． 31．（22-23七年级上·上海闵行·期中）已知代数式，． (1)如果，满足，求的值； (2)如果的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据整式的加减计算，再根据偶次方和绝对值的非负性可得的值，然后代入计算即可得； （2）根据的值与的取值无关可得含项的系数等于0即可得． 【详解】（1）解：，， ， ， ， 解得， 则． （2）解：， 的值与的取值无关， ， 解得． 【点睛】本题考查了整式加减中的化简求值、偶次方与绝对值的非负性、一元一次方程的应用、整式加减中的无关型问题，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键． 32．（22-23七年级上·上海·阶段练习）化简求值：，其中a＝﹣1 【答案】，8 【详解】解：原式= = =， 当a=﹣1时， 原式= ＝﹣7+12+3 ＝8． 【点睛】本题考查整式的加减——化简求值，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“﹣”号，去掉“﹣”号和括号，括号里的各项都变号）是解题关键． 33．（2022七年级上·上海·专题练习）先化简，后求值：，已知． 【答案】， 【分析】先计算单项式的乘方、单项式乘单项式，再合并同类项，最后代入求出答案即可． 【详解】解：原式=， 当时， 原式= 【点睛】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 34．（21-22七年级上·上海浦东新·期中）先化简，再求值：，其中， 【答案】，1 【分析】先利用整式乘法计算括号内的运算，然后合并同类项，得到最简整式，再把，代入计算，即可得到答案． 【详解】解： ； 当， 原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，整式的化简求值，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简． 35．（20-21七年级上·上海·期中）化简求值：其中， 【答案】， 【分析】先把整式进行化简，然后把a、b的值代入计算，即可得到答案． 【详解】解： = = ； 当时， 原式=； 【点睛】本题考查了整式的混合运算，整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行化简． 六、题型六：整式加减中的无关型问题 36．（23-24七年级上·上海·期中）已知多项式的值与的大小无关，求代数式的值． 【答案】15 【分析】本题考查了整式的加减中的无关型问题、代数式求值等知识，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键．先去括号，计算整式的加减，根据多项式的值与的大小无关可求出的值，再代入计算即可得． 【详解】解： ， ∵多项式的值与的大小无关， ， 解得， 则． 37．（22-23七年级上·上海青浦·期中）已知：5张如图1所示的长为，宽为（）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在长方形内，设长．未覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示，设左上角的阴影长方形的面积为，右下角的阴影长方形的面积为．    (1)请用、、的代数式分别表示． (2)如果，请用、、的代数式表示．（最后结果能化简的要化简） (3)当的长度变化时，如果始终保持不变，求、应满足的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）左上角的阴影长方形的长为，宽为，根据长方形的面积公式便可求得结果； （2）右下角的阴影长方形的长为，宽为a，根据长方形的面积公式表示出，进而由题意求得S； （3）由，当t取任何值时，S的值不发生变化得，便可求得结果． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）由图形知，， ； （3）∵当的长度变化时，S始终保持不变， ∴不论t为何值时，S的值不改变， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了列代数式，整式的混合运算，长方形的性质，关键是结合图形用代数式表示出阴影部分的长方形的长与宽． 38．（22-23七年级上·上海长宁·阶段练习）定义：对于依次排列的多项式、、、（是常数），当他们满足，且是常数时，则称是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子，例如，对于多项式、、、来说因为，所以2、1、6、5是一组平衡数，4是该组平衡数的平衡因子． (1)已知2、4、7、9是一组平衡数，则该组平衡数的平衡因子__________． (2)若、2、、3是一组平衡数，求的值． (3)当之间满足怎样的数量关系时，他们是一组平衡数？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接根据定义计算M的值； （2）将，，，分别带入多项式中，依据定义计算出m的值即可； （3）根据定义化简计算，可得a，b，c，d之间满足的数量关系式． 