第十讲 轴对称的性质（新知预习+四大考点讲练+难度分层练）-2024-2025学年苏科版数学七升八年级暑假衔接培优讲义

领跑新初二（新课衔接）【新知预习+考点讲练+难度分层练】 2024-2025学年苏科版数学七升八年级暑假衔接培优讲义 第十讲 轴对称的性质 教学目标： 1、探索轴对称的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等的性质； 2、能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形； 3、鼓励学生利用轴对称的性质尝试解决一些实际问题，经历观察、分析、作图等过程，进一步发展空间观念，培养学生分析问题的能力和有条理的语言表达能力； 教学重点： 1、轴对称的基本性质，利用轴对称的性质解决实际问题； 2、进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力。 新知预习 1 知识总结 3 高频易错点拨 4 考点精讲1：轴对称的性质 5 考点精讲2：作图-轴对称变换 6 考点精讲3：剪纸问题 8 考点精讲4：翻折变换（折叠问题） 9 中档题真题练 11 培优题真题练 15 新知预习 激趣导入 上一节课我们看到了好多生活中美丽的轴对称图案，给我们的视觉带来了美的享受.我们已经研究了轴对称和轴对称图形的基本特征.请问:成轴对称的两个图形具有哪些性质呢？这一节课我们就一起探究轴对称的性质. 知识点01：轴对称的性质 阅读课本本课时的内容，完成其中的问题，自学“线段垂直平分线”的定义，总结两个图形关于直线对称的性质，并解决下列问题. 1.垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的 　 　⁠.  2.成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴 　 　⁠.  A.AC＝A'C' B.AB∥B'C' C.AA'⊥MN D.BO＝B'O 1.如图，若△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，BB'交MN于点O，则下列说法中不一定正确的是(　B　) 2.如图，△A'B'C'与△ABC关于直线MN对称，则MN垂直平分 　 ⁠.  利用轴对称的性质求面积 1.如图，正方形ABCD的边长为a，E、F分别是对角线BD上的两点，过点E、F分别作AD、AB的平行线，则图中阴影部分的面积之和等于(　C　) A.a2 B.0.25a² C.0.5a² D.2a² 轴对称的性质的应用 2.如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上.若ED＝4 cm，FC＝1 cm，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°. (1)求出BF的长度. (2)求∠CAD的度数. (3)连接EC，线段EC与直线MN有什么关系？判断并说明理由. 解:(1)∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，ED＝4 cm，FC＝1 cm，∴BC＝ED＝4 cm.∴BF＝BC－FC＝3 cm. 解:(2)∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°，∴∠EAD＝∠CAB＝76°.∴∠CAD＝∠EAD－∠EAC＝76°－58°＝18°. 解:(3)结论:直线MN垂直平分线段EC.理由:∵E、C两点关于直线MN对称，∴直线MN垂直平分线段EC. 知识总结 知识点01：轴对称的性质 对应点的性质： 成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分。 换句话说，如果点A和点A'是关于某条直线l对称的对应点，那么线段AA'的中点必定在对称轴l上，且AA'垂直于l。 对应部分的性质： 成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称。 这意味着，如果两个图形关于某条直线对称，那么它们的对应线段、对应角等都会保持相同的对称关系。 全等性： 成轴对称的两个图形是全等的。 由于对应点连线被对称轴垂直平分，且对应部分也成轴对称，因此两个图形在大小、形状上完全相同。 知识点02：轴对称的应用 作图：利用轴对称的性质，可以方便地作出一个图形关于某条直线的对称图形。这通常涉及找到原图形上各点关于对称轴的对称点，并连接这些对称点得到新的图形。 解决实际问题：轴对称的性质在实际生活中有广泛应用。例如，在建筑设计中，利用轴对称可以设计出具有美感和稳定性的建筑；在艺术创作中，轴对称也是常用的构图手法之一。 知识点03：特殊图形的轴对称性 线段：线段是轴对称图形，其对称轴可以是线段本身所在的直线（此时线段重合），也可以是线段的垂直平分线。 角：角也是轴对称图形，其对称轴是角的平分线所在的直线。角平分线上的点到角两边的距离相等。 等腰三角形和等边三角形：等腰三角形和等边三角形都是轴对称图形。等腰三角形有一条对称轴（底边的垂直平分线），等边三角形有三条对称轴（三条边的垂直平分线或三个角的平分线）。 高频易错点拨 易错知识点01：没有正确利用轴对称的性质画出对称图形: 易错点：学生在作图时可能无法准确找到原图形上各点关于对称轴的对称点，导致画出的对称图形不准确。 解析：利用轴对称性质作图时，需要先确定对称轴，然后找到原图形上各点关于对称轴的对称点，并连接这些对称点得到新的图形。 在找对称点时，要注意使用“距离相等、方向相反”的原则，即对称点到对称轴的距离相等，且位于对称轴的两侧。 易错知识点02：解题时考虑不全面，导致漏解 易错点：在解决与轴对称相关的问题时，学生可能只考虑了一种情况而忽略了其他可能的情况，导致漏解。 解析：在解题时，要全面考虑所有可能的情况，特别是当题目中没有明确给出图形的具体位置或形状时。 例如，在求解两个图形关于某直线对称时，要考虑两个图形可能位于对称轴的同侧或异侧；在求解图形的对称轴时，要考虑所有可能的对称轴方向。 易错知识点03：未能正确理解“三线合一”等特殊性质 易错点：在等腰三角形、等边三角形等特殊图形中，学生可能未能正确理解“三线合一”等特殊性质与轴对称的关系。 解析：在等腰三角形中，“三线合一”指的是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线互相重合。这些线段同时也是等腰三角形的对称轴。 在等边三角形中，三条边的中垂线（即垂直平分线）都是对称轴，且它们互相重合于三角形的外心（也是内心、重心和垂心）。 考点精讲1：轴对称的性质 【典例精讲】（2023秋•工业园区月考）如图，点是内部一点，点关于、的对称点是、，直线交、于点、，若，且，则的周长是　　 A． B． C． D． 【举一反三1】（2023秋•宿城区期末）如图，，点、分别在射线、上，，的面积为12，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，△的面积最小值为 　　． 【举一反三2】（2023秋•天宁区校级期中）如图，为内任意一点，分别画出点关于，的对称点，，连接．交于点，交于点．若，则的周长为 　 　． 【举一反三3】（2023春•武功县期末）如图，点在内部，点关于、对称的点分别为、，连接交于点，连接交于点，连接，交于点，交于点，连接、． （1）若，求的周长； （2）若，，求的度数． 考点精讲2：作图-轴对称变换 【典例精讲】（2023秋•宿迁期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． （1）在平面直角坐标系中画出，并画出关于轴对称的△； （2）若点与点关于轴对称，则点的坐标为 　　； （3）已知为轴上一点，若的面积为4，求点的坐标． 【举一反三1】（2022秋•启东市校级期末）如图，已知在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）请在平面直角坐标系中画出； （2）画出与关于轴对称的△，请直接写出点，的坐标； （3）求出△的面积． 【举一反三2】（2023秋•建邺区期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，三个顶点在格点上．已知点，点． （1）画出平面直角坐标系（要求：画出坐标轴，标注坐标原点． （2）现将先向下平移4个单位长度，再沿轴翻折得到△，在图中画出△．连接，则线段的中点坐标为 　　． （3）若内有一点，则点经过（2）中的平移、对称后得到的点的坐标是 　　． 【举一反三3】（2023秋•六合区校级月考）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．如图所示，四边形就是一个“格点四边形”． （1）作出四边形关于直线对称的四边形； （2）四边形的面积为 　 　． 考点精讲3：剪纸问题 【典例精讲】（2021秋•灌云县期中）将一张长方形纸对折，然后用笔尖在纸上扎出“”，再把纸铺平，可以看到的是　　 A． B． C． D． 【举一反三1】（2022秋•句容市月考）跟我学剪五角星：如图，现将一张长方形纸片按图①的虚线对折，得到图②，然后将图②沿虚线折叠得到图③，在将图③沿虚线剪下，展开即可得到一个五角星，若是得到一个正五角星（如图④，正五角星的5个角都是，则在图③中应沿什么角度剪？即的度数为　　 A． B． C． D． 【举一反三2】（2023秋•海门市月考）一张正方形纸片经过两次对折，并在如图所示的位置上剪去一个小正方形，打开后的图形是　　 A． B． C． D． 【举一反三3】（2023秋•栖霞区校级月考）如图，在中剪去得到四边形，且纸片中的度数为 　． 考点精讲4：翻折变换（折叠问题） 【典例精讲】（2023秋•秦淮区校级月考）如图，把长方形沿折叠后，点，分别落在，的位置，若，则是　　 A． B． C． D． 【举一反三1】（2023秋•润州区期中）已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为　 　． 【举一反三2】（2023秋•高港区期末）在中，，沿着翻折使得点的对应点落在上，折痕为． （1）如图1，若，试判断与的关系，并说明理由； （2）如图2，若，，，求线段的长度． 【举一反三3】（2023秋•兴化市期末）在中，，进行如下操作： （1）如图1，将沿某条直线折叠，使斜边的两个端点与重合，折痕为，若，，求的长； （2）如图2，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，若，，求的长． 中档题真题练 一．选择题 1．（2023秋•兴化市月考）如图，要判断一张纸带的两边，是否相互平行，提供了如下两种折叠与测量方案： 方案Ⅰ： 沿图中虚线折叠并展开， 测量发现． 方案Ⅱ： 先沿折叠，展开后再沿折叠， 测得， 对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是　　 A．Ⅰ可行，Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行，Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ，Ⅱ都可行 2．（2022秋•江宁区校级月考）下列图形中，点与点关于直线对称的是　　 A． B． C． D． 3．（2021秋•虎丘区校级期中）如图，在中，，，，按图中所示方法将沿折叠，使点落在边上的点处，则点到的距离　　 A．3 B．4 C．5 D． 4．（2023秋•新吴区期中）下列说法错误的是　　 A．关于某条直线对称的两个三角形一定全等 B．轴对称图形至少有一条对称轴 C．全等三角形一定能关于某条直线对称 D．角是轴对称的图形 5．（2023秋•沭阳县期末）如图，在中，，，，点、分别在、上．现将沿翻折，使点落在点处．连接，则长度的最小值．　　 A．等于 B．等于 C．等于 D．不存在 6．（2023秋•江都区校级月考）下列图形中，对称轴条数最多的是　　 A．