【详解】（1） ； （2）∵，，，是一组平衡数， ∴的结果为常数， ∵ ∴， 解得． 故答案为：； （3）． 证明：假设a，b，c，d是平衡数， 则结果为常数， ． ∵结果为常数， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值及新定义问题，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 39．（22-23七年级上·上海浦东新·期中）已知，，且与的3倍的差的值与的取值无关，求代数式的值． 【答案】 【分析】根据题意先计算，根据与的取值无关，求得的值，然后根据整式的乘法化简代数式，将的值代入进行计算即可求解． 【详解】解：∵ ， ∵与的取值无关， ∴， 解得； ； 当时， ． 【点睛】本题考查了整式的加减运算，整式的乘法运算，化简求值，正确的计算是解题的关键． 40．（22-23七年级上·上海·期中）学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求m的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，m看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的系数为0，即原式，所以，则． (1)若多项式的值与x的取值无关，求a值； (2)5张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分)，设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长变化时，发现的值始终保持不变，请求出a与b的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照题意求解即可； （2）设，分别求出，进而求出，再由的值始终保持不变进行求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵多项式的值与x的取值无关， ∴， ∴； （2）解：设， 由题意得，， ∴ ， ∵的值与x无关， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，熟练掌握整式的相关计算法则是解题的关键． 七、题型七：整式加减的应用 41．（21-22七年级上·上海·期末）将连续自然数1-36按下图方式排成一个长方形阵列，用一个小长方形任意圈出其中9个数，设圈出的9个数的中心数为n，用含n的代数式表示这9个数的和为 ． 【答案】9n 【分析】设圈出的9个数的中心的数为n，表示出其余8个数，求出之和即可． 【详解】解：根据题意，9个数的中心数为n， 则第2列三个数从上到下分别为：n-6、n、n+6；其和为3n； 那么第一列三个数分别为：n-7、n-1、n+5，其和为3n-3； 第三列三个数分别为：n-5、n+1、n+7，其和为3n+3； 故9个数之和为：3n+3n-3+3n+3=9n． 故答案为： 【点睛】本题考查了整式的加减，列代数式，以及数字的规律变化类，弄清题中的规律是解本题的关键． 42．（22-23七年级上·上海杨浦·期末）一个多项式减去的差是，则这个多项式是 . 【答案】 【分析】本题考查整式加减运算．根据题意，由多项式减去的差是可得这个多项式为，去括号、合并同类项即可得到答案． 【详解】解：∵多项式减去的差是， ∴这个多项式为 ， 故答案为：． 43．（23-24七年级上·上海宝山·期末）长方形中，，，、分别在、边上，，连接、、． (1)用关于的代数式表示四边形的面积； (2)如果三角形与三角形的面积之和等于20，求三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查代数式的应用： （1）用代数式表示出和，根据四边形的面积列式即可； （2）先根据求出x的值，进而求出，则． 【详解】（1）解：长方形中，，， ，， ， ，， ， ， 四边形的面积， 即四边形的面积为； （2）解：， 则， 解得， ， ， 即三角形的面积为． 44．（23-24七年级上·上海闵行·期中）如图，正方形分割成四个长方形、、、，它们的面积分别为、、、，图中阴影部分是正方形．请用含有、的代数式分别表示正方形和正方形的边长．(其中)    【答案】正方形的边长为，正方形的边长为 【分析】本题考查了列代数式、整式的混合运算，正方形的面积、长方形的面积，由于正方形分割成四个长方形、、、，所以四个长方形面积的和为正方形的面积，进而求出正方形的边长；再根据，求出，根据，求出，然后利用求出正方形的边长． 【详解】解： 所以，正方形的边长为 所以，正方形的边长为 45．（22-23七年级上·上海·期中）已知矩形中，点E、F分别是、上的点，，，，且，连接、、， (1)如果和都是等腰直角三角形，求的面积； (2)延长到点M，使得，连接、，求出的面积；（结果都可用含a、b的代数式表示，并化简） (3)如果点P是线段的中点，连接、得到，求的面积并与（1）中的三角形面积相比哪个大，大多少？ 【答案】(1) (2) (3)，的面积比的面积大，大 【分析】（1）根据即可求解； （2）根据即可求解； （3）根据计算出，再与作差即可． 