正方形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰梯形 二．填空题 7．（2022秋•丰县月考）如图，点为内一点，分别作出点关于、的对称点、，连接交于，交于．若，则　　． 8．（2021秋•泗阳县校级月考）如图，内有一点，点关于的轴对称点是，点关于的轴对称点是，分别交、于、点，若的长为，求的周长为　 　． 9．（2023秋•工业园区校级月考）如图，在直角三角形纸片中，，，将纸片沿着折叠，使边与边重合，则的度数为 　　． 10．（2023秋•清江浦区期中）如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长度为 　　． 11．（2023秋•句容市期末）如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为 　　． 12．（2023秋•姑苏区校级月考）如图，三角形纸片，点是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点，连接交于点．若，，，的面积为，则点到的距离为 　　． 13．（2019春•东台市期中）如图：将纸片沿折叠，点落在点处，已知，则　　度． 三．解答题 14．（2022秋•灌南县期中）如图，在中，，翻折、使点、落在斜边点处，折痕分别为，，连接，． （1）求证：． （2）若，，，求线段的长． 15．（2023秋•金坛区期中）在如图的网格中按要求画图： （1）把向右平移5格，再向下平移2格，画出所得△； （2）画△，使得它与关于直线对称； （3）画出△与△的对称轴直线． 16．（2023秋•工业园区月考）如图1，在的网格中，三角形（阴影部分）三个顶点均在格点上，这样的三角形叫做“格点三角形”，如图1；在图中再画出一个“格点三角形”与原三角形关于某条直线对称，如图2所示．根据以上提示，请在图图6中，各再画出一个和原三角形成轴对称的“格点三角形”，要求：图图6不重复，并将符合要求的“格点三角形”涂黑． 培优题真题练 一．选择题 1．（2023秋•沭阳县期末）如图，在中，，，，点、分别在、上．现将沿翻折，使点落在点处．连接，则长度的最小值．　　 A．等于 B．等于 C．等于 D．不存在 2．（2016秋•六合区校级月考）如图，内一点，，分别是关于、的对称点，交于点，交于点．若的周长是，则的长为　　 A． B． C． D． 3．（2022秋•海安市月考）如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上， 这样的三角形称为格点三角形， 在网格中与成轴对称的格点三角形一共有　　 A ． 2 个 B ． 3 个 C ． 4 个 D ． 5 个 4．（2023秋•泉山区校级期中）在三角形纸片中，，．将纸片的一角对折，使点落在内，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•淮安区期中）如图甲所示三角形纸片中，，将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙），若，则的周长是　　 A．12 B．13 C．14 D．15 二．填空题 6．（2023秋•句容市期末）如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为 　　． 7．（2022秋•盱眙县期中）如图，所在直线是的对称轴，点，是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积是 　　． 8．（2023秋•姑苏区校级月考）如图，三角形纸片，点是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点，连接交于点．若，，，的面积为，则点到的距离为 　　． 9．（2024•海州区校级一模）如图，矩形中，，，为上一点，将沿翻折至，与相交于点，且，则的长为　　． 10．（2023秋•梁溪区校级期中）如图，，点、分别在射线、上，，，点是直线上的一个动点，点关于的对称点为，点关于的对称点为，连接，，，当点在直线上运动时，则△面积的最小值是 　　． 11．（2023秋•苏州期中）如图所示，在中，，点为边上一点，将沿翻折得到△，若点在边上，，，则的长为 　　． 三．解答题 12．（2023秋•海门市期中）如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，． （1）在图中画出关于轴对称的图形△； （2）在图中，若与点关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是 　　，此时点关于这条直线的对称点的坐标为 　　； （3）求△的面积． 13．（2023秋•工业园区月考）如图1，在的网格中，三角形（阴影部分）三个顶点均在格点上，这样的三角形叫做“格点三角形”，如图1；在图中再画出一个“格点三角形”与原三角形关于某条直线对称，如图2所示．根据以上提示，请在图图6中，各再画出一个和原三角形成轴对称的“格点三角形”，要求：图图6不重复，并将符合要求的“格点三角形”涂黑． 14．（2023秋•沭阳县校级期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请写出关于轴对称的△的各顶点坐标； （2）请画出关于轴对称的△； （3）在轴上求作一点，使点到、两点的距离和最小，请标出点，并直接写出点的坐标 　　． 15．（2023秋•句容市期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点． （1）画出关于轴的轴对称图形△； （2）若以线段为一边作格点（顶点在正方形网格交点上的三角形叫格点三角形），使所作的与全等但所在位置不同，请写出满足条件点坐标 　　； （3）直线轴，与线段，分别交于点，（点不与点，，重合），若将沿直线翻折，点的对称点为点，当点落在的内部时，点的横坐标的取值范围是 　　． 16．（2020秋•秦淮区校级期中）如图，将长方形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）若，，求的面积； （3）求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 领跑新初二（新课衔接）【新知预习+考点讲练+难度分层练】 2024-2025学年苏科版数学七升八年级暑假衔接培优讲义 第十讲 轴对称的性质 教学目标： 1、探索轴对称的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等的性质； 2、能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形； 3、鼓励学生利用轴对称的性质尝试解决一些实际问题，经历观察、分析、作图等过程，进一步发展空间观念，培养学生分析问题的能力和有条理的语言表达能力； 教学重点： 1、轴对称的基本性质，利用轴对称的性质解决实际问题； 2、进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力。 新知预习 1 知识总结 3 高频易错点拨 4 考点精讲1：轴对称的性质 5 考点精讲2：作图-轴对称变换 8 考点精讲3：剪纸问题 13 考点精讲4：翻折变换（折叠问题） 15 中档题真题练 19 培优题真题练 29 新知预习 激趣导入 上一节课我们看到了好多生活中美丽的轴对称图案，给我们的视觉带来了美的享受.我们已经研究了轴对称和轴对称图形的基本特征.请问:成轴对称的两个图形具有哪些性质呢？这一节课我们就一起探究轴对称的性质. 知识点01：轴对称的性质 阅读课本本课时的内容，完成其中的问题，自学“线段垂直平分线”的定义，总结两个图形关于直线对称的性质，并解决下列问题. 1.垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的 　垂直平分线　⁠.  2.成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴 　垂直平分　⁠.  A.AC＝A'C' B.AB∥B'C' C.AA'⊥MN D.BO＝B'O 1.如图，若△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，BB'交MN于点O，则下列说法中不一定正确的是(　B　) 2.如图，△A'B'C'与△ABC关于直线MN对称，则MN垂直平分 　AA'，BB'，CC'　⁠.  利用轴对称的性质求面积 1.如图，正方形ABCD的边长为a，E、F分别是对角线BD上的两点，过点E、F分别作AD、AB的平行线，则图中阴影部分的面积之和等于(　C　) A.a2 B.0.25a² C.0.5a² D.2a² 轴对称的性质的应用 2.如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上.若ED＝4 cm，FC＝1 cm，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°. (1)求出BF的长度. (2)求∠CAD的度数. (3)连接EC，线段EC与直线MN有什么关系？判断并说明理由. 解:(1)∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，ED＝4 cm，FC＝1 cm，∴BC＝ED＝4 cm.∴BF＝BC－FC＝3 cm. 解:(2)∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°，∴∠EAD＝∠CAB＝76°.∴∠CAD＝∠EAD－∠EAC＝76°－58°＝18°. 解:(3)结论:直线MN垂直平分线段EC.理由:∵E、C两点关于直线MN对称，∴直线MN垂直平分线段EC. 知识总结 知识点01：轴对称的性质 对应点的性质： 成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分。 换句话说，如果点A和点A'是关于某条直线l对称的对应点，那么线段AA'的中点必定在对称轴l上，且AA'垂直于l。 对应部分的性质： 成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称。 这意味着，如果两个图形关于某条直线对称，那么它们的对应线段、对应角等都会保持相同的对称关系。 全等性： 成轴对称的两个图形是全等的。 由于对应点连线被对称轴垂直平分，且对应部分也成轴对称，因此两个图形在大小、形状上完全相同。 知识点02：轴对称的应用 作图：利用轴对称的性质，可以方便地作出一个图形关于某条直线的对称图形。这通常涉及找到原图形上各点关于对称轴的对称点，并连接这些对称点得到新的图形。 解决实际问题：轴对称的性质在实际生活中有广泛应用。例如，在建筑设计中，利用轴对称可以设计出具有美感和稳定性的建筑；在艺术创作中，轴对称也是常用的构图手法之一。 知识点03：特殊图形的轴对称性 线段：线段是轴对称图形，其对称轴可以是线段本身所在的直线（此时线段重合），也可以是线段的垂直平分线。 角：角也是轴对称图形，其对称轴是角的平分线所在的直线。角平分线上的点到角两边的距离相等。 等腰三角形和等边三角形：等腰三角形和等边三角形都是轴对称图形。等腰三角形有一条对称轴（底边的垂直平分线），等边三角形有三条对称轴（三条边的垂直平分线或三个角的平分线）。 高频易错点拨 易错知识点01：没有正确利用轴对称的性质画出对称图形: 易错点：学生在作图时可能无法准确找到原图形上各点关于对称轴的对称点，导致画出的对称图形不准确。 解析：利用轴对称性质作图时，需要先确定对称轴，然后找到原图形上各点关于对称轴的对称点，并连接这些对称点得到新的图形。 在找对称点时，要注意使用“距离相等、方向相反”的原则，即对称点到对称轴的距离相等，且位于对称轴的两侧。 易错知识点02：解题时考虑不全面，导致漏解 易错点：在解决与轴对称相关的问题时，学生可能只考虑了一种情况而忽略了其他可能的情况，导致漏解。 解析：在解题时，要全面考虑所有可能的情况，特别是当题目中没有明确给出图形的具体位置或形状时。 