【详解】（1）解：根据和都是等腰直角三角形，可知，， 由矩形的性质可知，． ； （2）解：如图， 由题意知，， 故 ； （3）解：如果点P是线段的中点，则， 故 ， ， 因此的面积比的面积大，大． 【点睛】本题考查整式加减的应用，列代数式表示出相应图形的面积是解题的关键． 46．（22-23七年级上·上海青浦·期中）试用整式的运算说明：当时，我们计算可以将十位数字与十位数字加一相乘的结果顺次写在千位和百位，将两个数个位数字的乘积顺次写在十位和个位，如果乘积不足两位数可以用0补齐十位．（例：计算时，可以口算，，则最终结果为1209） 【答案】见解析 【分析】根据,转换成多项式乘以多项式计算说明即可． 【详解】因为，， 所以 = =． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握两位数的表示法，多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 47．（21-22七年级上·上海青浦·阶段练习）请阅读以下材料： [材料]若，，试比较，的大小． 解：设，那么，． 因为， 所以． 我们把这种方法叫做换元法． 请仿照例题比较下列两数大小：，． 【答案】 【分析】令，，分别根据，的式子列出关于，的整式，然后相减并化简即可． 【详解】解：令，， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查单项式乘多项式，整式的加减，有理数的大小比较．理解例题的解题思路是解题的关键． 48．（21-22七年级上·上海浦东新·期末）记，令，我们称为这列数的“理想数”．例如：，则，，则． （1）请直接写出 ． （2）如果，那么 ． （3）已知的“理想数”为2004，那么8，的“理想数”是多少？ 【答案】（1）；（2）80；（3）2008． 【分析】（1）先根据“理想数”的定义列出式子，再计算整式的加法即可得； （2）先根据“理想数”的定义列出式子，再计算整式的加法，结合即可得； （3）先根据“理想数”的定义可得一个关于的等式，再根据“理想数”的定义列出式子进行计算即可得． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， ， ， ， ， 解得， 故答案为：80； （3）由题意得：， 则， 即， 所以， 设的“理想数”是， 则， ， ， ， ， ， 故的“理想数”是2008． 【点睛】本题考查了整式加法的应用，掌握理解“理想数”的定义是解题关键． 49．（21-22七年级上·上海奉贤·期中）图1是一个长方形窗户ABCD，它是由上下两个长方形（长方形AEFD和长方形EBCF）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝一个方向水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和2b（即DF＝a，BE＝2b），且b＞a＞0．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），窗户的透光面积就是整个长方形窗户（长方形ABCD）的面积． 如图2，上面窗户的遮阳帘水平方向向左拉伸2a至GH．当下面窗户的遮阳帘水平方向向右拉伸2b时，恰好与GH在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）． （1）求长方形窗户ABCD的总面积；（用含a、b的代数式表示） （2）如图3，如果上面窗户的遮阳帘保持不动，将下面窗户的遮阳帘继续水平方向向右拉伸b至PQ时，求此时窗户透光的面积（即图中空白部分的面积）为多少？（用含a、b的代数式表示） （3）如果上面窗户的遮阳帘保持不动，当下面窗户的遮阳帘拉伸至BC的中点处时，请通过计算比较窗户的透光的面积与被遮阳帘遮住的面积的大小． 【答案】（1）；（2）（3）窗户的透光的面积大于遮阳帘遮住的面积 【分析】（1）根据题意求得长方形窗户的长为，高为，即可求得面积； （2）窗户透光的面积等于总面积减去遮阳帘的面积即可； （3）先求得下窗户的遮阳帘的长，进而求得遮阳帘遮住的面积，根据（1）的总面积减去遮阳帘遮住的面积即可得到窗户的透光的面积，进而根据整式的加减作出比较即可求解． 【详解】（1）长方形窗户的长为，高为， 长方形窗户ABCD的总面积为： （2）上面窗户遮阳帘的面积为 下面窗户的遮阳帘的面积为 窗户透光的面积为 （3） 如果上面窗户的遮阳帘保持不动，当下面窗户的遮阳帘拉伸至BC的中点处时，则下面遮阳帘的长为 上面窗户遮阳帘的面积为 下面窗户的遮阳帘的面积为 遮阳帘遮住的面积为 窗户的透光的面积为 b＞a＞0 窗户的透光的面积大于遮阳帘遮住的面积 【点睛】本题考查了列代数式，多项式的乘法，整式的加减的应用，根据题意列出代数式是解题的关键． 50．（22-23七年级上·上海静安·阶段练习）若一个多项式与的和是，求这个多项式． 【答案】 【分析】根据题意，用减去，即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了整式的加减，根据题意列出代数式是解题的关键． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 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