例如，在求解两个图形关于某直线对称时，要考虑两个图形可能位于对称轴的同侧或异侧；在求解图形的对称轴时，要考虑所有可能的对称轴方向。 易错知识点03：未能正确理解“三线合一”等特殊性质 易错点：在等腰三角形、等边三角形等特殊图形中，学生可能未能正确理解“三线合一”等特殊性质与轴对称的关系。 解析：在等腰三角形中，“三线合一”指的是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线互相重合。这些线段同时也是等腰三角形的对称轴。 在等边三角形中，三条边的中垂线（即垂直平分线）都是对称轴，且它们互相重合于三角形的外心（也是内心、重心和垂心）。 考点精讲1：轴对称的性质 【典例精讲】（2023秋•工业园区月考）如图，点是内部一点，点关于、的对称点是、，直线交、于点、，若，且，则的周长是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】连接，由轴对称的性质得到垂直平分，因此，由等腰三角形的性质推出，同理：，，得到，求出，得到是等边三角形，由，即可求出的周长是． 解：连接， 点关于的对称点是， 垂直平分， ， ， 同理：，， ， ， ， 是等边三角形， ， 的周长是． 故选：． 【考点评析】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，关键是由以上知识点推出是等边三角形． 【举一反三1】（2023秋•宿城区期末）如图，，点、分别在射线、上，，的面积为12，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，△的面积最小值为 　　． 【思路点拨】连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得△的面积为，可得当点与点重合时，取得最小值，△的面积最小，由此即可得． 解：如图，连接，过点作交的延长线于， ，且， ， 点关于对称的点为，点关于对称的点为， ，，， ， ， △的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， △的面积的最小值为， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键． 【举一反三2】（2023秋•天宁区校级期中）如图，为内任意一点，分别画出点关于，的对称点，，连接．交于点，交于点．若，则的周长为 　11　． 【思路点拨】根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等，可求得的周长． 解：与关于对称， 为线段的垂直平分线． ． 同理可得：． ， 的周长． 故答案为：11． 【考点评析】本题考查了求作关于直线的对称点的作法和中垂线的性质，利用轴对称的性质得出对应线段相等是解题关键． 【举一反三3】（2023春•武功县期末）如图，点在内部，点关于、对称的点分别为、，连接交于点，连接交于点，连接，交于点，交于点，连接、． （1）若，求的周长； （2）若，，求的度数． 【思路点拨】（1）根据轴对称的性质和三角形周长的定义可知． （2）根据轴对称的性质和三角形的内角和定理解答． 解：（1）根据题意点关于、的对称点分别为、， 故有，； 则． 的周长； （2）根据题意点关于、的对称点分别为、， ，， ，， ， ． 【考点评析】本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 考点精讲2：作图-轴对称变换 【典例精讲】（2023秋•宿迁期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． （1）在平面直角坐标系中画出，并画出关于轴对称的△； （2）若点与点关于轴对称，则点的坐标为 　　； （3）已知为轴上一点，若的面积为4，求点的坐标． 【思路点拨】（1）根据点，，的坐标描点再连线可得，再根据轴对称的性质作图可得△． （2）关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可得答案． （3）设点的坐标为，则可列方程为，求出的值，即可得出答案． 解：（1）如图，和△和即为所求． （2）点与点关于轴对称， 点的坐标为． 故答案为：． （3）设点的坐标为， 的面积为4， ， 解得或， 点的坐标为或． 【考点评析】本题考查作图轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 【举一反三1】（2022秋•启东市校级期末）如图，已知在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）请在平面直角坐标系中画出； （2）画出与关于轴对称的△，请直接写出点，的坐标； （3）求出△的面积． 【思路点拨】（1）描点、连线即可； （2）分别作出三个顶点关于轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （3）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积即可． 解：（1）如图所示即为所求图形． （2）△即为所求图形，，； （3）． 【考点评析】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点． 【举一反三2】（2023秋•建邺区期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，三个顶点在格点上．已知点，点． （1）画出平面直角坐标系（要求：画出坐标轴，标注坐标原点． （2）现将先向下平移4个单位长度，再沿轴翻折得到△，在图中画出△．连接，则线段的中点坐标为 　　． （3）若内有一点，则点经过（2）中的平移、对称后得到的点的坐标是 　　． 【思路点拨】（1）根据点，的坐标建立平面直角坐标系即可． （2）根据平移和轴对称的性质画图即可；由图可得线段的中点坐标． （3）由平移和轴对称可知，点经过（2）中的平移后得到的点的坐标为，再沿轴翻折得到点的坐标为． 解：（1）建立平面直角坐标系如图所示． （2）如图，△即为所求． 由图可知，线段的中点坐标为． 故答案为：． （3）点先向下平移4个单位长度得到的点的坐标为， 再沿轴翻折得到点的坐标为． 故答案为：． 【考点评析】本题考查作图轴对称变换、平移变换，熟练掌握轴对称的性质、平移的性质是解答本题的关键． 【举一反三3】（2023秋•六合区校级月考）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．如图所示，四边形就是一个“格点四边形”． （1）作出四边形关于直线对称的四边形； （2）四边形的面积为 　12　． 【思路点拨】（1）根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解； （2）将四边形的面积分成三角形的面积与三角形的面积的和求解即可． 解：（1）如图所示，四边形即为所求； （2）， 故答案为：12． 【考点评析】本题考查了作图轴对称变换，三角形的面积，熟记轴对称变换的性质是解题的关键． 考点精讲3：剪纸问题 【典例精讲】（2021秋•灌云县期中）将一张长方形纸对折，然后用笔尖在纸上扎出“”，再把纸铺平，可以看到的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据轴对称的性质判定即可． 解：根据题意，两个字母，关于直线对称， 故选：． 【考点评析】本题考查轴对称，剪纸问题，解题的关键是理解题意，掌握轴对称的性质解决问题． 【举一反三1】（2022秋•句容市月考）跟我学剪五角星：如图，现将一张长方形纸片按图①的虚线对折，得到图②，然后将图②沿虚线折叠得到图③，在将图③沿虚线剪下，展开即可得到一个五角星，若是得到一个正五角星（如图④，正五角星的5个角都是，则在图③中应沿什么角度剪？即的度数为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据等腰三角形的性质及内角和定理解题． 解：， 正五角星的5个角都是， ， 三角形内角和为， ． 故选：． 【考点评析】主要在考查学生动手操作的能力的同时，关键是根据等腰三角形的性质及内角和定理解答． 【举一反三2】（2023秋•海门市月考）一张正方形纸片经过两次对折，并在如图所示的位置上剪去一个小正方形，打开后的图形是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】由平面图形的折叠及图形的对称性展开图解题． 解：动手操作或由图形的对称性，因剪去的小正方形紧靠对折线，可得打开后是． 故选：． 【考点评析】本题考查的是学生的立体思维能力及动手操作能力，关键是由平面图形的折叠及图形的对称性展开图解答． 【举一反三3】（2023秋•栖霞区校级月考）如图，在中剪去得到四边形，且纸片中的度数为 　　． 【思路点拨】根据多边形的内角和公式求解． 解：， ， ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了剪纸问题，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 考点精讲4：翻折变换（折叠问题） 【典例精讲】（2023秋•秦淮区校级月考）如图，把长方形沿折叠后，点，分别落在，的位置，若，则是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】由折叠的性质得到，由平行线的性质得到，，求出，即可得到． 解：四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质得到：， ， ， ． 故选：． 【考点评析】本题考查折叠的性质，平行线的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【举一反三1】（2023秋•润州区期中）已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为　72　． 【思路点拨】设，根据翻折不变性可知，，利用三角形内角和定理构建方程即可解决问题． 解：设，根据翻折不变性可知，， ， ， ， ， ， 故答案为72 【考点评析】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型． 【举一反三2】（2023秋•高港区期末）在中，，沿着翻折使得点的对应点落在上，折痕为． （1）如图1，若，试判断与的关系，并说明理由； （2）如图2，若，，，求线段的长度． 【思路点拨】（1）根据折叠的性质得到，，，求得，得到，得到，等量代换得到，根据平行线的判定定理即可得到结论； （2）设，则，根据勾股定理列方程即可得到结论． 解：（1）且． 理由如下： 由翻折可知， ，，， ， ， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ； （2），， ，， 设，则， 在中，， ， ， 即的长度为0.9． 【考点评析】本题考查折叠的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质、灵活应用勾股定理是解题的关键． 【举一反三3】（2023秋•兴化市期末）在中，，进行如下操作： （1）如图1，将沿某条直线折叠，使斜边的两个端点与重合，折痕为，若，，求的长； （2）如图2，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，若，，求的长． 【思路点拨】（1）根据勾股定理求出，由折叠可知：，然后利用勾股定理即可求出的长； （2）由折叠可知：，，然后利用勾股定理即可求出的长． 解：（1）如图1，在中，，， ， 由折叠可知：， 在中，根据勾股定理得：， ， ， ； （2）如图2，由折叠可知：，， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理得：， ， ． 【考点评析】本题考查翻折变换，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质 中档题真题练 一．选择题 1．（2023秋•兴化市月考）如图，要判断一张纸带的两边，是否相互平行，提供了如下两种折叠与测量方案： 方案Ⅰ： 沿图中虚线折叠并展开， 测量发现． 方案Ⅱ： 先沿折叠，展开后再沿折叠， 测得， 对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是　　 A．Ⅰ可行，Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行，Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ，Ⅱ都可行 解：对于方案Ⅰ， ， ， 方案Ⅰ可行； 对于方案Ⅱ， 在和中， ， ， ， ， 即：， 方案Ⅱ可行， 综上所述：方案Ⅰ，Ⅱ都可行． 故选：． 2．（2022秋•江宁区校级月考）下列图形中，点与点关于直线对称的是　　 A． B． C． D． 解：点与点关于直线对称的是选项图形． 故选：． 3．（2021秋•虎丘区校级期中）如图，在中，，，，按图中所示方法将沿折叠，使点落在边上的点处，则点到的距离　　 A．3 B．4 C．5 D． 解：，，， ， 将沿折叠，使点落在边上的点处， ，，， ，， 设，则， △中，， ，解得， ， ， 点到的距离为． 故选：． 4．（2023秋•新吴区期中）下列说法错误的是　　 A．关于某条直线对称的两个三角形一定全等 B．轴对称图形至少有一条对称轴 C．全等三角形一定能关于某条直线对称 D．角是轴对称的图形 解：、关于某条直线对称的两个三角形一定全等，正确； 、轴对称图形至少有一条对称轴，正确； 、两全等三角形不一定关于某条直线对称，错误； 、角是轴对称的图形，正确． 故选：． 5．（2023秋•沭阳县期末）如图，在中，，，，点、分别在、上．现将沿翻折，使点落在点处．连接，则长度的最小值．　　 A．等于 B．等于 C．等于 D．不存在 解：当落在上，点与重合时，长度的值最小， ，，， ， 由折叠的性质知，， ． 故选：． 6．（2023秋•江都区校级月考）下列图形中，对称轴条数最多的是　　 A．正方形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰梯形 解：正方形有4条对称轴，等边三角形有3条对称轴，等腰三角形有1条对称轴，等腰梯形有1条对称轴， 对称轴条数最多的是正方形． 故选：． 二．填空题（共7小题） 7．（2022秋•丰县月考）如图，点为内一点，分别作出点关于、的对称点、，连接交于，交于．若，则　　． 解：与关于对称， 垂直平分， ， ， 同理：， 又， ， ， ， ， ． 故答案为：． 8．（2021秋•泗阳县校级月考）如图，内有一点，点关于的轴对称点是，点关于的轴对称点是，分别交、于、点，若的长为，求的周长为　　． 解：点关于的轴对称点是，点关于的轴对称点是， ，， 的周长， 的长为， 的周长． 故答案为：． 9．（2023秋•工业园区校级月考）如图，在直角三角形纸片中，，，将纸片沿着折叠，使边与边重合，则的度数为 　　． 解：，， ， 将纸片沿着折叠，使边与边重合， ， ， 故答案为：． 10．（2023秋•清江浦区期中）如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长度为 　5　． 解：设，由折叠的性质可得， 是的中点， ， 在中，， 解得． 故线段的长为4． ． 故答案为：5． 11．（2023秋•句容市期末）如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为 　40　． 解：沿直线折叠后，点落到点处，， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 12．（2023秋•姑苏区校级月考）如图，三角形纸片，点是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点，连接交于点．若，，，的面积为，则点到的距离为 　　． 解：， ， ， 由翻折可知，，， ，， ， ， ， ， 设点到的距离为，则有， ， 故答案为：． 13．（2019春•东台市期中）如图：将纸片沿折叠，点落在点处，已知，则　50　度． 解：将纸片沿折叠，点落在点处， ，， ， ， 又， ， ． 故答案为：50 三．解答题 14．（2022秋•灌南县期中）如图，在中，，翻折、使点、落在斜边点处，折痕分别为，，连接，． （1）求证：． （2）若，，，求线段的长． 解：（1）由折叠的性质得，， ， ， ， ； （2）由折叠的性质得，，，， ， ， ． 如图，连接，在和中，设，则， ，则， 根据勾股定理，得，． 即，解得． 答：线段的长为． 15．（2023秋•金坛区期中）在如图的网格中按要求画图： （1）把向右平移5格，再向下平移2格，画出所得△； （2）画△，使得它与关于直线对称； （3）画出△与△的对称轴直线． 解：（1）如图，△即为所求． （2）如图，△即为所求． （3）如图，直线即为所求． 16．（2023秋•工业园区月考）如图1，在的网格中，三角形（阴影部分）三个顶点均在格点上，这样的三角形叫做“格点三角形”，如图1；在图中再画出一个“格点三角形”与原三角形关于某条直线对称，如图2所示．根据以上提示，请在图图6中，各再画出一个和原三角形成轴对称的“格点三角形”，要求：图图6不重复，并将符合要求的“格点三角形”涂黑． 解：如图， 培优题真题练 一．选择题 1．（2023秋•沭阳县期末）如图，在中，，，，点、分别在、上．现将沿翻折，使点落在点处．连接，则长度的最小值．　　 A．等于 B．等于 C．等于 D．不存在 解：当落在上，点与重合时，长度的值最小， ，，， ， 由折叠的性质知，， ． 故选：． 2．（2016秋•六合区校级月考）如图，内一点，，分别是关于、的对称点，交于点，交于点．若的周长是，则的长为　　 A． B． C． D． 解：点关于、的对称点、， ，， 的周长， 的周长是， ． 故选：． 3．（2022秋•海安市月考）如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上， 这样的三角形称为格点三角形， 在网格中与成轴对称的格点三角形一共有　　 A ． 2 个 B ． 3 个 C ． 4 个 D ． 5 个 解： 如图所示： 都是符合题意的图形 ． 故选：． 4．（2023秋•泉山区校级期中）在三角形纸片中，，．将纸片的一角对折，使点落在内，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 解：如图，连接，由折叠知，， ，， ． ，． ． ． ． 故选：． 5．（2023秋•淮安区期中）如图甲所示三角形纸片中，，将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙），若，则的周长是　　 A．12 B．13 C．14 D．15 解：， ，， 由折叠的性质可得：，， ， ， 的周长， 故选：． 二．填空题 6．（2023秋•句容市期末）如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为 　40　． 解：沿直线折叠后，点落到点处，， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 7．（2022秋•盱眙县期中）如图，所在直线是的对称轴，点，是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积是 　9　． 解：关于直线对称， 、关于直线对称， 和关于直线对称，，， ， 的面积是：， 图中阴影部分的面积是． 故答案为：9． 8．（2023秋•姑苏区校级月考）如图，三角形纸片，点是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点，连接交于点．若，，，的面积为，则点到的距离为 　　． 解：， ， ， 由翻折可知，，， ，， ， ， ， ， 设点到的距离为，则有， ， 故答案为：． 9．（2024•海州区校级一模）如图，矩形中，，，为上一点，将沿翻折至，与相交于点，且，则的长为　2.4　． 解：如图所示：四边形是矩形， ，，， 根据题意得：， ，，， 在和中， ， ， ，， ， 设，则，， ，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ； 故答案为：2.4． 10．（2023秋•梁溪区校级期中）如图，，点、分别在射线、上，，，点是直线上的一个动点，点关于的对称点为，点关于的对称点为，连接，，，当点在直线上运动时，则△面积的最小值是 　18　． 解：如图，连接，过点作交的延长线于， ，且， ， 点关于对称的点为，点关于对称的点为， ，，， ， ， △的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， △的面积的最小值为， 故答案为：18． 11．（2023秋•苏州期中）如图所示，在中，，点为边上一点，将沿翻折得到△，若点在边上，，，则的长为 　　． 解：由折叠可知：，，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， ，， ， 故答案为：． 三．解答题 12．（2023秋•海门市期中）如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，． （1）在图中画出关于轴对称的图形△； （2）在图中，若与点关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是 　轴　，此时点关于这条直线的对称点的坐标为 　　； （3）求△的面积． 解：（1）如图，△为所作； （2）这条对称轴是轴，点的对称点的坐标为； 故答案为：轴，； （3）△的面积． 13．（2023秋•工业园区月考）如图1，在的网格中，三角形（阴影部分）三个顶点均在格点上，这样的三角形叫做“格点三角形”，如图1；在图中再画出一个“格点三角形”与原三角形关于某条直线对称，如图2所示．根据以上提示，请在图图6中，各再画出一个和原三角形成轴对称的“格点三角形”，要求：图图6不重复，并将符合要求的“格点三角形”涂黑． 解：如图， 14．（2023秋•沭阳县校级期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请写出关于轴对称的△的各顶点坐标； （2）请画出关于轴对称的△； （3）在轴上求作一点，使点到、两点的距离和最小，请标出点，并直接写出点的坐标 　　． 解：（1）与△关于轴对称， 点，，． （2）如图，△即为所求． （3）如图，点即为所求， 点的坐标为． 故答案为：． 15．（2023秋•句容市期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点． （1）画出关于轴的轴对称图形△； （2）若以线段为一边作格点（顶点在正方形网格交点上的三角形叫格点三角形），使所作的与全等但所在位置不同，请写出满足条件点坐标 　，，　； （3）直线轴，与线段，分别交于点，（点不与点，，重合），若将沿直线翻折，点的对称点为点，当点落在的内部时，点的横坐标的取值范围是 　　． 解：（1）如图，△即为所求； （2）如图，符合要求的点如图所示， 坐标分别为，，； （3）， ， 点落在的内部， ， 解得：， 故答案为：． 16．（2020秋•秦淮区校级期中）如图，将长方形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）若，，求的面积； （3）求的长． 解：（1）结论：是等腰三角形． 理由：四边形是矩形， ， ， 由翻折的性质可知， ， ． （2）设， 在中，， ， ， 解得， ， ． （3）连接交于． ，， 点，点在线段的垂直平分线上， 垂直平分线段， ， ， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$